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Full text of "Bulletin - Société mathématique de France"

•ujjwiALiviT mai JUL 2 1924. 



pUysical & 

Appl*** Scl * 
£erialft 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/bulletinsocit31soci 



A 



) 



BULLETIN 



DE LA 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 

DE FHANCE. 



33112 



IVifis. — I itpri.iiiïrie <» VU Tlll EK- V1LL.VRS, quai îles Grantls-Autfistlns, 5s. 



BULLETIN 



I) I. L A 



r- r 



SOCIETE MATHEMATIQUE 



DE FRANCE, 



Pl'BME 



PAR LES SECRETAIRES. 



TOME TRENTE-UNIÈME. - ANNÉE 1903. 
/ 



PARIS, 




AU SIÈGE DE LA SOCIETE, 

A LA SORBONNE. 

1903 



t. 31-33. 



*, 



ÉTAT 



DE LA SOCIÉTÉ MATHEMATIQUE DE PHANCE 

AU COMMENCEMENT DE L'ANNÉE 1903 (*). 



M M . 



Membres honoraires du Bureau. 



APPELL. 

CREMONA. 

DARBOUX. 

HATON DE LA GOUP1LLIÈRF. 

HUMBERT. 

JORDAN. 

Y1ITTAG-LEFFLER. 

PICARD. 

POINCARÉ. 



Président MM 

Vice-Présidents 

Secrétaires \ 

Vice-Secrétaires 

Archiviste 

Trésorier 



Membres du Conseil ( a ) { 



PAIN LEVE. 

MOCHE. 
BLUTEL. 
BOREL. 
CARVALLO. 

BRICARD. 
DUPORCQ. 

GRÉVY. 
SERVANT. 

RAFFY. 
CLAUDF-LAFONTA1NE. 

BOUBIET, 1904. 
COURSAT, 1905. 
HADAMARD, 1904. 
LAISANT, 1905. 
LECORNU, 1906. 
LEVY (L.), 1905. 
MAILLET, 1904. 
NIEWENGLOWSKI, 1904. 
D'OCAGNE, 1905. 
PERBIN (R.), 1906. 
TOICHE, 1906. 



(*) MM. les Membres de la Société sont instamment priés d'adresser au Secrétariat 
les rectifications qu'il y aurait lieu de faire à cette liste. 

( J ) La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au com- 
mencement de laquelle expire le mandat de ce membre. 



— V[ — 

Date 

de 

l'admission. 

1872. ACIIARD, ancien directeur de la Compagnie d'assurances sur la vie la Foncière, 
rue de la Terrasse, G bis, à Paris (17 ). 

1000. ACKEIUIAW-TEUBXER, éditeur, à Leipzig. 

1893. ADAM (Paul), ingénieur des ponts et chaussées, docteur es sciences mathématiques, 
boulevard des Invalides, ^o, à Paris (7"). 

1900. AD1IEMAR (vicomte Robert d'), professeur suppléant à la Faculté libre des Sciences, 

121, boulevard de la Liberté, à Lille (Nord). 

1896. AND0YER, professeur adjoint à la Faculté des Sciences, rue du Val-de-Grâce, 1. à 
Paris (5 e ). 

1891. ANDRADE, maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Besançon. 

1372. ANDRE (Désiré), docteur es sciences mathématiques, rue Bonaparte, 70 bis, à 
Paris (6 e ). 

1901. A\GIB0lJST,rue d'Assas, 104, à Paris (6 e ). 

1379. APPKMi, membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à l'École Cen- 
trale des Arts et Manufactures, rue Bonaparte, 17, à Paris (6 e ). 

1881. ASTOR, professeur à la Faculté des Sciences, place Vaucanson, 4> à Grenoble (Isère). 
1900. AIJRIC, ingénieur des ponts et chaussées, à Valence (Diôme). 

1882. AlïONIVE, ingénieur des ponts et chaussées, rue Mont-Bernard, g, à Lyon (Rhône). 

1900. BURE, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences de Mont- 
pellier ( Hérault). 

1396. BAKER, professeur à l'Université, Toronto (Canada). 

1891. BAMIRAXI), ingénieur à Métlaoui (Tunisie). 

1889. BEtilUX, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Champ-de-Mars, 22, à 
Paris ( 7 e ). 

1875. BERDELLE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). 

1872. BIE.XAYME (Arthur), inspecteur général du génie maritime en retraite, rue Revel, i4, 

à Toulon ( Var). 

1888. BIOlillE, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Dame-des-Champs, 56, a 
Paris (*>*). 

1875. BISCflOFFSHEIM, membre de l'Institut, rue Tailbout, 3, à Paris (9 e ). 

1898. BLAKE (Edwin-M.), 1910, Addison street, à Berkeley, Californie ( U. S. A.). 

1900. BLlMENTHAIi (Otto), docteur en philosophie, Herzberger chaussée, 4g, à Gôttingen. 

1891 . BLUTEL, professeur au lycée Saint-Louis, maître de conférences à la Sorbonne, rue 
Denfert-Rochereau, 110, à Paris (i'| e ). 

1902. BOREIMIi (vicomte Hoger du), rue d'Orléans, 3o, à Rennes ( Ille-et-Vilaine). 

1892. BONAPARTE (prince Roland), avenue d'Iéna, 10, à Paris (16 e ). 

1895. BOREli, maître de conférences à l'École Normale supérieure, 3o, boulevard Saint- 

Germain, à Paris (5 e ). 

1896. BDlliWMiER, maître de conférences à l'Université, rue Caumartin, 80, à Lille (Nord). 

1896. BOURfiET (Henry), maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue Saint-Jacques, 
20. à Toulouse (Haute-Garonne). 

1896. B0URLET, professeur à l'École des Beaux-Arts et au lycée Saint-Louis, avenue de 

l'Observatoire, 22, à Paris (i4 e )- 

1900. BilEiriI\G, proviseur du lycée Saint-Louis, boulevard Saint-Michel, 44 (6 e ). 

1897. B1UCVRI), ingénieur des manufactures de l'État, répétiteur à l'École Polytechnique, 

boulevard Raspail, 295, à Paris 04 e )- 

1873. BROCAKD,chef de bataillon du génie en retraite, Ville-Haute, 75, à Bar-le-Duc. 

1901. BlliL (Adolphe), docteur es sciences, rue de la Tombe-Issoire, 37, à Paris (i4*)- 



— VII — 

Datc 

dc 

l.i «i mlMlon . 

1893. BURK1AIDT, professeur à l'Université, Kreuzplatz, i, a Zurich (Suisse). 

1897. CARREIRt, membre de l'Académie royale des Sciences, rua da Alegria, 3a, à Lisbonne. 

1894. CAIIEN, professeur au collège Rollin, 3a, rue de la Pompe, à Paris (ifi"). 

1893. CALDARERA, professeur a l'Université, palazzoGiampaolo, via délit Liberté, à Palerme. 

1888. CANET (Gustave), ingénieur civil, directeur de l'artillerie de MM. Schneider et C u , 
avenue Henri-Martin, 87, à Paris (16 e ). 

1885. CAR0\, professeur de géométrie descriptive, rue Claude-Bernard, 71, à Parii (5*). 

1892. CAROXXKT, docteur es sciences mathématiques, rue Demours, 62 bis, à Paris (17 e ). 

1896. CARTA\, maître de conférences a la Faculté des Sciences, rue Suchet, 38, à Lyon. 

1887. CARVAMiO, examinateur desortie à l'École Polytechnique, rue Glovis, 1, à Paris ( 

1890. CEDERCREIJTZ (baronne Nanny, née de Lagerborg), Unionsgatan, 4> à Helsingfors. 

1892. GELLKRIER (Gustave), quai des Eaux-Vives, 34, à Genève (Suisse). 

1887. CERIHTI, professeur à l'Université, rue délie Sette Sale, 16, à Rome (Italie). 

1888. CIIAILAN (Edouard), rue Rerthollet, 16, à Paris (5 e ). 

1893. CHARMAT, ingénieur des arts et manufactures, rue de Paradis, '|6, h Paris (io'j. 
1890. CIIIRYE, professeur à la Faculté des Sciences, cours Pierre-Puget, 60, à Marseille. 

1881. CHEMIN, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Montaigne, $3, à Paris (8 e ). 

1884. CIIRYSTAIj, professeur à l'Université, à Edimbourg (Ecosse). 

1901. CLAIRIX, docteur es sciences, professeur au Lycée, 20, boulevard Carnot, à Dijon. 

1875. CLAUDE-LAFONTAINE, banquier, rue de T ré vise, 3j, à Paris (9 e ). 

1890. COliOT, château du Seuil, à Cérons (Gironde). 

1898. COMRERIAC, capitaine du génie, docteur es sciences, à Limoges. 

1900. COMTE (Firmin), ingénieur des ponts et chaussées en congé, à Rar-le -Duc. 

1896. C0SSERAT (E.), professeur à la Faculté des Sciences, rue de Metz, 1, à Toulouse. 

1896. C0SSERAT (F.), ingén. en chef des ponts et chaussées, rue d'Alsace, 23, à Paris (10 e ). 

1900. C0TT0X (Emile), maître de conférences à l'Université de Grenoble. 
1877. CREMOXA, sénateur, directeur de l'École des Ingénieurs, à Rome (Italie). 

1872. RARR0IX, secrétaire perpétuel de F académie des Sciences, doyen de la Faculté des 
Sciences, rue Gay-Lussac, 3^>, à Paris (5 e ). 

1885. DAUTIIEYIMjE, professeur à la Faculté desSciences, à Montpellier (Hérault). 

1882. DELANYOY, sous-intendant militaire en retraite, àGuéret (Creuse). 

1901. DKLASSIS, chargé de cours à la Faculté des Sciences, avenue Alsace-Lorraine, 3;). à 

Grenoble ( Isère). 

1895. DELAIXAY (N.), professeur à l'Institut Polytechnique Empereur Nicolas II, à Varsovie. 

1899. DELKMER, ingénieur des ponts et chaussées, place Simon-Vollant, 10, à Lille (Nor.l). 

1885. DEMRTR "S, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleine- 
lès-Lille (Nord). 

1892. DKHOl'LIN (Alp.), professeur à l'Université, rue du Ras-Polder, >o, à Garni (Relgique). 

1897. DEXIS (Henry), élève libre à l'Ecole d'application du Génie maritime, rue de Fleu- 

rus, 23, à Paris (6 e ). 

1883. B3R0YTS, professeur à l'Université, rue des Augustins, 35, à Liège (Relgique). 

1894. DESAINT, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Saint-Cyr, 4y> a Paris ( 17*). 

1900. D!CK TKI\, 117, Marszatkowska, Varsovie. 

1902. DIECl'i' Z (D,.-F.), professeur de mathématiques à l'École provinciale des Ails et 

Industries, calle del Orzan, 'j-3 , à La Corogne (Espagne). 



— VIII — 

Date 

de 

l'admission . 

1899. DIUCII (Jules), maître de conférences à la Faculté des Sciences, boulevard des Écoles, 

3i, à Lille (Nord). 

1896. DOIVS (G.), licencié es sciences, à Gland, canton de Vaud (Suisse). 

1897. DIM1XT, professeur au lycée, rue Royale, 10, à Annecy (Haute-Savoie). 
1886. Dl'XCW, Consulting Engineer, Empire Building, Broadway, 71, New-York City. 

1895. DIPOItCQ (Ernest), ingénieur des télégraphes, avenue Duquesne, 11 bis, à Paris (7 e ). 

1897. DIRAX-LORIGA, command. d'artillerie, 20, plaza de Maria Pita,à la Corogne (Espagne). 

1885. DtCK (Walther), Tecknische Hochschule, à Munich (Bavière). 

190». ECORWF ( Dimitri), privat-doctent à l'Université de Moscou, rue Sainl-Honoré, 223, 
à Paris (i cr ). 

1901. EMELEX (van) (Léopold), boulevard du Château, ^91 , à Gand (Belgique). 

1900. ESTAXWE, docteur es sciences, à la Sorbonne, à Paris (5 e ). 
1900. KSTIEXXE, capitaine au 19 e régiment d'artillerie, à Nice. 

1896. EUYKRTE. ancien élevé de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'artillerie, ingé- 

nieur aux Forges de Denain (Nord). 

1888. FARRY, professeur à la Faculté des Sciences, g, avenue de Toulouse, à Montpellier 

(Hérault). 

1891. FAUQIEMBERGIJR, professeur au lycée, à Monl-de-Marsan (Landes). 

1898. FERRER, capitaine d'artillerie, à Nice. 

1892. FKIIR (Henri), professeur à l'Université, rue Gevray, 19, à Genève (Suisse). 

1885. FIELRS (John), professeur de mathématiques, 21 , Liberty Str., à Hamilton (Canada), 
1881. FliOQl'KT, professeur à la Faculté des Sciences, rue Saint-Lambert, 3i , à Nancy. 

1872. FLYE SAlYfF-MAlîlE, chef d'escadron d'artillerie en retraite, ancien répétiteur à l'École 
Polytechnique, place Royer-Collard, à Vitry-le-François (Marne). 

1896. FONTANEAU, ancien officier de marine, cours Bugeaud, 8, à Limoges (Hai.le-Vienne). 

1897. FOXTKXE, professeur au collège Rollin, boulevard de Clichy, 6, à Paris (18 e ). 

1891. FONTVIuLANT (de), profes. à l'École Centrale, rue d'Erlanger, 29, Paris-Auteuil (16 e ). 

1889. FOBCHE, professeur de mathématiques, rue Soufflot, 5, à Paris (5 P ). 

1872. F011RET, examinateur d'admission à l'École Polytechnique, avenue Cainot, \ , il 
Paris (17 e ). 

1892. FR0I.OY (le général), quai des Eaux-Vives, 36, à Genève (Suisse). 

1900. GAI.HEtXO (Z.-S. de), professeur à l'Université, corso 99, 3, à Saragosse. 

1872. GARIKh, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à la Faculté de Médecine, 
rue Édouard-Detaille, 6, a Paris (17 e ). 

1896. GAITIIIER-MMARS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 
Augiislins. 55, à Paris (6 e ). 

1890. GEBBIA, professeur libre à l'Université, à Païenne (Italie). 

1872. GEXTY (E.), ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Rapp, 20, à 
Paris (7 e ). 

1890. GKRRAIJH, professeur à l'Université, via Daila, 11, à Païenne (Italie). 

1897 GERRAXS, professeur à Worcester Collège, Saint-John Street, 20, à Oxford (Grande- 

Bivtagne). 

1896. G1RARDYILLE, capitaine d'artillerie, à Saint-Wast-la-Hougue (Manche). 

1881. GOl'RSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à lEcole Polytechnique. 
boulevard Raspail, 270, a Paris (i4 e ). 

1896. GREKXIIIMi, professeur à l'École d'artillerie, à Woolwich (Grande-Bretagne). 



— IX — 

U 

l'admission. 

1896. GREYY, professeur au lycée Saint-Louis, rue Saint-Placide, <>>, à Paria (6"). 

1X99. GOADKT, ancien élève de l'Ecole Polytechnique, boulevard Saint-Germain, a\o his, .\ 

Paris (7"). 
1880. Gl'df.lV (Jean), profeaaeur à l'Université, via Ruggiero Settimo, '■'><>, à Païenne (Italie). 

1900. Gl ICIIAHD, processeur à l'Université de Clermont-Perrand. 

1891. Gl'IMAOAES, officier du génie, à l'Académie des Sciences, rue Nova da Piedade, 55, 

à Lisbonne ( Portugal ). 

18X1. GliXTIIER ( l) r Sigismond ), professeur h l'Ecole Polytechnique, à Munich (Bavière). 
1885. GliAOU, membre de l'Institut, capitaine de frégate, rue de l'Université, i3, à Paris (-j. 

1873. IIA\G, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l'École Polytechnique, 

rue Chardin, il A/s, a Paris (16 e ). 

1882. IIAKIC.II, directeur de l'Fcole des Ingénieurs, a Lima (Pérou). 

1896. HADAYARD, professeur adjoint à la Faculté des Sciences, professeur suppléant au 
Collège de. France, rue llumboldt, a5, a Paris (i4 c ). 

1894. HAI.STEft, professeur à l'Université du Texas, Guadalupe Street, 2407, à Auslin (Texas). 

1901. IIAXTOCK ( Harris), professeur à l'Université de Cincinnati, Auburn Hôtel (Ohio, 

Utals-llnis). 

1900. IIAKOiïL, élève ingénieur à l'École des Ponts et Chaussées, 22, place Malesherbes, à 
Paris (17 e ). 

1872. IIAT0\ l)K LA GOUPIL LIBRE, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des mines, rue de Vaiigirard , 56, à Paris (6 e ). 

1892. BER8UNN, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (5 e ). 

1893. IIIOI X, professeur en retraite, rue des Fossés-Saint-Jacques, ifi, à Paris (5 e ). 

1900. IIOITBAIER, ancien lieut. d'art., rue du Chàtelet, 22, à Fontenay-sous-Bois (Seine). 

1879. IIOLST (Elling), professeur a l'École Polytechnique, à Hôvik, près Christiania (Norvège). 
18u5. II0TT (Stanislas), professeur à l'École S le -Geneviève, rue Bausset, l\, à Paris (10 e ). 
1872. IIOIHIGAXT, chef de bataillon du génie en retraite, rue Lecourbe, 88, à Paris (i5 e ). 

1880. HllMIIERT, membre de l'Institut, ingénieur en chef des mines, professeur à l'École 

Polytechnique, rue Daubigny, b, à Paris (17 e ). 

1881. IMltER, directeur des éludes à l'École Centrale, 33, boulevard Voltaire, à Paris (11 e ). 

1896. JACQl'ET (F.), professeur au Prytanee militaire, rue Couchot, 8, à la Flèche. 

1898. JAHXkE, privât docent à l'École Polytechnique de Charlotleuburg, Pariserstrasse, 55, 
a Berlin W 15 (Allemagne). 

1898. JARItï (N.), ingénieur civil, avenue du Bel-Air, 7, à Paris (12 e ). 

1872. JAVARY, chef de bataillon du génie en retraite, chef des travaux graphiques à l'Fcole 
Polytechnique, rue du Cardinal- Lemoine, 1, a Paris (5"). 

1872. JOURAX, membre de l'Institut, professeur a l'École Polytechnique et au Collège de 
France, rue de Varenne, 48 à Paris (7 e 

1872. J 01! rT It ET, lieutenant-colonel d'artillerie, rue de l'Estrapade, 20, à Paris (5°). 

1875. JUXG, professeur à l'Institut technique supérieur, via Fatebenefrutelli, 19, à Milan 
( Italie). 

1890. KOliB (Gustaf), maître de conférences à l'Université, à Stockholm (Suède). 

1892. KOHI (H. vos), maître de conférences à l'Université, à Djurshulm-Stockholm, 

{ Suéde) . 

1880. kŒXIGS, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, répétiteur à l'École Poly- 
technique, boulevard Arago, 101, à Paris (14 e ). 

1897. LAdAUlilllk, ingénieur civil, chef du lal)Oratoire de la Compagnie générale des Omni- 

bus, rue de Douai, ^8, à Paris (9 e ). 



— x — 

Date 
do 
l'ailmission. 

1873. MISANT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 
avenue Victor-Hugo, 1G2, à Paris (16 e ). 

1893. LANCELIN, astronome adjoint de l'Observatoire, rue Boissonnade, 3, à Paris (i^ e ). 

1899. LWDAU (Edmond), privat-docent à l'Université, Sommerstrasse, 2, Berlin, N. W. 

189G. LAR1SE, ingénieur dos télégraphes, cité Martignac. 5, à Paris (7 ). 

1896. LAU(Ï\L, ancien attaché d'ambassade, villa dos Bruyères, au Golfe Juan ( Vlpes-Mar me5 ) . 

1873. LALJTII, manufacturier, à Tbann (Alsace). 

1896. LEAL, professeur au collège Stanislas, rue Vavin, 6. à Paris (6 e ). 

1880. LEAUTE, membre de l'Institut, boulevard de Courcelles, 18, à Paris (17 e ). 

1896. LEIIEL, professeur au lycée de Montpellier, villa Monl-Carmel, avenue Bouisson- 
Berirand, à Montpellier. 

1902. LERESGUK, docteur es sciences, maître de Conférences à la Faculté des Sciences, rue 
Pougirard, \, à Rennes (Ille-et-Vilaine ). 

1893. LECORXII, ingénieur en cbefdes mines, répétiteur à l'École Polytechnique, rueGay- 
Lussac, 3, à Paris (5 e ). 

1895. LEMEKAY, licencié es sciences, ingénieur civil du génie maritime, rue Ville-ès-Martin, 
109 bis, à Saint-Nazaire (Loire-Inférieure). 

1872. LEMOIXE (Emile), ancien élève de l'École Polytechnique, boulevard de Vaugirard, 4, 
à Paris (i5 e ). 

1879. LE PAIGE, professeur à l'Université, à l'observatoire de Cointe, à Liép.e (Belgique). 
1895. LE HOUX, maître de conférences à la Faculté des Sciences, faubourg de Fougères, 4'» 
à Rennes (Ille-et-Vilaine). 

1898. LE ROY, docteur es sciences, rue Notre-Dame -des-Champs, 27, à Paris (6 e ). 

1891. LERY, agent voyer d'arrondissement, à Pontoise ( Seine-el-Oise). 

1872. LESIMWILT, doyen honoraire de la Faculté des Sciences de Bordeaux, à Nérac (Lot-et- 
Garonne). 

1909. LEVI CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Altinate, i/|. à Padoue (Italie). 

1882. LEVY (Lucien), répétiteur et examinateur d'admission à l'École Polytechnique, rue 
du Regard, 12, à Paris (6 e ). 

1872. LEVY (Maurice), membre de l'Institut, inspecteur général des ponts et chaussées, 
professeur au Collège de France, avenue du Trocadéro, i5, à Paris (i6 ft ). 

1875. LEZ (Henri), à Lorrez-le-Bocage (Seine-et-Marne). 

1898. LIXI) LIE (Ernst), professeur à l'Université, INylandsgalau, 1 5, à Helsingfors. 

1877. LINDEMANX, professeur à l'Université, Franz-Josephstrasse, 12, à Munich (Bavière). 

1886. LIOL'YILLE, ingénieur des poudres, examinateur des élèves à l'École Polytechnique, 
quai Henri IV, 12, à Paris (4 e ). 

1900. L0\ETr ( E.-O ), professeur à Princeton University, New-Jersey (États-Unis). 

1888. LUC\S (Félix), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Boissière, 3o, à 
Paris (16 e ). 

1902. LUCAS-GIRARD VILLE, ing r des manufactures de l'État, quai d'Orsay, 67, à Paris (i5 9 ). 

1902. LLCAS DE PESLDLAX, ancien élève de l'École Polytechnique. 

1886. LYON, docteur es sciences mathématiques, chemin de la Roseraie, 26, à Genève 

( Suisse). 

1882. MALE DE LEPINAY, professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri IV, rue 
Claude-Bernard, 79, à Paris (5 e ). 

1895. MAILLET, docteur es sciences, ingénieur des ponts et chaussées, rue de Fontenay, 11, 
à B uirg-la-Keine (Seine). 

1872. MAXXIIEIM, colonel d'artillerie en retraite, professeur honoraire à l'École Polytech- 
nique, boulevard Beau séjour, l, a Paris (16 e ). 

1884. MARTIN ( Artemas), Golumbia street, i534, N. XV., à Washington D C. (États-Unis 
d'Amérique ). 



— XI — 

|lalt> 

de 
l'admission . 

1 881» . MARTIN (Emile), inoien élève «le l'École Polytechnique, professeur de mathéma- 
tiques, rue des Fossés Sainl lacques, 22, à Paris ( 

1901. MASSAO (I. |, professeur à l'Université, rue Maruii, ■>■>., l\ Gand (Belgique). 

1894. NAOPIN, professeur au collège, rue de l'Arceau, 3o, à Saintes (Charente-Inférieure). 
1897. HBHMKB, professeur a l'École technique supérieure, Wcisseinburgstrassa, 29, à 

Stuttgart ( Wurtemberg). 
1889. MIXDIZABAL TA MB OR EL (de), moml.ro do la Société de Géographie do Mexico, callede 

Jésus, i3, ii Mexico (Mexique). 
188-1. MERCEREAU, licencié es sciences, rue de l'Université, io3, à Paris (7 e ). 

1902. MERLIN (E.), rue Patenier, 36, à Namur (Belgique). 

1902. MESNY (R.), enseigne de vaisseau, rue de la Rampe, 4» a Brest. 
1893. MIEIIEI, (François), chef de parcours de la Compagnie des chemins de for du Nord , 
rue Perdonnet, 1a, à Paris (10 e ). 

1899. BIliLKR (l)' G.-A.), professeur à Stanford University, Californie (États-Unis). 
1873. NITTAG-LEFFLER, professeur à l'Université, à Stockholm (Suède). 

1902. MOU (J.), professeur à la Faculté des Sciences, rue d'Alliance, 8, à Nancy. 

1897. MOXTGHEOIL (l'abbé de), rue du Vieux-Raisin, n, à Toulouse ( Haute Garonne ). 

1898. MOft'TESSDS DE BALL0RE f vicomte Robert de), maître de conférences à la Faculté libre 

des Sciences, houlevaid de la Liberté, rat, à Lille (Nord ). 

1898. NAl'D (C.)i éditeur, rue Racine, 3, à Paris (6 e ). 

1885. NEI!RER(i, professeur à l'Université, rue Sclessin, 6, à Liège (Belgique). 

1897. NICOLMEIl, professeur, à Monlreux (Suisse). 

1900. NIEWEN6L0WSKI, docteur es sciences, inspecteur de l'Académie de Paris, rue de l'Ar- 

balète, 35 (5 e ). 

1882. OCAUNE (M.i>*), ingénieur des ponts et chaussées, professeur à l'École des Pont*. 

et Chaussées, répétiteur à l'École Polytechnique, rue La Boëtie, 3o, à Paris (8 e ). 

1873. 0YIDI0 (Enrico d'), professeur à l'Université, Corso-Oporlo, 3o, à Turin (Italie). 

1901. PADE (H.), chargé de cours à l'Université, route de Bordeaux, 26, à Poitiers. 
1893. PAIKLEVÉ, membre de l'Institut, maître de conférences à l'École Normale supérieure, 

repéliteurà l'Ecole Polytechnique, cité Vaneau, 9, à Pari> (7 e ). 
1888. PAPElilEIt (Georges), professeur de mathématiques spéciales au lycée, rue de Re- 
couvrance, 20, à Orléans (Loiret;. 

188'i. PARAf, maître de conférences a la Faculté des Sciences, à Toulouse. 

1872. PARRAX , ingénieur en chef des mines, rue des Saints-Pères, 56, à Paris ( 7 e ). 
1881. PELIiET, doyen de la Faculté des Sciences, rue Pascal, 3o, à Clermont-Ferrand. 

1883. PKLLETBEAU, ingénieur en chef des chemins de fer éthiopiens, 18, rue Magdebourg, 

à Paris (16 e ). 

1898. PELLETBEALI (Georges), sous-inspecteur de l'exploitation des chemins de fer du Nord, 

3i, rue Baudin, à Paris (9 e ). 
1900. PEîlCHDT, astronome adjoint a l'Observatoire de Paris, avenue de l'Observatoire, 1 

1874. PERCIN, général de brigade, chef du cabinet du ministre de la guerre. 
1881. PER0TT (Joseph), Université Clark, à VVoreester (Massachusetts). 

1873. PERR1N, ingénieur en chef des mines, avenue d'Eylau, 9, à Paris (16 e ). 
1892. PEI(lll\ (Élie), professeur de mathématiques, rue Lainandé, 7, à Paris (17 e ). 
1896. PEiROVITCH, professeur à l'Université, Kossantch-Venac, i\. à Belgrade (Serbie;. 

1902. PETR0YITCH (S.), capitaine d'artillerie de la garde, professeur adjoint a Académie 

d'artillerie Michel, ErtelelT Perooulok, 9, à Saint-Pétersbourg. 

1887. PEZZ0 (del), professeur à l'Université, via Gennuro Serra, 75, à Naples (Italie). 

1879. PICARD (Emile), membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à 
l'Ecole Centrale dos Arts et Manufactures, rue Bar a, 4» à Paris (6 e ). 



— XII — 

Date 

de 

l'admission. 

1872. PICQIJET, chef de bataillon du p.énie, examinateur d'admission ù l'Ecole Polytech- 
nique, rue Monsieur-lc-Pi •ince, \, a Paris (()'). 
1896. PIEROA, inspecteur général de l'Instruction publique, rue d'Assas, 5o, à Paris (G*). 

1899. PIKRPONT (James), prof, de l'Université Vale, \>. Mansfield st., New Haven, Con- 
nectiez ( Liais- Uni s ). 

1882. POI.VCARE, membre de l'Institut et du Bureau des Longitudes, ingénieur en chef 

des mines, professeur à la Faculté des Sciences, rue Claude-Bernard, 63 ( j'). 

1872. POLIGNAC prince C. de), villa Jessie, à Cannes (Alpes-Maritimes). 

1899. PIIIMiSIIKI.U. professeur à l'Université «le Munich, 12, Arcisstrasse. 

1896. PlUIVOST, inspecteur général de l'Instruction publique, 11, rue de la Tour, à 
Paris (16 e ). 

1872. PUTZ, généra] d'artillerie en retraite, rue Saint-Merry, 98, à Fontainebleau. 

1902. PIX ( Victor), ancien élève de l'Ecole Poly lechnique, professeur de Mathématiques, 
rue Huiuboldf, 25, à Paris (i/| e ). 

1896- QUIQU'Î actuaire de la Compagnie la Nationale, rue Laffille, 17, à Paris (9 e ). 

1895. IIARlir (Charles), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Duplebsis, 77, à Ver- 

sailles [ Seine-et-Oise ) . 

1872. RARAH, membre de l'Institut, rue deTournon, 12, à Paris (6 e ). 

1883. RAFFY, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, maître de conférences à 

l'École [Normale supérieure, rue INicole, 7, a Paris (5 e ). 

1900. RENARD, rue de la Tour, 7, à Paris (16 e ). 

1898. RIPENT, commandant du génie en retraite, à Poix (Somme), 
1893. RIVEREAU (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, à Angers (Maine-et-Loire). 
1872. R0I1ART, ingénieur civil, rue de Lisbonne, 34, a Paris (8 e ). 

1872. ROI Cil K, de l'Institut, professeur au Conservatoire des arts et métiers, examina- 
teur des élèves à l'École Polytechnique, boulevard S'-Germain, 2)3, à Paris (7 e ). 

1896. ROKilER, docteur es sciences, rue Sylvabelle, 84, à Marseille. 

1885. KOUQliET (V.), professeur honoraire de mathématiques spéciales, à Belpech (Aude). 

1900. SALTMiOW, maître es sciences mathématiques, professeur à l'Institut Polytechnique, 

a I onisk ( Russie). 

1872. S\RRil, membre de l'Institut, ingénieur en chef des poudres, professeur à l'École 
Polytechnique, avenue Daumesnil, 9 bis, à Saint-Maudé (Seine). 

1872. SARTIAUX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation à la Com- 
pagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 

1885. SAUVAGE, professeur a la Faculté des Sciences, h Marseille ( Boiiches-du-Rhône ). 
1881. SCIILKGEI., professeurs l'École technique, Volmestrasse, 62, à Hagen (Allemagne). 

1897. SWIOTj (Erik), (il. Antvorskov, à Slayelse (Danemark). 

1881. SWIOIJTE, professeur à l'Université, a Groningue (Hollande). 

1901. SEE (Thomas-J.-J.), pioless. à la United States N a vy, à Washington (États-Unis). 
1896. SKIillER (J.-A. de), docteur es sciences, me des Saints-Pères, 56, à Paris ( - c ). 

1882. SÉLIUN0FF (Démetrius), attaché a l'Université, Fontanka, 1 16, log. 16, a Saint-Péters- 

bourg ( Russie ). 

1900. SERVANT, docteur es sciences, Grande-Rue, 75, à Bourg-1 a-Reine (Seine). 

1900. SPARIE (comte Mignus de), château de Vallierc, à S l -Georges-de-Reneins (Rhône). 
1881. STARUOEF, Maximilianovskiy pereonlok, 19,10g. 12, à Saint-Pétersbourg (Russie). 
1879. STEPIIAMOS ( D r Cyparissos), professeur a l'Université, à Athènes (Grèce). 

1901. SI'EI'SOM (Orlando), à Franklin (Massachusetts). 

1898. Sl'0\niER (Cari), chargé de cours à l'Université, doltegaden, i4, à Christiania. 
1872. SVL0W, professeur a l'Université, à Frederikshald (Norvège). 

1896. TAMVEXUERG (du), professeur à la Faculté des Sciences, à Bordeaux (Gironde). 



Mil — 



Date 

de 
l'tdmlfslon 



IR72. TAWKHY (Paul), directeur des manufactures de l'État, à Pantin (Seioe). 

1875. TA M \ EH Y (Jules), sous-directeur à l'Ecole Normale supérieure, rue d'Ulm, 55, 
n Parla (.V). 

1882. TARR1 (Gaston), rue d'Ialy, ig, a Alger (Algérie). 

tsi)7. TlR'IY (Harold), inspecteur des finances en retraite, à ECouba (Algérie). 

1872. TERRIER, professeur au collège Chaptal, avenue Léoaie, i, à Saint-Gloud (S.-et-O.). 

1899. TU Y HUIT (Alexandre), docteur es sciences, professeur au lycée Garnot, rue du Ro- 

cher, 101, a Pari» (8 g ). 

1 87 .'3 - TIHSOT, ancien examinateur d'admission à l'École Polytechnique, à Voreppe (Isère). 

1896. 'l'ISS ) r, enseigne de vaisseau, professeur au Borda, à Brest (Finistère). 

181)6. TOlIRKS, membre de l'Académie des Sciences, Valgame Dios, 3, à Madrid (Espagne). 
18!).'?. TOldllK, lieutenant-colonel d'artillerie territoriale, rue Truffault, ^3, à Paris (17 e ). 

187 2 . TRKSQ, ingénieur en chef des ponts et chaussées en retraite, château de Cour- 

lozé, par Vendôme (Loir-et-Cher). 

189(5. TKKSSE, doct es sciences, prof, au collège Rollin rue Caulaincourt, 20, à Paris (18 e ) . 

1893. VALLE!* -POUSSIN (Gh.-J. de la), professeur à l'Université, rue de Nainur, 190, à Lou- 
vain ( Belgique). 

1897. VASSILAS-VITALIS (J ), docteur de l'Université, rue Rolyclète, 5, à Athènes (Grèce). 

1898. VASSILIEF, président de la Société physico-mathématique, à Kasan (Russie). 

1901. VKSSIOf, professeur à la Faculté des Sciences, boulev. du Nord, 92, à Lyon (Rhône). 
1888. YOI.TERIt.4 ( Vito), professeur à l'Université de Rome. 

1900. VDIBERT, éditeur, 63, boulevard Saint-Germain (5 e ). 

1893. \VA(i\Kll, professeur à l'École J.-R. Say, rue Spontini, i3, à Paris (16 e ). 

1880. WALCKENAER, ingénieur en chef des mines, boulevard St-Gernain, 218 à Paris (7 e ). 
1879. WhlLL , directeur du collège Chaptal, boulevard des Batignolles, ^5, à Paris (8 e ). 

1873. WEVH ( l) r Edouard), professeur a l'École Polytechnique, à Prague ( Bohème;. 

1878. W0RMS DE RO.tlILLY, ingénieur en chef des mines, rue Balzac,;, à Paris (8 e ). 

1882. ZAB0I1IISUI. membre du Comité d'artillerie et professeur à l'Académie d'Artillerie, rue 
Znatnenkaja, 22, a Saînl-Pélersbourg (Russie). 

1890. ZAREMBA, docteur es sciences, professeur à l'Université de Cracovie (Autriche). 

1881. 'AKUTHKX, professeur a l'Université, Rosenvonget, Saint-Kannikestrœde, il, à Co- 

penhague ( Danemark ). 

1898. ZIWET, South (ngalls street, 644, Ann Arbor (Michigan) (Etats Unis). 

1902. 7.01KIS (Aristide), professeur à l'École militaire des Evelpides, rue Scoufa, 6, à 

Athènes. 



— XIV 



SOCIETAIRES P E 1\ V K T II B L S . 



ACKEBMINN-TËIJBNER, à Leipzig.— BENOIST (décédé).— BERBRLLE, à Rioz. — BIEYAVME 
(décédé). — BIOCHE, à Pari». — BISCIIOFFSIIKI.il, à Paris.— BOBEBIL (vicomte R.du), 
à Rennes. — RORCHARDT (décède). - BOBEL, ii Paris. — BROCARD, à Rar-le-Duc. — 
CARET, à Paris. — CARVALLO, à Paris. — CIIASLES (décédé). — CLAIIDË-LAFONTAI.XE, 
à Paris. — COTTON, à Grenoble. — FOtRET, à Paris. — GAUTMER-VILLARS (décédé). — 
GOIRSAT, à Paris. — HALPHEN (décédé). — HALSTEB, à Austin. — HADAHARD, à Paris. 

— IIATON RE LA GOLTILLIÈRE, à Paris. — IIERMITE (décédé). — IIIRST (décédé). — 
IIOTT, à Paris. — JORDAN, a Paris. — LAFFON DK LADÉBAT (décédé).— LÉALiÉ, à Paris. 

— MAILLET, à Bourg-la-Reine. — MANMIEIM, à Paris. - DE HENDIZABAL TAHBORBL, a 
Mexico. — MEItCERKAU, à Paris. — D'OCAGNE, à Paris. — PËROTT, à Wo.ccster. — 
PËRRIN, à Paris. — POIXCARK, à Paris. — P0L1GNAG (prince G. de), à Cannes. — RAFFY, 
a Paris. — SAI.TYKOW, à Tomsk. — SÉLIVANOFF, à Saint-Pétersbourg — SPARRE 
(comte M. d i: ) , à Saint-Georges-de-Reneins. — SYLOW, à Frederiksliald. — TAWERY 
(Paul), à Paris.— TARRY (G.), à Alger. — TCIIEBICHEF (décédé).— VIELLARD (décède). 



LISTE 

DES 

PRÉSIDENTS M LA SOCIÉTÉ ill A T II É M A T I Q L E DE FltAXtlE 

DEPUIS SA FONDATION. 



MM. 



1873 


CIIASLES. 


1874 


LAFFON DE LADÉBAI 


1875 


BIEXAYMË. 


1876 


DE LA GOURNERIE. 


1877 


M.VNNHKM. 


1878 


OAIIBOUX. 


1879 


0. BONNET. 


1880 


JORDAN. 


1881 


LAGUERRE. 


1882 


HALPHEN. 


1883 


BOUCHÉ. 


1884 


PICARD. 


1885 


APPEL L. 


1886 


POINCABÉ. 


1887 


FOURET. 


1888 


LAISAXT. 



MM. 



1889 


ANDRE (DESIRK). 


1890 


MATON DK LA GOUPILLIÈRf 


1891 


COLLIGNON. 


1892 


VICAIRE. 


1893 


IIIMBERT. 


1894 


PICQIET. 


1895 


COURSAT. 


1896 


KŒMGS. 


1897 


PICARD. 


1898 


LKCOKNU. 


1899 


(iUYOl. 


1900 


PO IN CA RÉ. 


1901 


D'OCAGNE. 


1902 


RAFFY. 


1903 


PAIXLEYÉ. 



— XV 



Liste des Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Amsterdam . 
Amsterdam . 

\ msit rdam . 

Baltimore. . 

Berlin 

Berlin 

Berlin 

Berlin 

Bologne. . . . 

Bordeaux. . . 

Bruxelles. . . 

Bruxelles. . . 
Cambridge. 

Christiania. 
Coïmbre. . . 

Copenhague 
Cracovie. . . . 

Edi ni bourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôtlingen . . 
Gôttingen . , 
Hambourg. , 

Harlem 

Helsingfors. 

Kasan 

Kharkov. . . . 
Kharkov. . . . 

Leipzig 

Liège 

Livourne . . . 
Londres. . . . 
Londres. . . 
Londres. . . 
Luxembour; 
Marseille. . 
Mexico 



académie Royale des Sciences d'Amsterdam. 
Société mathématique d'Amsterdam. 
Revue semestrielle des publication» mathéma 
tiques. 

Johns llopkins Universily. 

Académie des Sciences de Berlin. 

Archiv f'ùr Mathematih und Physih. 

Jahrbllch iiber die Fortscliritte der Mathe 
matih. 

Journal fur die reine und angewandte Ma- 
thematik. 

Académie des Sciences de l'Institut de Bo 
logne. 

Société des Sciences physiques et naturelles 
de Bordeaux. 

Académie Boyale des Sciences, des Lettres et 
des Beaux-Arts de Belgique. 

Société scientifique de Bruxelles. 

Société philosophique de Cambridge. 

Archiv for Mathematih og Naturvidenskab. 

Jornal de Sciencias matematicas e astrono- 
mie as. 

Nyt Tidsskrift for Mathematih. 

Académie des Sciences de Cracovie. 

Société Boyale d'Edimbourg. 

Société mathématique d'Edimbourg. 

Mathesis . 

Société Boyale des Sciences de Gôttingen. 

Mathematische Annalen. 

Société mathématique de Hambourg. 

Société hollandaise des Sciences. 

Société des Sciences de Finlande. 

Société physico-mathématique. 

Annales de l'Université. 

Société mathématique de Kharkov. 

Société Royale des Sciences de Saxe. 

Société Boyale des Sciences, à L'Université. 

Periodico di Matematiea. 

Société astronomique de Londres. 

Société mathématique de Londres. 

Société Royale de Londres. 

Institut Royal de Luxembourg. 

Annales de la F acuité des Sciences de Marseille. 

Sociedad cienlilica Antonio Alzatc. 



Hollande. 
Hollande. 

Hollande. 
États-Unis. 

Allemagne. 
Al lemagne . 

Allemagne. 

Allemagne. 

Italie. 

France. 

Belgique. 

Belgique. 

Grande-Bietagne. 

Norvège. 

Portugal. 

Danemark. 

Autriche. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagne. 

Belgique. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Hollande. 

Finlande. 

Bussie. 

Russie. 

Russie. 

Allemagne. 

Belgique. 

Italie. 

Grande-Bretagne 

Grande-Bretagne 

Grande-Bi etagne 

Luxembourg. 

France. 

Mexique. 



— XVI 



Milan 



Moscou. 
Munich. 
Naples. 



New-Haven 

New-York 

Odessa 

Païenne 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pise 

Pi^e 

Pise 

Prague 

Prague 

Prague 

Rome 

Saint-Pétersbourg. 

Stockholm 

Sto kholin 

Toulouse 



Turin . . 
Upsnl. 

Veni.->e. 

Vienne. 
Tienne. 

Zurich . 



Institut Royal lombard des Sciences et 

Lettres. Italie. 

Société mathématique de Moscou. Russie. 

Académie des Sciences de Munich. Ravière. 

Académie Royale «les Sciences physiques H 

mathématiques de Naples. Italie. 

Académie des Sciences et Arts du Connec- 

ticut. États-Unis. 

American mathematical Society. Ktats-Unis. 

Société mathématique d'Odessa. Russie. 

Rendiconti ciel Circolo malematico. Italie. 

J Académie des Sciences de Paris. France. 

Association française pour l'avancement des 

Sciences. Fiance. 

Société philomathique de Paris. , France. 

Bulletin des Sciences mathématiques. Fiance. 

Journal de V Ecole Polytechnique . France. 

Institut des Actuaires fiançais. France. 

Ribliothèque de la Sorbonne. France. 

École Koyale Normale supérieure de Pise. Italie. 

Université Royale de Pise. Italie. 

il Nuovo Cimento. Italie. 

Académie des Sciences de Prague. Autriche. 

Casopis pr o péstovàni mathematiky a fysikj . Autriche . 

Société mathématique de Prague. Autriche. 

Académie Royale des Liucei. Italie. 

Académie Impériale des Sciences. Russie. 

Acla Mathematica. Suède. 

Dibliotheca Mathematica. Suède. 

Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 
louse. France. 

Académie des Sciences. Italie. 

Société Royale des Sciences d'UpsuI. Suède. 

Institut Royal vénitien des Sciences, Lettres 

et Arts. Italie . 

Académie Impériale des Sciences de Vienne. Autriche. 

Monatshefte f'ûr Malhematik und Physik. Autriche. 

Société des Sciences naturelles de Zurich. Suisse. 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FHANCE. 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



LA DÉVELOPPÉE MOYENNE ET LES SURFACES APPLICABLES; 
Par M. de Mojvtcheujl. 

I. 

Interprétation géométrique d'une forme quadratique parti- 
culière. — L'étude des propriétés relatives à la surface, lieu des 
centres de courbure d'une surface donnée, a permis de déter- 
miner un certain nombre de surface applicables. On sait, par 
-exemple, que les deux nappes de la surfaces des centres de cour- 
bure relative à une surface de M. Weingarten sont applicables 
sur une surface de révolution ('). 

A la surface, lieu des extrémités du segment focal, substituons 
la surface, lieu du milieu de ce segment; en d'autres termes, 
considérons la développée moyenne ponctuelle de la surface 
donnée. Nous allons voir que cette surface conduit, elle aussi, 
à la détermination de divers couples de surfaces applicables. 

Dans tout ce qui va suivre, nous exprimerons les coordonnées 
cartésiennes x, y, z d'une surface donnée S, de la façon que nous 
allons brièvement indiquer. 

Soit donnée une surface S, enveloppe du plan mobile défini 
par l'équation 

O -+- Ui)x t -+■ i(u l — u)yi -f- (uui — \)z x h- ; - o, 

q étant une fonction donnée de u et de u { . 



('j J. Weingarten, Ueber eine Klasse au/ einander abwickelbarer Fia- 

clicn {Journal <le C relie, t. LIX, 1861, p. 382). 

XXXI. I 



— 2 — 

Cette dernière fonction conservant Ja même valeur, détermi- 
nons quatre nouvelles fonctions de //, u K au moyen du système 

( u ■+- U\ )x -+- i{u { — u) y ■+■ ( nui — \)z -f- i(uui -+- i)o -+• \ = o, 

d\ 

x — iv -+- u { z ■+- it/j p -+- -- =o, 

Z -h KO 



6>W t^Mj 



On vérifie que les quatre fonctions #,JK, s, — ip ainsi définies 
représentent les coordonnées cartésiennes de la développée 
moyenne S et la demi-somme des rayons de courbure relatiw à 
la surface proposée S|. 

Géométriquement, ce système d'équations, formé d'une façon 
analogue à celui qui définit les coordonnées d'une surface, consi- 
dérée comme l'enveloppe d'un plan mobile, revient à envisager 
une surface S, comme l'enveloppe d'une sphère variable, dont le 
centre décrit sa développée moyenne S. D'ailleurs, en détermi- 
nant ainsi les éléments de la sphère, par le fait, le système défi- 
nit S aussi bien que S,. 

Dans ce qui va suivre, nous considérerons donc les coordonnées 
d'une surface S comme exprimées au moyen du système précédent, 
en fonction des éléments relatifs à une surface S 4 dont elle est la 
développée moyenne. 

Ces préliminaires établis, soient les deux systèmes de quan- 
tités .?\ y, 5, o; z r ,y', z r , p' relatifs à deux surfaces S, S', déve- 
loppées moyennes respectives de deux autres surfaces S r , S', carac- 
térisées par les fonctions £, ç. Nous nous proposons de calculer 
la forme quadratique 

dx clx' -+- dy dy ' •+- dzdz' -+- do dp ' . 

Plus généralement, nous allons calculer la forme 

( i ) rfO i db\ H- </0 2 rf0' 2 4- di) 3 db r , -+- r/0 ; dO\ 

définie comme il suit. 

Soient tf a , /; a , c a , <7 a des constantes quelconques. Déterminons 



— 3 - 
(inc fonclion --x par la relation 

( u i u.xi-j, • m", K)ô a : [uu { — i)c« i /(////, i >// a tp a o. 

D'après le mode de représenlalion d une surface, exposé loul 
à l'heure, la fonction £« peut être considérée comme déterminant 

une sphère immobile de centre <7 a , /> a , C a j el (Je rayon /V/ 7 . 
Cela posé, nous supposerons les fonctions 6 a données par des 

expressions de la forme 

e a i / <> 2 ; ^ _^_ _ ^ ii + *>'?* S \ 

où l'on donne à a les valeurs successives i, 2, 3, 4- 

Les fondions B a se déduisent des précédentes par la substitu- 
tion de la fonction £' à la fonclion ç. 

On vérifie que les fonctions 6 a , ft a sont des combinaisons 
linéaires respectives des quantités x, y, s, p dune part; x\ y\ 
z\ p' de l'autre; et, par suite, elles les renferment à titre de cas 
particuliers. 

Didéren liant ces fonctions, on trouve 

i/ <P\ à fa d*l\ _, i/ *»{ *P«^E\. 

Les différentielles dty a seront représentées par des formules 
analogues. 

Portant ces valeurs dans la forme quadratique (î) il vient 

a=4 <x—\ a =i ol—\ 



du\ 



2*-* := A 2* î+B 2*«£ +0 2>«£" 

a=i a-i a=i a— î 

4 du* du* ^d\ditij 4 di/f du\ jU\ du 

a-l ai 

I /*{ *£ ^ d»£ , Y^ a *p_a . , 



A, B, G désignant ici des fonctions des différentielles du, du { 
et des dérivées secondes et troisièmes de £ et de ç'« 

Cela posé, cherchons à déterminer les constantes d/ a , b- x . c a . d 



_ 4 _ 
de telle sorte qu'on ait identiquement 

0.='* 

OCr-l 

Cette identité entraîue les suivantes 

2fï J -2i=4!-2(&) , -2(ft 

Si donc on pose 

y *. a ^ — 2 R2 = const., 

jê,u du ôii\ 

on obtient pour expression de la forme quadratique 

o 2*-*!--T(sg-ss)**- 

11 reste à définir le système de relations entre les seize con- 
stantes # a , b a , c a , d a , qui donne 

On vérifie qu'il suffit de poser 

^«a = 2d b * ~ ^ C * = ^^ = K2 ' 
^a a /; a = J^a a r a = ^« a d a = ^^cc c a = ^^a^a = ^«a^a = o. 
Si l'on pose en outre 

les relations précédentes entraîneront les suivantes : 

«a + ^a + c| + 4 = '! rt a rt [3 "+" &a^[3 "+" c a c £ "+" d a dp = o. 

On sait par là que l'identité 

équivaut à un système de neuf relations entre seize constantes, 
analogue au système des six relations entre les neuf cosinus 
directeurs relatifs à trois droites rectangulaires. 



Le système de relations que vérifient 1rs constantes peul 
s'écrire comme il suit : 

al -h bl -4-cÎh- dl - i, 
(n a - apY- -h ( b a - b { i )*- -h (c a - c$Y -h (rf« - c/p)> - 2, 

formules qui donnent immédiatement l'interprétation du système 
de quatre sphères définies par les quatre fonctions f ^ a - 

La première formule exprime que les quatre sphères sont de 
même puissance par rapport à l'origine. La seconde exprime que 
la distance de deux points de contact d'une tangente commune à 
deux sphères est constante quel que soit le couple de sphères 
considéré. 

Les quatre sphères sont orthogonales à la sphère de rayon i, 
ayant son centre à l'origine, qui sert de représentation sphérique 
à la surface proposée S,, 

Si l'on pose 

ai = b<> = e 4 = d { — ch = d % — o, d<+ = i , 

on retrouve le système des neuf cosinus; alors Tune des sphères 
a son centre à l'origine, et les droites qui joignent ce centrée ceux 
des trois autres sphères forment un système orthogonal. 

On remarquera que le système des quatre sphères que nous 
venons de définir joue, dans les questions relatives à la développée 
moyenne, un rôle analogue à celui que remplit le système penta- 
sphérique de M. Darboux, dans les questions relatives aux lignes 
de courbure ( 4 ). 

Nous avons établi l'identité (2) dans l'hypothèse où les surfaces 
S, S 7 caractérisées par les fonctions Ç, £' avaient même représen- 
tation sphérique. Nous allons considérer cette identité comme se 
rapportant à des surfaces associées dans des conditions différentes. 

Il est évident que £, £' étant des fonctions données de M, u y ; 
cr a , b a , . . . des constantes également données, l'identité subsis- 
tera, quelle que soit la signification géométrique donnée à ces 
quantités. 

Cela posé, imaginons l'équation du plan langent à une surface, 



(') Darboux, Th. des Surfaces, t. I, p. 2i3. 



- fi - 
définie successivement par les deux relations 

( u + Mi)a?j -4- i(u\ — // \y\ \ {uu x — \)z\ -+- \ — o, 
(i — uUi)X\ -H i(i -h uuy)y { -f- ( u H- «| )-3i -+- ; = <>. 

Si l'on désigne, comme précédemment, par .r, y, s les coor- 
données de la développée moyenne, et par — ip la demi-somme 
des rayons de courbure, on vérifie que les deux relations précé- 
dentes entraînent les suivantes : 

(3) (u -h u x )x + i(ui — m)^ -h (tui x — i)z -+- i(uu x H-i)p-h $ = o, 

C4) (i— HU x )x H- f'(""l + Oj + (M + ^)2 + t(Mi-?0? + H f >- 

Posons 

a?' = *, y=— p, V= — .r, ?'=jr- 

Portant ces valeurs de x, y, s, p dans la seconde équation, on 
constate qu'elle devient identique à la première. 

Nous en tirons cette conséquence : 

Interpréter au moyen de l'équation (4) une fonction \ de u, t/ { 
interprétée d'abord au moy r en de l'équation (3), revient a rem- 
placer une relation de la forme 

F(r, y, z, p), 
par la relation 

V(—z. p, .r, —y). 

Gela posé, imaginons qu'on interprète les fonctions £', 6 a de 
u, U\ dans le premier système, et les fonctions Ç', 9' a dans le 
second; dès lors, les surfaces définies respectivement par £, Ç' 
n'auront plus même représentation sphérique. Désignons 
par c, c', c" les cosinus directeurs de la normale de la première 
surface; par C, C, C" ceux relatifs à la normale de la seconde 
surface. Le calcul montre qu'aux points correspondants, c'est- 
à-dire, pour un même système de valeurs u, ?/,, on aura les rela- 
tions 

r ■ c " 
(i = i — -, 

c 

c 

■ c 
G' = — i -. , 
c 



c 


= 


. G" 


y 


1 

c 


= 


I 
G" 




C 


= 


— i 


G 

G 7 



— 7 — 

Ces formules montrent qu'au* méridiens de l'une des surfaces 
correspondenl les parallèles de l'autre, et réciproquement. 

()n voit de plus qu'à un cercle de la représentation sphérique 

de l'une «les surfaces, parallèle au plan tics x, Z, correspond un 
cercle semblable pour la seconde. 

Nous avons ainsi défini la correspondance qui relie deux à deux 
les points des surfaces définies par les fonctions ç et z . Il dous 
reste à déterminer la correspondance des fonctions a , 0' a . Inter- 
prétées dans le même système, ces fonctions sont des combinai- 
sons linéaires identiques des quantités x, y, z, p d'une part; 
x', y\ z\ z' de l'autre, définies précédemment. Or, nous avons 
vu que, lorsqu'on passe de la première interprétation à la seconde. 
toute fonction de la forme 

F(#, 7> *> ?) 

devient 

F(— z, p, x, —y). 

On voit par là qu'une fonction 9' a ne sera autre que la combi- 
naison 9 a où l'on aura fait l'échange indiqué. 

Nous pouvons donc résumer les considérations que nous ve- 
nons de faire dans la proposition suivante : 

£, £' étant des fonctions données de u, M l5 a%, b % , . . . des 
constantes également données, l'identité (2) a lieu entre 
quatre combinaisons linéaires des quantités x,y, z, d'une 
part, et quatre combinaisons linéaires x' , y' , z\ p' de V autre; 
soit que £, £' définissent des surfaces de même représentation 
sphérique ; soit qu' elles définissent des surfaces dont les points 
se correspondent de la façon que nous avons indiquée. 

Dans le premier cas, les deux groupes de combinaisons seront 
identiques; dans le second cas, ils se déduisent l'un de l'autre, 
par l'échange 

a <xi by.1 c a> "y. '■> c a« "a> a <Xi ^x« 

Arrêtons-nous un instant à considérer la surface de coordon- 
nées 9, , 9 2 , 9 3 qui devient, à titre de cas particulier, la développée 
moyenne de la surface définie par q. 



De Ja relation 



on lire 



— 8 — 



?a = o 



(5) 2<p«rfe a = o, 

c'est-à-dire 



On a (railleurs 






^0 a =- -*- 1 - 



*?i\ 2 / i y*Y / tc p ; i 



= « . 

Cp 4 / 



On peut donc considérer les quantités 5-i, etc. comme lescosi- 
nus directeurs d'une droite. 

Si donc, par chaque point 8,, 9 2 > ^:$ de la surface nous menons 
une droite de direction définie par ces cosinus, d'après la rela- 
tion (5), cette droite sera l'élément d'une congruence normale à 
une famille de surfaces. On obtiendra les surfaces de cette famille 
en posant — i§, 4 = const. 

Ainsi donc, une surface \ étant donnée, on en déduit par 
de simples dérivations une congruence normale à une famille 
de surfaces dont Vêlement linéaire renferme six constantes 
arbitraires. 

La symétrie de la relation (5) montre qu'on obtiendra des 
résultats analogues, quelles que soient les trois fonctions 9 a 
adoptées pour coordonnées de la surface. 

Si l'on suppose 8p définie à une constante près, les coordonnées 
de la famille de surfaces seront définies par la formule 

<pft8 a — cp a 8g 
r i<x — > 

W 

où l'on donnera à [3 une des quatre valeurs i, 2, 3,4 et à aies 
trois autres valeurs. 

II. 

Méthode pour déduire de V identité (a) des couples de sur- 
faces applicables. — JNous remarquons tout d'abord que le pro- 
blème équivaut à la détermination des surfaces se correspondant 
par orthogonalité des éléments linéaires. 



— 9 — 

Soient 0, , O.j, : , : 0, , 0',, 0', 1rs coordonnées respectives des deui 
surfaces, que nous supposons se correspondre |>;ir orthogon alité 
des éléments linéaires. 

L'identité (5 ) devient alors 

a \J^ 2 ')«î Ou] ou- J 

Remarquons d'abord (ju'on ne saurait avoir 

K« = o, 

car alors, les quantités G,, 2 , ;J seraient liées par une relation 
linéaire, ce qui est contre notre hypothèse. 

On vérifie que les surfaces satisfaisant l'identité précéder] le 
sont définies par le système 

•>. 8 = cd r -H — -r- t 2 - -' — \ — °> 

' Ou<)u x ')!/> Ou Ou Ou l OudUi 

du* Ou\ "*~ ô>f/'ï dw 2 " °" 

Nous avons supprimé l'indice 4 dans la première équation. 
Cette équation s'intègre immédiatement. Désignant par U, U< 
deux fondions respectives de u et de u K ; par U', U', , U", U", leurs 
dérivées premières et secondes, on trouve 

( 6 ) £ = ? ( U ' -+- U \ ) - 2 °-l TJ - i p- U , . 

1 &U OU\ 

et la seconde équation prend la forme 

Telle est, en définitive, l'équation dont l'intégration donnera la 
solution du problème. 

Ainsi donc, si l'on considère comme coordonnées carté- 
siennes de deux surfaces N» N trois combinaisons linéaire* 

convenablement choisies des coordonnées des développées 
moyennes S, S' relatives ci deux surfaces S,, S', ainsi que des 

segments focaux de celles-ci, les surfaces \ * \] se corres- 



— 10 — 

pondent par orthogonalitè des éléments linéaires, toutes les 
fois que les surfaces S,, S\ ayant même représentation sphé- 
rique seront définies par les équations (6) et (y). 

La proposition s'applique encore au cas où la correspondance 
entre les points des surfaces S,, S', serait celle de méridiens à 
parallèles que nous avons définie plus haut. 

Nous avons vu comment il faut particulariser les constantes a%, 
6 a , . . . , si l'on veut que les fonctions 8 a , 9^ représentent les coor- 
données de la développée, et le segment focal correspondant. 

On aura alors 

8 4 = p =0 

D'où celle conclusion 

Pour que les développées moyennes S, S' relatives à deux 
surfaces S<, S\ de même représentation sphérique, se corres- 
pondent par orthogonalitè des éléments linéaires, il faut que 
l'une des deux surfaces, par exemple S, soit une surface mini- 
ma, et que la seconde surface S' soit la développée d'une sur- 
face S', vérifiant la relation 

U'" "» 1 ri'" • ~ 

ou? au\ 

Cette proposition établie, il est aisé de déterminer la signifi- 
cation géométrique de celte équation. 

Remarquons, en effet, que les lignes asymptotiques de la sur- 
face minima sont données par l'équation 

\J m du* + Xiïdu\ = 0. 

D'au ire part, les lignes de courbure de la surface S' ( sont 
définies par la relation 

,)2t' dit' 

L'équation (7) exprime donc que les lignes asymptotiques 
de la surface minima correspondent aux lignes de courbure de 
la surface dont la développée moyenne correspond à la première 



- II — 

par orthogonalité dos éléments linéaires. Nous retrouvons ainsi 
un résultai signalé par M. Cosserat (*). 

On sail que la surface la |>Ius générale, dont les dévelop 
pables de la congruence des normales découpenl sur la déve 
loppée moyenne un réseau conjugué, s'obiienl en prenant la 
surface la plus générale, correspondant par orthogonalité des 
éléments linéaires à une surface minima de même représentation 
sphérique que la proposée (-). 

Cette proposition, rapprochée de celle que nous venons 
d'énoncer, permet de conclure cpie les surfaces correspondant 
aux surfaces minima de la façon indiquée sont précisément les 
surfaces données par l'équation (7). 

Par tout ce que nous venons de dire, on voit l'importance du 
rôle géométrique que joue cette équation. 

Cherchons une expression des coordonnées des surfaces décou- 
pées suivant un réseau conjugué, par les développables de la con- 
gruence des normales, à une des surfaces dont elles sont les 
développées moyennes. 

Nous venons de voir que ces coordonnées sont définies par 
trois fonctions H' a ; les constantes a a , 6 a , ... étant convenablement 
choisies, et la fonction £ r qui y figure par ses dérivées, vérifiant 
l'équation (l). 

Soit 03 une solution quelconque de cette équation. 

On vérifie que les relations 

fît' ,)lV 

Ou 1 ' 0u\ l 

sont compatibles et définissent des solutions de l'équation véri- 
fiée par d). 
Or, on a 

2\ T àu^dui du { du*/ -a\- du\âu du àu\) 

D'où l'on tire, en vertu des relations précédentes, 

>J \ T àu x du x J ij \' du Ou j 

(') Sur les congruences de droites et sur fa théorie des surfaces {Annales 
de la Faculté de Toulouse, ififp). 
(-) DARBOUX, Th. des surfaces, t. IV. p. 91. 



— 12 — 

Il n'esl pas sans intérêt de rapprocher ces formules de celles 
que donne M. Darboux ('). 

On remarquera que les fonctions o a jouent un rôle analogue 
aux fonctions 9 a de l'éminent géomètre. De part et d'autre, nous 
avons un système de quatre solutions, reliées par une forme qua- 
dratique, relative à une même équation aux dérivées partielles, 
dont la solution générale intervient dans les expressions des coor- 
données. 

Seulement, tandis que les fonctions B a , u de M. Darboux véri- 
fient une équation de la forme 

<r> 

— - = A-0, 

Ou au i 

les fonctions <p a , to qui figurent dans nos formules vérifient 
l'équation (7). 

III. 

Solutions diverses de l'équation (7). — Celte équation est 
d'abord vérifiée par le système 

t (IV , TV \ <*¥* tt . â y* ri 

„■? = M u'- v\) - 2 ^ u + 2 £e u„ 

où m, /w' représentent des constantes quelconques. On a alors 

û?e a = rfei - o. 

En donnant à fl les trois valeurs que ne prend pas a, on aura 

2)^^=0, 

et nous obtenons ainsi des surfaces qui se correspondent par 

orlhogonalité des éléments linéaires. 

Si l'on pose 

8 a = p = o, B'a — p'= o, 

les deux surfaces sont des surfaces minima associées, surfaces 
(') Darboux, Th. des surfaces, t. IV. p. 93. 



donl 1rs propriétés concordent l>icn avec les résultat! que nous 
\ ciions (l 'établir. 
Faisons au contraire 

Il \ iendra 

2,'^$ ^' r i = ( I J dx' -\- dydy'~\- dp dp' = o. 

Los surfaces définies par les fonctions ç, ç' sont des surfaces à 
développées moyennes planes. 

La relation précédente montre qu il suffira de relever sur le 
plan des .r, z les segments — ip. — io 1 dans des directions telles 
que l'on ait pp'>o, pour obtenir des surfaces se correspondant 
par orthbgonalité des éléments linéaires. 

Supposons toujours I* donné' par la relation (6), nous trouve- 
ions une seconde solution de l'équation (7) en posant 

;'== U'—Ui. 

Celle équation détermine l'ensemble des surfaces qui admettent 
pour développée moyenne les surfaces lieux des points également 
distants d'un point fixe et de la proposée. 

Pour déduire de cetle solution des surfaces applicables, il suffit 
de chercher les développées moyennes des surfaces définies par 
les relations 

et l'on trouve 

- f 1 -^ V"'du+fî~5 uîrfai, x" = f~— V'du- ['-—"' l \du % 

1 / — : — U du — i / — L Uîrfwi, y == — 1 j U'"du/ j — — — l "du, 

I UtU'ïduu z»= Cul'" du. 

Ces deux surfaces sont des surfaces de translation, engendrées 
chacune au moyen d'une courbe plane quelconque et d'une courbe 

qui se transforme en courbe minima quand on multiplie par — sa 
dislance au plan des xy. 



- H - 



Une solution code l'équation (7) ayant été ainsi déterminée, on 
pourra en déduire d'autres (0,, (.>.,, ..., (■>„ en nombre indéfini, 
au moyen des formules précédemment établies 

— — - M n -\ U , 

d 2 u>„ .„ 

-7— r — — W/i-it,. 

Chaque solution introduira quatre nouvelles constantes arbi- 
traires. 

Dans le cas que nous venons de traiter, nous avons considéré 
une surface minima quelconque, et nous en avons déduit des 
solutions particulières de l'équation (-) correspondante. JNous 
allons maintenant considérer des surfaces minima particulières, 
qui nous permettront de déterminer l'intégrale générale de (t). 

Il nous suffît de poser 

U = au* , Ui = «1 u\, 

a, a K désignant des constantes. 

On a alors 

f. uu { -h 3 . •„ . 

% = — ( au 2 -t- ai u\). 

Nous avons alors à résoudre l'équation 

dont on obtient la solution générale en posant 

£'= F(a« -+■ a[ ?/]) -+- F^^w -+- $ t W| ), 
a. a,, p, |j, désignant ici des constantes liées parles relations 

ai«*-t- act\ = o, «i P 2 -f- «Pf = o. 

Il suffira de remplacer dans la formule (8) ta par la valeur 
de £' que nous venons de trouver pour obtenir les coordonnées 
des surfaces cherchées. 

Si l'on fait 

a — ai, 



- i:> - 
la surface minima esl celle d'Enneper. ( )n peul faire alors 

7 p = i, y.\ fJ] i. 

Si l'on suppose maintenanl que les points des deux surfaces 
définies par les (onctions £, ç' se correspondent de méridiens à 
parallèles; nous avons vu que, les fonctions #, y^ z. a restant les 
mêmes, les fonctions x\y\ z\ p' seront remplacées par les suî- 
vantes : — c\ p', ./•', — y'. 

Nous a\ uns alors 

dx'dz — dx dz dy dp' — (h ■' dz o. 

Une rotation de l'une des surfaces autour de Taxe des y nous 
permettra décrire 

dxd.r"^ dz dz"-r dy dp'— dy'dp - o. 

Il sera aisé de déduire de là des surfaces applicables, par les 
procédés précédemment indiqués. 

Entre autres surfaces, se correspondant par orlhogonalité des 
éléments, nous signalerons les développées moyennes des surfaces 
définies respectivement par les relations 



£' = u ! ( a U ' — 2 U ) — n(u\ U i 

On a pour les premières surfaces 

JZ 

el pour les secondes 



l ,, 



10 = o, 



l 



o. 



La première équation définit, comme nous l'avons dit, les sur- 
faces enveloppes d'une sphère tangente à un plan fixe, dont le 
centre décrit la développée mojenne. La seconde équation définit 
la classe des surfaces sjmétriques des premières par rapport au 
plan des x y. 

Posons par exemple 



11 vient 



(U • , 



l ! = eu] 



£ = 3 c ( u - - r - u f ) , 
£' = c UU\ ( u' 2 — itj). 



- 16 — 

Les deux surfaces qui se correspondent par orthogonalité des 
éléments sont alors définies par des relations de la forme 

1 1 

a, p, y représentant des constantes. 

Le paraboloïde hyperbolique défini par la première surface esl 
la développée moyenne de la cyclide de Dupin définie par la 
fonction ç. 

IV. 

Cas où les deux fondions <*, £' sont identiques. — Jusqu'ici 
nous avons considéré l'idenlilé 

V r/0 x rf6'« = — ( 5-| y -V + A -'- \ ) rf« rfiii, 
J*à ii \du 2 0u\ ou- ouï) 

a i 

comme relative à deux surfaces distinctes. Supposons maintenant 
que les deux surfaces, et par suite les deux fonctions ç, ç qui 
les définissent, viennent à se confondre. 
L'identité précédente prend alors la forme 



(9) £**& = ** 



ou 1 dû\ 



du du i . 



Si l'on désigne par o la demi-somme des rayons de courbure 
que nous avons désignée précédemment par — /p; et par x, v, 
z les coordonnées de la développée moyenne, il vient 

(io) ch 1 = dx 1 -h ely 1 -+- dz* = do* 4- — l --— -, du du,. 

J ' Ou 1 du\ 

Nous obtenons ainsi une forme de l'élément linéaire relatif à 
une surface quelconque, qui permet d'établir plusieurs relations 
entre les éléments géométriques d'une surface. 

Désignons par R, R' les rayons de courbure de la surface défi- 
nie par la fonction H; par c, c', c" les cosinus directeurs de la 
normale à cette surface; par d? l'élément linéaire de la sphère de 
rayon i . 



I 

Nous avons ici 



r + ir 

p = 



■}. 



â*j d* \ / R — jV - ' 
du- du\ \ i -+- uu\) 

f\ du. du | 
(l H- MM]) 2 

On a donc 



Pour 

lî -i- IV = o, 

équation des surfaces minima, on aura 

ds* =■ k 8 rf<r*. 
Pour 

R- R'=o, 

équation des surfaces réglées imaginaires de Monge ('), on aura 

ds* ±= d\\-. 

On retrouve ainsi des résultats connus. 

Si l'on désigne par ds iy ds 2 les éléments linéaires relatifs aux 
deux nappes de la surface des centres, on trouve encore la relation 

ids^ = ds\ -h ds\ -h idR dR'. 

Revenons à la relation (9) et désignons par y l'angle que fait 
le segment de direction cp,, <p 2 , <p 3 passant par le point de coor- 
données 9,, 8 2 ? ^3 avec l'élément linéaire en ce point. 

Désignant par ds cet élément linéaire, on trouve 

d{ — «6;,)= ds cosy. 

D'où 

ofe 2 sin 2 7 = -r— —\ du du { . 
Ou 1 ôu\ 

Or, ds sin y représente la projection de l'élément linéaire ds 
sur une quelconque des surfaces normales au segment précédem- 
ment défini. On voit donc que si Ton fait varier les constantes <7 7 . 



( l ) Mongk, Application de r Analyse à la Géométrie, rédigée par Liouville, 
5* édition. 

xxxi. a 



- 18 - 

6* a , c a , d a la surface de coordonnées 9,, 9 2 , 9 3 se modifiera, la pro- 
jection de son élément linéaire demeurant invariable. 

Supposons maintenant <jue 9,, 9 2 , 9 3 représentent les coordon- 
nées de la développée moyenne et — /9 4 le segment focal corres- 
pondant,, nous pourrons énoncer la proposition suivante : 

La projection de V élément linéaire de la développée moyenne 
sur la surface proposée est la même aux points correspondants 
pour toutes les surfaces définies par l'équation aux dérivées 
partielles 

177-i 77771 = *(""i); 



au- du 



F désigne ici une fonction donnée quelconque de u et de w,. 

Si le segment se réduit à o comme cas particulier, on retrouve 
les surfaces minima associées. Pour ces surfaces, les projections 
des éléments linéaires se confondent avec ces éléments et l'on a 
par suite des surfaces applicables. 

Nous venons de voir que l'on a 



dp = ris co< 



Y- 



D'autre part, la relation (9) montre que pour les courbes de 
paramètres u et U\ on a 

ds* = rfp 2 . 

D'où 

cosy = 1. 

Celle formule semblerait devoir autoriser à conclure que l'on a 

7 = 0. 

Mais alors, il faudrait admettre que les normales à une surface 
quelconque sont tangentes à sa développée moyenne, proposition 
évidemment fausse. 

Nous devons donc chercher une explication de la valeur trouvée 
pour cos v, dans l'hypothèse de l'existence de droites isotropes, 
perpendiculaires aux éléments linéaires de paramètres u 9 u t rela- 
tifs à la développée moyenne et situées dans un même plan avec 
ces éléments et la normale à la proposée. 



19 - 



Soumettant celle hypollièse au calcul, nous trouvons la con- 

gruence définie par le système 

X — 0, ï -0, 



çpi dB , rf8j cp, (/s- <p v f/0; rfôj h Çjrf* J 



Z — 0, /( X — 0,)«-h ( Y-0,) 2 -+- t Z — 3 j 2 . 



<p v '/0>, tfô 3 - ; cp a r/.v-' A>2 1 ,,2 £ 



'®'\ du* Ou] 



' — s du du 



ds désigne ici un élément linéaire donné quelconque de la déve- 
loppée moyenne qui a pour coordonnées Q ( , 2 , 3 . 

On voit que pour du = o ou du { = o les formules précédentes 
définissent une congruence isotrope. Alors les coordonnées de 
ces droites vérifient le système 

(x - e*) 2 -*- (Y- e f )' + (z - o 3 ) 2 = o, 

( X - 0, ) di) { h- (Y - 2 ) d0 2 h- (Z — ô s ) d% 3 = o, 

les différentielles ^/9, , 6/9 2 , d§ 3 prenant successivement les valeurs 
correspondant aux courbes de paramètres u et u { . 

Nous obtenons ainsi deux systèmes de droites, caractéristiques 
respectives des surfaces réglées, enveloppes du cône isotrope, dont 
le sommet décrit les courbes de paramètres u et U\. 

Ces considérations nous permettent de formuler la proposition 
suivante : 

Soit M un point quelconque de la développée moyenne S rela- 
tive à une suif ace donnée S,. Considérons sur S les deux 
courbes correspondant aux génératrices rectilignes de la 
représentation sphérique de S, et passant par le point M/ les 
deux plans tangents au cône isotrope de sommet M qui enve- 
loppent respectivement ces deux courbes donneront par leur 
intersection la normale à S 4 . 

Si S est une surface de translation, la surface S, sera définie 
par l'équation ( ' ) 



<)ll-()ll\ 



(') Voir thèse <lc doctorat : Sur une classe de surfaces, 1902, 



20 - 



Nous allons laisser de côté l'élude de l'identité (9), considérée 
dans sa forme la plus générale, et nous nous bornerons au cas 
où Ç est définie par l'équation 



dûï du} 



|=U'Ui, 



U', U'. désignant les dérivées premières de deux fonctions respec- 
tives de u et de U\ . 

La relation (10) prend alors la forme 

identité qu'on peut encore écrire 



ds* = da* 



K^M'CVW 



Posons 



U-t-U. 



x 



, u, — U 
y = l — ^ — > 



= 0. 



Il viendra 



ds* = dx*- -{- dyi -4- dz*- = dx'*- + dy'* + dz'*-, 

et les surfaces de coordonnées x, y, z\ x\ y', z' seront appli 
cables. 

Ces surfaces seront donc données par le système 



i_r, lf) à-n ^ ., jll 

•>L dudui du du\j 

^L dudiii Ou àiii *2|_ 



, U-+-U, 

■ r = -^' 

, . Ui-U 

r =1 ; 



d*É 



U -T 2 - «1 



duàui " du l dut 
On prendra pour \ une solution quelconque de l'équation 

(.2) 



^11 *i = iru' 

du* du\ ' l * 



Le problème est donc ramené à la résolution de celte 
équation. 



-21 - 

Les surfaces définies par celte équation jouissent d'une pro- 

p r i é té ca rac téris t i q u c . 

De la relation 

,/,-> dp* + dUdU u 

on tire 

e&'siiity = dUdUi. 

Cette formule montre que V équation précédante définit les 
surfaces sur lesquelles les triangles infinitésimaux, projections 
des triangles infinitésimaux formés avec Vêlement linéaire de 
la développée moyenne, peuvent être déplacés sans défor- 
mation* 

Ces formules jouissent donc d'une propriété analogue à celle 
des surfaces développables. 

On peut encore chercher les relations qui existent enlre les 
surfaces de coordonnées x, y, z d'une part, x\ y', z' de l'autre 

Nous venons de voir que ces surfaces sont applicables. 

De plus, la relation z f = p montre que la distance des premières 
à la surface définie par Ç est égale à la distance des secondes au 
plan des x y. 

Enfin, la relation ds- — do- = dx'- -h dy' 2 = dV d\] K montre 
que la projection de l'élément linéaire de la première sur la sur 
face définie par Ç, est égale à la projection de l'élément Linéaire 
sur le plan des xy. 

Considérons d'abord le cas particulier où la solution de l'équa- 
tion (12) est de la forme 

£ = 2FF 1 , 

F, F, désignant des fonctions respectives de u et de //,. 

Étant donné le but que nous poursuivons, nous pouvons sans 
inconvénient nous donner a priori les fonctions F, F, et déter- 
miner ensuite U, U| par la condition que l'équation aux dérivées 
partielles proposée admette cette valeur de Ç. 11 suffira évidem- 
ment de poser 

U'= 2 F" F, 

\}\ = i¥\¥ { . 
Le couple de surfaces applicables est alors donné par le 



90 



système 

,' = F;(«F-F)+F(«,r i -F 1 ) ) 

y = iF\ (F - nF') + ïF'(», F', - F,), 
«=s(ii,Fi — F,)(uF'-F)-F'F' i; 

ar'= f FF" du + ÇF x F'[du u 

z! = (wiFi — Fi)(wF'— F) + FT,. 

La formule 

{«aFF, 

donne la solution générale de l'équation aux dérivées partielles 



dudui du dui 



— p^— x*—y i 



x, y, z y p ayant la signification donnée précédemment. On en 
conclut une propriété caractéristique des surfaces trouvées. 

Les sur/aces de coordonnées x, y, z sont les développées 
moyennes des surfaces enveloppes de sphères passant par un 
point fixe dont le centre décrit cette développée. 

Les coordonnées de ces surfaces vérifient les relations 

F' , . % «F'-F 



z = - 
i 



z = 



f; , . , «if;-f, . 

— S =7-r (x — iy) H 4?ï (#-h */). 

(F! — MiF'i) v J iY\ J ' 



Ces formules montrent que les lignes de paramètres u : u t son? 

des courbes planes dont les plans passent par l'origine. 

Les coordonnées des deux surfaces d'un couple sont liées par 

la relation 

z 'i = a-s + j*_|_ z *. 

Des formules qui donnent x\ y\ combinées avec l'équation 
qu'on obtient en égalant les deux valeurs de z données précé- 
demment on déduit que les coordonnées x, y; x', y' sont liées 
par une relation de la forme 

•£=?(*'>/>• 



13 

Des deux relations crue nous venons d'établir entre les deux 
surfaces du couple, on peut déduire la conclusion suivante : 

Soi/ donne, sur la première surface, un réseau déterminé 

par les intersections; de deux familles de /dans. 1rs premiers 
étant parallèles au plan des xy, les seconds passant par rare 
des z; si l'on fait correspondre sur les deux surfaces les lignes 
de même longueur, à ce réseau de la première correspondra 
sur la seconde un réseau déterminé par les intersections (F une 
famille de sphères concentriques, et d'une famille de cylindres 
de génératrices rectilignes parallèles à l'axe des z. 

Prenons par exemple 

F = fâ. ""', 

F 1= = sjau"^. 
Il vient 

x -4- iy = 2 cuii\ ( m — i.) u m u™ 1 . 

x — iy = o.am ( nii — î ) u m ~ x u'" ' , 

z = a it m ~ l u'" 1 " 1 \(m — i) ( m\ — i ) uu\ — rnm x J ; 

niim — i ) „ 

x -h iy = oa — : . 7 u* m ~ l . 

J 2 m — i 

. , m, (m, — i) , , 

2mj — i 

z' = au" 1 - 1 u" ?l ~ l [( m — i) (/?i| — \)iiu x -{- mm^]. 

Dans le cas particulier où les constantes m. m { satisfont à la 

condition 

2 mm i — m — m.\ -+- 1 = o, 

les coordonnées des deux surfaces satisfont aux relations 

Z 'i— , r 2 + ^2 -|-^2 < 

D'où Ton tire 



z*- = .r'2-J- v'2+ z' 2 . 



x ï _+. yî _|_ x 'ï + 3 2 = 0> 

Pour m = /W| on a des surfaces de révolution. 

Parmi les couples de surfaces applicables que définissent les 
équations (i i), il en est qui se composent de surfaces identiques. 
Le calcul montre que ces surfaces sont celles pour lesquelles 
on a une des deux relations 

0-1-3 = 0, — Z = O. 



u 



Nous connaissons la signification géométrique de ces surfaces. 
Elles sont définies en coordonnées cartésiennes par l'équation 



d*z d*-z _ 



\ 



Interprétation de l'équation rt= const. — Nous allons main- 
tenant considérer l'équation (12) dans le cas où l'on a 

U'U', =— K 2 = const.. 

et écrivant cette relation avec la notation des coordonnées carté- 
siennes nous aurons 

(i3) r*-+-K* = o. 

Décrivant le premier membre par rapport à y, il vient 

dr àt 

() y ~^ °y 

D'où, en tenant compte de l'équation proposée 

„. dt , dr 

ày ày 

Celte équation peut s'écrire 

(4) \ày) d^~~ K ^-?' 

et sous cette forme on reconnaît une équation de Monge et 
d'Ampère. 

En appliquant la méthode des caractéristiques, on trouvera 
une combinaison intégrable pour chaque svstème. D'où l'on 
déduit les deux relations 

Ôq dp 

Oy ().r 

Si nous considérons maintenant </, x. y comme les coordon- 
nées d'une surface, les relations précédentes nous montrent que 



— ^>:; — 



nous obtiendrons des surfaces développantes. L'intégration des 
équations trouvées se fera donc en écrivant les formules <|«ii défi- 
nissent de pareilles surfaces. 

Bornons-nous à la première équation. Il vient 

(/ — a.r -\- l\t' K y -h a, 

( ' L \ 

o — a \x -t- e* y J -+- i . 

La détermination de z s'achèvera par une quadrature. 

Si nous procédons par rapport à x comme nous avons procédé 
par rapport à y, nous obtiendrons deux relations de l'équation 
proposée renfermant chacune une fonction arbitraire. 

Revenant aux notations primitives nous voyons que \ sera 

défini par le système 

à\ , - 

~-L. z= au -h \ie w i(\ H- a, 

OU j 

o == a' \ u. -h e* u ! / — i — i . 

L'équation (i3) se prête à quelques transformations intéres- 
santes que nous allons brièvement exposer. 
Pour plus d'ordre dans les calculs, posons 

q — z u x — x u y — y%- 

L'équation (i/j) devient 

équation de Monge et d'Ampère dont nous venons de déterminer 
deux solutions particulières. 

Appliquons à celte équation la transformation de Legendrc. 

JNous remarquerons toutefois qu'il faudra exclure de cette trans- 
formation les solutions trouvées précédemment comme vérifiant 

la relation 

s? — /•,*« = o. 



On 



a ici 



et l'on trouve 



Z\ = Z 2 — />2-2*2 ~ r /2}'-2 
X { =/>- 2 , 
Jl= <I-2, 

K 2 /- 2 — y\ i-i — o, 



— 26 -- 

nouvelle équation de Monge et d'Ampère qui ofTre elle aussi une 
combinaison intégrable dans chaque système, combinaisons qui 
nous ramènent aux solutions précédentes. 
Posons maintenant 

x 3 = .r 2 -+- K log"- r , 

G désignant une constante arbitraire. 
On obtient l'équation de Laplace 

{Ks 3 -f-/> 3 — q 3 ~o. 
Posons enfin 



■*•«— r* 



et l'on obtient l'équation de Laplace à invariants égaux 

i6K 2 ^4.-i- z u = o. 

Nous avons pris pour point de départ des résultats exposés en 
dernier lieu la forme quadratique définie par la relation (9). 
Toutefois, remarquons-le en terminant, le rôle principal de cette 
formule n'est pas dans la détermination de surfaces applicables. 
Elle intervient plus naturellement dans la recherche d'un pro- 
blème plus général qu'on peut formuler comme il suit : 

Déterminer deux sur/aces variables S, S, telles que les 
dimensions des projections orthogonales sur S, des figures 
infinitésimales tracées sur S soient indépendantes de la varia- 
tion des surfaces. 

Si l'on impose aux deux surfaces la condition de devenir iden- 
tiques, on retrouve le problème des surfaces applicables. 

Le problème étant ainsi posé, on voit tout de suite que la 
formule (9) en donne des solutions. 

Si, d'abord, nous nous donnons une surface quelconque S, défi- 
nie par la fonction Ç, les projections sur cette surface fixe des 
figures infinitésimales, tracées sur une surface S de coordon- 
nées 9,, Q 2 , Q3 variant par conséquent avec les constantes <7 a , 6 a , 
c a , d a seront indépendantes de la variation de cette surface. Nous 
obtenons ainsi une première solution du problème. 



- 27 - 
Nous pouvons encore nous donner une équation ;m\ dérivées 

partielles <lr la forme 

3* 3S|- P < •■"»'■ 

F désignant une fonction arbitrairement choisie. A la solution 
générale <le celle équation correspondent deux surfaces S, S, 
variant loutcs les deux avec les deux fonctions arbitraires que 
renferme eelte solution . Or, encore ici, les projections considérées, 
dépendant uniquement de la nature de la fonction F, sont indé- 
pendantes de la variation des fonctions arbitraires qui entrent 
dans la solution, et par suite de la nature des surfaces S, S t . 



SUR LES FONCTIONS M0N0DR0MES A POINT SINGULIER ESSENTIEL ISOLÉ 

(troisième note ) ; 

Par M. Edmond Maillet. 

I. 

Soit F(z) une fonction monodrome dans une certaine région R 
comprenant tous les points du plan à l'extérieur d'un cercle T 
ayant pour centre l'origine, et qui n'a dans R qu'un point cri- 
tique A à l'oo ('). F est développable dansR d'après la formule de 
Laurent {fi g- i) 



F(z) =cp (*)H-cp (Lj, 



CpoO) =A +A 1 2+...+ À/5 / +..., 

<pO0 = B ir -+-...+ B/jk 7 -}-.... 

La série Q (z) a un rayon de convergence infini : c'est donc 
une fonction entière; clans la région R, cp I - ) reste fini et même 

tend vers o avec -• C'est la croissance de <?o(z) aux environs de 
z = oo qui détermine la croissance de F (5) pour z = oc. 



( ' ) Le changement de variable z = «,-f- a nous ramènera au cas où l'origine 

est en dehors de la courbe T. Le changement de variables z = - 7 au cas d'une 

fonction monodrome dans une région limitée comprenant un point critique 
unique et essentiel. 



— 28 — 

Il sera donc naturel de classer la croissance de F(z) comme 
celle de <po(^) pour z = oo. Si <po(-s) est d'ordre fini o, on dira 
que F(^) est d'ordre fini p aux environs de z = oo, et l'on aura 

\V(z)\<c>^ 

(e étant donné, fini et positif) si r= | z I est suffisamment grand. 

Fie. i. 




Si ®o(z) est d'ordre infini, on dira que F(s) est d'ordre 
infini; toute classification des ordres infinis (') des fonctions 
entières s' appliquera aux fonctions F(s). 

Nous dirons que F(z) est une fonction quasi-entière dans R 
pour z = oc. 

En appliquant à F (g) des raisonnements semblables à ceux de 
la théorie des fonctions entières et quasi-entières ( 2 ), nous lui 
étendrons : i° le théorème de Weierslrass sur la représentation 
des fonctions entières par un produit infini; 2° ceux de M Bore] 
sur les fonctions entières d'ordre fini à croissance régulière; 
3° celui de Laguerre-Chio sur les racines de la dérivée d'une 
fonction entière réelle, d'ordre <C 2, et dont tontes les racines 
sont réelles; 4° enfin les théorèmes de MM. Picard et Borel sur 
la fréquence des racines des fondions entières et méromorphes. 

Nous retrouverons ainsi une démonstration du théorème bien 
connu de M. Picard sur les racines des équations/^) = a (a cons- 



(') Voir, par exemple, Boltroux, Comptes rendus, 3 mars 1902 et notre Note 
des Comptes rendus, 9 février 1903. 

( 2 ) Voir, par exemple, Bohel, Leçons sur les fonctions entières. Paris, 1900. 
et notre Mémoire du Journal de Mathématiques, 1902, p. 329. Les fonctions étu- 
diées ici comprennent évidemment les fonctions quasi-entières proprement 
dites. La lecture de notre Note, qui sera suivie par d'autres, exige seulement la 
connaissance des deux travaux ci-dessus et de notre Note des Annales de la 
Faculté des Sciences de Toulouse, 1902, page 456. 



2J) 

tante quelconque) aux environs d'un poinl singulier essentiel. 
Incidemment, nous établirons ce résultat : 

Etant donné un contour C quelconque, soit 

/ ( c i A () • • A | ; ... , \ / z' ... 
une fonction entière, 

j)iz) = a' -h \\z -H...-f.A;«/, 

on peut toujours prendre X assez grand pour qu'à toute racine de 
//(z) = o dans G (X^ /) en corresponde dans G poury(3) une el 
une seule qui en diffère aussi peu qu'on veut. 

II. 

On sait que F(s) n'a dans R que des zéros isolés. Soient dans B 

«1, «o? • • • : 

les zéros de F(s) rangés par ordre de modules croissants. On peut 
toujours former un produit canonique de facteurs primaires 



=n 



[ €">' 



.lUs) 



convergent el avant les mêmes zéros que F(z) dans R : P (z) esl 
une fonction entière. 
Considérons la fonction 

Elle n'a plus de zéros dans la région R où elle est monodrome; 
la fonction log<I> n'a plus dès lors dans R que le point cri- 
tique z = 30. Soient 

log<ï> = logo -hi(ty -+- 2kit) i 

et deux points B et G de la région R. Etudions la variation de 
log<ï> quand on suit dans le plan des Z un chemin quelconque allant 
de B en G et restant dans la région {Jïg. 2). Ce chemin équivaut 
à un chemin déterminé allant de B en C (une droite dans Je cas 



- 30 - 



de la figure) et à un certain nombre de lacets (*) issus de B et 
entourant T. Quand on suit un de ces lacets en partant de B avec 
la valeur logp -\-iù de log<î>, et revenant en B, log<I> prend la nou- 
velle valeur logp -f- i(tp + 2X71). Par suite log4> — À log\s conserve 



Fig. 2. 




la même valeur : c'est une fonction monodrome dans la région B $ 
d'après le théorème de Laurent 

F, (z) étant de la même forme que V(z) dans R, d'où 

<ï> = z^e T ^ 3 ) 



et 



On peut remplacer évidemment z^P(z) par Q(s), étant entendu 
que Q(z) pourra avoir un pôle pour z = o, et 



F(z) = Q(z)e v > i '-l 



D'où ce théorème 



Théorème l. — Soit F(z) une fonction monodrome dans une 
légion B formée de tous les points du plan des z extérieurs 
à un cercle T ayant pour centre l'origine, F (5) n'ayant 
dans la région B qu'un point critique à l'cc. On a dans R 

*(*) = Q(*) e*^>= ? (3) + <?„(*), 
F, (s) étant de même forme que F(<s), Q(s) tf«e fonction de 

(') Nous appelons ici /ace£ un contour allant de B à un point d'un cercle de 
rayon IV très grand, comprenant ce cercle décrit dans le sens de la flèche, puis 
revenant en B. 



- 31 - 
la forme 

y./ t y., 

Qi(s) et r v () ( z ) des fonctions entières, r f ( - ) une fonction mono* 

drome qui reste finie d(tns la région \\. 

Nous dirons <juc F (z) est quasi-entière dans i\ pour z =oo( l ). 

Soil encore 

F l (z) = ty(^J +<|»o(*) 

dans R, ^ov.- 2 ) étant une fonction entière, et <J> ( - j restant fini 
dans la région 

Im s) = Q(«)«4».w«Kï) = ~Q 2 (*)e*w. 
Corollaire 1 ( 2 ). — F(^) es£ de la forme 

où k est entier positif ou nul, Qo(^) une fonction entière, h I- ) 
une fonction monodrome et finie dans la région R. 

Si F(^) est d'ordre fini, il en est de même de Q2(£) et récipro- 
quement. 

Corollaire II. — Si F(^) est d'ordre fini p, il en est de 
même de Q 2 (-z), et réciproquement. F, Q 2 , co sont simultané- 
ment d'ordre fini p ou d'ordre infini. 

L'ordre étant fini, la croissance deF(z) pour z = cc est régu- 
lière en même temps que celle de Q 2 et s . 

Corollaire III. — La condition nécessaire et suffisante pour 
</ue la croissance de F(z) supposé d'ordre fini pour z = oc 50// 



(') Les mêmes raisonnements s'appliquent au cas où oc est un pôle pour F(z)l 
Q,(z) est alors un polynôme ainsi que o (z). \î(z) n'a qu'un nombre limité de 
racines ainsi que sa dérivée. 

( 2 ) Si F(z) est réel pour z réel, Q(~) l'est; on peut prendre pour I 

^o( z )i ty ( - )» des valeurs réelles. Il en est de même pour » ( - j et ç (-). 



— 32 - 

régulière pour z = ao est que la distribution des zéros soit régu- 
lière aux environs de ce point. 

Les trois fonctions F, Qo, <p sont simultanément à crois- 
sance régulière ou ir régulière pour z = ce. 

On conçoit maintenanl que toutes les égalités rencontrées dans 
la théorie des fonction entières et donl on a démontré, avec ou sans 
restriction, la nécessité ou l'impossibilité en faisant intervenir seu- 
lement soit les ordres de grandeur des fonctions entières et de 
leurs dérivées pour z = ce, soit plus généralement les propriétés 
qui sont communes aux fonctions entières et aux fonctions mo- 
nodromes quasi-entières aux environs de z = ce s'étendront pro- 
bablement avec les mêmes caractères à ces dernières. Ceci suffi I 
à faire pressentir toute une catégorie de propriétés communes. 

III. 

Théorème II. — Soit F(s) une fonction quasi-entière réelle 
dans \\ pour s=cc. Supposons que F(s) soit d'ordre < i et 
n'ait dans R qu'un nombre limité de racines imaginaires. 

Si F (s) a une infinité de racines réelles, il en est de même 
de sa dérivée, et, dès que\z\ dépasse une limite déterminée, 
entre deux racines de F (s), il y a une et une seule racine 
réelle de F'(^) : de plus F'(^) n'a qu'un nombre limité de ra- 
cines imaginaires. 

Si la fonction F(z) n'a qu'un nombre limité de racines, il en 
est de même de sa dérivée. 

Soit 

F (s) = XF t (*) = zPP(z)Xe¥ z 

= zV-e kz VL[\ — — ) e«~» e¥ z \ 



Cln) 

X étant un polynôme de degré pair qui a pour racines loules les 
racines imaginaires de F(s), en nombre limité, a un entier, a n une 
racine réelle de F(s), F, (5), <|>(s) des fonctions réelles, la der- 
nière limitée pour (z) = 00, k un nombre réel. On a 



F'(s) X' fi 



Z + k 



f(->*2fe 



b\z) X z Ad\a n z- a 



- 3.'{ — 

i" Supposons que l : (z) n'ait qu'un nombre limité de racines. 
Multiplions les deux membres par un même fadeur \ s II ( z — a n }. 
Le second membre devient 

Pif*) xi(«). 
où I*,! s) est un polynôme, Yi(-s) une fonction de la forme 

A . A . 

— î- H- — f H-.... 



Les racines de F'(s) annulent !*, + /,. On peut toujours 
trouver L assez grand pour que, dès que | z | > L, | y , (s) | soi ( 
aussi petit qu'on veut et | P, (z) | aussi grand qu'on veut. Les mo- 
dules des racines de F' Cz) sont limités, et F'(s) n'a dans R qu'un 
nombre limité de racines. 

Quand F(s) n'a dans R qu'un nombre limité de racines, 
il en est de même de F' (s). 

7. Supposons que F(s) ait un nombre infini de racines. On a 

Or 

. ,, -V, aA' s 

L (J)= h «Al + î^. .... 



Dès que |.s|>L, | <J> ff (<5) | est très petit par rapport à . % • vSi p, 

est positif, les mêmes raisonnements que pour les fonctions en- 
tières sont applicables ; mais a peut être négatif; nous allons donc 
raisonner sans nous préoccuper du signe de u. 

D'abord, pour les très grandes valeurs absolues de z réel, 
d /F'(2)\ , ... 

Si(F7^] estne S atlf ' 

En effet, X"X — X' 2 est alors négatif : il suffira donc de mon- 
trer que 



■2 



{z — a lt y- 



est négatif et croît indéfiniment en valeur absolue avec r. 
xxxi. 3 



— M — 

Or, ou bien il y a à la fois une infinité de racines positives et 
négatives, ou bien le nombre des racines positives, par exemple, 
est limité. 

S'il y a une infinité de racines positives, on a 

>I 



dès que z >> a, n a n étant une quelconque de ces racines. Dès que 
z dépasse une certaine limite positive assez grande, y.- — 

est aussi grand qu'on veut. 

Un même raisonnement est applicable pour les valeurs négatives 

de z y s'il v a une infinité de racines négatives. 

^ i i • i- » i r • d /F'(z)\ 

Quand ces deux circonstances ont lieu a la lois, -=- =- — '- est 
"< dz \ V (z)J 

négatif pour z réel, sauf peut-être dans un intervalle fini de 

l'axe Ox. 

Supposons maintenant, par exemple, que le nombre des racines 

positives seul soit limité. Pour de grandes valeurs positives de z, 

il y a k racines, positives et négatives, de valeurs absolues -< s, et 

pour lesquelles 



i 



(z-a n f ' 4- 2 V 

•i5 -^ à /F'(*)\ 

k étant aussi grand qu on veut. Dans ce cas encore -r- ( ^- — - I est 

négatif pour z réel, sauf peut-être dans un intervalle fini de 
Taxe Ox. 

Nous en concluons d'abord ce résultat : 

Dès que \z\ dépasse une certaine limite finie, les racines 
réelles de F'( 3 ) séparent celles de F (z) et réciproquement ; 
entre deux racines réelles de F(z) il y en a une et une seule 
de F'O). 

Nous allons maintenant montrer que, si F (z) n'a qu'un nombre 
limité de racines imaginaires, il en est de même de F'(z). 

Soit encore z = X -\-yi une pareille racine de module très 
grand ; on a 

F'(z) _ X' F\(z) 
V(z) " X F,(«) 

ix( x-yi ) i//,n . V/ ' (x — a n )—yi \ , X' 



ii n étant réel 



- 35 



*.<*)- t' + ^h 



<Kt(*)=- 






où B| esl fini. Nous supposons A, réel. Le coefficient «le i <>si <l<* 
la forme 



, a .7 



>./;, 



-'2 



(*-«„) 2 4-J 2 



-f- )' A - -h y A , . 



vA, provenant de -4 et A, étant au plus du même ordre une — -, 

X' 

)A> d< 



\ 



Considérons d'abord y ( — ^ -7 , 

J \ \z | 2 Ad(x — a n ) 1 

y ^ + Z » 



7 



0- 



I SOll 



Nous voulons démontrer que, quand #- -|- j' 2 est assez grand, 
T est toujours négatif et croît indéfiniment avec x- + y- . Le co( f 
fîcient dey dans A 2 étant aussi négatif, comme nous le verrons 

tout à l'heure, et les autres coefficients de y étant d'ordre < -: * 

il en résultera que le coeffic'ent de y ne pourra s'annuler, et que 
y doil être nul, par suite la racine correspondante réelle. 
Or on a, pour x >> o, 

tant que oS.a n ^2x. Si le nombre des racines réelles positives esl 
illimité, et si l'on ne prend pas x limité et ^ç, Z^7~T~ ~T* 

JmmM y X Cl a i " Y 

est aussi grand qu'on veut pour les valeurs positives de x. 
De même pour x négatif et = — x t , on aura 



,2> 



*i+j 2 ^ 



(a?, -h a» )«-+->-« 



si 



ou 



\x\> (x { 

> r \ 1 (J II; 



\ 



Un I* 



- 36 — 



x^ + y 



cl > -. £ 7, sera encore aussi grand qu'on veut si l'on ne 

prend pas x K < £. 

Le changement de # en — # permettrait de raisonner de même 
dans le cas d'un nombre illimité de racines négatives. 

Prenons alors xS.\ : y devra être aussi grand qu'on veut en va- 
leur absolue. Dès que | a n | > ' l \ x |> 

o < ««— ia n x < ia\ 

cl 



( x — a, 4 ) 2 -+- y' 1 x- -f- jk 2 — '2 «« a? -h «,* a\ — ja n x 

,H .T 2 -f-^ 2 

i i 

I 



^-+-^ ! 



pourvu que 



ia, 
i -4- 



OU 



a? 2 -f- jk 2 
.r 2 +- <r 2 >2a 2 . 



Si j' est grand, il y autant de valeurs qu'on veut de a n satisfai- 
sant à cette condition et telles que | a„ | >> 2ç. Donc encore 



T = 



-2 



(a?_a„)2-f-^ 



a une valeur absolue aussi grande qu'on veut, et T est négatif. 

N nous reste à vérifier que A 2 est négatif. 

Soient \ + uu, \ — uu, deux racines imaginaires conjuguées 
de X. On a 

*' _y/ i + j 

\ j^ \z — ( X -f- \ti) z — (X — |ju) 

_ V / ^ — X — t(,x— \l) (x — X ) — t(r -+- fx) \ 

"\£\,(# — X) 2 -(.x-h0 2 " (* — X)»+Or + i*)v 

"2-^ D ' 

eji posant 

p = [, .,. X)«h- Cy - jx) J ] [(* - X) 2 + (7 + |0«], 

\,= (*- X)[(^-X) 2 -+-( >r -f-HL) 2 ]+(.r- X) [(* - X) 2 + ( r - p )*], 



- 37 
ou 



IV, = m | v — X)*-f-(^— [i)(y -h [i) ? + (y ■+■ !>.)0'~ I*) 5 
= ar[(a- — X)2-h 7 2_ ;j .-|. 

\' 
La partie imaginaire de . est alors de la forme 



•V fa? — aV 



i) 



où D est essentiellement positif. 

Pour les valeurs dey supérieures aux modules des racines de \. 

V' 

le coefficient de y i dans — est encore négatif. Pour les valeurs 

dey au plus égales au module de la plus grande racine, | .3 | étant 
très grand, \x\ est très grand et (x — "k) 2 -\-y- — {j. 2 est positif : 

X' 

le coefficient de yi dans -^ est encore de même signe. 

Nous pouvons donc conclure : 

Si F (3) a une infinité de racines réelles et un nombre limité 
de racines imaginaires, F'(s) n'a qu'un nombre limité de ra- 
cines imaginaires. 

Le théorème est ainsi complètement démontré. 

Nous allons maintenant nous occuper des extensions aux fonc- 
tions considérées ici de certains théorèmes de MM. Picard, Hada- 
mard et Borel sur la densité des racines. 

Théohème III. — Soient F(z) une fonction quasi-entière 
dans R pour z = oo, d'ordre p fini, r f(z) et 'f t (z) des fonctions 
quelconques de même nature, mais d'ordre <C p : parmi V en- 
semble des fonctions 

q>(*)F(«) -?,(*), 

où cp et <o t prennent toutes les valeurs possibles^ il ne peut y en 
avoir deux dont l'ordre réel est inférieur à o, 

que si s^i — -lo, == o. 



- 38 - 
Supposons, en effet, 

'X>F — ?!= ^.P,e«i +S : (»), 

<|/F — ^ 1 = ^P î cQ»-»-S, j 

avec cp'|, — ^cp, ^ o; P 4 , P 2 étant des produits de facteurs pri- 
maires d'ordre < p, Q,, Q 2 des polynômes de degré p, S 4 , S 2 des 
fonctions monodromes et qui restent finies dansR, ainsi que leurs 
dérivées. On a 

ou 

M, M, L étant des fonctions quasi-entières dans R pour z = oo, et 
d'ordre <C p, avec L^ o. 

Prenant les dérivées des deux membres, on a 

(M' -h MQ', ) eQ«+ (N'-f- NQ' 2 ) e«« = L', 

M' et N' a^ant leurs ordres <C p. 
Si le déterminant 

A = MN'-NM'+MN(Q' 2 — Q\) 

est ^ o, on en tire, par exemple, 

— AeQ« = L ( M' + MQ', ) — ML'. 

e^'- est une fonction quasi-entière dans R pour 3 = 00 sans o : 
les zéros de A dans R doivent donc tous appartenir au second 
membre. 

Ce second membre élant d'ordre réel < p, son quotient par A 
l'est également. Ce quotient est alors d'ordre apparent << p, et la 



(*) Cette exception ne peut évidemment se produire, puisque le second membre 
est d'ordre p, que pour p entier. On remarquera encore que ï> F — 9,, quand cp 
et <p, sont d'ordres << p, est à croissance régulière pour 3 = 00, à la condition 
nécessaire et suffisante que F soit à eroissance régulière pour z = oc. Nous signa- 
lerons la possibilité d'extensions de ce théorème et du suivant aux fonctions 
quasi-enlières d'ordre non transfini pour z = <x> grâce à la classification introduite 
par M. Boutroux et nous. Vo r encore, pour un cas particulier de ce théorème, 
Hadamard, Comptes rendus, i er juin 1896. 



- 39 - 
relation précédente est impossible : il faut A = <>. Mort 

M' N' 

_ O' — O' 

log^=Q.-Qt-KC, 

M 

N 

Pour les mêmes raisons que tout à l'heure 2 — Qi serait dr 
degré < p ; par suite 

est impossible, le premier membre étant d'ordre < o, le second 
membre d'ordre p ('). c. Q. F. D. 

Corollaire. — Parmi les équations 

*<*) = *#> 
cp(s) 

oàoet<f t n'ont aucune racine commune, il y en a une au plus, 
telle que l'exposant de convergence de la suite de ses racines 
est inférieur à p pour z = oo. 

On vérifiera de la même manière le théorème suivant et sou 
corollaire. 

Théorème IV. — Soit F (3) une fonction monodrome quasi- 
entière dans Rpour z = 00 et telle que, pour les grandes valeurs 
de | * | = r, 

(m constante); soient de plus cp(.s), 'fi(^), <K*)> tyi( s ) des fonc- 
tions quasi-entières d'ordre fini dans R pour z = 00, et telles 
que 

Si les deux jonctions quasi-entières dans II pour z = ce 
cpF — cp, ; ^F — 1}/, so/^ d'ordre réel fini, F e^ d'ordre fini. 



(') Cette démonstration est analogue à celle de M. Borel ( Leç . sur les fonc- 
tions entières, Paris, 1900, p. o,5) pour les fonctions entières. 



— AO - - 
Corollaire. — Parmi les équations 

F = 2l, 

où F es£ donné et d'ordre infini, il y en a au plus une telle que 
la suite de ses racines ait un exposant de convergence fini. 

La démonstration repose sur la vérification de L'impossibilité 
d'une relation de la forme 

Me<îi+Ne G «= L, 

où G) et G 2 sont des fonctions quasi-entières d'ordre fini, ainsi 
que L, M, N. 

Nous retrouvons ainsi dans deux cas relativement particuliers, 
mais que l'on peut considérer comme les plus importants jusqu'à 
nouvel ordre, surtout en présence des résultats énoncés par 
MM. Boutroux et Painlevé, un théorème dû à M. Picard, et relatif 
aux racines d'une (onction monodrome aux environs d'un point 
singulier essentiel. On retrouve en môme temps pour ce cas des 
extensions du théorème de M. Picard, analogues à celles qui sont 
dues à MM. Hadamard et Borel pour les fonctions entières, et à 
nous pour les fonctions quasi-entières. Le perfeclionnement parti- 
culièrement important apporté ici au théorème de M. Picard est 
relatif à la détermination de l'exposant de convergence de la suite 
des racines ( ' ). 



(') Soit F(*) = <p(z) + 9 / - J = -^£— e'ïW une fonction quasi-entière dans lî 

pour z = oc et d'ordre quelconque, G(z) une fonction entière, ^(-s) une fonction 
monodrome et finie dans R ainsi que ses dérivées. 

Admettons, d'après M. Borel (Acta math., t. XX, p. 807, Sur les zéros (/es 
fonctions entières) : i° que si \J-(r) est le maximum du module de G(z) pour 
| z | =/*, {x, (/•) relui de G' (z) pour \ z\'$_r, on ait 

(A) jx(r)' + «> ! x l (r)> ! JL(/-) 1 - a 

(a fini aussi petit qu'on veut); 2 que l'inverse du minimum du module d'une 
fonction entière est du même ordre de grandeur que son maximum, c'est-à-dire 
que si e v ( r ) est une limite supérieure de ce maximum, e v ( r ) +a ' est une limite supé- 
rieure de l'inverse du minimum, et e v ( r ) ' une limite inférieure [condition (B)]; 
admettons plus exactement au moins que ces conditions aient lieu dans la ma- 



il — 

Il convient encore <le considérer les fonctions qu'on peul ap- 
peler quasi méromorphes dans I» pour ? = oc, c'est-à-dire les 

fondions inonodromes qui n'ont dans II d'autre S points Critiques 

à distance finie que des pôles isolés. Si Ton forme la fonction 
entière $(*) ayant pour zéros les pôles d'une pareille fonc- 
tion 1^ ( 3 ) , I i (^) f I>(c) est quasi-entière dans R pour 3 = 00, el 

= W(z). Donc 

x V(z) 
V(z) = • 

v } *(«) 

Théorème V. — Une fonction quasi-méromorpke dans \\ 
pour z = 00 est le quotient d'une fonction quasi-entière dans R 
pour z — 00 par une fonction entière, ou, plus généralement , 
le quotient de deux fonctions quasi-entières dans Wpour z = ce. 

Ceci posé, nous étendrons à ces fonctions nos théorèmes sur les 
(onctions quasi-méiomorphes. 

Théorème VT. — Parmi toutes les fonctions quasi- méro- 
morphes dans R pour z = oc de la forme F — cp d'ordres finis p , 
où F est de là même forme donnée et d'ordre p, <p une quel- 
conque des fonctions analogues, mais d'ordre <p, il y en a 

jeure partie du plan, c'est-à-dire que la somme des épaisseurs des couronnes cir- 
culaires dont le centre est à l'origine et où ces conditions n'ont pas lieu pour 
| z\ = r est % kr, k étant aussi petit qu'on veut pour r assez grand. Les raison- 
nements de M. Borel sur l'impossibilité des relations 

S G f . (*)«■••(*)= o, 

où i = 1, 2, . . . , / (/ fini), G,., H t sont des fonctions entières, dont les ordres 

remplissent certaines conditions, s'étendent de suite aux cas où les G- et les H, 

sont des fonctions quasi-entières pour z = oo. 

En effet, si jx(/' ) et ;x, ( r ) se rapportent à 9 (z), les quantités analogues pour l 7 (z ) 

sont de la forme [x(/) (1 + s), [X[( r) (i-h e, ) ( e, e, aussi voisins qu'on veut de 

pour /• assez grand) : la condition (A) subsiste. De plus, l'inverse du minimum do 

C ( ~ ) 
G(z) est £e v ('-) 1+a ' i si le maximum de G(z) est ^ e v W ; celui de _ ~ e^ est 

(m constante) £ e'CO 1 h2a ', puisque v (/•)«> Arjogr -i- Iog m dès que G(z) ne se 
réduit pas à un polynôme. 

On en conclut le théorème de M. Picard généralisé relatif aux racines dc> 
équations de la forme F(.c) = <p(~), où F(z) est une fonction entière de genre 
infini, y(z) un polynôme, une fonction quelconque d'ordre fini ou une fonction 
entière d'ordre de grandeur assez petit par rapport à celui de !"(*) 



- 42 — 

une au plus d'ordres réels, tous inférieurs à ceux de 4>, deux 
au plus telles que les exposants de convergence des suites des 
modules de leurs racines soient inférieurs à p. 

Nous appelons encore ici ordre de 

le plus grand des ordres de W cl <I>. 

La démonstration de la première partie du théorème est sem- 
blable à celle que nous avons donnée pour les fonctions quasi- 
méromorplies; il en est de même pour la deuxième partie, où l'on 
doit distinguer les trois mêmes cas. 

Pour montrer l'importance des résultats précédents dans la 
théorie des équations différentielles, il nous suffira d'indiquer le 
résultat suivant : 

Théorème VIL — SoitF(z) une fonction monodrome d'ordre 
fini aux environs d'un point a qui est pour elle un point sin- 
gulier essentiel isolé. Cette fonction ne peut être aux environs 
de ce point solution d'une équation différentielle linéaire ration- 
nelle en x que si sa croissance est régulière aux environs de 
ce point. 

En effet, on pourra toujours, par un changement de variable 
qui ne changera pas la forme de l'équation différentielle, faire en 
sorte que le point critique essentiel devienne oo. On mettra ensuite 
la fonction donnée sous la forme 



?o(*) + ?i y-J 



comme au début du Paragraphe T, et l'on raisonnera comme nous 
l'avons fait dans un Mémoire antérieur (') au sujet des fonctions 
entières et quasi-entières. La démonstration est à peu près la même. 

c. q. f. n. 

En terminant nous indiquerons dans deux Notes annexes un 
complément à deux de nos Mémoires antérieurs. 



(') Ann. Fac. Se. T., 1902, page 456. 



- 43 — 

IV. 
Nous avons établi le théorème suivant : 
Théorème. — Soient 

/(i) = A +A|*+...+ A/VH ... 

une fonction entière d'ordre fin i et d'ordre apparent p, ci 

f { (z) = A -+- Aj -8+.. .-+- A/z l . 

Dès que l dépasse une certaine limite finie, à toute racine 

i 
de fi{z) de module inférieur à /? +e correspond une racine 
de f {z), le module de la différence des deux racines étant 
aussi peu qu'on veut ( *) pourvu que l soit assez grand. 

Ce résultat peut être complété ainsi qu'il suit : 

Théorème. — Etant donné un contour C quelconque, on 
peut toujours prendre \ assez grand pour qu'à toute racine 
def(z) = o dansC, avec \S I, en cori esponde dans Cpourf(z) 
une et une seule, qui en diffère aussi peu qu'on veut [les 
racines de f (z) sont supposées distinctes]. 

Considérons, en effet, un contour C sur lequel ne se trouve 
aucun zéro def(z), et l'intégrale 

\z\ est limité sur C : dès que / est assez grand, en chaque point 
de ce contour, f'(z) = //( z) -f- e, f(z) = fi(z) -f-e 4 , e et e, étant 
aussi petits qu'on veut. Si 

2 ™ Je A z ) 

|J-J/|<-T), 

r, étant aussi petit qu'on veut pourvu que / soit assez grand. 



(') Journ. de Mathém., 1902, p. 343. D'après la démonstration qne nous avons 
donnée, l'énoncé peut en effet être précisé de cette manière. 



— 41 — 

Mais J et Ji sont des entiers qui représentent respectivement le 
nombre de racines de J et J/ compris à l'intérieur du contour C. 
Des que 7[ < i il faut 

J=J,. 

Supposant les racines de f {z) distinctes : f{z) elf'(z) n'ont 
pas de racines communes dans C. A toute racine de/}(5) dans C 
en correspond une de /(z); à toute racine de J\ (z) dans C en 
correspond unedef'(z). On pourra donc toujours prendre /assez 
grand pour que J)(z) elf'^z) n'y aieni pas de racines communes. 
Dès lors à toule racine de fi(z) dans C en correspond une 
def(z), les modules des deux racines différant aussi peu qu'on 
veut. D'après J = J/, il j a réciprocité. 

Corollaire. — S'il y a une infinité de valeurs de / << X 
te/ les que fi(z) n'ait que des racines réelles dans le contour C, 
f(z) n'y a que des racines réelles. 

Soit, en effet, a -f- [ii une racine imaginaire de f ( z) dans C : 
d'après le théorème précédent on ne peut assigner aucune limite 
inférieure à ( 3. Donc (3 = o. 



V. 

Dans le Journal de Mathématiques (1902, p. /\'i), nous 
avons établi le théorème suivant : 

Théorème. — Soit la série illimitée 

P 0; 11», R25 • • •> IV< • • • > Qi« Q2» ■ • • j Q/n • • • étant des poly- 
nômes entiers en x de degrés /? , r< , r 2 , . . . , r ni . ... q { , q. _,,... , 
q n . • • • respectivement avec r K < q K , . . , r„ < r/„, . . . , /es séVos 
/•ee/s ofe Qt,Qoj . .,Q /i? ... ayant leurs modules limités. 
Si cp, es* solution d'une équation différentielle rationnelle 

d y d,k 1 ' 

e/3 x, y, -j-f ..., -y-^> o/i afoiV avoir, dès que n est assez- 
grand 



IS - 

(m entier qui ne dépend </ue de k et des exposants de .>,.)', 
y(*i dans l'équation en question, o, entier fini) ('). 

Nous posons 

R« PoQi... Q« ••• Ri, 



»i»=P( 



Qi...Q« " QiQ«...Q« 

el , si | ./ | est suffisamment ^rand, x éianl réel, 

h n = -T-~7— ( Y" •'mité ^ o). 



X*n I i~'w+i 



On a, si 3, esl solution, 
J o = F(ar, »)„ -+- fc„, • • • , V* + A^ 5 ) 

Le raisonnement suppose F(x,/ 1/M . . ., rjjy ) ^ o. Nous croyons 
utile, pour éviter une objection, d'établir en détail ce dernier 
point. 

Si 

F( .r, ï)„, t,/' ) — o, 

on a aussi ( 2 ) 

{■i) h tl ¥' y h...+ ^ F^) = o. 

Dans cette expression les dérivées sont celles de F(#,j) , . . . . y ' A ) 
où l'on remplace après dérivation y, y\ . . ., r ( *> par ?)„, tj^, . . . . 

i" Si Ton n'a pas à la fois 

/ F' r (a?, t |/} , . . .) — o. 

//„ satisfait à une équation différentielle linéaire dont les coeffi- 
cients sont des polynômes entiers et de la forme 

( i ) a h^ -+- a, /,</• » + . . .-*- a 4 /i„ - o. 



(3) 

f p' 



(') F élanl donné, s'il n'admet pas une infinité de solutions rationnelles ',, . !<• 
degré du numérateur et du dénominateur des solutions rationnelles ij^ de F esl 
limité. Nous supposerons dans ce cas n plus grand que cette limite. 



• s «+i r n+l 



( a ) Au moins quand —2 — î — esl assez grand. 



— 46 - 
D'après 

cp, salisferait à une équation de même forme 

( 5 ) Vi = b ?W ■+•...-+- b k y + &*+, = o. 

Appliquons à nouveau la formule (i) à F, : le raisonnement 
fait dans notre Mémoire est applicable si F, n'admet pas comme 
solutions une infinité de fractions rationnelles irréductibles telles 
que les degrés de leurs dénominateurs aillent en croissant. Nous 
allons voir que ce dernier cas est impossible. 

En effet un nombre fini de ces fractions serait lié par une rela- 
tion linéaire homogène 

Cl V, + C 2 ty, "H . . . -+- C\ T lh = O, 

ii< h<-..< Ô.< 
les c étant des constantes. On a 



f.i 



•fc »y P.Q, ■■.<?/, +■■■+ K /|t 

" S, - • K - + Q,...Q V - Q.-..Q,, 



et la relation précédente donnerait après multiplication par 

Q, • • • Q/,-, 

polynôme = fraction ralionnelle irréductible. 

Par conséquent on serait conduit à ce résultat absurde qu'une 
équation différentielle linéaire a une infinité de solutions linéai- 
rement indépendantes : (5) est donc impossible, et r\ n n'annule 

pas F(x,y, ...,/ ) ) dès que ^ +1 ~^ +1 >A (A fini positif 

dépendant exclusivement de k et des degrés de F en je, y, . . . . 

2° Si Ton a à la fois 

( F y (^, *U, • ..) = o, 

< 

( F'y(*)(X, *)„, ...) = O, 

il faudra que ceci ait lieu pour une infinité de valeurs de n; dès 
que /? dépasse une limite finie : ceci aura lieu en particulier quand 



- 47 — 

on remplace, // étant donné, 7j n par i\ n+p , si grand que soit/?, 
pour une infinité de valeurs dc/>. 

Ou posera 

r\ n i p= ll n\ *)»; 

i\„+p devra rire solution de F' = et l'on raisonnera dessus 
comme on l'a faii sur F = o et c2 t . 

On sera encore conduit aux mêmes conclusions à moins que 
Les dérivées de F^ par rapport à j-, . . . , yW ne soient annulées 
par une infinité de valeurs de r\ n \ et ainsi de suite (■). 

c. q. f. n. 

Décembre 1902. 



SUR LES SURFACES DONT UN SYSTÈME DE LIGNES ASYMPTOTIQUES 
SE PROJETTE SUIVANT UNE FAMILLE DE COURBES DONNÉE; 

Par M. A. Buhl. 

On voit facilement qu'on ne peut en général considérer deux 
familles de courbes prises arbitrairement dans le plan comme les 
projections des deux systèmes d'asymp totiques d'une surface. 

Par contre une famille de courbes définie par l'équation diffé- 
rentielle 

peut toujours être considérée comme la projection d'un système 
d'asymptoliques d'une surface définie par l'équation aux dérivées 
partielles 

, . d*z d*z .&z 

ôx l J dx ày '' Oy 2 

C'est là une équation du type parabolique, linéaire et homo- 
gène, et d'ailleurs l'équation la plus générale de cette forme 

d 2 z à 2 z d 2 z 

peut toujours être considérée comme définissant une surface dont 



(') Mentionnons encore que 9, doit être remplace par i\ n dans la page ji et la 
première moitié de la page \i de notre Mémoire. 



— 48 — 
les asvmplotiques d'un système se projettent suivant les courbes 

KA) dx '" A 

Aux variables x et y on peut toujours substituer da nouvelles 
variables s cl t telles que l'équation (3) prenne la forme 

d*-z - dz 

où ), est fonction de s et / (E. Goursat, Leçons sur les équations 
du second ordre, t. II, p. 39). Malheureusement, celte réduction 
n'avance pas beaucoup en général la question de l'intégration 
complète, sauf dans le cas où ), peut se réduire à une simple cons- 
tante. L'équation (5) devient alors une équation bien connue; 
c'est celle de la propagation de la chaleur par conductibilité dans 
un espace à une dimension. 

On sait qu'elle a été l'objet d'importants travaux de Fourier et 
d'un grand nombre de géomètres. Parmi les travaux récents on 
peut consulter l'article de M. P. Appell : Sur l'équation 
r — q = o et La théorie de la chaleur (Journal de Mathéma- 
tiques, 1892, p. 187) et les leçons sur la Théorie analytique 
de la propagation de la chaleur de M. Poincark (G. Naud, édi- 
teur, 1895). 

jNous prendrons l'équation (5) sous la forme définitive 

d*z dz 

et nous allons rechercher comment l'on peut passer de l'équa- 
tion (3) à l'équation (6) et quelles sont les conditions de possibi- 
lité d'une telle transformation. 
En posant 

. dz _. dz ... ... dz .. , .. . Oz 

\(z) — A 3- -h B 3- , \ ( z ) = X ( A 1 -- -t- X( B) — j 

dx dy O.r ' dy 

l'équation (3) s'écrit 

(7) X*'x)-Y{z)=o, 



- 49 - 

ei l'on voit qu'elle est ainsi formée avec les opérateurs \ h V 

//•ni 1 ' i ' à ft 

(oui comme i o ) esl [ormée avec les operateurs <•! 

v ' I Os àt 

Pour qu'il existe un changement <lr variables transformant en 
ces deux derniers X et Y, il faut et il suffît que ceux-là soient per- 
mutables (S. Lie und F. En gel, Théorie der Transformations' 
gruppen, t. I, p. 339). La condition XY = YX nous donne fat i 
lemenl les deux, équations 

X2(A) — Y(A) --o : X*(B) — Y(B) = o 

qui, comparées avec (7), nous montrent que : L'équation (3) 
peut toujours être ramenée à la forme (()) si A et Ben sont des 
solutions. 

Quant aux formules de transformation on les trouve en é^alanl 
à des constantes arbitraires les deux in I effraies distinctes du svs- 
lème complet 

(8) X (z) + - = o, Y (j O+-=o. 

La condition que nous venons de trouver parait au premier 
abord très restrictive, mais on peut la remplacer par d'autres, ce 
qui provient du fait que l'équation primitive (3) peut se mettre 
sous la forme (7) de plusieurs manières différentes. Par exemple, 
si nous avions commencé par diviser l'équation par A 2 , nous 
serions arrivés à celte conclusion que la constante 1 et l'expres- 
sion — doivent être des solutions. Comme la chose est évidemment 
A 

réalisée pour la constante 1, nous voyons maintenant que Véqua- 

tion{?)) se ramène à la forme (6) si - en est une solution. Même 

A . . 

chose si tj est solution. 

o 

Si, au début, nous avions multiplié l'équation (3) par un fac- 
teur R-, nous aurions conclu que, si l'on peut trouver un 
facteur II tel que RA et RB soient des solutions, Véquation se 
ramène encore à la forme (6). Le problème est encore résolu 
dans le même sens si Von connaît une solution S de (3) et que 

Cou constate que l'une des expressions S —ou S j est aussi une 
solution. 



- 50 — 



applications géométriques. 

Les considérations qui précèdent nous mettent en mesure de 
déterminer un grand nombre de familles de courbes simples et 
intéressantes que l'on peut considérer comme les projections d'un 
système d'asymptotiques de cerlaines surfaces dont la connais- 
sance ne dépend que de l'intégration de l'équation 

Nous désignerons par Z(s, t) une solution de cette équation 
ayant tel degré de généralité que l'on voudra. 

Si nous nous en tenons au premier cas de réduction étudié pré- 
cédemment, et si nous observons que les expressions linéaires à 
coefficients constants 

A. = a -f- ex -+- dy, B = b -h ex -+- gy 

sont manifestement des solutions de (3), nous voyons que toutes 
les familles de courbes comprises dans l'équation 

. x </k è + w + gy 

(q) -y- = - jL - 

dx a -h ex -+- dy 

sont les projections d'asymptotiques de surfaces que nous savons 
déterminer. Ces courbes sont les lignes invariantes des transfor- 
mations projeclives qui laissent en repos la droite de l'infini. 

Pour leur étude détaillée je renvoie à l'Ouvrage de S. Lie et 
G. Scheffers : Vorlesungen ûber continuierliche Gruppen 
(p. 68), me bornant ici à rappeler ce qui est essentiel à mon sujet. 
Tout d'abord on voit facilement que, pour des valeurs particu- 
lières des coefficients constants, l'équation (9) donne les familles 

(10) y = const., y % — ix — const., ^.r a = const., ye~ x = const. 

C'est un théorème fondamental que la transformation homogra- 
phique (groupe projectif) appliquée à ces quatre familles nous 
donne toutes les courbes invariantes du groupe projectif le plus 
général. 

D'ailleurs, nos transformations changent aussi les asjmptotiques 



— r>i — 

d'une surface on les asymptotiques de la transformée et plus par- 
ticulièrement la projection des premières en la projection des 

secondes. 

Nous n'avons donc qu'à rechercher les surfaces admettant pour 
asymptotiques des familles se projetant suivant les types (10). 

/'rentier type. — On trouve immédiatement des surfaces ré- 
glées à plan directeur et par transformation homographique des 
surfaces réglées quelconques. Les génératrices sont des asymplo- 
liques qui évidemment se projettent suivant des droites. 

Deuxième type. — Les courbes considérées sont définies par 

l'équation différentielle 

dy _ i 
dx y 

Nous avons facilement 

A= r , B = i, 

et ensuite 

x <*>-'£ + £ J X(A > = '' X(B > = °> Y<z > = %- 

Il nous faut maintenant intégrer le système complet 

dz dz dz dz dz 

" dx dy ds dx dt 

Celui-ci admet les intégrales y 2 — 2X -f- 1 1 et y — s, d'où les 
formules de transformation 

v- 
s = C-hy. t = C'-h x — — , 

2 

où G et G' sont deux constantes arbitraires. 

Donc la famille^ 2 — 2X = const. est la projection d'un système 
d'asymplotiques de la surface 

(11) z = z(c+y, G' h- a? — £ 

Si par exemple nous prenons Z(.v, /) = s* -f- 6/s, nous avons, 

pour G = C' = o, 

z = 6xy — 2j^ 3 . 



— :>2 - 

On vérifie facilement que celle surface admet des asymplo- 
liques se projetant suivant la famille de paraboles indiquée et 
(|uant à celles de l'autre système, suivant des droites parallèles à 
l'axe des.r; il s'agit donc d'une surface réglée à plan directeur. 

En effectuant une transformation projective plane, nous dédui- 
rons de la surface (i i) de nouvelles surfaces pour lesquelles le 
système d'asymplotiques considéré se projettera suivant la Camille 
de courbes déduite, par la même transformation, des paraboles 
précédentes. Ces dernières ont leurs diamètres parallèles fixes en 
direction et touchent par suite la droite de l'infini en un point fixe : 
nous pouvons en déduire des coniques tangentes à une droite fixe 
quelconque en un point i\xe quelconque et admettant une direction 
diamétrale arbitraire {voir S. Lie und G. Scheffers, loc. cit., 

P- 74). 

Troisième type. — ■ La famille de courbes yx y -= const. résulte 
de l'intégralion de l'équation 



dy <xy 

dx x 



Nous avons donc 

A = x et B = — aj', 

d'où 

àz dz „ , . 

*{*) = * 3£ -*yjp> x(A) = *, 

àz m dz 

X(B) = a*r, Y(z) = x-r- +aî/ ; • 

J dx Oy 

Pour chercher la transformation qui change les opérateurs X 
el Y respectivement en — et y> la méthode est la même que pré- 
cédemment et le système complet à intégrer n'est pas plus com- 
pliqué. On trouve finalement 

aMoga: — logy m ,, a\ogx -\-logy 

aia + i) a ( a -+- 1 ) 

L'équation z = r L\s,£) représente alors les surfaces dont les asymp- 
totiques d'un système se projettent suivant les courbes yx rj -= const. 
Pour faire une application immédiate, soit a = i, C^C'^o el, 
en désignant par a une constante quelconque, 

Z(s, t)= c««*+»«7. 



- 53 — 
Nous obtenons alors fa surface 

<loi)i un système d'asymptoliques doil se projeter suivant la famille 
<rii\ perboles équilatères xy = consl . 

Si nous cherchons directement les projections des deux systèmes 
d'asympto tiques do ladite surface, nous obtenons l'équation 

(x dy -4- y dx) \( a \- \)y dx -h (a — n x dy | = o, 

qui contient les hyperboles prévues et la seconde famille 

x a\-\ya-\ — coilSt. 

Le type )'.r a = consl. est certainement Je plus riche en cas par- 
ticuliers remarquables. Les hyperboles xy — const. nous donnent 
par une simple transformation linéaire toutes les coniques concen- 
triques et homothétiques. Pour a = — 2, nous avons des paraboles 
de sommet et d'axe fixes dont le paramètre est variable et comme 
de telles paraboles sont aussi tangentes à la droite de l'infini en un 
point fixe, nous pouvons en conclure, par transformation homo- 
graphique, toutes les coniques tangentes à deax droites fixes quel- 
conques en deux points fixes quelconques. 

La transformation linéaire qui change les axes de coordonnées 
en les droites isotropes nous change notre courbe type en 

(x -+- i.y) (x — iy)*= consl., 

ce qui est l'équation d'une famille de spirales logarithmiques ho- 
mothétiques. 

Enfin, toujours dans le même type, nous pouvons faire rentrer 
les courbes de la forme 

(a { x h- b { y -+- Ci)^i(a<>x -+- b 2 y ■+■ c t )^%{a^x ■+■ b 3 y -+- c 3 )*3 = const.. 

Ai -+- X 2 -i- X 3 = o, 

provenant de la transformation qui change en un triangle quel- 
conque le triangle formé par les axes de coordonnées et la droite 
de l'infini. Ces courbes sont les intégrales de l'équation de Ja- 
cobi P(xdy — y dx) -+- Q dy -+- R dx = o, où P, Q, R sont des 
fonctions linéaires des variables x ely. 



Quatrième type. — La famille de courbes ye r = const. pro- 
vient de l'équation différentielle 

dy 

-z- = y. 

dx J 

Nous avons immédiatement 

A = i, B= r , 

et ensuite 

X{z)=Ô Û + r%' x ( A > = <-> x ( B )=/> TW-/J- 

On trouve toujours de même les formules de transformation qui 

i -%r -xr à L d 

changent X et Y en — et — ; ce sont : 

° as ut 

s = G -+- x, t = G' -+- \ogy — x. 

Nous bornerons à ces quelques exemples très simples la déter- 
mination des surfaces dont un système d'asymptotiques se projette 
suivant une famille de courbes donnée. On voit que les cas qui se 
peuvent traiter sans faire intervenir d'équation aux dérivées par- 
tielles plus compliquée que (6) sont nombreux et non des moins 
intéressants. 

Les surfaces cherchées étant connues, on peut se demander 
quelles sont les projections du second système d'asymptotiques. 
On obtient facilement pour leur équation différentielle : 

dy -2 s dy __ r i 



= —~—f(^ y) 



ou 



dx t J ,J ' dx tf(x,y) 

Ces deux équations sont absolument équivalentes, l'égalité de 
leurs seconds membres résultant immédiatement de l'équation aux 
dérivées partielles r -\- isf-\- tf 2 ~ o des surfaces déterminées. 



SUR QUELQUES CONSÉQUENCES GÉOMÉTRIQUES DE L'ÉQUATION 
DIFFÉRENTIELLE DES CONIQUES; 

Par M. Raoul Perrin. 
I. L'équation différentielle des coniques 

(O 9/y- 45/yy v -H 40/" 3 = o. 



— :;r> — 
admet, comme il est aisé de le vérifier, L'intégrale première 

Chaque valeur de la constante arbitraire /. caractérise évidem- 
ment une famille de coniques. On voit immédiatement que la 
valeur k = o caractérise le système des droites du plan, la 
valeur A' = oo celui des paraboles, puisque l'équation différen- 
tielle des paraboles est, comme on sait, 



m i 



(3) 3/>"'-5y 

Mais il est intéressant de rechercher la signification générale 
de A' au point de vue géométrique. 

Pour l'obtenir, partons de l'équation générale d'une conique 
sous la forme 

( 4 ) aoc~ H- 2 hxy -h by 2 -+- if y -+- i gx h- c = o. 

d'où, posant pour abréger 

i u = — (Aa?-t-/), v= — %x 2 -h-i(fh — bg)x-\-f i —bc, 
l o = a b — /i 2 , 

on tire 

(5) y=l( u± fi)- 

Formant les dérivées successives de (5), et tenant compte des 
relations 

u" = v'"=o, ^ = —28, 2^-^ = 4 bl, 

où A est le discriminant de la conique, abc-\- • . . , on trouve 
successivement 

y = ±A<r*, 

3 -I 
y lv =±—kv 8 (5t>' a — ivv"), 
4 

3y'j»v_ 5y"2 = 9 8A*e-*. 
L'équation (2) donne alors 



:>(> 



Mais on sait que si a, [i sont les deux demi-axes de la conique, 
el w l'angle des axes des coordonnées, on a 



A* 



5 3 sin-O) 

en sorte qu'on peut écrire 

, •> Q 2 

I 6 ) k = 



a*p< 



72g H 11 2 w 

L'aire de l'ellipse étant rcajâ, appelons par analogie aire d'une 
conique quelconque, et désignons par S, cette quantité 7ta|3 ; 
elle sera réelle et positive s'il s'agit d'une ellipse, réelle et néga- 
tive s'il s'agit d'une ellipse imaginaire; imaginaire pour une 
hyperbole, nulle pour un système de deux droites, infinie pour 
une parabole. On aura alors celte valeur de k 

*- s *. . , 



72g 7ï- sm- (0 
et l'équation (2) deviendra 

(7) 7-29 7r 2 /' 8 sin2to = S 2 (3/'7 M - 5/"*)». 

L'équation (7), intégrale première de (1), représente donc 
toutes les coniques du plan qui ont même aire S. S 2 étant positif 
ou négatif suivant que la conique est du genre ellipse ou du genre 
hyperbole, on en conclut immédiatement que l'expression 

J = Zy"y"—$yî\ 

formée avec les coefficients différentiels relatifs à un même point 
quelconque d'une conique donnée, est positive, nulle ou néga- 
tive, suivant que celle conique est une ellipse, une parabole ou 
une hyperbole. 

II. Considérons maintenant une courbe plane quelconque. La 
courbure en un quelconque de ses points est habituellement 
mesurée par l'inverse du rayon R du cercle mené par ce point et 
par deux autres points consécutifs infiniment voisins; ce qui 
revienl à la définir au moyen de l'aire du cercle de courbure, aire 
dont l'expression est 

(8) c-=ïii±£-£, 



— :;7 — 

(en supposant les axes rectangulaires). Mais au lieu d un cercle, 
rien n'empêche de considérer une conique triosculatrice, c'est 
à-dire assujettie à passer par cinq points consécutifs de la courbe. 
Le carré «le l'aire S de cette conique scia déterminé, <'n fonction 
des valeurs des coefficients différentiels de la courbe au point 

dont il s'agit, par la formule (7) en y faisant to — - - ; ce sera donc 



(9) S* = W? 



It 

2 



et l'on pourra caractériser la forme de la courbe en ses points suc- 
cessifs par les valeurs successives de S* 2 , et dire en particulier 
qu'un point appartient au type elliptique, hyperbolique ou para- 
bolique, suivant que la valeur de S 2 y est positive, négative ou 
infinie. Par raisons de continuité, toute branche réelle de la 
courbe se divisera en régions de types alternativement elliptique 
et hyperbolique, séparées par des points de type parabolique, 
en nombre fini. Quant aux points d'inflexion pour lesquels y" — o, 
la formule (9) montre qu'ils ne peuvent en général servir de 
transition du type elliptique au type hyperbolique, mais qu'ils se 
rencontrent exclusivement dans les régions de type hyperbolique : 
car pourj/ suffisamment voisin de zéro, S 2 prend le signe négatif 
de ( — 5y" f ' 2 ) 3 . 11 n'en pourrait être autrement que si y"' tendait 
vers o en même temps que y'', c'est-à-dire si le point d'inflexion 
était en même temps point d'ondulation, auquel cas i! serait de 
type parabolique, puisque la relation (3) y serait satisfaite; ce 
serait en outre un de ces points sextactiques (où l'on peut mener 
à la courbe une conique q uadriosculatrice) où l'équation (1) est 
satisfaite, et que l'on sait être au nombre de 3 m (4 ni — 9) sur 
la courbe générale de degré m. 

D'autre part, si l'onannule — ^ — -jon retombe sur l'équation (1). 

On peut donc se représenter comme suit la répartition, sur les 
branches réelles d'une courbe quelconque, des points de type 
elliptique, hyperbolique, parabolique, des points sextactiques et 
des points d'inflexion. 

En partant d'un point arbitraire appartenant par exemple au 
type elliptique, et marchant toujours dans un même sens déter- 
miné sur la branche réelle, on trouvera des valeurs de S 2 crois- 



sant par exemple jusqu'à un certain maximum qui correspondra 
à un point sextactique, puis décroissant jusqu'à un certain mini- 
mum (toujours positif) correspondant à un autre point sextac- 
tique, et ainsi de suite, jusqu'à ce qu'on revienne au point de 
départ, ou que S 2 passe du positif au négatif en passant par l'in- 
fini, ce qui correspondra à un point de l> pe parabolique. Alors 
commencera une région de type hyperbolique où les maxima et 
minima de S 2 correspondront encore à des points sextactiques, 
sauf les maxima (algébriques) dont la valeur est o, et qui corres- 
pondront à des points d'inllexion; ensuite viendra un point para- 
bolique ramenant dans une région de type elliptique, et ainsi de 
suite. De cet aperçu résultent immédiatement, lorsqu'il n'existe 
pas de points exceptionnels (d'ondulation, sextactiques doubles, 
paraboliques doubles, etc.), les conséquences suivantes : 

i° Sur chaque branche réelle complète (c'est-à-dire parcourue 
dans le même sens jusqu'à revenir au point de départ, en traver- 
sant, s'il y a lieu, la droite de l'infini), il existe un nombre pair 
de points de type parabolique. 

2° Si ce nombre est zéro, la branche appartient tout entière à 
un même type, et elle contient un nombre pair de points sextac- 
tiques (au moins 2). Toutefois, si le type est hyperbolique, la 
moitié au plus de ces points sextactiques peut être remplacée par 
un nombre égal de points d'inflexion. 

3° Si le nombre des points paraboliques n'est pas nul, ces 
points délimitent un nombre pair de régions appartenant alter- 
nativement aux types elliptique et hyperbolique; chacune d'elles 
contient un nombre impair 20- — 1 de points sextactiques (un 
au moins par conséquent), dont cr au plus, dans les régions du 
type hyperbolique, peuvent être remplacés par des points d'in- 
flexion. 

4° Toute branche complète contient au moins autant de points 
sextactiques que de points d'inflexion, et la différence est un 
nombre pair; il en est de même par conséquent pour la courbe 
dans son ensemble. Les formules qui donnent les nombres de 
points des deux catégories (S/n(/\m — g)et3m(/?z — 2) respec- 
tivement) pour la courbe de degré m, montrent d'ailleurs que la 
différence, en ne considérant que les points réels, est un nombre 
pair pour l'ensemble de la courbe. 



- 58 - 

III. L'équation différentielle (3) des paraboles admet l'inté- 
grale première évidente : 

(10) /':;_/y". (= o. 

A chaque valeur de k' correspond une famille de paraboles. 
Pour la caractériser géométriquement, il suffit de reprendre le 
calcul du Paragraphe I en y supposant 8 = 0; on trouve ainsi 

k = — • 

27 b \J b 

Mais on sait que si/? est le paramètre principal de la parabole, 
co l'angle des axes de coordonnées, 8 l'angle que fait l'axe de la 
parabole avec l'axe des #, on a 

•>\f\Ja — g \fb) sin 2 co sinO \J a 

P ~7~~T T, T sin( W -o)=-7T 

\a -+- b — 2 yabcosisi) 
On en conclut, tous calculs faits : 

y? sin co 



54sin 3 (co — 0) 
et l'équation (10) devient 
(11 ) 54,/" 3 sin 3 (co — 6) -\-p sinco^'" 3 = o. 

Telle est l'équation différentielle des paraboles pour lesquelles 

la longueur P = . \. rr- (expression qui se réduit a ,. > si 

D sin 3 (co — 6) v r ^ cos 3 

les axes sont rectangulaires) a une valeur déterminée. 

Si, en un point d'une courbe quelconque, on considère la 
parabole biosculatrice, la valeur de P afférente à cette parabole 
sera donnée par la formule 

y 3 

en y mettant pour y" et y'" les valeurs des coefficients diffé- 
rentiels au point considéré, tirées de l'équation de la courbe. En 
marchant le long d'une branche réelle on trouvera ainsi des va- 
leurs variables de P pouvant changer de signe en passant soit par 
zéro (points d'inflexion) soit par l'infini (points où la parabole 



- (il) 

biosculatrice a son axe parallèle à l'axe des y, et que l'on pour- 
rait appeler sommets paraboliques); et aussi pouvant passer par 
des maxima et des minima, où la condition (3) étant satisfaite, le 
point sera un de ces points de type parabolique définis ci-dessus 
au Paragraphe If, où la conique triosculatrice est une parabole. 
Gomme le nombre des changements de signe de P est néces- 
sairement pair pour une branche complète de la courbe (abstrac- 
tion faite de l'existence de points exceptionnels), et qu'entre 
deux sommets paraboliques il existe au moins soit un point d'in- 
flexion, soit un point de type parabolique, on peut affirmer que 
sur une branche complète il existe au moins autant de points 
d'inflexion et de type parabolique ensemble, que de sommets 
paraboliques, la différence étant un nombre pair; et que le 
nombre des points d'inflexion et des sommets paraboliques 
ensemble est pair. On en conclurait de nouveau, comme il a été 
établi ci-dessus, que le nombre total des points de type para- 
bolique est pair. 

IV. On peut transformer en une relation entre éléments pure- 
ment géométriques la relation que fournit entre les valeurs des 
divers coefficients différentiels successifs correspondant à un 
même point quelconque d'une des courbes appartenant à une 
famille donnée, l'équation différentielle générale de cette famille. 
H suffit de remarquer que le deuxième coefficient différentiel^", 
est lié d'une manière simple au rayon de courbure; le troisième^'", 
au rayon de courbure de la développée au point correspondant, 
et ainsi de suite. 

Désignons donc par cp l'angle que fait avec l'axe des x la tan- 
gente à une courbe C en l'un quelconque M de ses points; par R 
et Mj, son rayon et son centre de courbure en M; par p, et M 2 
le rayon et le centre de courbure de la première développée C 4 , 
de C au point M, ; par p 2 et M ;l le rayon et le centre de courbure 
de la développée C 2 de C, (ou deuxième développée de C) au 
point M 2 ; et ainsi de suite, en convenant de représenter par R, 
p,, o 2 , ... non pas les longueurs absolues de ces rayons de cour- 
bure, mais leurs longueurs affectées du signe convenable pour 
que R, p,, p 2 ... soient les dérivées successives de l'arc s de la 
courbe C par rapport à <p. 11 est aisé de voir que le sens positil 



— (il — 

de l'accroissement de s ('tant choisi à volonté sur la courbe C, el 
celui de L'accroissement de o étanf cbofsi comme on le fait d'oi 
dinaire en trigonométrie, chacune des longueurs absolues des 
rayons de courbure devra être considérée comme affectée du 

signe -h ou du signe — , suivant qu'un observateur parcourant la 
courbe correspondante dans le sens positif voit le centre de 
courbure à sa gauche ou à sa droite, le sens positif sur chaque 
développée élan! (Tailleurs le même que sur le rayon de courbure 
de la développée précédente, qui lui est tangent. En d'autres 
termes, puisque les tangentes aux points correspondants de deux 
développées consécutives C n et C n+i sont à angle droit, on peui 
dire que le sens positif sur G n+i traverse de la droite vers la 
gauche le sens positif sur C„ ; d'où il résulte encore que sur C„ 
et G,i + 2, qui ont leurs tangentes parallèles en leurs points corres- 
pondants, les sens positifs sont opposés l'un à l'autre. 

La signification géométrique des quantités R, o,, o 2 ... étant 
ainsi bien définie, il suffit de remplacer dans l'équation diffé- 
rentielle donnée d'ordre p, représentant une famille de courbes 
admettant p paramètres arbitraires, les coefficients différentiels 
j",y' f , . . . par leurs expressions en R, p,, ... qui sont les sui- 
vantes, pour les 4 premiers d'entre eux : 



(i3) 



/ A 

y" = ,^R-i, 

j y™ = J R- 3 L3R 2 (i+5y2 ) __ R(i02+Iopi y )+3pf j ) 

7 v =«'3R-7[i5R3y(3-h7j^)-R2(p 3 - l -,5p 2 y) 
-h (19 M- io5y2pi)-h55Rpfy— i5p]]. 



(Dans ces formules w = 1 -i- y f ' 2 ). 

Le résultat de la substitution sera une équation entre y r , R. 
pi» •• m Pj»-i* Jl peut arriver que j' disparaisse de lui-même: 
sinon, on formera la dérivée par rapport à tp, cn utilisant les 
formules 

et en éliminant y', on aura une équation entre les seules lon- 
gueurs R, p,, .. ., p p _ t . On pourra aussi éliminer x et .y par le 



— 62 — 

même procédé, s'ils entraient dans l'équation dont on est parti; 
et l'on obtiendra, dans tous les cas, une relation entre R, p,, . . . , 
indépendante de la position et de l'orientation de la courbe dans 
le plan. 

Appliquons ce procédé à l'équation différentielle (3) des para- 
boles. En y substituant pour y", y" f 1 y 1Y leurs expressions tirées 
de (i3), elle devient : 

(i5) R-«w*(9 R2 — 3R p2+4pî) = o, 

e t se décompose ainsi en 3 équations, savoir : 

qui représente toutes les droites réelles du plan; 

w = i -+- j' 2 = o, 
qui représente toutes les droites isotropes; et enfin 
(16) 9 R2_3Rp. 2 -4-4pf = o, 

qui est l'équation cherchée, représentant toutes les paraboles. 

Les équations telles que (16) peuvent être considérées soit 
comme des équations intrinsèques généralisées, soit comme des 
équations différentielles où la variable est cp, la fonction R et ses 
dérivées successives p ( , p 2 , . .., ou, si on le préfère, la fonction 
est l'arc s de la courbe, et ses dérivées successives sont R, p, , .... 
Elles se prêtent de la manière la plus simple au calcul des équa- 
tions du même genre pour les courbes parallèles, les développées 
et les développantes de tous les ordres. Ainsi pour les courbes 
parallèles, tracées à une distance donnée /, il suffit de remplacer 
dans l'équation R par R rb /. Pour les développantes d'ordre /?, 
il suffit d'augmenter de/? tous les indices des lettres p (R étant 
regardé comme équivalent à p ). Pour la p leme développée, il 
suffit de différentier p fois l'équation par rapport à cp, d'éli- 
miner R, pi, ..., p ; ,_i entre les p -\- i équations ainsi obtenues, 
et de diminuer de p tous les indices des lettres p. 

En opérant ainsi sur l'équation (16), on trouve pour les 
courbes qui sont des premières développées de paraboles, l'équa- 



ou - 



lion générale 



(17) 



!44R8_ [8R»p,+ R(4p5 h55pf)-5pîp t =o. 



Pour obtenir l'équation différentielle ordinaire de ces courbes, 
il suffirait de remplacer dans (17) RjPij P2 par leurs expressions 

en fonction de y' \y" ', y' n ', y x \ savoir 



r = w *y-i 



(»8) \ p.= R(3y-wy'-«y , ) J 

( Pï = r| 3(i-f- iy) — s»ys-*y+ » , /-»(3/-y/ T )]. 

L'équation (16) fournit une construction simple du rayon de 




courbure de la deuxième développée d'une parabole, connaissant 
les rayons de courbure MM, de la parabole et M,M 2 de sa pre- 
mière développée : il suffit de prendre M, N = | M, M 2 , de 
joindre MN, d'élever ISP perpendiculaire à MN jusqu'à sa ren- 
contre avec MM, prolongée^ MP est le tiers du rayon demandé. 
Pour obtenir l'équation générale des coniques, analogue à (16), 
on pourrait de même remplacer dans (1) y" , y 1 " , y" ', y v par leurs 
expressions (i3). Mais le calcul est beaucoup plus simple en 

partant de l'intégrale de ( 1) prise sous la forme (7) ( avec w = — )• 

On arrive immédiatement, en tenant compte de (i5), à l'équation 



(19) 



7-297t2Rio = S*(9R 2 — 3Rp 2 -M??) 3 , 



qui donne déjà une relation entre l'aire S d'une conique, et les 
rayons de courbure de cette conique et de ses deux premières 
développées en 3 points correspondants quelconques. Celte 
relation peut se mettre sous une forme plus remarquable, en 



— 64 - 

désignant par C, C t , C 2 , les aires des 3 cercles de courbure en 
un point quelconque M de la conique, et aux points correspon- 
dants M, et M 2 de ses deux premières développées; elle devient 
alors en effet 

s / , < <:, i /CT\~* 

l "-°) c = \ l + ïc-W~c) 

formule qui donne l'aire S de la conique en fonction des aires de 

ces 3 cercles de courbure. 

Pour passer à l'équation générale des coniques, il suffit d'éli- 

S 2 • • 

miner entre l'équation (iq) et sa dérivée, savojr 

729 7T 2 ' X V/ 

7'>. 9 oir 2 R9p 1 = 3S 2 (f)K 2 -Mp?— 3Rp 2 ) 2 (i8Rp,— 3Rp 3 + 5p t p 2 ), 
ce qui donne 
(ai) y Ra ( p 3 -h- 4 p, ) — 45 H p, p 2 -h 4o pf = o. 

C'est l'équation demandée; elle fournit l'expression du rayon 
de courbure o 3 de la troisième développée d'une conique, quand 
on se donne ceux de la conique et de ses deux premières déve- 
loppées en des points correspondants. Elle présente, d'ailleurs, 
une analogie frappante avec l'équation (1) : les coefficients numé- 
riques sont les mêmes, et l'on passe de (1) à (21) en remplaçant 
f" 1| )'"',r ,, ,J' ï , respectivement par K,, p 1? p 2 , pa + 4?i- 

Je me propose d'étudier spécialement, dans un travail ultérieur, 
les propriétés de ces équations différentielles intrinsèques, telles 
<pie (i6) ; (17), ( 2I )' et de former celles qui représentent diverses 
familles de courbes. Pour le moment, je me bornerai à signaler 
la curieuse propriété que voici : 

Appelons poids d'un terme, dans une expression telle que le 
premier membre de (21), la somme des produits de l'indice de 
chaque lettre p par son exposant. Pour que l'équation finie des 
courbes d'une même famille puisse s'obtenir en égalant à zéro 
une fonction de x et de y symétrique par rapport à ces deux 
lettres, abstraction faite des valeurs données à certaines con- 
stantes, il faut et il suffit (pie l'équation correspondante en 
R, C|, ...,0/,, où ces constantes ont toutes disparu, ne com- 
prenne (pie des termes dont les poids soient tous de même 
parité. 



— f>r> — 

SUR UNE PROPOSITION DE MATHIEU; 
Par M. de Séguier. 

Mathieu a énoncé ce principe que clans un groupe ÇJ transitif 
de degré q = >.p -h 1 (/> et q étant premiers) d'ordre < \(a ! | 
<^ > q(q — 1)» tes diviseurs d'ordre p sont permutables à des 
substitutions de degré i(p — = <7 — 3 (J. M., 187.3, p. 26). 

La démonstration que j'en ai donnée récemment (y. M,, 1902, 
[). 281) (') peut être remplacée par la suivante, qui est beaucoup 
plus simple. 

On verra toujours de la même manière que (j n'a pas de diviseur 
d'ordre p 2 et que ses substitutions d'ordre p ont deux cycles. 
Soient N l'ordre du diviseur G de (j qui fixe un symbole et dp 
l'ordre du groupe des substitutions permutables à un diviseur 
d'ordre p. On peut supposer que G n'a pas de substitutions paires, 
sans quoi on considérerait le plus petit multiple commun des sub- 
stitutions paires. Alors le groupe des éléments de Çj permutables 
à un de ses diviseurs d'ordre q est d'ordre pq et Ç contient 

— (^ — = 2N 

pq 



p — ï 



substitutions d'ordre q. 

Si c/=t, G contient N - substitutions d'ordre/? et (j con- 
tient 2N -f- N</ substitutions (7^1) d'ordre/? ou q. 

N 
Il reste donc dans G, et de même dans G, — substitutions. Mais 
° p 

cela est impossible, les conjugués de G étant premiers entre eux. 

On obtient une autre démonstration simple en s'appuyant sur 

ce théorème de M. Frobenius que les diverses substitutions de (, 

fixent en tout <yN symboles. 



(') Les inégalités hors texte de la page 281 doivent être remplacées par 
^N + e 3 > ? N^, d>- p ~ l 



dp 2 p 

et ne donnent d = 1 que pour p > 2. Mais le cas p = 2 est obvie. On remarquer;! 
que, pour un groupe quelconque G d'ordre N, e l -he i = &?*#; = t.\, t étant Le 
nombre des systèmes d'intransitivité de G. 

xxxi. 5 



- 66 - 

Je profiterai de l'occasion pour réparer une omission. Dans le 
Mémoire cité j'ai développé la démonstration (') de ce théorème 

quun groupe de degré p + i et d'ordre — — — deux fois 

transitif (\\ est clair qu'il le sera deux fois, s'il l'est seulement 

une) est nécessairement te groupe des substitutions (s, z , %) 

où a8 — py = i (mo'l. p) sauf si p = 7 auquel cas il y a un 
autre type (C. R., avril 1901). M. Frobenius en a publié une 
nouvelle démonstration (S. A. B., avril 1902) dont je n'ai eu 
connaissance que tout récemment. 



NOTE SUR UN PROBLÈME D'INTERPOLATION; 
Par M. C.-A. Laisakt. 

Les questions d'interpolation se présentent dans l'application 
sous des apparences très variées. La plus simple d'entre elles se 
formule habituellement ainsi : connaissant un certain nombre de 
points, rapportés à un système de coordonnées cartésiennes, 
trouver une courbe qui passe par ces points. Parfois aussi, les 
points pouvant se grouper par couples, en tout ou en partie, on 
est amené à la recherche d'une courbe passant par des points 
donnés, et ayant des tangentes données en certains de ces points. 
Si, en particulier, les tangentes sont connues pour tous les 
points donnés, il s'agira, au point de vue analytique, de déter- 
miner une fonction qui prenne des valeurs données pour des 
valeurs données a u a 1} . . ., a n de la variable, et telle que sa 
dérivée prenne aussi, pour les mêmes valeurs de la variable, 
des valeurs données (a). 

Un problème de statistique, qui a fait l'objet d'une question 
récente dans V Intermédiaire des Mathématiciens, conduit à 
cette forme nouvelle : On donne les aires d'une courbe comprises 
entre l'axe des^, et les ordonnées correspondant à des abscisses 
<7,, <7 2 , .... a„ connues ; on donne en outre le moment de chacune 



(') A.U dernier alinéa de la page >-\ il faut faire s — r; mais le raisonnement 
n'en est que si m pli lié. 



— (J7 — 

de ces aires par rapporta l'axe «lesjr, ei l'on demande de déter- 
miner la courbe {fig* i). 

A.nalytiquement, si l'on appelle y=f(x) L'équation de la 
courbe cherchée, cela équivaut évidemment à demander de déler- 

Fig. i. 




a, a-, a-t a 



miner la fonction y, connaissant, pour les valeurs a f , a 2 , . . . , a n 
attribuées à x, les deux intégrales 

/ f(x)dx et / xf{x)dx. 

♦ «•- 

Je me propose de montrer que cette question se ramène très 
aisément à la résolution du problème (a) ci-dessus. 
Soit en effet 

f f(x)dx = F(x) 1 f xf(x)dx=G(x), 

et considérons la fonction 



Nous avons 



* 7 



x) dx = S (x). 



S'(x) = F(x) et S(x) = xF(x)—G(x), 

comme on le reconnaît immédiatement en prenant les dérivées, 
et en constatant que, pour x = o, toutes les fonctionss'annulent. 
Des valeurs données F 4 , F 2 , ..., F„ et G,, G 2 , . . . , G„, qui 
correspondent à a 4 , a 2 , . . . , a ni nous pouvons donc déduire 



b 1 = ClyV \ O 1 , 



Jn — &n r* n {*n 



- 68 — 

Par conséquent, pour la fonction S (a?), nous connaissons ses 
valeurs S, , S 2 , . . • , S /0 et les valeurs de sa dérivée F, , F 2 , . . . , F„, 
pour les valeurs «,, a 2 , ..., a n de la variable, c'est-à-dire que 
nous sommes bien ramenés au problème (ci). 

Celte fonction S (x) étant déterminée par une formule d'inter- 
polation quelconque, la fonclion/*(.r) = S ,f (x) résoudra le pro- 
blème proposé. 

SUR LES FONCTIONS ET VECTEURS DE POINT CONTENANT UNIQUEMENT 
LES DÉRIVÉES PREMIÈRES DES COMPOSANTES DE LA VITESSE; 

Par M. Paul Appell. 

1. Soient, dans un fluide en mouvement, u, v, w les projec- 
tions, à l'instant £, du vecteur vitesse W au point (x,y, z). Je 
me propose de compléter, sur quelques points particuliers, 
l'élude des fondions et vecteurs de point dépendant unique- 
ment des neuf dérivées partielles 



du 


du 


du 


dv 


dv 


dv 


dw 


dw 


dw 


dx 7 


ày' 


dz' 


dx 


0/ 


dz' 


dx ' 


dy' 


dz* 



d'après les idées générales indiquées dans une Note des Comptes 
rendus (26 janvier 1903) et dans un Mémoire inséré au Journal 
de Mathématiques de M. Jordan (i er fascicule io,o3). J'appel- 
lerai ces fonctions et ces vecteurs fonctions et vecteurs de point 
du premier ordre. 

J'ai montré que si l'on pose 



du 


dv 

--^' 


dw 

H = -ôi' 


dw dv 
^ = dj^dz' 


du dw 

' dz dx 


dv du 

' dx dy 


Y dw dv 


du dw 
dz dx 


dv du 
dx dy 



toutes les fonctions de point du i cr ordre peuvent êlre exprimées 
à l'aide de six fonctions spéciales dont la signification cinéma- 



G9 - 
i ique esl simple, à savoir 

U : S, ' t.i,\ £;,, 

8 YÎ YÎ ï2 — 4(sj e »-^ e 8ei-+-ei*i)i 



(0 



^ = E,5«-+-E,iï«-hE,ç»+r,i l ç-+-r 1 ç5-h r 3 £r,. 

Dans l'expression de <]/, on a posé pour abréger 

l — , gj c 3 Yl 7 Ji 2 — 4 6 3 6 1 YI > •* — * £ * ° 2 1 : ' ' 

r,= 2(Y 2 Y.{ — '2£,Yl), ^= 2(Y3Ï1 — 2£2Ys)i r 3= 2 ( Yl Ï2 ~ 3 S ;J y.,), 

de sorte que »| est la forme adjointe de <a. 

On a alors les identités élémentaires bien connues dans la 
théorie des formes quadratiques 

E P -E 2 + E 3 = -o, 
4e 1 E,-+- Ysr 3 -4-Y*r i =4x, 



4E 2 E 3 -r| = i6 5l x, ..., 

r 2 r 3 -.a.Eir 1 =,8Yiît, ..., 

A = Tf -+- T| -j-Tj — 4(E 2 E 3 + E 3 E 1 -f- E t E 2 ') = — i60x. 

2. Calculons d'abord, en fonction des invariants fondamen- 
taux (i), la fonction de point 



^7 \^7 \^; 

On peut, pour l'obtenir, faire le calcul directement, ou remar- 
quer que le résultat se déduit du calcul de la fonction analogue 



"G»**«Ns} 



fait dans le Mémoire du Journal de Mathématiques, en y rem- 
plaçant £,, s 2 , s 3 , Yi>Y2>Ï3 par E l7 Eo, E 3 , r,,T 2 , T 3 . On trouve 
ainsi 

Kj = — 4 06 — iG£220x -i- i6/.'f . 
xxxi. 5. 



— 70 — 



3. La fonction 



L 







d\ ol 


'", à{ di 



esl également une fonction de point dont l'expression - si 

I. \vAl-. 

ï. Les fonctions calculées jusqu'ici sont paires en ;. /,. Ç : elles 
s'expriment rationnellement en !>-'. z. ô. Si nous considérons le 
jacobien des trois formes Q-, ©, 'l 





*] 


Y 


0-z, 


tto 


d'z 


à( 


^ 


t 


O'I 


O'I 


<><l 


àl 


à* 


dl 



il forme une fonction de point impaire en H. r ( . Z. Dès lors, son 
carré est rationnel ; on vérifie, en effet, par la règle de multipli- 
cation des déterminants, que l'on a 



il' 2 




i>l 


l'O 


k 


\Q* 


■2<l 


\il*x 


K, 



remplaçant R et K, par leurs valeurs connues, on a I- sous forme 
d un polynôme entier par rapport aux fonctions fondamentales) i). 
La lonction I se décompose en un produit de trois facteurs 
linéaires en ;. y . Z. 

La signification géométrique de I est facile à trouver. La fonc- 
tion 1 s'annule quand le tourbillon au point P est dans un des 
plans principaux de l'ellipsoïde des dilatations en ce point, c'est- 
à-dire dans un des plans principaux du cône 



El* 3 



■iy 



;v- 



zx 



v. *y = o. 



o. 1 ecteitrs de point du premier ordre. — Si nous appeLons 
de même vecteur de point du premier ordre tout vecteur indé- 
pendant du choix des axes dont les expressions sont formées uni- 



71 

i| uemenl à I aide des dérivées 



du 


Ou 


du 


dv 


Ov 


Ov 


dw 


dw 


i)\V 


te* 


àï' 


dz ' 


O.v 


5' 


Tz' 


~0x' 


Ty ' 


<)z 



il esl facile de montrer que Ions ces vecteurs peuvent être exprimés 
à l'aide <le trois vecteurs fondamentaux et des fonctions de 
point (i). 

Ou peu! prendre, pour vecteurs fondamentaux, les trois 
suivants : 

i° Le tourbillon Q de projections 

(Q) l r h Ç; 

2° Le vecteur <I> de projections 



(q») 



à® do 0's> 



3° Le vecteur W de projections 

dty dty dty 

(V) dV ^' âç' 

Soit alors un vecteur de point quelconque du premier ordre 
ayant pour projections 

X, ix, v; 
les trois fonctions 

Xj; H-{XTQ-hvÇ = A. 

(2) < dç ' ^ïj C/Ç 



cty (ty cty 

étant les produits géométriques du vecteur (A, u, v) par les trois 
vecteurs Q, <ï>, W ont des significations indépendantes du choix 
des axes; ce sont donc des fonctions de point du premier 
ordre. Les quantités A, B, C s'expriment donc en fonction des 
six fondions fondamentales ( i ). 

En résolvant alors les équations (2) par rapport à A, a, v, on 
obtiendra les projections du vecteur considéré en fonction des 



— 72 — 

projections des trois vecteurs fondamentaux et des six fonctions 
fondamentales. 

C>. Dérivées totales par rapport au temps de fonctions et 
vecteurs de point du premier ordre. — Nous avons montré anté- 
rieurement (loc. cit.) que Jes dérivées totales par rapport à l de 
fonctions et de vecteurs de point du premier ordre s'expriment 
par des fonctions ou vecteurs de point dépendant de la vitesse et 
de l'accélération, accompagnés de fonctions et vecteurs du 
premier ordre. 

Je compléterai les formules données à cet égard dans le 

Journal de mathématiques en donnant l'expression de ■—• 

Si nous appelons u\ v 1 , w' les projections du vecteur accélé- 
ration J de la particule iluide placée en P {x, y, z), ces quantités 
sont des fonctions de £, x, y, z. 

Nous poserons, pour simplifier, 



du' 

£■ — y 

1 dx 


dv' 

£.) = 9 

1 dy 




, dw' 

£•> = ■ y 

3 dz 


dw' dv' 

Y, = h - » 

i ' df dz 


, du 
Ï2 = dz~ 4 " 


dw' 
ox 


, dv du' 
ià dx df 


dw' dv' 
df dz 


, du' 

' dz 


dw' 
dx 


yl dv' du' 

2 Q = 

dx df 



Nous aurons alors, d'après les expressions de 



d\ </E, dï\ 

dt dt dt 



données dans les Comptes rendus du 26 janvier 1903 et dans le 
Journal de Mathématiques , les formules suivantes : 



dt 


dty d\ t d6 dr t dty d* 
'- <jf ~dt" dr t 777 " " d£ dt 




„, rfE, , , dE î ( r2 dE, 
* dt ^ dt n ^ dt 




rfr, ^ rt dr t dr 3 
~*~^~dt, h ^ dt + ™ </* 



— 73 - 

La première partie 

7J£ ^ + di\ lu H " dç rf/ 

est égale à 

la seconde partie, composée des six derniers termes, est égale à 

2 [(4e,e' 8 ■+- 4 e 3 £' 2 — 2^1 y'i )£ 2 + 2(Y*Ya + YsYs ~ 26 iYi ~ ' 2 Yi £ i ) T <Ç I 
— 0^ -+- xi> 2 — 4 cp<22 h_ 4 0£2*. 

On a donc enfin 

-+- Z[(4e,ei+ 4£ 3 £2 — ^TiY'i)^ 2 + 2 (Y2Y3 + Y3Y2 — 2£ Yi — 2 Yi £ i) T ^l 
— 3 6^ -+- 3 xi22 _ 4 cpî)2 _|_ 4 0QV . 

Dans celle formule, la première et la deuxième ligne du second 
membre forment chacune un invariant simultané des deux vec- 
teurs vitesse et accélération. 

Je me bornerai à cette formule, en laissant de côté le calcul des 
dérivées géométriques des vecteurs fondamentaux <I> et W 

d^ /do\ d /dcp\ d /<ty\ 
dî\âl)' dt\dri) 9 di\dç)' 

d_/àty\ d_/àty\ d_/àty\ 
di\àU 9 di\d7J' dt\dîj' 

qui se fait aisément à l'aide des formules précédentes. 



74 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES, 



SÉANCE DU 7 JANVIER 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. RAFFY. 

La Société, réunie en Assemblée générale, procède au renou- 
vellement du Bureau et à l'élection du Conseil. 

Communications : 

M. Hadamard : Sur une question de calcul des variations. 
M. Hadamard : Sur une question relative à la division du 
cercle. 

M. Servant : Sur les lignes de déformation nulle dans la 
théorie de V Elasticité. 

M. Hadamard : Observations sur la Communication précé- 
dente. 



SÉANCE DU 21 JANVIER 1903. 



PRESIDENCE DE M. PAINLEVE. 



Co m m u n ica tions : 

M. Buhl : Sur la détermination des surfaces dont les lignes 
asympto tiques ont une projection orthogonale donnée sur un 
plan. 

M. Rafly : Sur la transformation de Pelersen et le problème 
des réseaux conjugués persistants. 

M. Servant : Sur un théorème relatif aux surfaces W. 

M. Borel : Sur la théorie du contact. 

M. Perrin : Sur V équation différentielle des coniques. 



/.> 



MM. KLœnigs, Borel, Servant, Bricard, Paînlevé : Observations 

sur la Communication précédente. 

M. kœnigs : Sur la construction du centre de courbure de 
l'enveloppe d'une courbe entraînée dans le mouvement d'une 
figure plane. 

SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1003. 

PRÉSIDENCE DE M. BOREL. 

Communications : 

M. Rafly : Sur la détermination d'une sur/ace d'après ses 
deux formes quadratiques fondamentales. 

M. Ruhl : Sur les méthodes de Cauchy et Riemann pour 
l'intégration des équations linéaires aux dérivées partielles. 

M. Borel : Sur la définition de la hauteur des nombres d'un 
ensemble dénombrable. 



SÉANCE DU 18 FÉVRIER 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. RÀFFY. 

Communications : 

M. Hadamard : Sur les glissements dans les fluides. 

M. Touche : Observations sur la Communication précé- 
dente. 

M. Perrin : Sur quelques conséquences géométriques de 
l'équation différentielle des coniques. 

MM. Laisant, Bricard, Hadamard : Observations sur la Com- 
munication précédente. 



- 7G - 
SÉANCE DU 4 MARS 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. TOUCHE. 

Communications : 

M. Laisant : Sur un problème d' interpolation. 

M. Bricard : Sur quelques développements en fractions con- 
tinues numériques obtenus par M. Deltour. 

M. Servant : Sur un problème relatif à la déformation des 
surfaces. 

M. Rafly : Observations sur la Communication précédente. 

M. Hadamard : Rectification à sa Communication du 18 fé- 
vrier. 

SÉANCE DU 18 MARS 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. TOUCHE. 

Communications : 

M. André : Sur les couples actifs de permutations. 

M. Fouret : Observations sur la Communication précédente. 

M. Hadamard : Sur un résultat de M. Estanave. 

M. Hadamard: Résolution du problème mixte posé dans 
V Article : Sur l'intégrale résiduelle ('). Application à V équa- 
tion des télégraphistes. 

( ' ) Ce Bulletin, 1900, p. 69. 






— / 1 



MKMOIIŒS ET COMMUNICATIONS. 



DÉTERMINATION EXPLICITE DES SURFACES 
QUI PRÉSENTENT UN RÉSEAU DOUBLEMENT CYLINDRE; 

Par M. L. Raffy. 

Pour poser le problème que je vais résoudre ici, je: citerai le 
débul d'une Noie que j'ai publiée il y a quatre ans (*) : 

« Si une surface présente un réseau conjugué (m, v) tel que les 
plans oscillateurs, menés aux courbes c = eonst. en Ions les 
points de chaque ligne «:=const., soient parallèles à une direc- 
tion fixe (U|, U 2 , U 3 ), je dirai que la famille u = const. est 
cylindrée. (On sait que toute famille de lignes de courbure 
planes est cylindrée.) Si la même propriété appartient aux deux 
familles du réseau, on dira que la surface est doublement cylin- 
drée : telles sont, par exemple, les surfaces de translation et 
d'autres dépendant d'un plus grand nombre de fonctions arbi- 
traires. Je reviendrai sans doute sur la théorie générale de ces 
surfaces, qui me paraît mériter d'être développée. » 

Quelques semaines après l'apparition de cette Note, M. Gui- 
chard ( 2 ), qui avait retrouvé, sous le nom de loi de parallélisme 
des réseaux, une remarquable transformation, due au géomètre 
russe K. Pcterson ( 3 ), donnait l'intéressante indication que voici : 

« Parmi les réseaux parallèles à un réseau doublement cylindre. 
il y en a un dont les deux tangentes rencontrent chacune une 
courbe fixe. Cette propriété permet de construire tous ces ré- 
seaux. On peut diriger les calculs de façon à n'introduire que des 
quadratures dans les résultats. » 



(') Surfaces doublement cylindrées et surfaces isothermiques {Comptes 
rendus de l' Académie des Sciences, t. CXXVIIf, 1899, P* 2 ^0- 

('-) Sur quelques applications de la loi de parallélisme des réseaux et des 
congruences (lbid., p. 723). 

( 3 ) Recueil mathématique de Moscou, 1866. — Voir aussi une Note <lo 
M. Stàckcl Sur la déformation des surfaces (Comptes rendus de V Académie 
des Sciences, t. CXXIII, 1896, p. 677) cl un Mémoire cl ti môme auteur inséré 
dans les Mathematische Annalen (t. \LI\ | 

xxxi, 6 



Ces lignes m'avaient décidé à ne pas revenir sur le problème 
général des surfaces doublement cylindrées. Mais mon attention 
ayant été rappelée récemment sur la transformation de Peterson, 
je reconnus que le théorème de AI. Guichard ne fournit pas les 
réseaux doublement cylindres dont une famille est composée de 
courbes de contact de cylindres circonscrits [réseaux singuliers). 
Gela tient à ce que les réseaux singuliers se correspondent à 
eux-mêmes, comme il sera prouvé plus loin (n° 16), dans la 
transformation considérée. J'ai ainsi été conduit à reprendre le 
problème par la méthode indiquée dans ma Note, et j'ai obtenu 
la détermination entièrement explicite des surfaces qui pré- 
sentent un réseau doublement cylindre, par des formules où ne 
figure a ue un signe de quadrature. 

J'ai comparé mes résultats relatifs aux réseaux non singuliers 
avec ceux que fournit la méthode de M. Guichard; cette méthode 
conduit effectivement à des quadratures portant sur des fonctions 
arbitraires; mais, si l'on fait disparaître les signes de quadrature, 
on retrouve exactement les formules obtenues au paragraphe 111 
du présent travail. 

En vue d'applications éventuelles, je détermine, dans un der- 
nier paragraphe, toutes les surfaces qui présentent un réseau 
doublement cylindre à invariants égaux. 

I. — Familles cy lin orées et réseaux ooublemejnt cylinoués. 

1. On sait que, quand les courbes u = const. et v = const. 
forment un réseau conjugué sur une surface (S), les coordonnées 
ponctuelles x, y, z de cette surface satisfont aune équation de 
Laplace 

(E) *» b"h-b" 

On ov ihi dv 

Cela posé, nous énoncerons quelques lemmes qui caractérisent 
comme familles cylindrées certaines familles de courbes, com- 
munes à toutes les surfaces. 

Lemme 1. — Le réseau (//, e) étant conjugué, pour que les 
lignes u -- const. soient des courbes de contact de cylindres 






— 7<) — 
circonscrits, il faut et il suffit que Von <tii identiquement 

(i) Bj o 

Lemme 11. Ac réseau (u, v) étant conjugué, si les 

lignes ii = const. sont des courbes de contact de cylindres cir- 
conscrits, les plans osculateurs menés aux courbes v = const. 
en ions les points de chaque ligne u — const,. sont parallèles à 
un plan fixe, et réciproquement. 

Lemme III. — Le réseau (w, v) étant conjugué, pour que 
les lignes a = const. soient des courbes de contact de cônes 
circonscrits, il faut et il suffit que Von ait identiquement 

(■;) BB,-^l = o. 

ôv 

Lemme IV. — Le réseau (u, v) étant conjugué, si les 
lignes u = const. sont des courbes de contact de cônes cir- 
conscrits, les plans osculateurs menés aux courbes v=z const. 
en tous les points de chaque ligne u = const. passent par une 
droite fixe, qui est la tangente au lieu du sommet des cônes, 
et réciproquement. 

Ll suit évidemment de ces lemmes que toute famille de courbes 
d'ombre, faisant partie d' un réseau conjugué, est une famille 
cylindrée. 

2. Voici maintenant, d'après ma Note précitée, le caractère 
analytique général d'une famille cylindrée. 

Lemme V. — Le réseau (u, v) étant conjugué, pour que les 
lignes u = const., supposées ri être pas des courbes de contact 
de cylindres circonscrits, forment une famille cylindrée, il 
faut et il suffit que Von ait identiquement 

à , n dlogBtN _ / OlogBi 



(3 > ^l B --^- I M B — ^— ■ 

En effet, nous avons à exprimer que le plan oscillateur à la 
courbe de paramètre t>, mené au point (#, y, z) où cette courbe 
rencontre une ligne de la famille u = const., est parallèle, quel 



- 80 — 



que soit p, à une droite dont les coefficients directeurs #(«), 
b(u), c(u) ne dépendent que de u. Or l'équation de ce plan oscil- 
lateur est 

X — x \ y l — z 



x" 



y* 



<>. 



On a donc la condition de parallélisme 



a(n ) l>{u) c ( u | 

i i i 

•* II J U * IL 



X, 



y,r- 



= o. 



En conséquence, il faut et il suffit qu'il existe deux fonctions o 
et |à telles qu'on ait 



dv 



( pÔ'u + pQ"u> ) = O ( = 07, JK, * ), 



ce qui peut s'écrire 



: J - 



du \du Ov 



dp d*% 
ôv dû* 



d 2 dp dO 



du dv dv du 



Si l'on remplace 0^ par sa valeur tirée de l'équation fonda- 
mentale (E) et qu'on ordonne suivant les dérivées de 9, il vient 



[jlB 



di±\ d' 2 



dv } du' 2 



[jiBBi -+- \x 



du 



qB -+- -i- — 



dv I du 



pB 1+[ xB^ — )-=o. 



Cette condition étant vérifiée par les trois coordonnées x, y, s, 
on reconnaît aisément qu'elle doit se réduire cà une identité. On 
aura donc 



(4) 
(5) 

(6) 



£ + ** — 

-J- -4- p B -h U BB, -f- a — = o, 

pB t -+- uB? -h a — — = o. 
du 



Or nous supposons que les lignes u = const. ne sont pas des 



- 81 — 

courbes de contact de cylindres circonscrits, c'est-à-dire (loin me 1; 
que la fonction T», ne se réduil pas à zéro. Il su i i d<- là que [a ne 
peut pas être pris égal à zéro, parce que f devrai! alors être nul 
aussi el <|m«' la double supposition p=|x = o est inacceptable. 
La solution ;jl = o étant écartée, l'équation (4) donne 

- Çhdu 

[i = e •' 
( )n tire de L'équation ((3) 

Substituant ces expressions de p et de pi dans l'équation (5) et 
négligeant le facteur commun u., on trouve 



â /., dlogB,\ D / <Mo S B 



^ b --^j +i H b 



dv 



— o. 



ce qui est la condition annoncée. Elle est évidemment nécessaire 
et suffisante, d'après la façon même dont elle a été obtenue ( 1 ). 
Il est à peine besoin de faire observer que cette condition (3) 
est vérifiée si l'on a, en particulier, 

c'est-à-dire si les lignes u = const. sont des courbes de contact 
de cônes circonscrits (lemme III), ce qui s'accorde bien avec le 
lemme IV. 

3. Nous pouvons maintenant aborder la détermination des sur- 
faces admettant un réseau (a, v) doublement cylindre. L'analvse 
précédente impliquant essentiellement la condition B, ^é o, les 
réseaux dont fait partie une famille u = const. de courbes de 
contact de cylindres circonscrits et qui sont caractérisés (lemme I) 
par l'hypothèse B, — o, ne rentrent pas, bien que cette famille 
soit cylindrée (lemme U), dans la classe générale des réseaux dont 



(') Elle exprime (en vertu du lemme I) que les arêtes de rebroussement des 
développables circonscrites à la surface (S) suivant les lignes u = const. sont, 
sur la surface (S) qu'elles engendrent, des courbes de contact de cylindres cir- 
conscrits. 



— 82 — 

une famille est cylindrée. Si la seconde famille ( : consl. d'un 
pareil réseau (B, = o) csi cylindrée", oe réseau sera doublement 
cylindre, sans pouvoir être donné par les formules générales des 
réseaux doublement cylindres que nous établirons ci-après; c'est 
donc un réseau doublement cylindre singulier, qu'il faut 
rechercher à part. 



II. — Rése 



Al \ DOUBLEMENT CYLINDRES SINGULIERS. 



4. Proposons-nous de déterminer toutes les surfaces qui pré- 
sentent un réseau doublement cylindre dont une famille // = const. 
est formée par des courbes de contact de cylindres circonscrits. 
A la condition 

(') B, = o 

il faut associer celle qui exprime que la famille v = const. est 
cylindrée. En vertu du lemme V, nous obtiendrons celte relation 
en échangeant a et c, ainsi que B et B, dans la relation (3), ce 
qui donne 



£(*-'-&)+*(*-'-% 



= o. 



Mais il ne faut pas perdre de vue l'hypothèse B = o, exclue par 
le lemme Vet en vertu de laquelle (lemme 11) la famille v — const. 
est cylindrée. Jl faut donc, avant tout, mentionner ce cas extrême 
B = B, = o. 

5. Cas extrême B = B 1 = o. — Cette double hypothèse, ré- 
duisant l'équation fondamentale à 8^=0, ne correspond. qu'aux 

surfaces dites surfaces de translation 

(I) ■'=-- Ui + V,, y = U, hV,, 3= U 8 V , 

qui, toutes, sont doublement cylindrées (n° l). 

(>. Cas intermédiaire. — Supposant désormais B^o, nous 
pouvons faire usage de la condition (3'), que l'hypothèse B, =■ o 
réduit à 

â / cHogB | B \ =o 

du • 1 / 



( )ll ci Miel m | 1 1< |,i 



tHogB V" 

,v Y 



en désignant par Y une fonction <lc c seulement, par V el \ " ses 
deux premières dérivées. Le résultat précédent s'écril 



>-(%) V '. 



Intégrant et désignant par U une fonction de // seulement, 

nous trouvons 

V 



(7) » = 



U + V 



Supposons que la fonction U se réduise à une constante : on 
peut alors prendre U = o. L'équation fondamentale (E) devient 

On a donc, par une première intégration, 

a4=u;v, ri=u;v, *' tt =u;v ; 

et, par une seconde intégration, 

| a? = U 1 V + V„ 

(II) ) r = u,v + v 5 , 

( « =u,v+ v„ 

Jes U; désignant trois fonctions arbitraires de u et les V; trois nou- 
velles fonctions arbitraires de v. Ces formules, qui ne contiennent 
en fait que cinq fonctions arbitraires (au lieu de sept), repré- 
sentent toutes les surfaces qui admettent un réseau conjugué 
formé par une famille u = const. de courbes de contact de 
cylindres circonscrits et par une famille v = const. de courbes 
de contact de cônes circonscrits. En effet, B, étant nul et B indé- 
pendant de u, on a bien 

RI> dB 

BB^-^o, 

ce qui est (lemme 111) la condition nécessaire et suffisante pour 
<|iic les lignes v = const. soient des courbes de contact de cônes 
circonscrits). 



- 8i — 

7. Cas général. — Revenons à la relation (7) 

V 



\\ = 



I 



el suj)[)osons maintenant la dérivée I ' différente de zéro. L'équa- 
tion fondamentale (E) s'écrit 



6'' \ 



uv 



0'„ " U-+- V 1 
et donne, par une intégration immédiate, 

6' a =(U + V)cp( M ). 
Il convient de prendre 

cp(a) — — ! ( i = 1. 2, 3). 

ce que nous sommes en droit de faire, d'après l'hypothèse 
actuelle V ^é o. Nous aurons donc, pour x par exemple, 

àx 17 r/ U \ 

iw aw U 

Intégrant par parties et désignant par \ , une fonction arbitraire 
de v. nous trouvons 



/■ 



~ (U+\ \-fv\du =^>(U + V)-(Ui + V,). 



En conséquence, les surfaces qui admettent un réseau dou- 
blement cylindre formé par une famille u — const. de courbes 
de contact de cylindres circonscrits et par une famille de 
lignes v — const. qui ne sont ni des courbes de contact de cy- 
lindres circonscrits, ni des courbes de contact de cônes cir- 
conscrits, sont représentées par les formules 

l x= ^f(U-+-V)-(U 1 Vi), 
(III) {j \ M V)-(U 2 \,i. 

» = ^!(i \ i-(u,h v 

où les L sont des fonctions arbitraires de u. les \ des fonctions 



- 85 - 

arbitraires de v. Elles dépendent effectivement de six fonctions 
arbitraires. 

S. On peul s<- proposer de distinguer parmi ces surf;ie<-s celles 
sur lesquelles les courbes u ■= const. sont des courbes de contact 
de cylindres parallèles à an plan fixe. Il est bien connu que, 

dans ce cas, les courbes P=COnsl. sont situées dans des plans 
parallèles au plan fixe. Les surfaces correspondantes sont donc; la 
généralisation des surfaces moulures cylindriques de Monge, puis- 
qu'elles présentent un réseau conjugué dont une famille est com- 
posée de sections parallèles à un plan, et l'autre de courbes de 
contact de cylindres circonscrits parallèles à ce plan. Pour les 
trouver, supposons, par exemple, les sections planes v = const. 
parallèles au plan z — o. Il suffira d'écrire que, dans les for- 
mules (NI), l'expression de z est indépendante de u. On trouve; 
ainsi les formules 

' * = ^7(U + V)-(Ui + V 1 ) ï 



' r = |(U' + V)-(U S+ V 2 ), 

z =W(?) 1 

qui ne contiennent, en fait, que cinq fonctions arbitraires et 
qu'on peut écrire plus simplement en prenant U = u, W=t>. 
On arrive sans difficulté à un résultat tout à fait équivalent en 
considérant le cylindre variable 

y — ux = o{z,u), 

et en déterminant la fonction o de telle sorte que, sur la surface 
enveloppe de ce cylindre, les plans osculateurs aux courbes de 
contact u = const., menés aux divers points de chaque section 
plane z = const., soient parallèles à une droite. 

0. Remarque. — On connaît trois classes de surfaces, dépen- 
dant de fonctions arbitraires, sur lesquelles un réseau con- 
jugué (m, v) reste conjugué dans une série continue de déforma- 
tions. Ces réseaux persistants sont tous des réseaux doublement 
cylindres : 



- <sc — 
i" Les surfaces de Pelcrson et Bianchi, 

* = X(3r) + Y00, 

sont doublement cylindrées, comme surfaces de translation; 
2° Les surfaces de Peterson, 

a? = U,V, y=U 2 V, z = \ 3 , 

rentrent dans notre type (II), c'est-à-dire dans le cas intermédiaire 
des réseaux singuliers; 

3° Les surfaces de MM. Mlodzieiowski etGoursat, 

*=^(U + V)-U„ 7 = ^(U + V)-U 2 , s=W(k), 

rentrent dans notre type (III), c'est-à-dire dans le cas général des 
réseaux singuliers. 



III. — RksF.U X DOUBLEMENT CYLINDaÉS NON SINGULIERS. 

10. D'après le lemme V, pour obtenir toutes les surfaces pré- 
sentant un réseau doublement cylindre non singulier, c'est-à- 
dire dont aucune des deux familles n'est formée par des courbes 
de contact de cylindres circonscrits, il faut intégrer l'équation 
fondamentale 

(E) rT = B r + B 1J -, 

du ov du ov 

dont les coefficients B et B, satisfont au système 

11 est naturel de former les invariants h et k de l'équation (E). 
On trouve ainsi : 



et il est visible que le système (3), (3') est vérifié quand on sup- 
pose à la fois 

// — «>, k = o 



87 - 



on sail qu'alors l'intégration de l'équation (K) esl immédiate. 
Supposons maintenant h-^éo. Je dis que ^équation (E|) 
fournie par l'application de la méthode de Laplace a son 
invariant //, égala zéro. On a, en effet, 



dMog/i 

// ! — 2 A — / — » 

du w 
ou, en développant les calculs, 

cil*. wl5, rfMogB d« . /., âB 

1 Ou dv Ou dv du dv __\ " 0u 

Or, l'équation (3') donne 

— log Bi- 



ll vient, en conséquence, 

/ RR dB dB « ^ÏÔg-B'. 

Ou Ov Ou Ov 

c'est le premier membre de l'équation (3'); donc h { = o. 

A raison de la symétrie des équations (3) et (3'), on verrait de 
même que si k est différent de zéro, V équation (E_ ( ) a son inva- 
riant k_ t égal à zéro. 

En conséquence, nous distinguerons trois cas : le cas extrême 
h = o, k = o ; le cas intermédiaire h ^ o, k = o, ce qui entraîne 
h K = o; le cas général, h ^ o, £ ^ o, ce qui entraîne A, = o, 
k_\ = o. 

1 1. Cas extrême. — La double hypothèse Ji = A : = o revient, 
d'après le lemmelll, à supposer que les deux familles du réseau 
sont des courbes de contact de cônes circonscrits ; et, d'après le 
lemme IV, les surfaces qui présentent un pareil réseau sont dou- 
blement cylindrées. Des considérations géométriques simples 
montrent que leurs coordonnées ont des expressions de la forme 

.. U t -4-Vi U2+V2 u 3 -i-v 3 

les U ne dépendant que de u, les V que de < . 



— 88 — 
On peut aussi intégrer très facilement les équations 

dB dB t 



Il suffit de poser 



BB 1= = . 

ou ov 



)' X' 

B_- T , "'.--y 



On trouve immédiatement 

V U' 

X;„ = o, X = U-f-V, B = — ., , B t = — 



U -+- V * u + v 

et Inéquation (E) devient 

^(XO) __ 
du dv 

ce qui donne bien pour x,y et z les valeurs écrites plus haut. 

12. Cas intermédiaire. — La condition k = o exprime 
(lemme III) que les lignes u = const. sont des courbes de con- 
tact de cônes circonscrits ; mais, h étant différent de zéro, les 
lignes v = const. ne sont pas des courbes d'ombre. 

Pour intégrer les équations (3) et (3'), remarquons que, com- 
binées par voie d'addition, elles donnent toujours 

rfMogBB, nn 



au Ov 
C'est là une équation de Liouville, dont l'intégrale bien connue est 

U'V 



BB, 



(U-f-V)* 



U désignant une fonction de u seulement, dont la dérivée est U v , 
et V une fonction de v seulement, dont la dérivée est Y 7 . 

De cette relation, qui est valable dans tous les cas, rapprochons 
la condition k = o, qui donne 



BB.= 22i. 

1 Ov 

11 viendra 

()B, U'V 



dv i l -+- \ 



— 8!> — 

d'où résulte, par une intégration immédiate, 

Pour plus de ressemblance avec ce que nous trouverons dans le 
cas général, nous écrirons 

U' , U' Ul(U-f-V)-U'U. 
(9) 'n — — 



U + V U U (U -h V) 

Or B est ici la dérivée logarithmique de B, par rapporl à p; nous 
aurons donc 

, . R v vu;, 

(10) B = 



u + v u;(u-4-v)-u'u 

Si l'on porte ces valeurs de B, et B dans l'équation (E), l'in- 
variant k sera nul, ainsi que l'invariant h K de l'équation (E<). 
Or on sait que l'hypothèse k = o réduit l'équation (E) à la forme 

£(£-*•)-»(£-»••)-•■ 

Nous aurons donc une intégrale particulière 8 en posant 

d'où l'on tire, avec une nouvelle fonction arbitraire V t dépen- 
dant seulement de p, 

fn t du v,Uo 

D'autre part, si nous efFectuons la transformation de Laplace 

(12) 6i=^-B6, 

nous serons conduits à l'équation (E«), qui, ayant son invariant //, 
égal à zéro, peut s'écrire 



— <J0 - 
et l'on sait que est lié à 0, par la relation 

(,4) AO^-B.6,. 

Nous aurons donc une intégrale particulière pour 0,, el consé- 
qucmmcni pour 0, en posant 

(l3 } ~àïT- - —fi-' 

ce qui donne d'abord 0, = BU,, puis 

(i5) =|U1-U lf 

U< désignant une fonction arbitraire de u seulement et []\ la 
dérivée de U, . 

D'après la tliéorie des équations de Laplace, nous obtiendrons 
l'intégrale générale de l'équation (E) en ajoutant les deux solu- 
tions ( i i ) et ( i 5 ), ce qui donne 



h ~» J ' u + v 



Il n'y a plus qu'à calculer le coefficient de \J\, dont l'expression 



générale est 



B 




i 


h 


Bi- 


cUogB 
du 



Or, si l'on substitue dans ce rapport les expressions (9) et (10) 
des coefficients B, et B, on trouve aisément 



(10)' 



B i^(U + V)-U 



h (»)'( 



U-+-V) 



et l'on est assuré (pic le rapport UJ, : U' ne se réduit pas à une 
constante, sans quoi h serait nul, contrairement à notre hypothèse 
actuelle. 

Pour passer de l'une des coordonnées aux deux autres, on doit 
conserver les fonctions U, U et V et remplacer par de nouvelles 



!)l 



fonctions arbitraires les fonctions U ( <•! \ ', qu'a introduites l'in- 



tégration. ( )n i rouve ainsi : 



§< u + v >- u « Uo v, 



( V ) (y 



(Ï?)'(U-HV) ~' 


« ' 1 


: 


U H- \ ' 


^(U+V)r-U 

(S)'(U-HV) ' 


u, 


+ 


u„\ , 
U H ■ V ' 


^(U + V)-U 

_.. : II' 


rrô 


-+- 


u v 3 



U«\' T „. " * U+V 



($)V+V) 



Telles sont les expressions générales des coordonnées des sur- 
faces qui présentent un réseau doublement cylindre dont une 
famille (u= const.) est formée par des courbes de contact de 
cônes circonscrits, les lignes v = const. n'étant point des courbes 
de contact soit de cônes, soit de cylindres circonscrits. 

13. De même que nous avons obtenu précédemment (n° 8) une 
généralisation des surfaces moulures, on peut ici généraliser la 
double propriété des surfaces de Joachimsthal en distinguant 
parmi les surfaces (V) celles pour lesquelles les cônes circonscrits 
suivant les lignes u = const. ont leurs sommets en ligne droite. 
On sait, d'après un théorème dû à M. Rœnigs, que les lignes 
p= const. sont les sections faites dans la surface par les plans qui 
contiennent cette droite. Prenons cette droite pour axe des z, et 
exprimons que les tangentes aux courbes v= const., menées aux 
divers points de chaque ligne u = const., vont passer par un point 
(o, o, U,) de Oz\ nous trouvons 

^ u y u _ *u 



x y z — U4 

On reconnaît immédiatement que la valeur commune de ces 
rapports est égale à B,. On a donc 



<Uo£X _ ô Xogy _ _ d U 

Ou ' du ~ l ~ du 8 U + V' 



92 - 



d'où 


l'on < 


léduit 










(16) 






./• — 


U \ 


7 = 


Ù-t-V 



Rapprochant de ces équations la dernière des formules (V), 

on a les coordonnées de toutes les surfaces qui présentent un 
réseau azimut al doublement cylindre. 

Il serait d'ailleurs facile de résoudre le problème directement, 
à l'aide des formules 

y = vx, z — u -+- x o { u , v i . X cp' a -+- ï = O, 

qui représentent une surface quelconque, rapportée à ses sections 
azimutalcs c = const. et aux. courbes de contact w = const. des 
cônes circonscrits qui ont leurs sommets sur l'axe O^. La famille 
u = const. est cylindrée, puisque les plans des courbes v = const. 
passent par l'axe Oz. En exprimant que la famille plane est éga- 
lement cylindrée, on obtient une équation aux dérivées partielles 
du troisième ordre, d'où l'on peut tirer l'expression entièrement 
explicite de la fonction <p. 

14. Cas général. — Les deux invariants k et k sont différents 
de zéro. Il suit de là (n° 10) que l'équation (E<) a son invariant 
h K égal à zéro et que l'invariant k_ K de l'équation (E_.,) est nul 
également. 

Nous sommes donc en droit de reprendre toutes les déductions 
du n° 12 relatives à l'équation (E, ), de sorte que l'équation 

(E) J™ „"+b" 

Ou Ov ou dv 

admet la solution particulière déjà trouvée dans le cas intermé- 
diaire 

05) e= |u; — U,. 

Les mêmes considérations s'appliquant à l'équation (E_,); nous 
aurons aussi une autre solution particulière 



07) B=-rrVi-V ll 



k 



si V, est une fonction arbitraire de rct V, sa dérivée. On sait que 



- 93 - 

L'intégrale générale de l'équation (E) est la somme <!<• ces deux 
solutions pari iculièrçs : 

(18) e = |u , 1 -u 1 +^vi-v 1 . 

Toul revienl donc à déterminer les expressions les plus géné- 
rales des fonctions B et l>, qui satisfont aux équations 

i(B-^H,(B-^) =0l 

\ cet effet nous poserons 

2 <T„ 2 ff„ 

Les deux équations proposées se réduisent à la suivante 



2 <J„.<J, 



C'est une équation de Liouville, dont l'intégrale est 

ce qui s'accorde bien avec la relation générale 

U'V 

BB t= (UH _ V) ,' 

remarquée à propos du cas intermédiaire (n° 12). 

L'équation (21) est l'une de celles qu'a intégrées M. Goursat 
(Bull. Soc. math., t. XXV, p. 44)- On a pour les dérivées de 1 
les expressions suivantes 

(U-i-V)V^ Uo-f-VoV _, (U-hV)*/à Uo-hVo 



Cm) *'*= W ih^HWr > ^ 



U' Wu U -t- V / " V V> U -h V 

U et V étant deux fonctions arbitraires, l'une de u , l'autre de P. 

XXXI. 



— \)ï 



Dès lors les formules (19) donnent par différentiation 



(23) 



( B =^ 10 &^«= 



U' V'(Uo-hVo) — VJ(U-hV) 



U-t-V U'(Uo-hVo) — U' (U- \ ) 

v u l (Uo-+-Vo)-u / (u-f-v) 

U + V V'(UoH-Vo) — Vi(U-f-V) 



Remarquons en passant que, si l'on introduit la double hypo- 
thèse 

U = const., \ = r.onst. 

dans ces formules, on retrouve les expressions de 13 et B { relatives 
au cas extrême (n" 11). Si l'on suppose que la seule fonction V 
se réduise à une constante, on retrouve les expressions (9) et (10) 
de B 1 et de B relatives au cas intermédiaire (n° 12). 

Il ne nous reste plus, pour avoir effectivement les coor- 
données x, y, z comprises dans le type (18), qu'à calculer les 
deux rapports B : A et B, : À - , au moyen des formules (23) ou, 
mieux, au moyen des formules (19), (21) et (22). 

D'après les expressions générales (n° 10) des invariants h et /. , 
nous avons 

B 1 B, 1 

h ~ 



l; 



à loi; B 
Ou 



B — 



<HogB, 



Il vient donc, eu égard aux formules (19); 



B 


1 


h 





Mais on a, en vertu de ces mêmes formules et de l'équation (21), 



B 



v/TFv 



/»'„ /<r' u 'i i/cJJX (U + V) \f7 u 
Remplaçons \/<r' n par son expression (22); nous trouverons 

/ôj 1 \ d t'„ V 

B | v v "" I \ ' 



— !»:■ 
mi , m effecl uanl la différent lai i<>n , 



S ^ [#<«+*>-<«•+*>] 



I le là résulte immédiatement 






1 1 ".U-V.-(U„+\ 



// /U'V 



(*)«•*»> 



> 



formule qui se réduit à la formule analogue (10') quand on sup- 
pose V =const. A raison de la symétrie des calculs, nous pou- 
vons écrire immédiatement 

Vo(U+.V)-(U H-Vo) 
/ -\ l>l ' 

(•■<->) T = - 



(^)'(U-V, 



Portons ces expressions (24) et (25) dans l'expression géné- 
rale (18) des coordonnées x, y, z, et désignons par L, . Y,, U 2 , 
Va, U 3 , Vj, les fonctions arbitraires qui correspondent aux trois 
coordonnées. Nous trouverons 

^(U + V)-(U, + V,) ^(U + V) — (U.-4-V.) 

(^)(U + V) ($)<U+V) 

5i (U + V) - (UoH- v ) ^ I u - V . - < U - V ) 

V) (y-- 7TT7-7 U 2 H -^-^ V;_ (U . 2 -i-V 2 i. 

^0 (U _j_ V) _ (Uo _ hVo ) ^-1 U - V . - . UoH-Vo) 

II' \ ' " ■) J / v' \ ' ^ *~ { ^a+- Vj). 

^•)(U+V) (1») (U + V, 

Telles sont les expressions générales des coordonnées des sur- 
faces qui présentent un réseau doublement cylindre, aucune 
des deux familles de ce réseau ne se composant de courbes de 
contact, soit de cylindres, soit de cônes circonscrits. Elles dé- 
pendent on fait de huit (et non dix) fonctions arbitraires. 



- 1)6 



[V. — Digression sur la transformation de Peterson 

OU TRANSFORMATION l'Ali RÉSEAUX PARALLÈLES. 

15. A une surface (S) don tics coordonnées ponctuelles (x,y, z) 
sont exprimées en fonctions de deux paramétres (m, v) on veut 
faire correspondre une surface (S)' de coordonnées x' , y', z' , de 
telle manière qu'à tout couple (w, c) correspondent sur les deux 
surfaces des points INI et M' où les courbes coordonnées aient 
leurs tangentes respectivement parallèles. C'est en cela que con- 
siste la transformation imaginée par Peterson en 18G6. Pour la 
réaliser, on pose 

( 2 G) rfO'= P^-du-hQ^dv, (0 = x,y,z: 0' = x',f, z'). 

La condition d'intégrabilité de cette expression différentielle 
donne 

(P d ^ _^ — _ ^ ^ - 

OuOv Ov Ou Ou Ov 

ce qui montre que le réseau (m, c) doit être conjugué sur la sur- 
face (S) ; si donc on écrit 

(L) - — p = B — h- B,— , 

Ou Ov Ou Ov 

on voit, en identifiant cette équation avec la précédente, que P 
et Q doivent satisfaire aux deux conditions 

(27) | + B(P-Q)=o, |2 + Bl (Q-P) = o. 

Gomme, d'autre part, on peut alors passer de (S') à (S) par la 

transformation 

1 o<y , 1 dV , 

(26)' ,/0 = ( lu-±--—dv, 

l Ou i) Oç 

le réseau (m, c) est conjugué aussi sur la surface (S'); d'où 
l'équation 

°'- n _w*' , r*' 

Ou dv Ou * dv 

Si l'on remplace P cl Q parleurs inverses dans les équations (2-) 







— 


'.17 


en même 


temps 


que 1 » e 1 1 » i | 


>;..• B' el Bi, 


menl 














l5 '. n' ; < 



on trouve immédiate- 



Il suit de là, entre autres conséquences, qu'à un réseau conju- 
gué don! une famille M = const. est formée par des courbes de 
contact de <-\ Lindres circonscrits (B f = o), la transformation con- 
sidérée fait correspondre un réseau dans lequel la (ami Ile 
M = const. est également formée par des courbes de contact de 
cylindres circonscrits (13^=0). C'est cette propriété que nous 
avons visée dans l'introduction du présent travail. 

Le procédé qui semble le plus élégant pour traiter les équa- 
tions (27) consiste à poser 

Il vient alors 

— = — 2BÇ, — = -5 h'2i5 t Ç, 

ov c)v ou ou 

d'où la condition d'intégrabilité 

+ B-P + B!- — h -: 1 5— ) Ç = o. 



()«(ip du dv \du dv 

Telle est l'équation dont dépend le problème dans le cas géné- 
ral. C'est V adjointe de l'équation (E); elle a ses deux invariants 
nuls, quand le réseau (m, v) de la surface (S) est formé de deux 
familles de courbes d'ombre, et alors seulement, d'où l'impor- 
tance particulière de ces réseaux. 

16. Dans ce qui suit, nous supposerons que sur la surface (S) le 
réseau (u, v) est un réseau à invariants égaux, c'est-à-dire 
qu'on a identiquement 

ou dv 



Pour satisfaire à cette condition, nous poserons 

X' X' 



» - — t> B i = — =rî 



— 08 - 
d'où résulte pour l'équation (E) la forme bien connue 

XO X ' 

l'équation en Ç deviendra 



<>2Ç dlogX < tHogX <?Ç <?»logX 
ce qui peut s'écrire 



Y — 



(1)' 



x: 



uc 



ç - X ' 

x 

On vérifie évidemment cette équation en prenant^ proportion- 
nel à A 2 . D'une manière plus générale, si l'on pose 

Ç = X*8, 

on retrouve pour 9 l'équation que vérifient les trois coordonnées 
(#,y, 2) de la surface (S). 

Sans nous arrêter aux conséquences que l'on pourrait déduire 
de cette remarque, revenons à la solution particulière Ç = X 2 ; 
elle entraine x = const. ( ' ). Si nous prenons 7 = o, il viendra 

P = X*, Q = -.X*, 

ce qui montre que, si Von connaît une surface (x, y, z) rap- 
portée à un réseau conjugué («, r) à invariants égaux, pour 

lequel on ait 

V V 

les formules 

*-M£*-Z*) («=*>'.*> 

représenteront une surface (x', y', z') sur laquelle le réseau 
(«, v) sera un réseau conjugué à invariants égaux, et les 
coefficients de V équation de Laplace à laquelle satisfont les 
trois coordonnées x', y', z' auront respectivement pour valeurs 

B'=— b, b;=-b,. 



(') Il est aisé de voir que l'on ne peut réduire t à une constante que si le 
réseau est à invariants égaux. 



- î)9 — 

La réciproque de celte proposition s'établit facilement; <:ll<; 
nous servira dans le paragraphe qui suit. 

On VOll que la I ransf unnal ion (le; PeterSOn pour les réseaux à 

invariants égaux conduit à la transformation de Moutard H)ar- 
boux. Théorie des surfaces, t. Il, n" 391). 

\.— Réseaux doublement cylindres a. invariants égaux. 

17. V raison de l'importance spéciale des réseaux conjugués à 
invariants égaux, nous allons déterminer tous ceux de ces ré- 
seaux qui sont en même temps des réseaux doublement cylindres. 
Nous avons donc à introduire dans nos résultais antérieurs la 
nouvelle condition 

I ,8) » = "l, 

Ou Ov 

caractéristique des réseaux à invariants égaux. 

Parmi les réseaux singuliers, ceux qui correspondent au ans 

extrême 

15, = o, I) == o, 

et ceux qui correspondent au cas intermédiaire 

B, = o, _ = o, 

sont évidemment des réseaux à invariants égaux. 

Les réseaux singuliers qui correspondent au cas général 

dB 

Bl = °' ^°' 

ne sont pas à invariants égaux, puisque ces deux hypothèses sont 
contradictoires avec la condition (28). 

Parmi les réseaux non singuliers, ceux qui correspondent au 
cas extrême 

au dv 

sont évidemment des réseaux à invariants égaux. 

En conséquence, les réseaux conjugués formes par deux 



— 100 — 

familles de courbes d'ombre (courbes deconlacl de cylindres ou 
de cônes circonscrits) sont à invariants égaux. Les surfaces qui 
présentent de tels réseaux sont définies par les formules (1), 
(II) et (IV). 

Ceux des réseaux non singutiers qui correspondent au .cas 

intermédiaire 

dB dB< 

ne sont pas à invariants égaux, puisque l'une de ces hypothèses 
est contradictoire avec la condition (28). 

18. Il nous reste donc à chercher, parmi les réseaux non sin- 
guliers qui correspondent au cas général, ceux qui sont à inva- 
riants égaux. On pourrait effectuer cette recherche en partant des 
formules générales (2.)) 

R U' V(Uo+Vo)-Vo(U + V) 

b ~ "u + VU'lUo+Voj-UilU + V)' 

R v ir(Uo+Vo)-u' (u-«-v) 

dans lesquelles on introduirait la condition 

0K dB* 

(28) 7- = ^^- 

Ou Ov 

Mais il est plus simple de reprendre les équations générales 
des réseaux non singuliers, savoir 

OH àB t trMog-B, 
(3) BK,-t- r-i r-a-i =0, 

Ou Ov Ou Ov 

0B 0K X r)UoçB 
(3') BBt- — -+--— r -%- =0, 

Ou Ov Ou Ov 

et de les intégrer à nouveau en tenant compte de l'hypothèse (28). 
A cet effet, nous poserons 

( 29) B = <., B, — a,',, 

ce qui réduit les équations (3) et (3') aux suivantes 

, , à* log<r' w 0' 2 logffj, 

(3c 1 ■> , 7,, = r : = : '- 

Ou ov Oit Ov 



— loi - 
L'égalité des deux derniers rapports entraîne 



\ i)' 1 

les deux dénominateurs, l'un fonction de p, l'autre fonction de n. 
étant différents de zéro; sans quoi l'un au moins des coefficients 
H el r> ( sérail nul, et le réseau serait singulier. Cette dernière 
relation montre que ? est une fonction de la somme U + V ; nous 

écrirons donc 

ff = n(U + V), 
d'où résultera 

15 = W, B 1= UV; 

et les équations concordantes (3o) nous donneront 



Pour intégrer cette équation, qui est du second ordre par rap- 
port à la fonction inconnue a-', nous poserons 



Il vient ainsi 






CD \ I 

— ) ■+■ — = ° 



Il suffit de multiplier par ao/ici) pour obtenir l'intégrale pre- 
mière 

/w'V I 

(3i) ( — =const. = /7i 2 . 

\ u> / <o 2 

Nous avons ici deux cas à distinguer, suivant que m est nul ou 
différent de zéro. 

19. Première hypothèse : m = o. L'équalion (3i) se réduit à 

u' = =f i ; 

d'où deux solutions 

w=zjz(U + V). 
La première donne 

r> = V = V B:=~=- U ' 



(O U + V ' CD " l [ -4- V 



— 102 - 

et nous retrouvons, comme il fallait s'y attendre, les réseaux 
formés par deux familles de courbes de contact de cônes cir- 
conscrits. Les surfaces correspondantes sont représentées parles 
formules (IV). 

La seconde solution donne 

V V' I I 



u) U + V ' w I \ 

Les valeurs de B et B, sont égales et de signes contraires aux. 
précédentes. D'après ce qui a été vu à la fin du n° 16, les coor- 
données Q' des surfaces cherchées pourront être calculées au 
moyen des coordonnées des surfaces précédentes ((i)'= — i) 
par la transformation de Peterson, particularisée de manière à 
conserver l'égalité des invariants, 



"-/'■'-{ 



oo , ae , 

-— au — dv 

Ou Ov 



On sait (n°ll) qu'ici À représente U + V et G le quotient de 
U|-f- V* parX; nous prendrons 

U + V 
Il vient alors, après un calcul facile, 

8'=(U-f-V)(U 4 - V 4 ) — i f\J'l) k du-h* f\'\ u dv. 

Pour effectuer les intégrations, il suffit de poser 



U' V 



U*=^7, V*=- 



-, y 



2U" * aV 

U ( et V 4 étant deux, nouvelles fonctions arbitraires. On trouve 
alors, en effaçant les accents des coordonnées 8', 



x 



~r~ (v; + Y--)~ iVl ~ hVl) ' 



( VII, j y = ÎL±I ( Ç. + Vj.J _ (Ul+ y, ), 

u+v/u; v;\ 



— 103 — 

Telles sonl les formules <|ui définissent l«-s surfaces pour les- 
quelles on a to , = i. On les déduit des formules (VI) en faisant 
dans ces dernières 2Vo = V a , 2U = — U a . 

"20. Seconde hypothèse : ni / <>. LYqualion (3l) s'écrit 

Son intégrale générale est 

w - _L Shm(U -1- V+.c). 
ni 

Nous avons mis en évidence, dans l'argument du sinus hyper- 
bolique, une constante arbitraire c, que l'on pourrait évidem- 
ment faire rentrer dans la somme des deux fonctions arbi- 
traires U et V. Mais, à raison de la remarque qui a été faite 
(n° 16) sur les réseaux à invariants égaux, il y a intérêt à retrou- 
ver les deux solutions où B et B, ont des couples de valeurs 
égales et de signes contraires. On les obtient en faisant d'abord 
ç = o, ce qui donne 

Shm(U-hV) „ mV _ mW 

W = ■) B = — — — i B 1 = 



m " Shm(U -f- V) Sh/n(U -+- V) 

in . , 

puis c= — i ce qui donne 



Shm(U-f-V) mV mV 

~nY~ "' B ~- Sh»i(U + V)' ,_ Shw(U-4-V)" 

On voit que les deux classes de surfaces qui se correspondent 
par la transformation 



'-/•■(£ 



du dv \ y 

dv 



au lieu d'être distinctes comme elles l'étaient pour m = o, ren- 
trent dans un type unique, indépendant même de la valeur de m; 
ce qui nous permet de prendre m = i avec c = o, d'où 



V U' 

B = ^— J ==-, B,= 



Sh(U-h V) ' Sh(U H- Y) 

Si nous faisons dans ces formules e v = U , e _v =:Vo, elles 



— loi 
deviennent 



R a UnV'n R aV„Ui 

'> — — ÏT5 \71 ' ji l = 



II 2 _ V 2 U 2 \ - 

cl nous devons intégrer avec ces valeurs de 13 eL B, l'équation 

(E) •_« =B * + B*. 

<^/ ov On dv 

Mais nous avons vu (n° 14) qu'à cause des relations A, = k_^ = o 
l'intégrale générale de cette équation était 

II' V 

e = rr- û- u ^- 4h ît- v " 

j, _ <HogB _ cHogBi 

U, et \ i désignant de nouvelles fonctions arbitraires. Si l'on 
calcule les dénominateurs de U', et de \\, on trouve 

dlogB U(,(U +V ) 

1 du Uo(Uo-Vo)' 

dlogB, V'ofUo+Vo) 

^ Vo(Uo-Vo)' 

Nous avons donc, pour représenter les surfaces cherchées, les 
équations 



U — Vo /U Vo,,,\ /TT - 7 

"=ij— v (ïï; u '-v; v ' y ) _(U ' +Vl '' 




._. Uo-v» /Uo,,, v„ ,„ 



u„ 







(ft D i-fe v 0- (U ' +v,) - 



Ces dernières formules, jointes aux formules (I), (II), (IV) 
et (Vil), font connaître l'ensemble des surfaces gui admettent 
un réseau conjugué (w, c) doublement cylindre à invariants 
égaux. Le problème que nous nous étions proposé est donc 
entièrement résolu. 



- 103 - 

MÉMOIRE SUR LES COUPLES ACTIFS DES PERMUTATIONS; 

l'ai- M. Désiré V.ndré. 

INTRODUCTION. 

1. Pour donner une idée de l'objet et des résultats du présent 
Mémoire, il est nécessaire de rappeler deux notions déjà anciennes, 
celle des séquences des permutations, celle des deux espèces de 
permutations ; et de faire connaître une notion toute nouvelle, 
celle des couples actifs des permutations. 

Les permutations, d'ailleurs, dont nous nous occupons, sont 
celles des n premiers nombres : ces nombres en sont les éléments. 

2. Une permutation quelconque des n premiers nombres est 
formée évidemment de suites alternatives d'éléments croissants ou 
décroissants. Chacune de ces suites est une séquence. La permu- 
tation 

871642359 

est ainsi formée des quatre séquences 

871, 16, 642, 2359; 

et la permutation 

78 1642359, 
des cinq séquences 

78, 81, 16, 642, 235g. 

3. Les permutations de n éléments se partagent en deux 
espèces: celles qui contiennent un nombre pair de séquences 
composent la première; celles qui en contiennent un nombre im- 
pair composent la seconde. La première des permutations ci- 
dessus (2) contient quatre séquences : elle appartient à la pre- 
mière espèce; la deuxième en contient cinq : elle appartient à la 
seconde. 

4. Lorsque, dans une permutation de n éléments, on échange 
entre eux deux éléments quelconques, tantôt cette permutation 
change d'espèce, tantôt elle n'en change pas. Si elle en change, 
les deux éléments considérés constituent un couple actif: sinon. 



— 106 — 

un couple inactif. Dans chacune (2) des permutations précé- 
dentes, 8 et 6 forment un eonpie actif; f\ et 3, un couple inactif. 
C'est aux couples actifs, et à eux seulement, que sont consacrés 
les trois Chapitres composant ce Mémoire. 

5. D'abord (Chap. I), je considère les éléments d'une permu- 
tation déterminée quelconque de n éléments; je classe les couples 
de ces éléments; et je donne les conditions nécessaires et suffi- 
santes pour que l'un quelconque d'entre eux soit un couple actif. 
Je cherche le nombre total des couples actifs contenus dans cette 
permutation, et j'exprime ce nombre à l'aide d'une formule unique, 
très simple, où il n'entre, avec le nombre n des éléments, que trois 
paramètres distincts. J'en déduis la probabilité pour que deux élé- 
ments, pris au hasard dans la permutation considérée, forment un 
couple actif; et je fais connaître la valeur maxima et la valeur mi- 
nima que cette probabilité peut prendre dans les permutations de 
n éléments. 

6. Passant ensuite (Chap. Il) de la considération d'une per- 
mutation déterminée, à celle de toutes les permutations de n élé- 
ments, je partage ces permutations en trois sortes; je nomme, 
pour des raisons presque géométriques, les permutations entrant 
dans chacune d'elles : permutations à segments séparés, permu- 
tations à segments imbriqués, permutations à segments super- 
posés; et je montre que, dans ces trois sortes, les permutations 
sont en même nombre. Dans ces trois sortes, d'ailleurs, je ne 
prends provisoirement que les permutations où les deux premiers 
éléments, les deux derniers et les n — 4 intermédiaires se suivent 
dans l'ordre des grandeurs croissantes : ce sont les permutations 
ordonnées ; et je donne des formules indiquant les calculs à effec- 
tuer pour obtenir les nombres cp„, y„, 6 /{ des couples actifs con- 
tenus respectivement dans les permutations ordonnées des trois 
sortes. Ces formules présentent chacune une superposition de 

quatre % ; mais elles ne sont, toutes les trois, que des cas parti- 
culiers d'une formule unique; et, en effectuant sur cette dernière 
les calculs indiqués, j'obtiens, pour cp„, y„, t|i M en fonction de /*, 
des expressions très courtes, d'une remarquable simplicité. 

7. Enfin (Chap. 111), ne me bornant plus aux permutations 






— 107 - 

ordonnées, je considère toutes les permutations <l< i n éléments; )<■ 
fais connaître } en fonction de />, le nombre t<>i<il des couples 
actifs contenus dans l'ensemble des permutations à segments 
séparés 5 dans l'ensemble des permutations à segments imbriqués, 
dans l'ensemble des permutations à segments superposés; et j'en 
déduis, pour chacun de ces ensembles, le nombre moyen des 
couples actifs contenus dans u*e permutation. Faisant abstraction 
des trois sortes de permutations, je considère le système complet 
des permutations de n éléments; je détermine, en fonction de /i, 
le nombre total des couples actifs qu'il contient; le nombre 
moven de ceux que contient une permutation quelconque; et le 
rapport de ce nombre moyen au nombre n des éléments. Tous ces 
résultats me permettent alors de résoudre plusieurs questions de 
probabilités, dont voici la dernière : Quelle est la probabilité 
d'obtenir un couple actif en prenant deux éléments quel- 
conques dans une permutation quelconque de n éléments ? 

8. Le présent Mémoire est fondé tout entier, comme je l'ai déjà 
dit, sur la notion des séquences, qui est due à Bienajmé ('); sur 
celle des deux espèces de permutations que j'ai fait connaître en 
1891 (-); sur celle, enfin, des couples actifs que je viens de défi- 
nir ici même (4). Comme on devait s'y attendre, il existe cer- 
taines relations ou analogies entre la théorie des couples actifs et 
la théorie des séquences; la plus remarquable est sans doute 
celle-ci : Dans le système complet des permutations de n élé- 
ments, lorsque n croit au delà de toute limite, le nombre 
moyen des couples actifs et le double du nombre moyen des 
séquences sont deux infiniment grands équivalents, c'est- 
à-dire deux infiniment grands dont le rapport tend vers 
l'unité. 

9. Ce résultat est nouveau, comme le sont, d'ailleurs, tous 
ceux qu'on va lire. J'ai exposé les principaux d'entre eux dans 
une courte Note, présentée à l'Académie des Sciences le 2 fé- 
vrier 1903. Ce qui m'a permis de les obtenir tous, malgré la 
grande difficulté du sujet, c'est l'idée que j'ai eue de partager en 
trois sortes les permutations de n éléments. Bien que cette classi- 

(') Académie des Sciences, séance du 6 septembre 1876. 
(-) Société philomathique de Paris, séance du 57 juin 1891. 



- 108 - 

(îcation soit LouL à fait conforme à la nature des choses, je n'y 
suis parvenu qu'après de longs tâtonnements et pour ainsi dire en 
dernier Jieu. Mais, dans le présent Mémoire, j'ai lout ordonné de 
façon qu'elle y apparut dès le commencement et s'y présentât 
comme d'elle-même. J'espère que le Mémoire tout entier, grâce à 
ce mode d'exposition, sera rendu très lisible et très clair. 

CHAPITRE PREMIER. 

DES COUPLES ACTIFS D'UNE PERMUTATION DÉTERMINÉE. 

I. — Echange de deux éléments. 

10. Lorsque, dans une permutation des n premiers nombres, 
on échange entre eux deux éléments ou nombres déterminés, 
quelconques d'ailleurs, tantôt cette permutation change d'espèce, 
tantôt elle n'en change pas. Nous allons chercher, dans tous les 
cas possibles, à quels couples d'éléments échangés correspondent 
ces différents résultats. 

11. Pour répondre à cette question, nous supposerons n égal 
et supérieur à 4 5 puis nous remarquerons : 

D'abord, que, dans toute permutation, les séquences, prises dans 
l'ordre où elles se succèdent, sont alternativement ascendantes 
et descendantes, ou réciproquement; 

Ensuite, que, si la première et la dernière séquences de la per- 
mutation sont Tune ascendante et l'autre descendante, ou réci- 
proquement, celte permutation présente un nombre pair de sé- 
quences ; 

Enfin, qu'elle en présente un nombre impair lorsque ces sé- 
quences extrêmes sont toutes deux ascendantes ou toutes deux 
descendantes. 

12. Il suit immédiatement de lu que les cas où la permutation 
changera d'espèce seront ceux où l'une des séquences extrêmes 
changera de sens, l'autre n'en changeant pas; que les cas où la 
permutation ne changera pas d'espèce seront ceux où les séquences 
extrêmes changeront toutes les deux de sens, ou bien n'en chan- 
geront ni l'une ni l'autre. 

13. Mais Le sens de la première séquence est déterminé par les 



— 109 — 

deux premiers éléments de la permutation] el l< i sens de la der- 
nière séquence par les deux derniers éléments. Ce sont donc, dans 
la question qui nous occupe, ces deux couples d'éléments ex- 
trêmes (lin jouent le rôle prépondérant. 

I \. Pour cette raison, nous partagerons les éléments de la per- 
mutation en trois groupes: les 2 éléments initiaux, les 2 élé- 
ments terminaux ^ les n — \ cléments intermédiaires. 

D'ailleurs, comme nous supposons le nombre total n des élé- 
ments égal ou supérieure 4> il csl clair que les éléments initiaux 
et les éléments terminaux sont toujours absolument distincts. 

15. Cela étant, prenons, pour les échanger entre eux, deux des 
n cléments de la permutation. INous pouvons le faire de quatre 
manières essentiellement différentes, car nous pouvons prendre : 

i° Deux éléments intermédiaires; 

2 Les deux éléments initiaux ou les deux éléments terminaux ; 
3° Un élément intermédiaire avec un clément initial ou termi- 
nal ; 

4° Enfin, un élément initial avec un élément terminal. 

II nous suffit évidemment, pour répondre à la question que 
nous nous sommes posée, de trouver, dans chacun de ces quatre 
cas, si la permutation change d'espèce ou si elle n'en change pas. 

16. Supposons qu'on échange entre eux deux éléments inter- 
médiaires. 

Les éléments initiaux, non plus que les éléments terminaux, 
ne subissent aucune variation; la première et la dernière séquence 
ne changent ni l'une ni l'autre de sens; par suite, la permutation 
ne change pas d'espèce. Donc : 

Théorème. — Quand on échange entre eux deux éléments 
intermédiaires quelconques, la permutation ne change jamais 
d'espèce. 

17. Supposons qu'on échange entre eux les deux éléments 
initiaux. 

La première séquence changeant de sens et la dernière n'en 
changeant pas, la permutation change d'espèce. 

xxxi. 8 



— 110 — 

Il en csl évidemment de même quand on échange cnlreeux les 
deux éléments terminaux. Donc : 

Théorème. — Quand on échange entre eux les deux éléments 
initiaux ou les deux éléments terminaux, la permutation 
change toujours d'espèce. 

18. Supposons qu'on échange un élément intermédiaire avec 
l'un, par exemple, des deux éléments initiaux. 

Il est clair que la dernière séquence garde son sens 5 et, par 
suite, que si les valeurs numériques des deux éléments échangés 
comprennent entre elles la valeur numérique de l'élément initial 
resté fixe, la première séquence changeant de sens, la permutation 
change d'espèce. Il est clair aussi que, si cette condition n'est 
point remplie, la première séquence ne changeant pas de sens, la 
permutation ne change pas non plus d'espèce. 

On trouverait un résultat analogue si l'on échangeait un élé- 
ment intermédiaire avec l'un des deux éléments terminaux. 

Mais les éléments de nos permutations sont les n premiers 
nombres. Pour abréger, au lieu de dire que les valeurs numé- 
riques de deux éléments comprennent ou ne comprennent pas 
entre elles la valeur numérique d'un autre, disons simplement 
que ces deux premiers éléments comprennent ou ne comprennent 
pas cet autre. Nous pouvons alors résumer de la manière suivante 
tout ce qui se rapporte à notre troisième cas : 

Théorème. — Lorsqu 'on échange un élément intermédiaire 
avec un élément initial ou terminal, la permutation change 
ou ne change pas cV espèce suivant que les deux éléments 
échangés comprennent ou ne comprennent pas entre eux V élé- 
ment initial ou terminal resté fixe. 

19. Supposons enfin qu'on échange un élément initial avec un 
élément terminal. 

Suivant que les deux éléments échangés comprennent ou ne 
comprennent pas entre eux l'élément initial resté fixe, la première 
séquence change ou ne change pas de sens. 

De même, suivant que les deux éléments échangés comprennent 
ou ne comprennent pas entre eux l'élément terminal resté fixe, la 
dernière séquence change ou ne change pas de sens. 



— 411 — 

Si donc nous appelons extrêmes fixes l'élément initial <•! l'élé 
menl terminal non déplacés, nous pouvons résumer ainsi tout ce 
qui se rapporte à noir* 4 quatrième et dernier cas : 

Théorème. — Quand on échange un élément initial avec un 
élément terminal, la permutation change d'espèce si les élé- 
ments échangés comprennent entre eux un se/// des extrêmes 
fixes; elle ne change pas d'espèce si les éléments échangés 

comprennent entre eux les deux extrêmes fixes } ou ne les com- 
prennent ni l'un ni Vautre. 

20. H est bien évident que les théorèmes qui précèdent, pris 
ensemble, constituent une solution complète de la question que 
nous nous étions posée, pour tous les cas où n est égal ou supé- 
rieur à 4* 

Dans les cas simples où n est égal soit à 2, soit à 3, l'examen 
direct des permutations conduit à ces deux propositions : 

i° Une permutation de deux éléments ne change jamais 
d'espèce quand on échange ses deux éléments entre eux ; 

'a Une permutation de trois éléments ne change cVespèce, 
par Véchange de deux de ses éléments, que quand les deux 
éléments échangés remplissent cette double condition : d'être 
juxtaposés dans la permutation et de ne pas contenir entre 
eux Vêlement resté fixe. 

II. — Nombre des couples actifs d'une permutation. 

21. D'après ce qui précède, étant donnés une permutation 
des n premiers nombres et, dans cette permutation, deux éléments 
quelconques que l'on échange entre eux, nous savons reconnaître 
si, par l'échange de ces deux éléments, cette permutation change 
ou ne change pas d'espèce; en d'autres termes, et pour employer 
les locutions définies plus haut (4), nous savons reconnaître si 
c'est un couple actif ou un couple inactif que constituent ces deux 
éléments. 

Nous prenons à présent une permutation quelconque des n pre- 
miers nombres; nous considérons tous les couples que l'on peut 
former avec les n éléments de cette permutation; nous cherchons 



— 112 — 

enfin, parmi tous ces couples, combien il yen a d'actifs, combien 
il y en a d'inactifs. 

22. Mais, avanl tout, nous ferons remarquer cjuc le nombre 
total des couples d'éléments qu'on peut prendre dans cette per- 
mutation est égal au nombre des combinaisons simples de /«objets 
2 à 2, c'est-à-dire à z n(n — i). 

Si doue nous désignons par y le nombre des couples actifs, 
par o le nombre des couples inactifs, nous avons 

n ( n — i ) 
Y + 8= 

Il s'ensuit que, pour répondre à la question que nous nous 
sommes posée, il suffit de déterminer l'un seulement des nombres 
y et o. 

Nous allons chercher le nombre y des couples actifs. 

23. Pour calculer ce nombre y, nous supposerons le nombre n 
des éléments de la permutation égal ou supérieur à 4; nous par- 
tagerons encore ces n éléments en trois groupes : les 2 éléments 
initiaux, les 2 éléments terminaux, les n — 4 éléments intermé- 
diaires; nous déterminerons ensuite combien on rencontre de 
couples actifs quand on échange entre eux, de toutes les 
manières possibles : 

i° Deux éléments intermédiaires; 

2 Les deux éléments initiaux ou les deux éléments terminaux ; 
3° Un élément intermédiaire avec un élément initial ou ter- 
minal ; 

4° Un élément initial avec un élément terminal. 

2i. Quand on échange entre eux deux éléments intermédiaires, 
la permutation ne change jamais d'espèce (16). Dans ce genre 
d'échanges, on ne rencontre donc aucun couple actif. 

25. Quand on échange entre eux soit les deux éléments initiaux, 
soit les deux éléments terminaux, la permutation (17) change 
toujours d'espèce. 

L'échange des deux éléments initiaux correspond donc à un 
couple actif; l'échange des deux éléments terminaux correspond 



— 113 — 
aussi à un pareil couple De là, deux couples actifs répondanl à ce 



genre <t échanges. 



2(>. Lorsqu'on échange un élément intermédiaire avec un 
élément initial, par exemple, la permutation ne change d'espèce 
i 18) que quand les deux éléments échangés comprennenl entre 
eux l'élémenl initial resté fixe. Il s'ensuit qu'un élément inter- 
médiaire, échangé successivement avea le premier puis avec le 
second des éléments initiaux, ne dorme de couple actif que s v ii 
n'est pas compris entre ces deux éléments initiaux; et que, quand 
celte condition est remplie, il ne donne qu'un seul couple actif. 
Le nombre des couples actifs qu'on rencontre en échangeant, de 
toutes les manières possibles, un ('dément intermédiaire avec un 
(dément initial est donc juste égal au nombre des éléments inter- 
médiaires non compris entre les (]eux éléments initiaux. 

On verrait de même que le nombre des couples actifs qu'on 
rencontre en échangeant, de tontes les manières possibles, un 
élément intermédiaire avec un élément terminal est juste égal au 
nombre des éléments intermédiaires non compris entre les deux 
éléments terminaux. 

Cela posé, appelons a la différence, prise en valeur absolue, 
des deux éléments initiaux ; jâ la différence, prise en valeur absolue 
aussi, des deux éléments terminaux; île nombre des éléments 
initiaux non compris entre les deux éléments terminaux, et y le 
nombre des éléments terminaux non compris entre les deux élé- 
ments initiaux. 

Pour obtenir les éléments intermédiaires non compris entre les 
deux éléments initiaux, il nous suffit évidemment d'écrire la suite 
des n premiers nombres; d'y barrer les deux éléments initiaux, 
puis les a — i éléments que ces éléments initiaux comprennent 
entre eux, et enfin les y éléments terminaux qu'ils ne comprennent 
point. Le nombre des éléments intermédiaires non compris entre 
les deux éléments initiaux est donc 

n — 2 — (a — i)— y, 
c'est-à-dire 

(n—i)—cc-J. 

Pour obtenir les éléments intermédiaires non compris entre les 
deux éléments terminaux, il nous suffit de même d'écrire la suite 



— 114 — 

des n premiers nombres; d'y barrer les deux éléments terminaux; 
puis les j — i éléments que ces éléments terminaux comprennent 
entre eux; et enfin les c éléments initiaux qu'ils ne comprennent 
point. Le nombre des éléments intermédiaires non compris entre 
les deux éléments terminaux esl donc 

n — 2 — (3 — i) — i, 
c est-à-dire 

(„_,)_ 3 _ i. 

Il suit de tout cela que, en faisant tous les échanges possibles 
d'un élément intermédiaire avec un élément initial ou terminal, 
on rencontre un nombre de couples actifs égal à 

2(/i — i) — (a-4-P)- (y -4-i). 

27. Lorsqu'on échange un élément initial avec un élément ter- 
minal, la permutation ne change d'espèce (19) que quand les deux 
éléments échangés comprennent entre eux un et un seul des deux 
extrêmes restés fixes. Par suite, le nombre des couples actifs qu'on 
rencontre en ce genre d'échanges dépend uniquement des valeurs 
de i et de /. 

Il v a évidemment trois cas à distinguer, el trois seulement : 
celui où i et y sont l'un et l'autre égaux à 2; celui où ils sont l'un 
et l'autre égaux a 1; celui où ils sont égaux l'un à o et l'autre à 2. 
l u examen direct, dune facilité extrême, donne pour ces trois 
cas les résultats suivants : 

i° Lorsque i et y sont l'un et l'autre égaux à 2, il y a deux 
couples actifs ; 

2 Lorsque i et y sont l'un et l'autre égaux à 1 , il n'v a aucun 
couple actif; 

3° Enfin, lorsque i et y sont égaux l'un à o, l'autre à 2, il v a 
encore deux couples actifs. 

28. Connaissant le nombre des couples actifs qu'on rencontre 
dans chaque genre d'échanges de deux éléments, nous sommes en 
étal d'écrire le nombre total des couples actifs que présente une 
permutation déterminée quelconque des n premiers nombres. 
Nous n'avons évidemment, pour obtenir ce nombre total, qu'à 
ajouter les nombres de couples actifs qui correspondent à chaque 
genre d'échanges. 



- 115 — 
En eflectuanl cette addition, et simplifiant légèrement les 
résultats qu'elle donne, nous arrivons aux trois propositions sui- 
vantes : 

i" Si i et j sont Vun et Vautre égaux à a, le nombre total 

des couples actifs est 

2(7l — l)— (a -H ?)H-(4 — i—j)\ 

2° Si i et j sont rua et Vautre égaux à 1, le nombre total 
des couples actifs est 

2(n — 1) — (a-+-p)-h(2 — »— j)\ 

3° Enfin, si i et j sont égaux Vun à o, Vautre à 2, /c nombre 
total des couples actifs est 

<i{n — 1) — (a-+- 3) + (4 — i— j). 

29. Les trois résultats que nous venons d'obtenir consistent 
chacun en une somme algébrique de trois termes, dont les deux 
premiers sont toujours les mêmes, mais dont le troisième affecte 
deux formes différentes. Pour ramener ces trois résultats à une 
seule forme, il suffirait donc d'y ramener leur troisième terme. 
On y parvient par la considération de la différence, prise en va- 
leur absolue, des deux nombres i et y. 

Soit, en effet, s cette différence, prise en valeur absolue. 

i° Lorsque i et j sont l'un et l'autre égaux à 2, la différence s 

est nulle, et l'on a 

4 — i — j = s; 

2 Lorsque i et j sont l'un et l'autre égaux à 1, la différence s 
est encore nulle, et l'on a 

a — i— y = e; 

3° Enfin, lorsque i et y sont égaux l'un à o et l'autre a 2, la 
différence s est égale à 2, et l'on a 



1 — / = £. 



Par conséquent, le troisième terme des sommes considérées est 
toujours égala s; par conséquent, en conservant aux lettres a, 



— 110 - 

[j, s les significations que nous leur avons attribuées, nous pou- 
vons énoncer ce théorème unique : 

Théorème. — Dans une permutation déterminée quelconque 

des n premiers nombres, n étant égal ou supérieur à 4, le 
nombre total y des couples actifs est donne par la formule 

Y — 2 ( n — i) — ( a -h {3 ) h- e. 

30. Les trois lettres a, [j, s qui entrent dans cetle formule re- 
présentent les valeurs absolues de trois différences, c'est-à-dire 
de trois quantités a ficelées tantôt du signe -j-, tantôt du signe — . 
La formule ne subsiste que parce qu'on y fait abstraction de ces 
signes. C'est là, ce nous semble, un fait remarquable et contraire 
à ce qui arrive d'ordinaire en algèbre, où les formules ne sont le 
plus souvent générales que lorsque Ton y prend avec leurs signes 
respectifs toutes les quantités qui y figurent. 

31. Notre formule (29) suppose, d'ailleurs, essentiellement 
que, dans la permutation considérée, les éléments initiaux et les 
éléments terminaux soient distincts, c'est-à-dire que le nombre n 
des éléments soit égal ou supérieur à 4 • U est aisé de voir : 

i° Que, si n est égal à 2, il ny a aucun couple actif; 

•2° Que, si n est égal à 3, le nombre des couples actifs est 
juste égal à la différence, prise en valeur absolue, du pre- 
mier et du dernier élément de la permutation. 

32. D'après ce que nous avons vu (22) sur la somme y + o, il 
est inutile que nous fassions une étude spéciale du nombre total 8 
des couples inactifs : nous avons, quelle que soit la valeur de /?, 

^ n{n — i) 

o = — Y ; 

et, par conséquent, toutes les fois que n est au moins égal à 4? 

( n — i ) ( n — 4 ) . . 

o = ^ +(ct + P)-e. 

III. — Question de probabilité . 

33. Considérons une permutation déterminée quelconque des 



ht - 

// premiers nombres, el cherchons l;i probabilité pour quelle 
change d'espèce lorsque l'on y échange entre eux deux éléments. 
pris au hasard. 

D'après la définition même <!<• la probabilité d'un événement, il 
nous suffit, pour résoudre ce problème, de calculer le nombre 
dr< cas possibles el le nombre des cas favorables, puis de diviser 
ce dernier nombre par le précédent. 

'M. Grâce aux calculs, déjà effectués, du nombre v des couples 
actifs el (\^ nombre© des couples inactifs, la détermination de la 
probabilité cherchée it ne présente aucune difficulté. 

Evidemment, en effet, un cas est favorable lorsque les deux 
éléments échangés forment un couple actif; défavorable, lors- 
qu'ils forment un couple inactif. Il s'ensuit que le nombre des cas 
favorables est égal à y; celui des cas défavorables, à o; celui des 
cas possibles, à y -f- o ; et, par conséquent, que la probabilité 
cherchée tï est donnée par la formule 

3o. Or, nous avons établi, d'une part (22), pour toutes les 

^ n(n — i ^ 

ï + ° = — - — ; 



valeurs de /*, l'égalité 



de l'autre (29), pour les valeurs de n égales ou supérieures à 4> 

l'égalité 

T =2(/i-i)-(a + p) + î. 

Donc, si l'on suppose n égal ou supérieur à 4? en conservant aux 
trois lettres a, [3, s les significations qu'on leur a données précé- 
demment (26 et 29), on peut énoncer le théorème suivant : 

Théorème. — La probabilité tz pour qu'une permutation 
déterminée des n premiers nombres change d' espèce lorsque 
Von y échange entre eux deux éléments pris au hasard est 
donnée par la formule 

/|(n-l)-2(2 + 3) + '2î 

n ( n — i ) 



- 118 — 

36. Appliquons ce théorème aux trois permutations des neuf 

premiers nombres 

2 /i 7 i 8 3 9 5 6, 

i 3 5097824. 
2 3 6 5 4 7 8i 9. 

Dans la première, 

n — 9, a = 2, P = i, £ = o; 

la probabilité est égale à — • 
Dans la deuxième, 

n = 9, a — 2, p = 2, £=0; 

la probabilité est - • 
Dans la troisième, 

» = 9i a = ï, p = 8, £ = 2; 

la probabilité est - • 
4 

37. On voit sur ces exemples, comme sur la formule (35), qu'il 
correspond, aux diverses permutations des n premiers nombres, 
des probabilités qui peuvent avoir des valeurs très différentes. On 
est conduit par là à se demander quelles sont, pour ces permuta- 
tions des /? premiers nombres, la valeur maxima et la valeur mi- 
nima que puisse prendre la probabilité cherchée. 

Or, si l'on considère l'expression de cette probabilité, on con- 
state que son dénominateur, ne dépendant que de /?, est le même 
pour toutes les permutations considérées. Il suffit donc d'étudier 
le numérateur. Et comme ce numérateur à son tour peut s'écrire 

4 ( n — 1 ) — 2 ( a -4- 3 — e ) , 

il est évidemment d'autant plus grand ou plus petit que le tri- 
nome a + t Q — s est, au contraire, plus petit ou plus grand. 

Ainsi, la recherche du maximum ou du minimum de la proba- 
bilité tc est ramenée à celle du minimum ou du maximum du tri- 
nôme a -h P — e. 

Il suit immédiatement de l'examen direct des valeurs simulta- 



— lit) — 

némeot possibles de a, % t ■ q:U€ ce trinôme e^i toujours positif; 
que la plus petite valeur qu'il puisse prendre est 2; et que la plus 
grande est 2/1 — ■ \. Il s'ensuil aussi que le maximum et le mini- 
iinini de la probabilité n fonl donnés respectivement par les ex- 
pressions 

4U-a) 4 



n(n — 1 ) n (n — i) 

dont la première vaut n — 2 lois la seconde. 

38. Dans le cas particulier où n est égal à 9, on trouve, pour le 
maximum et le minimum respectifs, 

7 I 

— et - • 

18 18 

Les probabilités qu'on a obtenues dans les exemples précédents 
tombent toutes les trois entre ces valeurs limites. On peut donner 
des exemples où la probabilité ait pour valeur soit le maximum 
soit le minimum qu'on vient de calculer. 

Considérons, en effet, ces deux nouvelles permutations des neuf 

premiers nombres 

3 4 5 1 G 1 7 9 8, 

183576492. 
Dans la première, 

ra = 9, a = i, P = i, £ = 0; 

la probabilité atteint — > c'est-à-dire la valeur maxima. Dans la 

r 18 

seconde, 

n = 9 , q. = 7, (4 = 7, £ = 0; 

la probabilité se réduit à — -> c'est-à-dire à la valeur minima. 
r 18 

39. Revenons à la formule (35) qui nous a donné la probabi- 
lité cherchée n : elle ne suppose connus que les quatre nombres n, 
a, p, e. La probabilité que nous étudions est donc absolument 
déterminée dès que l'on connaît le nombre des éléments de la 
permutation considérée, ses deux éléments initiaux et ses deux 
éléments terminaux. C'est là un résultat qui nous semble remar- 
quable. Peut-être pouvait-on le prévoir après ce que nous avions 
dit (13) sur le rôle prépondérant que jouent, dans les questions 



- 120 — 

d'espèces, les deux éléments initiaux et les deux éléments termi- 
naux. 

40. Quoi qu'il en soit, le théorème qui précède (35) résout 
complètement la question de probabilité que nous nous étions 
posée (33), sauf dans le cas où n est égal à 2, et dans celui où il 
est éeal à 3. 

Dans chacun de ces cas, nos raisonnements sont en défaut et 
nos notations perdent leur sens. Mais il suffit, soit de se rappeler 
ce que nous avons dit (31 ) sur les permutations de deux et sur celles 
de trois éléments, soit de procéder à un examen direct de ces per- 
mutations pour arriver très facilement aux deux résultats sui- 
vants : 

i° En toute permutation des 1 premiers nombres, la proba- 
bilité cherchée est nulle; 

2" En toute permutation des 3 premiers nombres, cette pro- 
babilité est égale au tiers de la différence, prise en valeur 
absolue, du premier et du dernier élément de la permutation . 

CHAPITRE II. 

DES COUPLES ACTIFS DANS L ENSEMBLE DES PERMUTATIONS ORDONNÉES. 

I. — Les trois soldes de permutations. 

41. Pour simplifier l'élude des couples actifs dans les permu- 
tations des n premiers nombres, n étant au moins égal à 4 5 rap- 
pelons-nous que le nombre y des couples aclifs d'une quelconque 
de ces permutations dépend seulement des valeurs qu'y présentent 
a, p et e. A fortiori, ce nombre y est-il déterminé lorsque l'on 
connaît, dans cette permulation, les deux éléments initiaux et les 
deux éléments terminaux ? 

Nous désignerons, dans tout ce qui va suivre, par a le plus 
petit des éléments initiaux et par A le plus grand; par b le plus 
petit des éléments terminaux et par B le plus grand. 

42. Les permutations, très nombreuses, où les éléments ini- 
tiaux et les éléments terminaux ont les mêmes valeurs détermi- 



- 121 - 

nées a < i i \, b et l>, contiennent chacune le même nombre de 
couples actifs. Mais combien existe-t-il de ces permutations ? 

()n les obtient évidemment toutes en écrivant, dans Lous les 
ordres possibles, d'abord les deux éléments initiaux a et \. en- 
suite les a j éléments Intermédiaires; enfin les deux éléments 
terminaux b el B. Le nombre total de ces permutations est doue 
■>. !(/j — /\)\ \). !, c'est-à-dire (n - - 4)14- 

Pour savoir combien ces permutations, toutes ensemble, con- 
tiennent de couples actifs, il nous suffira donc de multiplier par 
(// — 4) M ' e nombre des couples actifs contenus dans l'une quel- 
conque de ces permutations. 

13. Nous sommes ainsi ramenés à étudier, à la place des per- 
mutations considérées, les quaternes formés par leurs éléments 
extrêmes «, A, /;, B. La première chose à faire, c'est de trouver le 
nombre de ces quaternes; la seconde, de les classer. 

44. Un quaterne quelconque n'est autre chose qu'un système 
de quatre nombres pris parmi les n premiers; mais, à un même 
système de quatre nombres, correspondent toujours six qua- 
ternes différents. 

Supposons, en effet, ces quatre nombres mis, à la suite les uns 
des autres, dans l'ordre croissant 5 et, au-dessous de chacun d'eux, 
écrivons celle des lettres «, A, b, B qui répond au rôle qu'il joue 
dans la permutation. Après les avoir ainsi écrites, de toutes les 
manières possibles, ces quatre lettres nous présenteront six dis- 
positions différentes, ni plus ni moins, qui sont les suivantes : 

<zA6B, abAB } abBA, 
bBaA, baBA, baAB; 

et, à ces six dispositions, correspondront six quaternes diffé- 
rents. 

Le nombre total des quaternes est donc égal au sextuple du 
nombre des combinaisons simples de n éléments 4 à 4> c'est- 
à-dire à 

- n(n — i)(ft — 2) (n — 3). 
On peut vérifier en passant que le produit du nombre des qua- 



_ 122 

ternes par celui des permutations correspondant à l'un quel- 
conque d'entre eux est bien égal à ai!, c'est-à-dire au nombre 
total des permutations de n éléments. 

45. Pour classer les qualernes que nous venons d'énumérer (4i), 
considérons les six qualernes qui correspondent à un même 
groupe de quatre nombres. Us répondent, nous venons de le 
voir (44), à ces six dispositions 

aÂ&B, abAB, ab BA, 
6B«A, &aBA, ba AB, 

Lesquelles, à la manière dont nous les avons écrites, se partagent 
évidemment en trois couples. 

Dans chacun des qualernes aAbB^ bBaA du premier couple, 
i ety sont l'un et l'autre égaux à i ; donc £ est égal à zéro. 

Dans chacun des quaternes «6AB, baBA du deuxième couple, 
i et y sont l'un et Tau Ire égaux à i ; donc £ est encore égal à zéro. 

Dans chacun des qualernes abBA, baAB du troisième couple, 
i elj sont égaux l'un à o, l'autre à ?. ; et, par conséquent, s est 
égal à 2. 

Ces trois couples correspondent donc aux trois cas que nous 
avons distingués déjà (29); les quaternes, pris tous ensemble, 
peuvent donc se partager en trois sortes, caractérisées chacune 
par le système correspondant des valeurs de i,j et e. 

46. Ces trois sortes de quaternes peuvent être caractérisés 
d'une façon encore plus nelle, et pour ainsi dire géométrique. 
Considérons, en effet, les quatre nombres «, A, &, B; écrivons- 
les sur une même droite dans leur ordre de grandeurs croissantes; 
puis, marquons par un trait le segment aA, et, par un autre, le 
segment bB. 

Les deux quaternes «A&B, bBaA du premier nous donnent 
ainsi les deux figures 



cv A b B b B a 

K * 1 1 K i 1- 



où les segments aA, bB sont séparés. 



- 1"2H — 



Les deux quaternes a6AB, /^/l>\ <In deuxième couple nous 



donnent de même les deux figures 



a b A B b a B A 

i 1 1 j h »; 1 1 



où les segments a \, bB empiètent l'un sur L'autre, c'est-à-dire 
sont imbriqués. 

Les deux quaternes a6BA, />rzAB du troisième couple nous 
donnent enûu les deux figures 

a b B A b ci; A B 

i 1 1 1 i 1 1 ■) 



où les segments aA, bB sont placés l'un sur l'autre, c'est-à-dire 
superposés. 

Nous pouvons donc dire que nos quaternes se partagent en trois 
sortes : 

i° Les quaternes à segments séparés; 

2° Les quaternes à segments imbriqués ; 
3° Les quaternes à segments superposés. 

47. Étendant aux permutations des n premiers nombres ce que 
nous venons de dire (46) relativement aux quaternes qui leur 
correspondent, nous dirons que ces permutations sont à segments 
séparés, imbriqués, superposés, suivant que leurs quaternes sont 
eux-mêmes à segments séparés, imbriqués, superposés. ISous par- 
lagerons donc ces permutations en trois sortes : 

i° Les permutations à segments séparés; 
•2° Les permutations à segments imbriqués; 
3° Les permutations à segments superposés. 

48. Considérons un système quelconque de quatre nombres 
pris parmi les n premiers nombres entiers. Ce système nous four- 
nit, comme on l'a vu (-46), deux quaternes à segments séparés, 
deux à segments imbriqués, deux à segments superposés. Or, le 
nombre des systèmes de quatre éléments, pris parmi les n pre- 
miers nombres entiers, est le nombre C* des combinaisons 
simples de n objets 4 à 4- Donc, il y a 2C* quaternes à segments 



- 124 — 

séparés, 2C,' à segments imbriqués et aC* à segments super- 
poses. 

Pour obtenir le nombre des permutations de n éléments à seg- 
ments soit séparés, soit imbriqués, soii superposés, il nous suffil 
donc <!c multiplier dans chaque cas (^ — 4)^4 P ar 2 Cv Le pro- 
duit est doue toujours égal à (/?, — 4)'4-'- > ^ / ^ c'est-à-dire à -ni. 
De là ce théorème : 

Théorème. — Si l'on partage les permutations de n élé- 
ments en trois sortes : permutations à segments séparés, per- 
mutations à segments imbriqués, permutations à segments 
superposés ; dans chaeune de ces trois sortes, il y a le même 
nombre de permutations. 

49. Tout ce qui précède évidemment suppose n égal ou supé- 
rieur à /|. Si n était égal soit à 2, soit à 3, la permutation ne pré- 
senterait plus de quaterne : on n'aurait plus à considérer ni figure, 
ni segments. 

II. — Premières expressions des nombres cp /i; y rt , ty n . 

50. Toutes les permutai ions répondant à un même quaterne 
présentent, avons-nous dit (42), le même nombre de couples 
actifs. Dans les recherches relatives au nombre de ces couples, il 
nous suffira donc de considérer l'une quelconque de ces permu- 
tations. 

Pour préciser et faciliter le langage, nous considérerons uni- 
quement celle de ces permutations où se trouvent placés, dans 
l'ordre des grandeurs croissantes : i° les deux éléments initiaux; 
2 les n — 4 éléments intermédiaires; 3° les deux éléments ter- 
minaux. Cette permutation unique sera pour nous une permuta- 
tion ordonnée. 

Evidemment, dans l'ensemble de toutes les permutations de 
n éléments, les permutations ordonnées et les quaternes se cor- 
respondent chacune à chacun : ils sont en même nombre. 

51. D'après ce que nous avons dit précédemment (42), pour 
savoir combien il y a de couples actifs dans l'ensemble des per- 
mutations répondant à un même quaterne, il nous suffit de multi- 



- 129 — 

plier par i // — 4 )• î '*' nombre des couples actifs contenus dans 
l,i permutation ordonnée correspondant à ce quaterne. \\ comme 
ce facteur (n — 4)' \ rsl '*' même pour ions |e> qua ternes (42), il 
nous suffit, pour trouver l<" nombre des roupie-, actifs contenus 
dans l'ensemble des permutations de chaque sorte, de déterminer, 
pour chacune de ces sortes, le nombre des couples actifs contenus 
dans ses seules permutations ordonnées. 

(. »">i ce (jue nous allons faire dans le présent paragraphe, en 
supposant le nombre des éléments égal à /?, et en. désignant par ©„, 
'///• y// les nombres des couples actifs contenus respectivement 
d'abord dans les permutations ordonnées à segments séparés, en- 
suite dans les permutations ordonnées à segments imbriqués, 
enfin dans les permutations ordonnées à segments superposés. 

52. En toute permutation ordonnée à segments séparés, le 
nombres est nul (45); et, par conséquent, le nombre des couplet 
actifs est égal, à 

2 in — i i — y. — 3 , 

c'est-à-dire, si l'on remplace a et (3 par les différences (26) qu'ils 
représentent, à 

■?.( n — 1 1 — I A — a ) — ( B — b ). 

Pour obtenir le nombre '3 n des couples actifs contenus dans les 
permutations ordonnées de n éléments à segments séparés, nous 
avons donc à faire la somme de toutes les valeurs numériques que 
prend celle expression, lorsque Ion y remplace les lettres dont 
elle se compose successivement par tous les systèmes de valeurs 
correspondant aux différents quaternes à segments séparés, c'est- 
à-dire aux différents quaternes de la forme «A6B et aux diffé- 
rents quaternes de la forme 6B«A. 

Dans les systèmes de valeurs correspondant à la forme aAbB. 
on peut donner à a toutes les valeurs î , 2, 3, .... 11 — 3 ; ensuite 
à A toutes les valeurs a — 1 , a — 2, a — 3. . . . , n — 2 ; ensuite 
à b toutes les valeurs A 4- 1 , A — 2. A — 3, . . . . n — 1 ; enfin à B 
toutes les valeurs 64-1, 6 + 2, b — 3, . . . , n. Le nombre des 
couples actifs contenus dans les permutations ordonnées de n élé- 
ments, à segments séparés, dont le quaterne a la forme aAbB, 
xxxi. 9 



— 12(i — 
ftSt donc 

a = n — 3 A — n — 1 l> — n — \ \\ — n 

21 21 21 2 [»(»-0-(A— «)-(B-«». 

En raisaonant de même sur les permutations ordonnées de 
n éléments, à segments séparés, donl le quaterne a la forme £/BaA, 
on i i'oiivc rail que le nombre des couples actifs qu'elles contiennent 
est égal à 

li =■ n — 3 L=r/J— 2 <t= n— 1 K — n 

21 2 21 2 h(^->>-tA-a)-<B-^].. 

/; = 1 B=frHf-l *=ft-Hl À=r<T-V-l 

Mafs cette expression et la précédente ne diffèrent lune de 
l'autre que par l'échange des lettres a et 6, A et B. Donc, évidem- 
ment, si Ton effectuait les calculs indiqués, on arriverait à la 
même fonction de n ; donc ces deux expressions sont équivalentes ; 
donc le nombre o n défini plus haut (51) est le double de lune 
quelconque des deux, de la première, par exemple; et Ton peut 
écrire 

a — n — 3 A = /' — 2 5*=-» — 1 B = n 

*» =a 2 21 21 21 h^-O + a-A+ft-B), 

a -\ A = rt-4-l 6=A + 1 Brzi + 1 

en plaçant, dans Je crochet, les nombres a, A, &, B dans l'ordre 
des grandeurs croissantes. 

53. Elu toute permutation ordonnée de n éléments, à segments 
imbriqués, le nombre £ est encore nul (4-5). Par conséquent, le 
nombre des couples actifs est égal à 

•î(n — i) — a— p, 
c'esÈ-à-dire à 

. 2 ( 71 — i) — (A — «f ) — i B — • & ). 

Ces perinulations correspondent aux différents quaternes à seg- 
ments imbriqués, c'est-à-dire aux quaternes de la forme ab AB et 
à ceux de la forme fozBA. Pour obtenir le nombre des couples 
actifs contenus dans l'ensemble des permutations ordonnées de 
// éléments, à segments imbriqués, il nous faut donc faire la somme 
de toutes les valeurs numériques de l'expression précédente qui 
correspondent aux quaternes de ces deux formes. En suivant la 



127 



méthode employée précédemment (52), <>n trouveque le nombre 
(l<-s couples actifs contenus dans les permutations ordonnées, i 
segments Imbriqués, dont le quaterne a la forme af)\\\, est 



egaj .« 



i — 3 l> — n — 2 A = n — 1 H » 



2 2 2 2 [ 2 (it-i)-<A-a) (B-6)]; 



A 1 A « + 1 A = h I 1 II -- A -M 



et que, pour celles donl le quaterne a la forme ba\j\ 7 ce nombre 
des couples actifs est égal à 



h « — 3 a = n — 2 B = n — 1 



2 2 2 2 h("-i)-(A-«)-(K-6)|. 

A= 1 a=b-hl B=ra-+-1 A = B-t-1 

Il suffît de comparer ces deux expressions pour reconnaître 
qu'elles sont équivalentes. Le nombre y w des couples actifs con- 
tenus dans les permutations ordonnées, à segments imbriqués, de 
// éléments est donc le double de l'une quelconque des deux. 
Nous pouvons donc écrire 

ii =s n — 3 h ss n — S A = n — 1 B = « 

X * =2 2 2 2 2 [»(* — »> + «-+-* — A — B], 

a =: 1 b = tt-hi \ = b-hl B = A + 1 

en plaçant, dans le crochet, les nombres a, 6, A, B dans l'ordre 
des valeurs croissantes. 

« 
54. Considérons enfin les permutations de n éléments, ordon- 
nées et à segments superposés. Dans chacune d'elles, s est égal 
à 2 ; et le nombre des couples actifs est, par conséquent, égal à 

2 n — a — fï, 
c'est-à-dire à 

2 n — ( A — « ) — ( B — b ). 

Or, ces permutations ordonnées correspondent aux quaternes à 
éléments superposés, c'est-à-dire à tous les quaternes de l'une on 
de l'autre des deux formes abliX, baAB. 

11 nous faut donc, pour obtenir le nombre 'l n des couples actifs 
contenus dans les permutations ordonnées, à segments superpo- 
3és, calculer la somme de toutes les valeurs de l'expression précé- 
dente qui correspondent aux quaternes de ces deux formes. 



- 128 



En appliquant encore le même procédé que pour les permuta- 
lions ordonnées à segments séparés (52), on trouve que le nombre 
des couples actifs contenus dans les permutations ordonnées, à 
segments superposés, dont le quaterne a la forme «&BA, est égal à 



a = n — 3 b = n — 2 li = n — 1 A = a 



2 2 2 2 [»*-(A-«)-(B-*)]; 



n = l /> = rt-M D = ft+1 A — B+l 



et que le nombre des couples actifs contenus dans celles dont le 
(jualerne a la forme ba Ah est égal à 



b = n — 3 a — n — 2 A — n - 1 B = n 



2 2 2 2 l>»-(A— a)-(B-*)]. 



6 = 1 n—b-hl \-.a + \ 11 = A -t-1 



Ces deux expressions, évidemment, sont équivalentes. Le 
nombre ù n des couples actifs contenus dans l'ensemble des per- 
mutations ordonnées, à segments superposés, de n éléments, est 
donc le double de l'une quelconque des deux. Nous pouvons donc 
écrire 



n — n — 3 b — n — 1 B = n — 1 A — n 



<!>/»= 2 



2 2 2 2 [a» + « + *-B._A], 



a — \ b = a-hi B = 6 + 1 A=B+1 



en disposant toujours, dans le crochet, les nombres «, b, B, A 
dans l'ordre des grandeurs croissantes. 

III. — Expressions finales des nombres <p„, y„, ty a . 

55. Le calcul des expressions que nous venons de trouver 
pour ep A , y nj <\i,i ne laisse pas que d'être long et pénible. Pour 
arriver à l'abréger et à le faciliter, rapprochons ces trois expres- 
sions. Nous obtenons ce Tableau 

a=n — 3 A = n — 2 b — n — 1 B = n 

?«=* 2 2 2 2 l>(»-i)4-a-À + 6-B], 

a = i A=«-M /> = A-i-l fi = i + l 
d = n — S b = n — H A = n — l B = n 

x»= a 2 2 2 2 w»-i)+«+*-a-b], 

«=1 t = «-+-l A — 6 + 1 B = A + 1 
<i = n — 3 b — n — 1 M = n — 1 A=n 

+«= 2 2 2 2 2 [2/i + a-hô-B-A]; 

a = l b — n-hi B = 6+l A = B+1 



— 129 - 

ci nous voyons immédiatement que cp M , y tl) ù n ne sont autres 
choses que des cas particuliers de la quantité <•>„ définie par l'éga- 
lité 

M /i — 3 .r=:/j — 2 y = n — I z=in 

t0 "~ : - > - 2 ^ ^- ^] (rf+e?+/r-t-ay -*-**), 

dans laquelle t\ x, r, 3 représentent des entiers variables, et c/, 
<*,/, i,', // des coefficients constants. 

Pour tirer, en effet, de celte dernière expression, chacune des 
trois expressions précédentes, il suffit, sans changer les noms des 
entiers variables, noms qui n'influent nullement sur les résultats 
du calcul, de donner des valeurs numériques convenables aux cinq 
coefficients constants. 

56. Nous sommes donc ramenés à nous occuper de io n seule- 
ment. Or, cette expression, à son tour, est évidemment la somme 
des cinq expressions qui correspondent respectivement aux cinq 
termes de son polynôme entre parenthèses. Nous avons donc 

w„ = D„+ E /4 -h F» h- G„-t- H*, 
si nous posons 

v — n — 3 x = n — 2 y — n — l z = n 



v=\. jr=t>-J-i y=x-\-V 2=ry-M 
i' = n — 3 x=n — 2 y = n — 1 z — n 

2' 

i>—l .v=u-hl y — x-hl x=y+i 
v — n — 3 .r — n — 2 y = n — 1 z = ;i 



t' := 1 .r zz; V -+- 1 ) • = X-i 

v = n — 3 x — n — 2 y = n — 

■.— 2 2 2 

t> = n — 3 .r = n — 2 y = n — 

F «=*/2 2 2 2- 

t> = l r^i' + l yz=jr-i-i z=y-+-\ 

t> = rt — 3 X r= « — 2 y =: /! — 1 .3 = n 

G " =2 ^ 2 2 2 2 ^ 

f = l J-zrrt'-l-l y = .r-f-l n = V-+l 
t' = « — 3 .r == /» — 2 j = /j — i r=w 

h„=3*2 2 2 2- 

et nous n'avons plus qu'à déterminer, en fonction de /?, les ex- 
pressions des cinq nombres D„, E„, F„, G„, H„. 

57. Pour opérer ces déterminations, le procédé le plus simple 



— 130 — 

consiste à effectuer, dans chaque cas, les calculs indiqués, en 
s'aidant des propriétés des nombres figurés, c'est-à-dire des 
nombres composant Je triangle de Pascal. On arrive, par ce 
moyen, à ces cinq résultats : 

n n ( n — i ) ( h — 2 ) (n — 3) . 

1 . 2 . O . | 

( il -+- 1 )n(n — i ) (' /? — 2 ) ( n — 3 ) 
E„= I — — : 2 e, 

d I . 2 . i . f\ 

_, ( /i ~±- \)/>( 7i — i ) ( n — 2 ) ( n — 3 ) - 

V n = ' 2 " T-7— ^ 2 /> 

1 . 2 . 3 . !\ . 5 

n ~ ( n - 1 - 1 ) n ( n — 1 ) ( n — 2 ) C /? — 3 ) 

G n = 3 — >- — — — 2 g y 

1.2.3. 4 . 5 

_ , f^ + i)n(/i- i)(n — 2 )(/i — 3) 
i . 2 . 3 . 4 • > 

Ces résultats présentent cette particularité remarquable : Je 
premier contient en facteur le nombre des combinaisons simples 
de n objets 4 à l\ ; et chacun des suivants, celui des combinaisons 
simples, 5 à 5, de n -f- 1 objets. 

08. Quoi qu'il en soit, il nous suffit de faire la somme de ces 
cinq résultats pour obtenir l'expression de m n en fonction de n. 
En effectuant ce calcul, nous trouvons immédiatement 



(O 



7i(n — i)(n — 2) (ri — 3) f , Ai-hi, - _ , "I 



et cette égalité constitue la formule générale qui va nous donner, 
en fonction de /i, les expressions des trois nombres ©«, y,,, (|i A . 

59. Pour en déduire »„, il faut, dans le crochet que nous pré- 
sente w n , donner aux coefficients 

les valeurs respectives 

2(71 — 1), 1, — 1, 1. —1. 

Pour en déduire y,,, il y faut donner, aux mêmes coefficients, 
les valeurs respectives 

21 n — 1). 1, 1, — 1, — 1. 



L3 



l.niiii, pour en déduire J* rt1 il \ Faul donner, trux mêmes coefii- 
cicni^ encore, les valeurs respectives 

En effectuai!! ces diverses suhsiiiuhons, on arrive, après quel- 
ques réductions simples, à ces trois résultats: 

( n — 6 -, , , 

o„ = — ~ n ( n — i ) ( n — ->. * ( /* — 3 ), 

Jo 

3 n — 7 , / / o \ 

i n — — n ( n — i ) ( n — i ) ( n — 3 ), 

'- lo 

6 /t = — ■ n ( n — [)(/?. — 2 ) ( rc — 3). 

Ges (rois résultats sont analogues, mais «différents. Il n'existe 
même qu'on seoJ nombre, supérieur à 3, qui, mis à La plaoe de w, 
rende deux d'entre eux numériquement égaux : c'est le nombre .{, 
qui rend cp n et 'b n égaux chacun à 8. 

CHAPITRE HJ. 

DES COUPLES ACTIFS DANS L' ENSEMBLE COMPLET DKS PERMUTATIONS. 

I. — Nombre des couples actifs dans chaque sorte de permutations. 

60. Dans le Chapitre qui précède (Chap. II), nous avons con- 
sidéré les permutations ordonnées de n éléments; désigné parcp,,, 
'///« '^n les nombres des couples actifs contenus respectivement 
dans celles de ces permutations ordonnées qui sont à segments 
séparés, à segments imbriqués, à segments superposés; déterminé 
enfin, en fonction de /?, les expressions de ces trois nombres. 

Partant de ces trois expressions, nous allons calculer mainte- 
nant les nombres totaux des couples actifs contenus, non plus 
dans les seules permutations ordonnées, mais dans toutes les per- 
mutai ions de chaque sorte. Nous calculerons ensuite, pour cha- 
cune de ces sortes, Je nombre moyen des couples actifs contenus 
dans une permutation. 

(il. D'après ce que nous avons vu précédemment (ai), quand 
on sait le nombre des couples actifs contenus dans toutes les per- 
mulalions ordonnées d'une sorte quelconque, il suffit de multi- 



- 132 - 

plier ce nombre par (/? — \ ) ! \ pour oblenir le nombre total des 
couples actifs contenus dans toutes les permutations de cette sorte. 
Si donc nous désignons par <ï>, X„, W n les nombres totaux des 
couples actifs contenus respectivement dans les permutations de 
n éléments à segmenls séparés, à segments imbriqués, à segments 
superposés, nous avons immédiatement 

*»= O — 4)Uf», 
X„=(/i- 4JUx«, 

En effectuant les calculs indiqués, nous arrivons à ces trois 
théorèmes : 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments à seg- 
ments séparés, le nombre total <&„ des couples a tifs est donné 
par la formule 

<P n = - n \(\n-6). 

Tuf.orémf. — Dans les permutations de n éléments à seg- 
ments imbriqués, le nombre total X„ des couples actifs est 
donné par la formule 

X„---= -L n l(3n — 7 ). 
o 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments à seg- 
ments superposés, le nombre total W n des couples actifs est 
donné par Informulé 

V„= -^/i!(3/i — 2). 

62. Tels sont, pour les trois sortes de permutations, les nom- 
bres totaux des couples actifs. De même que les nombres <p„, -/ n . 
<b n , ces nombres totaux <ï>„, X„, W n ne diffèrent entre eux que par 
les binômes \n — 6, 3n — ■ 7, 3/1 — 1 qui en terminent les ex- 
pressions : ils sont proportionnels à ces binômes. 

D'ailleurs, d'après tout ce qui précède, les formules (61) qui 
les donnent ne sont valables, et même n'ont de sens, que quand n 
est égal ou supérieur à 4- Lorsque n est précisément égal à 4i les 
nombres totaux <É>„ et W n sont égaux entre eux et supérieurs à X w . 



- 133 — 
Lorsque n < i st supérieure \, <»n a toujours celte double inégalité 

et l'on voil ainsi que, quand n dépasse i, c'est toujours dans I» is 
permutations à segments séparés qu'on rencontre le plus de 
couples actifs, dans les permutations à segments imbriqués qu'on 
en rencontre le moins. 

63. Connaissant pour chaque sorte de permutations le nombre 
total des couples actifs, nous n'aurons, pour obtenir le nombre 
moyen correspondant, qu'à diviser ce nombre total des couples 
actifs par le nombre des permutations de celte sorte. Or, nous 
l'avons fait remarquer (48), ce nombre des permutations a la 

même valeur - n ! dans les trois sortes de permutations. 

En divisant par -/i!, nous arrivons à ces trois théorèmes : 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments à seg- 
ments séparés, le nombre moyen K„ des couples actifs d'une 
permutation est donné par la formule 

Théorème. — Dans les permutations à segments imbriqués, 
le nombre moyen L n des couples actifs cV une permutation est 
do n né par la for mu le 

Ln = 7 (3/i — 7). 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments à seg- 
ments superposés, le nombre moyen M n des couples actifs d'une 
permutation est donné par la formule 

M„= ?(3/i-2). 

64. Ces nombres moyens, on le voit, sont, comme les nombres 
totaux (61), proportionnels aux binômes considérés déjà, c'est- 
à-dire aux trois binômes 

4 ft — G , 3 n — 7 , 3 n — 2 . 



134 — 



Si Ton désigne par /,,,, /„, /;/„ les rapports respectifs des 
nombres moyens K„, L„, M„ an nombre n des éléments de chaque 
permutation, on trouve les trois égalités 



'-!('-=)• 



i.= 2 



) I > 



•>. / 2 

«i w = _ ( 8 



et l'on voit que ces rapports, lorsque n croît indéfiniment, ont 
pour limites respectives 



8 fi 6 

r' V ' - ' 
) J > 



c'est-à-dire trois fractions plus grandes que i, dont les deux der- 
nières sont égales entre elles. 

II. — Nombre des couples actifs dans V ensemble complet 
des permutations. 

65. Nous allons considérer maintenant Y ensemble complet des 
permutations de n éléments, sans plus avoir aucun égard aux 
trois sortes en lesquelles nous les avons partagées. Nous détermi- 
nerons le nombre total des couples actifs contenus dans cet en- 
semble; puis nous en déduirons, pour une permutation, le nombre 
moyen de ces couples. 

66. Si nous désignons par 8„ le nombre total des couples 
actifs contenus dans toutes ces permutations, nous avons évidem- 
ment 

e*=«ï» ft H-X„-4-*F n . 

Or, dans cette égalité, les trois termes placés au second membre 
nous sont connus (61). Nous n'avons donc, pour obtenir /4 en 
fonction de /?, qu'à remplacer ces trois termes par leurs expres- 
sions respectives, puis à effectuer l'addition indiquée. En opérant 
ainsi, nous arrivons à ce résultat : 

Théorème. — Dans l ensemble complet des permutations 
de n éléments, le nombre total Q n des couples actifs est donné 



— 13b — 
par Informulé 

B„ - n ! | > il ') I. 

()7. Cette formule, on le voit, esl un peu plus simple que 
celles (61) qui nous ont donné ( \\ n \„, W H . Jl est évident, d'après 
la façon même <loni nous L'avons obtenue, qu'elle suppose 
encore n égal ou supérieur à 4> et qu'elle ne subsiste ni poux La 
valeur ■>., ni pour la valeur 3. 

À l'aide d'un examen direct, on peut constater que, dans les 
permutations de deux éléments, il n'y a aucun couple actif; et 
(pic, dans les permutations de trois éléments, il y a huit de ces 
couples. 

Quoi qu'il en soit, on voit sur son expression même (66) que 
ce nombre total 0„ croît en même temps que l'entier n, d'une 
manière extrêmement rapide. 

68. Pour obtenir le nombre moyen T n des couples actifs d'une 
permutation de n éléments, nous n'avons qu'à diviser le nombre 
total S n de ces couples par le nombre total n ! de ces permutations. 
Nous arrivons par là à ce théorème : 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments, le 
nombre moyen T n des couples actifs d'une permutation est 
donné par la formule 

T n = - {in — 3). 
Et cette formule suppose toujours que n soit au moins égal 

à 4. 

Au reste, d'après ce que nous avons vu plus haut (31), lorsque 

n est égal à 2, ce nombre moyen est nul; lorsque n est égal à 3, 

i , i < 4 

ce nombre moyen est égal a x* 

69. Désignons par /„ le rapport du nombre moyen T n des 
couples actifs d'une permutation au nombre n des éléments de 
cette permutation. Nous avons immédiatement 



a / J 

t a = -.; 2 — - 



— 136 — 



et nous voyons que, quand n croît indéfiniment, ce rapport tend 



. i- • 4 
vers la limite - 



Ce résultat nous en rappelle aussitôt un autre, fort analogue, 
relatif aux séquences. Nous voulons parler du célèbre théorème 
de Bienaymé (') d'après lequel, lorsque n croît indéfiniment, le 
rapport du nombre moyen des séquences d'une permutation 
de n éléments au nombre n des éléments de cette permutation 

tend vers la limite -> 

Pour le rapport relatif aux couples actifs, la limite est donc 
juste le double de ce qu'elle est pour le rapport relatif aux 
séquences. 

70. Ce n'est point là le seul rapprochement qu'on puisse faire 
enlre la théorie des couples actifs et la théorie des séquences. 
L'un des plus intéressants est celui qui consiste à comparer le 
nombre moyen des séquences au nombre moyen des couples 
ac ti f s . 

Désignons comme précédemment (68) par T n le nombre 
moyen des couples actifs dans les permutations de n éléments, et 
appelons S n le nombre moyen des séquences dans les mêmes per- 
mutations. D'après ce que nous venons de voir (68) 

T„ = - (2/1— 3); 

d'après ce que j'ai démontré autrefois ( *-) 

S„ = - (an— i). 

Gela étant, si nous retranchons le premier de ces nombres 
moyens du double du second, nous trouvons 



Par conséquent : 



4 

2 o n 1 n = — • 



(') Académie des Sciences, séance du 6 septembre i8-;5. 

( 2 ) Annales scientifiques de l'École Normale supérieure, avril i88|. 



- 137 

Théo rem i • /)<ms les permutations de n éléments, l'excès 

du double du nombre moyen des séquences sur le nombre 

î 
moj en des couples actifs est indépendant de n et égal à ., • 

De même, si mous divisons T„ par 2S/1, nous trouvons 

T„ _ an- 3 . 
•iS,, in — 1 ' 

el comme, dans ("elle égalité, lorsque /i croît indéfiniment, le rap- 
port qui figure an second membre tend vers l'unité, nous pouvons 
énoncer cette nouvelle proposition : 

Théorème. — Dans les permutations de n éléments, 
lorsque n croît au delà de toute limite, le double du nombre 
moyens des séquences el le nombre moyen même des couples 
actifs sont deux infiniment grands équivalents, c est-à-dire 
deux infiniment grands dont le rapport lend vers l'unité. 

III. — Nouveaux problèmes de probabilité. 

71. Dans ce dernier paragraphe, nous allons nous poser diffé- 
rents problèmes de probabilité, relativement aux couples actifs 
des permutations de n éléments. Nous résoudrons tous ces pro- 
blèmes en nous aidant des résultats que nous avons obtenus dans 
les paragraphes précédents. D'ailleurs, nous supposerons toujours 
que n soit égal ou supérieur à 4- 

72. Problème I. — Dans le système des permutations de 
n éléments, à segments séparés, on prend, au hasard, deux 
éléments d'une permutation quelconque. Quelle est la proba- 
bilité pour que ces deux éléments forment un couple actif? 

Le nombre des cas favorables est évidemment le nombre total 
<& n des couples actifs contenus dans le système des permutations 
de n éléments, à segments séparés. Il est donc (61) égal à 

-l/il(4n — 6). 

Dans chacune des permutations considérées, le nombre des 
couples quelconques n'est autre chose que le nombre des combi- 



- 138 — 

naisons simples de n objets 2 à 2, c'est-à-dire que -/i(n — i). Le 
nombre des permutations de n éléments, à segments séparés, n'est 
antre chose (48) que -//!. Donc le nombre des eas possibles est 



cffaJ a 



- Il\ ll{ IL I ). 

6 



En divisant le nombre des cas favorables par celui des eas pos- 
sibles, nous obtenons la probabilité cherchée. Si nous la dési- 
gnons par q, n nous trouvons, toutes réductions faites, 



*.-« ' 



d n ( ii — i ) 

73. Problème II. — Dans le système des permutations de 
n éléments, à segments imbriqués, on prend, au hasard, deux 
éléments d } une permutation quelconque. Quelle est la proba- 
bilité pour que ces deux éléments forment un couple actif ? 

Le nombre des cas favorables est évidemment égal à X„, c'est- 
à-dire (61 ) à 

— n\( S n — 7). 
i ;> 

Le nombre des cas possibles est le même que dans le problème 
précédent (72); il est donc 

r , 

. n . ii( n — i ). 

La probabilité cherchée r, n , qui est le quotient du premier de ces 
nombres par le second, nous est clone donnée par la formule 



' f ,n = 



3 II 



5 /> (il — [ ) 



74. Problème III. — Dans le système des permutations de 
n éléments, à segments superposés, on prend, au hasard, deux 
éléments d x une permutation quelconque. Quelle est la proba- 
bilité pour que ces deux éléments forment un couple actif ? 



— (39 — 

Le nombre des cas favorables esl évidemment égala V„, c'est- 
à-dire i 61 > à 

// ! < .'} // — ■>.). 



i > 



Le nombre des cas possibles esl toujours 



- n ! n ( n i 

() 



La probabilité cberchée Ç« nous esl donc donnée par la formule 



Y 



4 3 n 



> n < n — 1) 



75. Sur les expressions que ion vient de trouver pour ;„, i\ ni 
Ç M , on voit immédiatement que, lorsque n croît au delà de toute 
limite, ces probabilités tendent tontes les trois vers zéro. 

On peut voir aussi très facilement qu'elles décroissent toutes 
lorsque l'entier n va en augmentant à partir de 4* Pour cette pre- 
mière valeur de n, ces probabilités ont donc chacune leur valeur 
maxima. Le calcul nous donne 



t 2 ' r % 

çv — t' n* — t' (si— 5"> 

i-i 8 ï3 

6, ""Ï5' 7l5 "^5' - 5 ~^ 



76. Problème IV. — Dans l'ensemble complet des permu- 
tations de n éléments, on prend, au hasard, deux éléments 
oV une permutation quelconque. Quelle est la probabilité pour 
que ces deux éléments forment un couple actif ? 

Le nombre des cas favorables est évidemment le nombre total S n 
des couples actifs contenus dans l'ensemble complet des permuta- 
tions de n éléments. Or, nous l'avons vu (66), ce nombre (ù n est 
égal à 



2 

- n\{'in — 3). 



3 
Dans chacune de ces permutations, on peut prendre autant de 



— 140 — 
couples d'éléments qu'il y a de combinaisons simples de n objets 
2 à 2, c'est-à-dire- n(/i — î). Le nombre total de ces permutations 
est /il. Donc le nombre des cas possibles est égal à 

- n ! n ( n — i ) . 
a 

F. a probabilité cherchée t„ nous est donc donnée par la for- 
mule 

4 in — 3 

Xn ~ 3 n(n — 1) ' 

77. Cette expression de i ti nous montre immédiatement que, si 
n croît au delà de toute limite, t,, tend vers zéro. 

Elle nous permet aussi de démontrer aisément que, si n croît 
constamment à partir de 4> cette probabilité t„ va constamment en 
diminuant. Sa valeur maxima se présente donc lorsque n est égal 

à 4 ; elle est elle-même égale à -• 
' D 9 

Au reste, toutes ces propriétés de la probabilité i n se dédui- 
raient facilement de celles des probabilités £„, vj w , Ç„. Cette pro- 
babilité-là est, en effet, liée à celles-ci par l'identité 

5 » H- Tin. H- Ça 

~n — r > 

i 

laquelle se vérifie sans peine à l'aide du calcul, mais peut aussi 
s'établir a priori par un raisonnement très simple. 



SUR L'HYPOHERMITIEN; 
Par M. Léon Au tonne. 



INTRODUCTION. 



Dans le présent Travail, je me propose de continuer et de 
généraliser les recherches commencées dans mon Mémoire Sur 
t Hermitien (*) {Rendiconti du Cercle mathématique de 
Païenne, 1902) cl, partiellement, dans ma Note Sur les groupes 

(') J'y renverrai par une indication comme celle-ci, par exemple (toc. cit., 12°). 



— ut — 

linéaires réels et orthogonaux {Bulletin de la Société mathé- 
matique de France, 1 902 ). 

Les méthodes, les notations, la terminologie, employées dans 
ces publications seronl conservées. 

Une matrice />-aire liermitienne 

A = [a Jk ] (y, k =1,2, ...,/>) 
a élé définie par une double propriété : 

I. A. = A/, c'est-à-dire aj^= a^j. 

IL L'expression réelle X = A(.r, ,r) est toujours X>o. 

Le déterminant |A| est alors ^o. 

Supposons X^o. Alors l'hermitienne devient, par définition, 
hypoliermitienne ; |A| = o, et il faut envisager le rang q de A. 
Si, dans |A|, tous les (p — q — i) iniies mineurs s'évanouissent, 
tandis qu'un au moins des (p — ^) iemes mineurs, déterminants à 
q 2 éléments, est 7^0, alors q sera le rang (Pascal, Détermi- 
nanten, p. 192, édition de Teubner, 1900). 

Les hypohermitiennes 51 partagent presque toutes les pro- 
priétés des hermi tiennes. Voici l'énumération des principales : 

I. 

Toute 51 est canonisable et possède au moins une canoni- 
sante unitaire. 

IL 

A toute 51 correspond une et une seule hypoliermitienne 

i 

jD = % m =z m \l%, telle que %™=%, m == entier positif. 51 et S 

ont le même rang. 

III. 

Toute % peut être engendrée par le procédé % = aa', où 
a est une matrice p-aire de rang égal à celui de %. Pour 
51 donné, a est obtenue par la formule 

1 
a = 2l 2 U, U = unitaire p-aire arbitraire. 

Tous les résultats précédents subsistent quand 51 devient une 
xxxi. 10 



— U2 — 

hypohermitienne réelle «JU. Seulement, au lieu des unitaires, inter- 
viennent des substitutions W orthogonales réelles. 

IV. 

Toute X est symétrique. Pour qu'une matrice p-aire réelle 

et symétrique X soit hypohermitienne, il faut et il suffit que 

la forme quadratique X(t, t) soit >o pour toutes les valeurs 

réelles des t. 

V. 

Toute X est canonisable et possède au moins une canoni- 
sante réelle et orthogonale. 

VI. 

A toute X correspond une et une seule hypohermitienne 
i 
réelle i& = X m =^/X, telle que ill> m = X\ m = entier positif. 

X et ifb ont le même rang q. 

VIL 

Toute X peut être engendrée par le procédé X = C J? ( X V où 
( J? est une matrice p-aire, de rang q, réelle. Pour X donnée, 
$ s'obtient par la formule 

<£ = X* W, W = arbitraire. 

Un résumé des présentes reeherches a paru dans les Comptes 
rendus (g mars i<)o3). 

Dans un autre travail, je montre quel rôle important jouent 
les hypohermi tiennes réelles X dans la Géométrie : i° des sys- 
tèmes de sphères, 2 des substitutions linéaires, orthogonales et 
réelles. Ce travail, intitulé : Su/- la décomposition d' une substi- 
tution linéaire, réelle et orthogonale, en un produit d' inver- 
sions, est paru dans les Annales de l' Université de Lyon (1903). 
Un résumé en a été inséré aux Comptes rendus (18 mai ]C)o3 ). 



HYPOHERMITIEJV1VES COMPLEXES. 

1° Soit 

A =[a Jk ] (y, k= 1,2. ...,/>) 

une matrice /?-aire de rang q. Autrement dit, dans le détermi- 



— 1 13 — 

nanl |A|, Ions les (/> — (/ — i) i, '""' s mineurs, déterminants à 

(q |- 1 1- éléments, son( nuls, tandis qu'un au moins des 
(p — g\\ime» mineurs, déterminants à <f éléments, est différent 
de zéro. 

^.SSUjétissons \ à mie double condition. 

D'abord faisons a/*= a*/, c'est-à-dire A. = A'. Alors l'expres- 
sion 

,sv7v/ réelle, car 



X = A(a?, a?) = A (a:, .r) = A'(.r, a?) = X. 

En second lieu, pour tout point x, X sera positif ou nul, mais 
jamais négatif, X>o. 

On exprimera cette double propriété en disant que l'expres- 
sion X est un hypohermitieii et que la matrice A est une hypo- 
her mi tienne . 

L'hermitien, X >> o, est un cas particulier de l'hypohermitien, 
X>o. 

2° Effectuons le changement de variables x = R [.s], |R| ^ o, 
c'est-à-dire posons 

X devient 

X = A(R[>], R[i]) = R'AR(s,I) = Z 

Z est encore un hypohermitien, puisque 



(R'AR)'= R'AR, car A'=A. 

D'ailleurs, pour tout.r, X>o, et Z^o pour toutr. 

A et B = IV AR ont le même rang q. En effet, dans |A| et |B|, 
les mineurs de même ordre forment deux systèmes %■ et J3 de 
même degré; on passe de l'un à l'autre par une collinéation &. 
I&l est une certaine expression monôme en |R| et |R| et, par 
conséquent, |$.| ?é o. Tout cela résulte de propriétés bien connues 
des déterminants, qu'on trouvera, par exemple, dans le Traité 
déjà cité de M. Pascal, pages 83 et suivantes. ,31 et M ne peuvent 
avoir tous leurs termes nuls pour l'un sans que tous les termes 
de l'autre système le soient aussi. A et B ont donc même rang q . 



- iU - 

3° Soient A, B, ... diverses hypohermi tiennes ; A,, B,, ... 
ce qu'elles deviennnenl par le changement II de variables : 

A,= R'AR, B,= K'AR, 

si l'on veut que 

A,B,^ R'ABR, 

il suffira de prendre R unitaire, RIV = E. C'est ce que l'on fera 
constamment, quand on aura à traiter des produits de matrices, 
hypohermi tiennes ou non. Autrement dit : les changements de 
variables seront toujours unitaires. 

4° La matrice-unité E est hermitienne; la matrice OC sera 
hypohermitienne, quelle que soit la matrice C, /?-aire, mais de 
rang quelconque. En effet, d'abord 



(C'C)'= C'G. 

Nommons en second lieu, C ce que devient, pour x = C[s], 
l'hermitien E {x, x). 11 viendra : 

tt = E(C[s], G[i]) = G'C(*,i), 

Alors : (£^>o, si C[u]^o, et CE = o, si C[s] = o, pour |C| = o. 
Mais, pour aucun z, (£ << o. 

Nous verrons plus loin si toute hypohermitienne peut être 
obtenue par ce procédé. 

5° U équation caractéristique CD 

| p E — A | = o 

de V hypohermitienne A n'a que des racines réelles et non 
négatives. 

Soit p une racine de (D. Il y aura au moins un point x tel que 

?xj=2Là ajkXkZ= t" 

Alors 

] j 1 / 

Or X^o et pjo. c.q.f.d. 



— h:; 

Pour que \ devienne hermitienne, il faut et il suffit (loc. 
cit., 19°) que |A| ^.o. Donc les hermitlennes sont celles, parmi 
les hypohevmitienn.es , pour lesquelles le rang q est ('gui à 
V ordre p. 

G" Théorème. — Toute hypoher mi tienne est canonisable et 
admet au moins une canonisante unitaire. 

La démonstration est sensiblement la même qu'an 22° de mon 
travail Sur V llermitien. 

Si p = i, l'Iiypoliermilienne A est canonique forcément et 
admet la canonisante unitaire unité. 

Je dis que si le théorème est vrai pour/? — i , il est vrai aussi 
pour p. 

Soit p une racine, nulle ou non, de l'équation caractéristique (D. 
Nommons w un point tel que (wy étant les coordonnées de (x>) 

A 

L'intervention d'une unitaire convenable permettra de faire 

O = 0>! = . . .=CO /J _ 1 , l = lù /Jy 

aj p =o, a pp =p (y = 1,2, ...,/? — 1). 

En vertu de A ; = A (1°) ou ay* = a*y, il viendra 

a pj — o et A (a:, y) = a(x, y) -h p x p y p , 

a étant une matrice (p — i)-aire, obtenue en supprimant dans A 
les p lemes ligne et colonne; a est hypohermi tienne, car a (a?, x) 
n'est pas autre chose que X = A \x, x), quand on fait 

oc p = or p — o. 

Nommons R une canonisante unitaire (p — i)-airedea. R existe 
par hypothèse. L'unitaire /?-aire M. telle que 

M*, y) = r O> 7) -*- - r /'J/' 

sera évidemment une canonisante pour A. c. q. f. n. 

7° Soient R une canonisante unitaire et A la forme canonique 



— 146 - 

correspondante de l'iiypohermi tienne À. On aura, q étant le rani; 
de A, 

A - K- ' À R - R'A R ; A (a?, y ) -^ K 'Wn 

/• 
/•= i, 2, ...,</ ; K,. — quantité positive (5°). 

Réciproquement : .s/, c/a/zs m/zc matrice canonique de rang q, 

A = V K r a? r j r , 

/es coefficients K .ço/*£ positifs, la transformée 

A= R-*A R=R'A R, 

/?ar w/*e unitaire quelconque R, se/Y/ évidemment une hypo- 
hermitienne de rang q. 

En effet, A est, pour K,>»o, une hjpohermi tienne, et aussi A, 
en vertu de 2°. 

En particulier sera hypohermitienne, pour un exposant réel 
quelconque <r, la canonique T , telle que 



To(#, y) = 2J1 ^/•^• K r i 



K?. étant la puissance d'exposant o-, calculée arithmét iq uement . 
ICJ. sera un nombre unique et positif, même si ? est incommen- 
surable. 

La matrice T = R~' T R sera hypohermitienne. 

Faisons o- = l'entier positif m ; T = A™, T = A m est hypoher- 
mitienne. 

Faisons <r = — > /w entier positif; on aura 

T^ M =A et T'»=A. 

On va voir que T est la seule hypohermitienne dont la puissance 
m îème reproduise A, de sorte qu'on pourra écrire sans ambiguïté 

8° Lemme. — Soit V hypohermitienne a, telle que a"=o, 



— U7 

n = entier positif: <>n a 



.1 o. 



Il suffit, pour le voir, de canoniser a. 

9° ThéohÈME. — Soient une hypohcrntitienne A et un entier 
positif ni. Il y aura toujours une et une seule hypohermi- 
tienne B, telle que B m = A. A et B ont le même rang a. 

D'abord l'hypothèse B = A™ entraîne 

BA = A"» A = A'«-«-i = AA'» = AB. 

À el B sont échangeables. 

Prenons A canonique et écrivons 

X(x,y)= y ^ à l j Xjy j . 
j 

Mettons en évidence les coefficients lj égaux en posant 

M = fj = ...= / a , = Kj, ^ai+l = . . . = ItXi+ix* = ÏV 2 , . . . , 

<7 = a! h- a 2 -f-. . . ; lj ■■ = o, poury>^r. 

Les K. sont des nombres positifs tous distincts. 

Posons ensuite 

5= a, 



.? = i 
s= a. 

V 

s — \ 






5= 1 



de façon qu'il vienne 

\{x, y) = K { E, -h K 2 E, ■+- K, E,-+- . . . . 

Quant à la matrice hvpohermitienne B, elle devra être supposée 
quelconque : 

B=r Ibjk] (J,k = l, 2, ... f>K 



— 148 — 
La condition AB = BÀ donne 

lj b jk = bj k h ; , bjk ( lj — h ) * o, 
d'où 

bjfcz=0 OU lj — l/ c = o. 

Par conséquent, 

H- B 2 (.r ai+ i, . . . , .ra.-t-a;; J'a t -t-i,. • -, % Xa l -*-a.) -+-..« 

Faisant B m = A, on aura 

5f=K 1 E 1 , Uf=K 2 E 2 , ..., Q»» = o. 

Chacune des matrices JB,, f8 2 j . .., Q, [a, -aire, a 2 -aire, . .., 
(p — <7)-aire] est hypohermitienne, car J^ (x, x), par exemple, 
est ce que devient B [x, x) pour 

#a,+i ==... = x P = o. 

Alors (8°) Ja matrice (p — q)-a\re s'évanouit, Q = o. Les 
hy pohermi tiennes fS,, $ll 2 , . .. ont leurs | w t |, |ÎJ 2 |, . . . égaux à 

a, a 2 

Km tz m 

respectivement, c'est-à-dire ^é o. Ainsi ÎJ,, ÎL, . . . sont des her- 
mitiennes et (loc. cit., 24° et 2o°) 

i. JL 

ïi^KfE,, *> 2 =K' 2 "E 2 , 

Ainsi B est unique; c'est la matrice T déjà construite au 7°. 

B a q pour rang. c. q. f. d. 

1 

On écrira B = k m ou y 7 A = racine m ieme de A. 
En résumé, les hypohermitiennes se comportent comme les 
hermitiennes [loc. cit., 25°). 

10° Je vais revenir maintenant au procédé signalé au 4° pour 
la génération des hypohermitiennes et résoudre le problème que 
voici : 

Soit une hypohermitienne p-aire % de rang q; construire 
les matrices p-aires A de rang q' , telles que 51 = AA'. 



— 1 i!) — 

11° Lbmme luxiliaire. — ■ Soient, entre p variables xj, 
j — i , 2, . . ., />, des équations distinctes au nombre de q 1 

(f) C r = Vc r ya?y = o (rsi,î,.,.,g'). 

Moyennant un changement unitaire de variables Xj, r peut 
toujours être remplacé par un système équivalent 

( r ) x x = # 2 = . . . = ay = o. 

Les q équations F sont équivalentes à l'équation unique 
(| C,-| = module de G,-), 

o = \(x, x) = Vc r C r =2l G '' I 2 = 2^ y:r/u C/ ' /l ' C ' 7 ' = 2^*^*' 

r r r/* /* 

Ày£ = * C r / ( C r j. 

r 

La matrice p-aive A = [^/a] est hjpohermitienne. En effet, 
d'abord 

%jk =\c P 4Cr; = ^/.y et A' = A. 

Puis, en vertu de sa formation même, l'expression réelle 

A (#, x) ne peut devenir négative. 

Transformons les x par une canonisante unitaire de l'hypoher- 
mitienne À. Gela revient à faire : 

ljk = o pour yV£; 

X y7 = o pour j>q'\ 

\jj — lj pour r=j'£q', avec Z y positif (6° et 7°). 

Alors 

A(a?, XJ = 2_, lr%r x r = /, ^/' | x r | 2 = °* 
r r 

Le système Y est équivalent, puisque les q' coefficients l r sont 
positifs, aux q' équations / r |# r | = o, c'est-à-dire aux gr' équations 
^r r = o. c. Q. F. D. 

Test identiquement satisfait pour x s = . . . = x q •— o, ce qui 



entraîne 



150 - 



C rJ = o pour j 2 7' 



12° Revenons mainlenant au problème du 10° et aux matrices 
% et A. 

Si A= ["./a], avec le rang q\ les/? équations 



o = 



ajkXk 



se réduisent à q' distinctes. En vertu du lemme du 11°, il sera 
licite de supposer que ces q' équations sont X\ sz?i . . = ir ? '== o, 
ce qui fera (J 1° in fine) «yy; = o, pour h >► q' . La matrice A aura 
ses p — q' dernières colonnes composées de zéros. C'est ce qu'on 
indiquera par la notation 



p-q> 



= A. 



q p 



Posons, ce qui n'est ni plus ni moins général, A = DB, où la 
matrice />-aire D a son | D | ^ o. Il est évident que la /?-aire B a 
encore ses/? — q' dernières colonnes composées de zéros. A et B 
ont même rang gr'(2°). 

13° La relation 51= AA' devient 

a = DBB'Ï)' = DÎ3D' 

où W est V hypohermitienne (4°) BB'. 

Prenons pour D une canonisante unitaire de <3l, dont 2i sera 
la forme canonique correspondante, 

3<o(x,y) = l] x x y x -x-. . .-4- l q T q y q , /,, . . ., l q - réels. 

Il viendra 

i\= D^o^- 1 = DÎ3D 7 , 

car DD' = E par unilarité. De là on conclut que 

*3 = BB' = a . 



- i:;i - 
Si B = | bn |, il viendra, <'n identifiant BB' avec 21 , 

7 t>/- À />/,x <> pour / /, B 1,2 />. 

a 

V/, /a 7, ya -:^|/> ya [-2 = o pour y'; 7. 

a a 

Alors bj a =s (> pour y >• </• La matrice B a ses y; — q dernières 
lignes composées de zéros, cl le rang q 1 de B ne peut dépasser le 
rang q de <3t, q 5 '/• 

I i" Faisons d'abord q'<Cq- On pourra alors écrire, avec une 
notation analogue à celle du 12°, 



q' 


il!, 








B = ry - ry' 


<r 








p — q 












où : 
m> est une matrice r/'-aire; 
( J? est un Tableau composé de q — q' lignes et de q' colonnes, etc. 

Il viendra de même 



B = 



II/ 


<r 




















i 
° i 



3U = 



a 











A, 















ou : 
il!/ est la matrice transposée, imaginaire conjuguée, de la matrice 

r/-aire ili; ; 
( i" est le Tableau transposé (les lignes écrites comme colonnes et 

réciproquement) du Tableau L X\ tandis que les éléments du 

Tableau <£, à q — q' lignes et q' colonnes, sont les imaginaires 

conjuguées du Tableau (P; 
a et A> sont des matrices, 7 '-aire et (q — r/)-aire respectivement, 

telles que (13°) 

s=r/' S = q 

a ( a? i^)= Z* l s v s y s c t X ( x , y) = ^ • 



J = 1 



S — f/'-h 1 



Un Tableau, tel que ( i\ est une matrice où plusieurs lignes, 



— 152 - 

ou plusieurs colonnes sont composées de zéros. On peut doue, 
sans théorie supplémentaire, parler de la multiplication des Ta- 
bleaux, soit entre eux, soit avec des matrices. Il est évident que 
si un produit de deux facteurs, où l'un est un Tableau et l'autre 
une matrice à déterminant je. o, est nul, le Tableau est nul, c'est- 
à-dire formé exclusivement de zéros. 

Sous le bénéfice de ces explications, un calcul simple donne 



BB' 



<J?ïiT>' W o 

o o o 



= 3 = 



a 


o 





o 


JU 


o 





o 


o 



et, en identifiant, 

a = ilMlî/, d'où | ili) | ^ o, car | a | ^ o ; 

lft>f'=o, d'où f' = o et <£'=o, car |Hi)|^o; 

cAd = <£(£!'— o, ce qui est absurde, car | <A> j ^ o. 

L'hypothèse q' = q est ainsi forcée. 

15° Supposons donc q' = q\ cela revient à ^ = &> = o; il reste, 
pour l'identification, à faire a = ilïi\11) / ; a est une hermitienne 
</-aire; on a ainsi 



E = a *UM)b'a~ 2 = (a MJÏ>)(a 2 il\>), 

_I 
a 2 i)i, = l'unitaire ^r-aire m, 



qll) = a 2 u. 



Je dis que l'on peut toujours trouver une unitaire p-aire U 5 

telle que Bl]-' = J3lJ. 

En effet, en vertu de ce qui précède, 



B = 



<7 P — <1 

i 
a 2 u o 

o o 



tandis que 21 2 , = 



p — q 
il suffit de prendre U telle que 



.1 

a" 2 " o 
o o 



*/>yp' 



- 133 - 
D'ailleurs, toute mal rice 

i 
B %l U, U — unitaire quelconque, 

fournir l'ii vpohermil ienne 51 P ar '° procédé BB . 

16° De l;i canonique 51 revenons à l'hypohermilienne géné- 
rale 31. On a la proposition suivante : 

Théorème. — Pour 51 donnée, la formule générale des ma- 
trices B, telles que % = BB', est B = 3F U. 

Si, ce qui n'est ni plus ni moins général, on pose B = V , la 
Connu le devient 

(312 u) = U- 1 ** 

et coïncide avec celle des hermi tiennes {loc. cit., 28°, for- 
mule P = U-v/H). 

17° Dans la présente analyse, je me suis préoccupé surtout 
d'établir l'existence et d'étudier les propriétés de l'hypohermi- 
tienne 51, d'une canonisante U unitaire de 51, de la forma- 



i 

— m. 



lion 3t OT =v/3ï. 

Comment construira-t-on effectivement 51"* et U? 

Si l'on possède la forme canonique 5t ainsi que U, le raison- 

1 
nement du 9° donne immédiatement 51"* sous forme canonique, 
puis grâce à U sous forme non canonique. 

Comment se procurer, pour 51 donnée, la canonique 5t ? 

Les coefficients de 5t sont immédiatement donnés par la réso- 
lution de l'équation caractéristique (B. Le nombre des racines 
nulles de (Q fait connaître le rang q. 

Quant à la canonisante unitaire U, elle se laisse calculer de 
proche en proche (pour les ordres /?, p — 1 , p — 2, . • .) par le 
procédé du 6°, dès qu'on sait résoudre le problème suivant : 

Construire une unitaire U, qui amène un point donné sur 
un autre point donné, savoir, dans l'espèce, sur le point 

X t = . . . = .r n - X = O, Xp ~ I . 



- 154 - 

Or ce problème est traité d'une façon complète au Chapitre I 
du Mémoire : Sur V Hermitien. 

Bref, pour une hypohermitienne donnée 51, les formations 

U, 5t 0ï * ,n 
doivent être considérées comme connues. 

Hypohermi tien nés réelles. 

18° Si l'hypohermitienne A = [«/*] est réelle, o/a — a/*, on a 
A 7 = A = A et A est symétrique. 

Théorème. — Pour qu'une matrice réelle et symétrique A 
soit hypohermitienne , il faut et il suffit que la forme quadra- 
tique à variables réelles 

/( =2 a J' k *J tk = A ( '■ ')' a ->* = a *' 
;* 

/ie devienne jamais négative. 

La condition est nécessaire, car X = A(.z, #)^o (1°) pour 

tout x et, en particulier, pour x = x = t. 

Réciproquement, posons x = u -+- «V, « et p étant réels. On 
aura, à cause de la symétrie de A, 

A (#,#) = A (m -+- ïV, u — iv) — A(w, m.) -h A(t>, v) 
et 

X = A (a?, a?) ^o, 

puisque A (m, «)etA(e, <') = °- 

Je n'insisterai pas davantage sur la théorie, aujourd'hui bien 
connue, des formes quadratiques f{t). Si le rang de A est </, 
/(/) sera la somme de q carrés positifs, etc., etc. 

Pour une matrice U réelle, U = U, la condition d'unitarité 

UU' = E devient celle d'orthogonalité, UU'=E. Toutes les pro- 
positions précédentes, concernant les hvpohermitiennes, sub- 
sistent à condition de remplacer les unitaires U par des substitu- 
tions W réelles et orthogonales. ol> désignera une hypohermitienne 
réelle. 



19° Théorème. — Toute i. est canonisable et admet au 
moûts une canonisante \V. 

La démonstration du 6° subsiste, car, p <;i ay* étant réelles, les 
quantités tûj seront réelles aussi; l'intervention d'une W met A 
sous la forme 

A(.r,7)=a(.r,/)-i-pr /) / /); a = réelle, 

20° Théorème. — Pour toute X il existe une et une seule 
hypoher mi tienne réelle îlb, telle que iiî>'"= X, m = entier 
positif, 

La démonstration du 9" subsiste. La forme canonique c l. de <X> 

ne contient pas d'imaginaires et la construction de ili> ne saurait 

i 

en introduire, ilî) = A> m = \/X. 

21" Théorème. — Toute X peut être obtenue par le procédé 

X = W ; 
pour X donnée, la matrice réelle ( J? s'obtient par la formule 
(P = ^W, W = arbitraire. 

Toute l'analyse précédente (10° à 16°) subsiste sans sortir du 
réel. 

Dans le lemme du 11", on envisagera l'hjpohermilienne réelle £ 
telle que 

r 

22° Le calcul effectif, pour une hypohermitienne réelle don- 
née X, des formations 

cAd" 1 , A>q ou forme canonique, 

W ou canonisante réelle et orthogonale, se fait par les procédés 

du 17° et ne présente aucune difficulté. 

î 
Les matrices réelles <JV", JU , W doivent être considérées comme 
connues, dès que X est donnée. 



— 156 — 

SUR UNE PROPRIÉTÉ DES MOUVEMENTS DUS A UNE FORCE CENTRALE; 

Par M. G. -A. Laisakt. 

Reprenant une question que j'avais traitée il y a fort longtemps, 
et ayant remarqué qu'elle se prêtait à une généralisation assez 
étendue, j'ai donné récemment, dans les Comptes rendus de 
V Académie des Sciences, une courte Note contenant une pro- 
priété des orbites fermées décrites sous l'action de forces cen- 
trales. 

Depuis la publication de cette Note, j'ai remarqué que la pro- 
priété est applicable à un arc quelconque de la trajectoire (fermée 
ou non). Voici l'énoncé de la proposition ainsi généralisée : 

Soit M M un arc de la trajectoire d } un point matériel sol- 
licité par une force centrale, S étant le centre des forces; con- 
sidérons le centre de gravité G de V arc de courbe M M, la 
densité en chaque point étant inversement proportionnelle à la 
vitesse; soit en outre O le centre de gravité du secteur SM M; 

on a SG = - SO, les trois points S, O, G étant en ligne droite. 



Quant à la démonstration, elle peut être présentée sous une 
forme qui la rend presque intuitive. 

Si nous représentons en effet par M le vecteur variable SM, on 
peut exprimer SG par la formule 

t 

l'intégration étant faite dans les limites convenables, et l'instant 
origine étant celui où le mobile se trouve en M . 

De même, en appelant cr l'aire variable du secteur, son centre 
de gravité aura pour expression 

D _ i f M ds 

SO = - - -■ 

Mais, puisqu'il s'agit d'une force centrale, en vertu de la loi 
des aires, on a cr = À7, d<j = k dt, et par conséquent SO = tt SG 

ou SG = -SO. 

•i 



i:;7 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS, 



SUR L'APPROXIMATION DES NOMBRES RÉELS PAR LES NOMBRES 

QUADRATIQUES; 

Par M. Emile Bohel. 
Los nombres quadratiques sont les nombres de la forme 

c 

a , b, c désignant des nombres entiers dont les deux derniers 
peuvent être supposés positifs. Pour rechercher les nombres qua- 
dratiques différant peu d'un nombre donné x, il revient au même 
de rechercher les nombres delà forme a±\Jb qui diffèrent peu 

de ex. Si l'on se borne d'abord aux nombres de la forme a 4- \Jb, 
on voit que, a désignant un entier positif ou négatif, les nombres 

\Jb et ex écrits dans le système décimal ont des parties décimales 
très peu différentes. 

On est ainsi conduit à ranger les nombres tels que \/b, c'est-à-dire 
les racines carrées des nombres entiers, d'après l'ordre de gran- 
deur de leur partie décimale. Ce travail ne présente aucune diffi- 
culté et est même très rapide, si l'on fait usage d'une Table de 
racines carrées; j'ai utilisé celle de Barlow. 

Je publie ici, sans commentaires, la liste des racines des 5oo pre- 
miers nombres (les carrés parfaits exclus), rangés par ordre de 
grandeur des parties décimales; la disposition même que j'ai 
adoptée suggérera des remarques qu'il est inutile d'énoncer. Signa- 
lons cependant l'existence de lacunes au voisinage des fractions 
irréductibles simples, lacunes d'autant plus étendues que ces 
fractions sont plus simples. 

Parmi les applications d'une telleTable, on peut citer la recherche 
très aisée de quadratures approchées du cercle et de rectifications 
approchées de la circonférence. Si l'on cherche à insérer dans la 
Table les multiples de t:, on trouve que 87c y est très voisin de \ 229 ; 



OU Q 



On obtient 



— K>8 - 

<s- — 25 , l32 7J I 29.8. . . . 

1/229 = i5, i3>. 7 i(J o. . . . 

io-h v/229 9 

=3,i4i 593 2..., 

7T = 3,l4l J!)2 0. . .. 
r , . - , IO -f- V'IAQ . 1 

L erreur commise en prenant pour -la valeur ' est clone 

environ d'un demi-millionième. Si l'on remarque que l'on a 

229 = 225 +4=1 "i 2 + ■>.-, 

on obtient aisément une construction géométrique très simple de 
la valeur approchée considérée, qui peut s'écrire 



3 I / / I) 

I . 

4 a 



Je me propose de revenir sur la question d'approximation des 
nombres réels par des nombres quadratiques; je me contente de 
signaler ici, en terminant, une difficulté qui se présente lorsqu'on 
veut définir les nombres quadratiques, en général, difficulté ana- 
logue à celle qui résulte de la double définition des courbes algé- 
briques, en coordonnées ponctuelles et tangentielles et qui se 
présente dans bien d'autres questions. 

Gomme nous l'avons dit, tous les nombres quadratiques sont 
définis par la formule 

(1) 07= , 

où <7, &, c sont des entiers; le nombre x vérifie L'équation du 
second degré, 

(2) c-x- — •> acx -h « 2 — 6 = 0. 

Il est clair que si a, />, c sont quelconques, les coefficients de 
cette équation n'auront pas, en général, de facteur commun; si 
on les désigne par A, B, C, on voit que le nombre x défini par 
la formule (1) vérifie une équation de la forme 

O) Aa?*-hB#H-C =o, 



- 159 - 
donl les coefficients \. I>, (; sont d'un ordre de grandeur qui esl 

le carré de l'ordre <!<• grandeur de e/, k/6 5 c. 

Si, inversement, on se donne l'équation (3), on en déduil 



— B±v / B*- 4AC a'±]/b' 

(4 ) X = = -; , 

c'est-à-dire une expression analogue à (i), niais dans laquelle a!, 
y // et c' sont de Tordre de grandeur de A, B, C. Dans le cas où 
l'équation (3) est identique à l'équation (2), l'expression (4) rie 
devient identique à (1) qu'après la suppression du facteur 2c 
commun au numérateur et au dénominateur; mais si A, B, C sont 
quelconques il n'y a pas, en général, de facteur commun au nu- 
mérateur et au dénominateur de l'expression (4). 

Il est clair qu'il n'y a là aucun paradoxe, mais simplement la 
nécessité de définir nettement, dans chaque recherche particulière, 
ce que Ton entend par une irrationnelle quadratique générale; 
on peut la considérer comme définie par la formule (1) et regarder 
comme cas particulier^ cas où, dans l'équation (2), les coefficients 
ont des facteurs communs; ou, au contraire, la regarder comme 
définie par l'équation (3) et regarder comme cas particulier!* le 
cas où la formule (4) peut se simplifier par la suppression d'un 
facteur commun à A et B, figurant au carré dans B 2 — 4AC. 



y/485 == 22,0227155 

sj [\l\-l = 2I,O237()0<> 
y/401 = '20,02498/1/i 

y/362 = 19,0262976 
y/325 = 18,0277504 



- 160 - 
000 à 039 



290 = 17,029^804 



y/257 — 16,0312195 

y/ -226 = l5,0332964 

y/ 197 = i4,,o356688 



V / i7o = i3,o384o48 



(5 !>,<>ïl ')()',(', 



— KM — 
040 à 079. 



1 1 .o i 536 io 



"i 10,0498750 



2 = 9,o55385i 



y/486 = 22,0454077 
y/443 — 21 ,o475652 

y/402 = 20,0499*77 



y/353 = 19,0525589 

y/326 = i8,o554/<>i 



5 = 8,0622577 



/ 291 = 17,0587221 



y/258 = 16,0623784 



9 = 7,0710678 



y/227 — i5,o665i 



92 



y/198 =[14,0712473 



487 = 22,0680765 



'444 = 21 ,0713075 



y/171 = 13,0766968 



v/4o'3 = 20, 0748399 



^364 = 19,0787840 



y/}y = 6.,0827625 



- 10°2 - 

0$0 à 119 



/146 = i2,o83o46o \l'^>- =■- i8,o83i4i 



v/292 = 17,08800; 



y/488 = 22,0907220 •»»3 = u,o905365 



445 = 21 } oq5o23i 



v/365 = 19,1049732 
y/ 199 = 1 1 , 1 067360 

y/83 = 9,1 io4336 ^328= 18,1107703 

/T72 = [3,i 148770 



s/ibc) — 16,09347c 



y/.l6 *= 5,0990195 /T^2= I0,0 99 5049 ^'228= 15,0996689 ^404 = 20,09975: 



y/489 - 22, 1 1334 



^•293 = 17. 1 i;'i 
! 446 = 21,11871 



166 i»), 1 3 1 1-265 
ng i5 . i 327460 



^7= 19,1572441 

\\)i — > > . 1 585198 



163 
120 à 159. 






\ 1 \~ [2,1243557 v // ' ,(, ° = i6,I245i55 /4o5 10,1246118 



i*4 = 1 I • 1355287 



v i ( J° = 22, i3j<> jJf) 



v/329 = 18, 1 3<S3 ">7 e 



5[ = 7,i4i4-?84 

200 = 14, 1 |2i35() \J \'\~ = 21 , [423745 



294 = 17,1464282 



io3 = 10, [4889(6 



i-3 = [3, [529464 



>(n = 16 , [55494 i 



v/406 = 20^1494417 



s/tfT- = 20,1742410 
^295 = [7,1760640 

v/201 = 14, 1774469 



— 164 — 
160 à 199. 



v/jo =c 3, 16227^7 

v/38 = 6, 1644 r 4o 
y84 = 9, iG5i5i4 
1/448 = 21, 1 ()()(> ro5 



y/i4H = [2,i65525i y 2 ^° = i5,i6575og y 33o = [8,1659021 



y[25 = 11, iyo.')')9() 
1/492 = 22, 1 810730 



/63 = 8-, 1853528 



/3§8 = 19, i833t>.6i 
1/262 = 16,1 864 * 4 1 



174 — 1 ; , 1909060 



y/449 = ' 2I : I8962OI 



^27 = 5,Tg6i5z4 

y io,( = 10, [980390 
y4o8 = 20, [99009g 



y 7 »;;! _ 1 ") . [98684 - 



y/33[ = [8, 1934054 



- 163 — 
200 à 239 



\ |<|i 22,203(>033 

V •'><> 17. m» (f)5oj 

y/i »«) => I2,2o0555(> 

i = 19,2093727 



\J')\r>. = 14,2126704 
/45Ô = 2l / ,2l32034 



y S'a — 7,9. 1 1 1026 



V263 = 16,2172747 

v/339 = 18,2208072 
/4Ô9 = 20, 2 2 374 8. 4 
y/4 y 4 = 22,2261108 



/85 = 9,619544 



/126 = ii ,2249722 



/Ï75= 13,2287566 



5 = 2,a36o68o 



232 = r 5, 23i5462 
t/297 = 17,233687g 

/^jô = 19,2353841 

v/45i = 21 ,2367600 



16G 
240 à 279. 



y/18 = 4,24'264o7 

/3g = 6,a44998o 

v /68 = 8,2462li3 
y/750 = 12,2474487 
^/•264 = 16,2480768 



y/io5 
v/20! 
y/333 



— 10,2468008 
= 14,2478068 
= 18,2482876 



y/ '4 10 = 20 , 248 i 567 y/ 49.Î = >-2 , 2 48J95 j 



|/45a = 21 , '.602916 
y/371 = ig,26i36o3 
y/298 = 17,262676) 

y/233 == i5,26{3375 

y/176 = i3,2664i)i)2 



y/127 = " ,2694277 



y/496 = 22,2710575 



y/86 = 9, 2736185 



.',11 = 20,2731349 



y/334 = 18,275666g 



y/265 — 16,2788206 



',; 7> a 8° I0 9$ 



/■ 2 s = 5,2913026 

/',(); = 22,2934968 
/4T2 = 20,29778^1 



^335 = i8,3o3ooj2 
/7^ = i3,3o4i347 

y/('xj = S , 3o66'239 



y/,l = 3,3l66248 



- 167 - 

280 à 319. 

v L04= l4,2 ,S>S ,(,, .> 



y/tJI = [2,2882057 



y/106 = [o,2g563oi 



^266 = i6 5 3oy5o64 



/453 - 21,2837967 



v ;;■/ = 19,2873015 



299= I7i29ï6» 65 



v/234 = i5, 2970585 



/454 = 2 1.30727 38 



/3^3= ig,3i3207g /la» = n,3i3 7 o85 

y/498 — 22, 3 139 136 

y/2^5 - l4,3l782ll 



/4Ô = 6,3245653 



V /^35 
vÔ~36 



9 } 327379i 
i2j328828o 
15,3297097 
[8,23o3o28 



— 168 - 
320 à 359 



\/ \5 r > — 21 ,3307290 



v/3oo = i7,3'2o5o8i 



ii3 = 20 .322401 \ 



\/l99 

y/374 
v/267 
V/178 



22,3383o7g 

19 » 339 796 
16,3401346 
i3, 34i664i 



y/ 107 = Io,344o8o4 



y/>4 = 7,3484692 



/7g = 4,358898g 



/4i4 — 20,3469899 

/3oi = i7,3.îg£5if) 
v/206 = 14,3527001 



129 = ii) 3578167 



v/456 = 2 i,354i 563 

V/Ï37 = l8 : 35'75598 



(ou - •>•> , 3606798 



/70 — H, 3 66600 > 



y/Tr>8 = 16, 37070)5 

4i •*) — 20,371 5 188 



4/457 - >i , >77J')8:5 
/3Ô2 - 17,3781^2 

Atû = 13,3790882 

y/88 = 9,38o83i5 



v/3j8 = 18,3847763 



/^7= i4, 38 7 4946 



L69 — 
360 à 399 



j 7 j = 19,3649167 



v/29 = 5,385i648 



y/ l()8 = 10,3923048 
V/2J7 = I 5,3948043 
y/jlG = 20,396078] 



\ ' - ,(, I 5,362291 3 



/37() - 19, 390719 j 



y/ j*><s — ai ,4 ><>9346 



y/339 = 18,41 19526 



y/>. s= 1 , |i4 21 36 



v/417 = 20,4205779 



y//, >g =21', J 2 42853 



- 170 - 

400 à 439 



/Ï3Ô = ïi,4o:75i3 y/209 = 16,4012195 

y//,! = 6 1 4°3ia4 2 



^08 = l3,422205l 



238 = 15,4272486 



y/303 = 17,4068932 
y/754 = 12,4096736 



y/3 77 = 19,4164878 y/i8o= i3, 4164079 v/5i = 7,416198$ 



y/ 7I = 8,426l498 



/27O = l6,43l6767 

v /w, - I7,4355g58 

y/j"}?) = |8,4390889 



y/89 = 9,4339811 



- 171 — 
440 à 479. 

y/V^H = ig, 4422221 



/iog ■ [0,4 5o3o5G 



I = 2,4494897 



y/', iS — 20, i î "><> î H > 

y/^TÎÔ = 71 ,4476106 



/ïTî = ri , {45523 1 



y/i'5:> = 12,4498996 






y/i-.> 1= :j , i 64 1 o 1 6 



v/ThT = 13,4536240 

V/2Ô9 = 14,4568323 
v/239 — 15,4596248 
v/22 1 = 16, $620776 

yAkT, = I7,464249 2 

v/iîjT = 18,4661853 
/379 = I9i4679m3 

y/ 4 ry = 20,4694895 
\/|6i = 21 ,4709106 



y/>(> = 4, Î72l36o 



y/io — 5,4772256 



s/ 



\->. - 6,4807407 



— 172 — 

480 à 519 



y/56 = ;,4833i48 



vA)o 



8,48528l4 
9,48GHi:io 



/lio = 10, 4880885 

\J \s->. = 1 1 ,4891253 

y/i8->. = ï3,490*376 
/210 = [4,49^767 
y/272 = 16,4924220 
y/342 — 18,4932420 
y/462 = 21 ,494i853 



y/Ï56 s= 12,4899960 

y/240 = 15,4919334 
/307 = 17,4928557 
/38o = i9,49* i588 7 



y/4 20 — 20,4939010 



63 = 



y/ 400 
y/4^ 

y/ 7 }*] 



1,5174348 
- 20,518284 *> 
= [9,5192213 



/3<>7 17, "»■>. 1 1 155 



— it:i — 
520 à 559. 



•m = 1 >, r >*4'7ï7 
/•?. 1 1 = il, >2583qo 

/783 = i5,5»774ç)"J 

/•>.:*) 7 = 12, 529964 1 



/i'J'J =ii, 532569.6 



y/i 1 1 = 10, 5 3565 38 



s/[)i = 9,53939-20 



464 = 21 ,540659? 



v/73 = 8,5440037 



422 = 20,54^6386 



y/ {82 = 19,54 48203 



v/Ï7 = 7, 54o83 i4 



v/340 = 18,5472370 

y/3^8 = 17,5499288 



v/',3 ~ (i, 5574385 



274 — 16,5529454 



\TJl'\'L — 15,5563492 



\\U 



I » 



'•i 1 1 = i4,56o2i9& 



— 174 — 

560 à 599. 



y/465 = 21,563858; 
y/784 = i3,56466oo 



4^-3 = 20,5669683 



y/3i = 5,56;; 

y/l58 = I2,5698o5l 



y/424 = 20,5912603 



y /g2 = 9 5 59l663o 



m 3 = 14,5945195 
384 = I9,-^P9ï79 



383 = I9,5;< 



"345= 18,5741766 



1 34 = 1 1 ,5758369 



309 = 17,5783958 



y/JÏ = 4,5825757 
y/112 = io,583oo52 



y/243 = 1 5, 5884573 



y/ 27 5 = 16, 583 1240 



466 = 2i,587o33i 









/lS') : I 3 ,6014705 

/;4 = s, <><•>;>> ; 



_ 17.. 

600 à 639. 
^346 = [8,601075a 



^i\ — 3,6o555i3 



y'^ÏÏ 1 = 21 ,6lOl828 



y/'ilO = 17,6068169 

y/i 5g = 12,6095 '" I 



'276 = iG,Gi3>-477 



y/49.5 = 20,6155281 



/58 = 7,615773? 



/iS", = 11 ,6189300 

^44 = 15,6204994 
I Ï85 = 19,621416g 



^468 = 21 ,63 3 3077 



y/3i 1 = 17,6351921 



> 17 = 18,6279360 

1/274 = 1 (,6287388 

y/ 1 1 3 = io,63oi (58 
v'jj — 6,6332496 



v/jv.r. >o, <> I9767 1 



v /isc> = i3,638i8i7 



277 = 16,6433170 



y/:î8G = 19,046889.7 



176 - 
640 à 679. 



sj(j\ = g,64365o8 



1G0 = 12,6491106 



y/ 7 = 2,64575l3 



f'245 = i5,6524;58 



348= 18,6547081 



^469 = 21 ,6564078 



y/32 = 5,6508542 



/4 2 7 = 20,0039783 



y/75 = 8,0602570 
y/i30 = 11 ,0619038 
v/215 = 14,6623-83 
y/312 = 17,6635217 



v/470 = 21 ,6794 «34 



v/387 
v/278 
/187 



19,67231a 

16,673332c 
» 3, 674794^ 






v/TT4 = 10,077078 



246 = i5,684387i 



y/9 7 » = 9,6953597 
y/>i6 = 14 ,6969385 

/388 = 1 9, ()Q77 1 56 



47 1 = 21 ,7025344 

27c) = 16,7032931 
y/737 = 11,7046999 



y/iN<s = i3,7ii3o9'i 

Vi^Û = 20,7I23l52 



- 177 - 

680 à 719. 



v/349 = 18,6815471 



v/59 = 7,6811457 



^12 = 4, ( >9<>4l58 



y/4 28 = 20,6881609 



l6l sa 12,6885775 



Sl'i = 17,6918060 



y/ \'t a= 6,7082039 



J3o =5 18,7082869 



y/76 a= 8,717797c 



/247 = l5,7l62336 



VI, = V -, H 



- 178 — 

720 . 759 



v n j i-.- 






v'i i .*> -— i".- • 19 



i 






v < i - | • 



i Î8o ni. - ; ; ioo5 
\' »>i - 18,734 

v .; m 7364 



I - - 5,744 

\ = ~" 

i *> " 

/Î3â 11,747 ; -w 

s — 1 5,7480157 



\ l ■ . - .-- 171 

;i î 17,7481393 



- 19,7 |84l77 V ri ~ 1 



VT>. : = l8,7l 



I - |6, 

/77* - 1 ; . - 



- 179 - 

760 - 799 



/mTÎ — 1 1 .;»>;: 



^/i 16 = 10,770 I 



•77 = 8,7/49644 



W 



m ;;''m" 



•391 - 



»9»7737*99 



l /3Ï6 = 17,7763 



/â49 = «5,7797 



v/^G = 6,78233oo 
s/Ty, = i3, 784a . ^432 = bo 



iSi = 



/i39= 11 : 



/Ï3 = ». ; 

; ; 
/21g = 1 4 , 7 



'±*JL = l6,7 

/47Ô = il ,7944947 
/39Ï = 



130 — 
800 à 839 



v [33 = io,8o865ao 



%/3Ï7 = 17,804491 



[64 = 12,80624a 



>•)() = 1") ,81 1 3883 



y' 61 = 7, S J 02^9 



^354 = 18, 8i [8877 



/47e = 2i , s 17 ',.> |a 



1 1 - = 10, 8i66538 



v Î91 = 13,8202750 



v >^ t = 16.82 i6o38 



393 = 19,8242276 



i â =a,8 184271 

y/3i = >, 8309519 

v -; ' = 8,8317609 
v 1 [o — 1 1 ,8321 S96 



120=14,8323970 \ ti8 = 17,832554 i /434 = 2o,83266C 



i i m ,84o3 sg 

i iH,8iiii'*7 



181 - 
840 à 879 



/Î65 :•>,.> ;■>.(■. 



, S/J8857H 



>94 = 19,8494332 



v/v.84 = tf6, 86229g * 



/£ = 6,8550540 
• v i g > = i i ) 8")64or)l 



= 20, 8566536 



/Tî7) = 17,860571 1 



f;8 = 2I,86Î2III 



y/i i« = 10,8627805 



'221 = 14,8660687 
/356 = 18,8679623 



/i5 = 3,8729833 

/^ = 7,*7i" < >7-.) 



v/i îi = 11,8743422 /352 = 15,874507g />9» = ,( .h ,s 7 |6o6g 



/436 = 20, 88061 3o 

y/^85 = 16,8819430 



v/Ï66 = 12,8840987 



- 182 — 

880 à 919 



y/ 7 ij = «,8881944 



J 7 g = 21 ,8860686 



J20 = 17,8885438 



v/4^7 = 20,9045450 
v/â53 = 15,9059737 



/193 == 13,8924440 



/35 7 = 18, 8 9 44- 



v/24 = 4,8989795 

vA) s = 9,8994949 



/22I = 1 4 , 8996644 /3g6 + 19 , 8997487 



y/i 19 = 10,9087121 



^48o = 21,9089023 



y/a 86 = 16,911 5 3 4 5 



v/35 = 5,9160798 vAi-' = 11 ,9i63;5') v/32i = 17,9164729 



18,9208879 



167 1 > . >) >>S ',So 



f^à = [4,933 1845 



183 — 
920 à 959. 



/I97 = 19,99.48588 



[8 - 0,928203-2 /i94= i3,9283883 v/438 = 20,9284495 



/48l = '21 ,()3l7I27 



/G3 = 7,9372539 



s/2>4 = 13,9373775 



y/787 = 16,9410743 



322 = 1 7 , y4 435o/j 



v/8Ô = 8,9442719 



y/359 = 18,94 7 295 3 



398 = 19,9499373 



/99 = 9,949 8 744 



y/439 = 20,9523268 



v/482 = 21,9544984 



/120 = 10,95 î45i2 



143 = 1 1 ,9582607 



— 184 — 

960 à 999. 



y/7Ô8 = 12 ,<)G i \X 

/195 = i3,g64a| 
\j •*.'.>* \ = 1 4 , 96661 
y 255 = 15,96871 

y^SH = lG,f)-()")C) 

/323 = 17,9722a 
y/3f>o = 18, 97361 
v^y = 19,97498 

/44Ô = 20,97017 
/483 = 21 ,9772(i 



SUR LA THÉORIE DES FONCTIONS IMPLICITES; 
Par M. E. Go u usât. 

On connaît les beaux résultats obtenus par M. E. Picard dans 
l'étude des équations différentielles et des équations aux dérivées 
partielles, grâce à sa méthode des approximations successives. 
Cette méthode s'applique également avec une grande facilité à la 
théorie des fonctions implicites. Pour fixer les idées, je resterai 
d'abord dans le domaine réel, quoiqu'il soit bien aisé d'étendre 
les résultats aux fonctions définies par des équations dont le pre- 
mier membre est analytique. 

1. Soit /(#, y) une fonction des deux variables indépendantes 
réelles x et y, continue dans le voisinage d'un système de valeurs 
#o?JKo> tc ' q ue /(-^oîJKo) — o. Pour préciser, nous supposerons 
que celte fonction est continue dans un domaine D défini par les 
inégalités 

(1) /■„ a % x ^ x ■+■ a, y^~ b < y %y<>-+- b, 



- i«:; — 

a el b étant deux nombres positifs. Nous admettrons <!<• plus que 
l'on peul choisir les nombres a <m b assez petits pour que l'on ;iii 

u) l/(*i/) -A*,y) l < k |j'-y i, 

a; étant une valeur quelconque comprise entre #o — & et Xq-\- ci, 
y' , y" étanl de même deux valeurs quelconques dey comprises 
entre j' — & et jKo+^> et K. un nombre positif constant plus 
petit que V unité, Celte dernière condition sera certainement véri- 
fiée si la fonction f(x,y) admet une dérivée partielle — s 'annu- 
lant pour x = x ,y = yo-, et continue dans le voisinage. 

Ces conditions clant supposées satisfaites, nous allons démon- 
trer que Y équation 

(3) y— yo=f(x,y), 

oà l'on regarde x comme une variable indépendante et y 
comme V inconnue admet une racine, et une seule, qui tend vers 
y lorsque x tend vers x . 

Il estclair que l'on peut, dans la démonstration, supposer x = o, 
y = o. L'équation (3) prend la forme 

(3') y=f(*,y), 

la fonction/"^, y) s'annulant pour x = y = o, et restant continue 
lorsque x varie de — a à -h «, ely de — b à H- b. Posons 

(4) ri=/(a?,o), jK 2 =/(^,yi), ..., y n = f(x,y a - x ), ...; 

il faut d'abord montrer qu'eu prenant x assez petit, y u y 2 , . . ., 
y n , . . . , restent inférieurs à b en valeur absolue. Par hypothèse, 
si | x | «< a et \y | << h, on a 

I/(^J)-/(*,o)|<K|jk|, 

K étant plus petit que l'unité; on a donc a fortiori 

I/(^J)KIJ. I + K| r |. 

Comme y K tend vers zéro avec x, nous pourrons prendre un 
nombre a fa tel que, x restant compris entre — a! et -\-a', on 
ait 

l/i!<6(i-K). 



— 180 - 
Si \y\ est inférieur à /;, on aura donc 

ou \f{x< > y) | <C b, pourvu que x soit compris entre — cû cl -h a'. 
Il s'ensuit que JKmJK2? • • .,/«? • • • seront tous inférieurs à b en 
valeur absolue, si la valeur absolue de # est moindre que a'. 

Pour prouver quey,, tend vers une limite lorsque n croît indé- 
finiment, considérons la série 

(5) jKi -4- (y 2 - y , ) -h (y-i — y 2 ) -h. . . H- (jk« — jk«-i )+.... 

Des relations 

yn=f(v,yn-i\ y n -i=f(r,y n -,) 

on tire, d'après la condition (2), 

|jk« — j«-i | < K \y n - x - y n -i I- 

Les termes de la série (5) sont donc plus petits en valeur absolue 
que les termes d'une progression géométrique de raison K «< 1 . 
La somme S n des n premiers termes, ou jy /; , tend par conséquent 
vers une limite Y lorsque n augmente indéfiniment. Celte limite Y 
est une racine de l'équation (3), car, si l'on fait croître n indéfi- 
niment, les deux membres de la relation 

.yn=f(r,y n -x) 

tendent respectivement vers Y elf(x. Y), et l'on a à la limite 

Y =/(*, Y). 

Cette racine Y est une fonction de la variable x, définie dans 
l'intervalle ( — a', -ha'). C'est une fonction continue, car la 
série (5) est, d'après ce qui précède, uniformément convergente 
dans cet intervalle, et tous les termes sont aussi des fonctions con- 
tinues. On a d'ailleurs 

|Y|<JZlL., 

ce qui montre que la racine Y tend vers zéro en même temps que x. 

L'équation (3') n'admet pas d'autre racine tendant vers 

zéro avec x. D'une façon plus précise, lorsque x csl compris 



— 187 — 

entre — a 1 et i- </', il n'existe |>;is d'autre racine que Y, dont la 
valeur absolue soit Inférieure à />. Soii en effet Z une racine, infé 
rieure à b en valeur absolue, de L'équation (•>'); des deui relations 

Z --/(./•, Z), ,T/»=/( a? i^«-i) 
On déduit, en appliquant toujours la eondition (2), 

IZ-^kKIZ-jk,,-, |, 
et par suite 

l Z — jr, | < K*-» | Z — ^t.|- 

La différence Z. — y n tend donc vers zéro lorsque n augmente 
indéfiniment, et Z est identique à Y. 

2. 11 est facile de passer de la proposition précédente au théo- 
rème d'existence des fonctions implicites, sous la forme qu'on lui 
donne ordinairement. Nous l'énoncerons de la façon suivante : 

Soit F(x,y) une fonction continue des deux variables x, y, 
dans le voisinage d'un système de valeurs x = x Q , y =y , pour 

lequel F(x ,y ) = o, et admettant une dérivée partielle — 

continue dans le voisinage du même système de valeurs, mais 
différente de zéro pour x = x , y = y . L'équation 

(6) F(x,y) = o, 

admet une racine et une seule tendant vers y lorsque x tend 
vers x {) . 

Soit en effet m la valeur de la dérivée — pour x = x , y =y ; 

m est par hypothèse différent de zéro, et l'équation (6) est équi- 
valente à l'équation 

y— j r o=y—yo— — P(^y) =f(x,y). 

Or la fonction f(x,y) du second membre est nulle, ainsi que 

— pour x = x , y =y , et ces deux fonctions sont continues dans 

le voisinage. On peut donc appliquera cette équation le théorème 
démontré plus haut; ce qui conduit à la proposition énoncée. 



- 188 — 
Remarque. — La démonstration précédente ne suppose rien 
sur l'existence de la dérivée — On peut se rendre compte aisé- 
ment que l'existence de cette dérivée n'est nullement nécessaire. 
Soit par exemple o(x) une fonction continue sans dérivée, pre- 
nant une valeur positive b pour x = a. Léquation y 2 = o(x) 

admet deux racines qui tendent respectivement vers dz \/b lorsque 
x tend vers a, et qui sont aussi des fonctions continues de x dans 
le voisinage. 

3. Considérons maintenant le cas général d'un nombre quel- 
conque d'équations. Soient 

/i(a?i,a? s , ...,a?«; 71,72, ~>,y P ), • -, /pi^u^u •■•»#*; yuy* ■••*.yi>), 
p fonctions des n -f- p variables .27, y^, continues et admettant des 

\ r 

dérivées partielles continues ~- dans le voisinage des valeurs 

àyu 

X\ = o, # 2 = o, . . .,#« = 0,^ = o, . ♦ .,y p -=. o. Si de plus les p 

fonctions//, ainsi que les p- dérivées partielles y— > s'annulent 
pour ce système de valeurs, les p équations 

(7) jki=/i> jk 2 =/ 2 , .-., y P =f P 

admettent un système de solutions et un seul de la forme 

yi=<?i(v u x u ... 9 x H ) 9 I y«=?»(a?i,a?î 1 ...,a?*) ï ..., y P =V P (x ll a; it ... 1 x n ) 1 

cp,, coo, . . ., ^ p étant des fonctions continues des n variables 
indépendantes x K ,x 2 , ...,x n , qui tendent vers zéro lorsque 
toutes ces variables tendent vers zéro. 

Supposons les fonctions //, -~- continues pour les valeurs de 

#,, x*-, • • • , 0Cn 5 y\ j y 21 • • • O'p satisfaisant aux inégalités 

(8)\xi\îa lf |a*s|£as, ..., \x a \%a n , \y\\%b u ..., \y p \<b p . 

Gomme on peut toujours remplacer les nombres a/, bk par des 
nombres positifs plus petits, nous supposerons que l'on a choisi 
ces nombres assez petits pour que la valeur absolue de l'une quel- 

conque des dérivées -r — soit inférieure à dans le domaine défini 
1 ày  . p 



— 189 — 

l>;ir les inégalités (8) 5 K étanl un nombre positil inférieur à L'unité. 

Cela esl toujours possible, puisque l< i s dérivées s'annulent 

pour./', ./j . • ,=yp= o. Nous pouvons aussi admettre pour 
simplifier que L'on a 64 = 6 2 = . . .= b p \ car il suffit <l<" remplacer 
les nombres 6|, b>, ..., A 7 , par le plus petit d'entre <mi\ A. 

Cela étant, nous poserons, en appliquant la m ♦■nie méthode que 
dans le (iis simple traité plus haut, 



(9) 



OUÏS 



(10) 



y\ l =/i Oi,-^, • • -,^«; °>° 5 •••, o)> 
I .»'i l =/s(^i,^ï, . ..,#«; o, 0, . . ., o », 

7 

.7//' =fp(&i,vtt -• • 1 - 7 '«; 0,0, . .., o), 






et ainsi de suite. D'une manière générale, on posera 

i = ï r 2, ...,/> ; /n = 2, 3, . . . . 

Si les valeurs absolues de JK^ -0 ? • • •iy i p m ~ i) sont inférieures 
à &, on a, d'après le théorème des accroissements finis, 

W m) -M 11 1 < 7 \y\" l - l) I + ^1JkS*- 1, I -+-•■•+ ^ \y { P m - l) l 
1 1 p 

et par suite 

[/r-/:"i<K*, 

et, à plus forte raison, 

(11) ■ \y { r\<\y\ x) \ + K0. 

Mais les fonctions y\ s) sont des fonctions continues de x { , 
x>, ..., x n qui s'annulent pour #, = x 2 = . . .==: x n = o. Nous 
pouvons donc supposer encore les nombres a K , a 2 , . . . , a« assez 
petits pour que la valeur absolue de^J- n soit inférieure à (1 — K) b 
lorsqu'on a 

\t\ I «\. | 3? a lia,, . .., |a? fl |^a„. 
xxxi. ,'; 



— 190 — 

L'inégalité (i i) montre que l'on aura aussi \y { / N> | < />, cl l'on 
démontrera ainsi de proche en proche que toutes les valeurs abso- 
lues \y ( - 1] |, \y\ Z) |, • • "> \y { / n) \i • • • seront inférieures à l>, pourvu 
que l'on ait 

Des deux relations 
on déduit de même 

br-;r i, i< |i^ m - i) -jK ( i /n - 2, i 

+ flyg-v-yV*-* I •+■••• ■+■ ~ Ir^ 1 ' -rr 2 !• 

Soit M„i_, la valeur maximum des valeurs absolues des diffé- 
rences \y { /"~ n — y\ m ~ 2) \ pour ï = i,2, ...,/?; L'inégalité précé- 
dente prouve que l'on aura 



En particulier, si H est la valeur maximum de \y\ {) |, |jK c n | . . . , 
|jKp } |î la valeur maximum des valeurs absolues |j^ 2) — JkV ) \i • • ••> 
\y { p } — y\l ] | sera moindre que KH, et, en continuant de la sorte, 
on voit (jue la valeur absolue de y { / H) — yf l ~ {) sera inférieure à 
K W -'H. La série 

JK/ ■+■ s yt — yt 1 -+- . . . -+- j^ï — ,// j-h... 

a donc ses termes plus petits en valeur absolue que ceux d'une 
progression géométrique de raison K << 1 . 11 s'ensuit que y 1 "^ tend 
vers une limite Y/ lorsque m augmente indéfiniment. Soient Y,, 
\ 2 , . . . , Y^ les limites vers lesquelles tendent respectivement 
r ! ( "",/ l 2 "", • • -, J'y," lorsque /?? croît indéfiniment. La relation 

y> — j i\ x \i &ï, • • • 1 <?„ , y x *.''",yi> ) 

devient à la limite 

Y,-— //(.r,, j-j, ...,./■„ : Y,. Y, Y,,!. 1 = 1,2 p. 



l'.n 



On démontre comme dans le premier cas que les racines ^,, 

^ ._, , . . .j Y» sonl des fonctions continues de ./•,, .r^, ...,./•„, el 
que le système (7) n'admet pas d'autre système de racines tendant 

vers zéro en même temps que .r,, x 2 , . . .,x fi . 

I. l 'relions enfin un système de la forme la plus générale 



1 \'i 1 



Fj (.r,,.r 2 , .. .,./•„; ji, t / 2 , • • >,y P ) = 0, 
F, (a?!, .r,, . . . , ,r„ ; jKi, JK 2 , ■ • .,^P ) = °i 

■: 



dont les premiers membres sont des fonctions continues, et ad- 

<)V ■ 
mettent des dérivées partielles -r-*- continues, dans le voisinage 

d'un système de valeurs x®, x? 2 , . . ., x { \ ; y° n . . . ,JK^, pour lequel 
on a ¥\ = o, F 2 = o, . . ., Fa = o. 

Ces équations admettent un système de solutions, et un seul, 
de la j or me 



y x = cp,Oi,;r 2 , . . .,rr»), 



y P — ?/'( ,r l' X 2i • • •> X n)i 



'j, , œ 2 j • • • 7 'f /> étant des fonctions continues qui tendent respec- 
tivement vers y^y^j ' • •îJKpî lorsque les variables x t , . . ., #„ 
tendent elles-mêmes vers x", x° 2 , . . . , a;*, pourvu que le déter- 
minant fonctionnel 

D(F„ F,, ..., F,,) 

/ie soit pas nul pour ce système de valeurs. 

Pour simplifier, nous supposerons que Ton a effectué d'abord la 
transformation 

xt | x\ -h x t , y k | y\ + r/„ 

de façon que toutes les valeurs initiales x\,y\ soient nulles. 
Soit an :1a valeur de la dérivée -r--^ pour ces valeurs initiales; par 

()y k ' I 

hypothèse le déterminant 



fin ^12 

c/ 21 a t i 



a 



'/■ 



a. y 



2p 



a pl a pa ... </,, 



— 199 

es! différent de zéro. Le système dos équations (12) est évidem- 
ment équivalent au système suivant . 

( tf ii.">'i — a \iy-i -*-• • •+ a \p. y i> = a uy\ -+-...+ a \>>y p — *i = r»- 

" 3, r ; •"•■•" ■•■ • r : 

"/'l7' ~ ^/;2j'2 — • • •— a ppyp~ a ptf\ ~ ■ ■ ■— &ppj f'— V p— ?/»i 

1rs seconds membres çp», çp 2 , .. ., 'fy, sont nuls, ainsi que leurs 

dérivées partielles -^- pour #,= o, r/, ■= o. En résolvant ce nou- 

veau système par rapport àr^y,, . . .,»» on obtiendra donc en 
définitive un système de la forme (7). 



SUR LES LIGNES ASYMPTOTIQUES DE CERTAINES SURFACES; 
Par M. L. Lf.corw. 

Le récent article de M. A. Buhl : Sur les surfaces dont un 
système de lignes asymplotiques se projette suivant une 
famille de courbes donnée (Bulletin de lu Société mathéma- 
tique, Hjo.j), m'a rappelé une Note que j'ai publiée, en 1884, 
dans les Mémoires de l'Académie de Caen : Su/- les sur/aces à 
pente uniforme et les réseaux proportionnels. Je désire indiquer 
ici quelques rapprochements entre ces deux éludes. 

J'entends par surface à pente uniforme une surface dont 
chaque ligne de plus grande pente, prise individuellement, pré- 
sente une pente constante, pente qui varie d'ailleurs suivant une 
loi quelconque, quand on passe d'une ligne de plus grande pente 
à une autre. L'exemple le plus simple est fourni par la surface de 
vis à filet carré et à axe vertical. On voit aisément que, sur une 
pareille surface, les lignes de plus grande pente forment une 
famille de lignes asymplotiques. Elles sont divisées par les lignes 
de niveau en parties proportionnelles; celte propriété subsiste en 
projection horizontale, et l'on obtient ainsi une famille de courbes 
planes divisées proportionnellement par leurs trajectoires ortho- 
gonales. C'est ce que j'appelle un réseau proportionnel. 

L'équation différentielle des surfaces à pente uniforme est. 
avec les notations usuelles. 

'7' J - *'P? ~ f 'J- = "• 



— 193 — 
Cette équation esl intégrée |>;n - !<• système 

z = e Y | ./• sin '/ y cos y l //. 

du 

o e Y ( ./■ cos '/ ; r mu ? | > 

da 

du 

o = e Y (a? sina — y cos a) -- » 
^ df 

dans lequel a, v désignent deux paramètres arbitraires, ci u une 
intégrale quelconque de L'équation 

<) 2 « Ou 

La vérification est aisée : la première des équations (2) donne 
(4) / J » = e _ Ysina, </ =--<rïcosa, /> 2 -f- 7- = e _2 Y; 

d'où 

r/> + .sv/ — — 2 e _2 Y — L > sp -h /</ = — 'ie 2 Y — *- , 

1 Ox Oy 

et, j>ar suite, 

/ • Oy 0y\ 

rp- -h 2 spq -+- tq- = — 2 e - 3 Y ( sin a — ^ cos a — ) • 

Or on lire des deux dernières équations (2), en tenant compte 

de (3), 

Oy 
cos a — (x cos a -f- y sina ) — - = o, 



d'où 



Oy 
.sina — Cz- cos a -+- y sina) — - = o, 

Oy 



/r\ ■ Oy Oy 

(5) sina—! cos a— - = o, 

Ox Oy 

ce qui entraine l'équation (1). 

Les équations (2) montrent encore que l'on a 

Ou 
z = u + -r- » 

Oy 

et l'on en conclut que z est, en même temps que u, une intégrale 
de (3). On voit sans peine qu'il en est de même de p et q. 

Revenons maintenant au travail de M. Buhl. L'auteur cherche 
comment on peut déterminer une surface dont l'un des systèmes 



— 194 — 

de lignes asjmptotiques se projette suivant mie famille de courbes 
déterminée par l'équation différentielle donnée, 

(6) % -/(.,,). 

L'équation différentielle de la surface cherchée est 

( 7 ) r -+- ifs + /* t = o. 

Par un changement de variables elle peut se ramener à la forme 

d*z ,. dz 

— - — À — = o. 

o»a 2 (h( 

L'objet principal de M. Buhl est de trouver dans quels cas la 
fonction "k se réduit à une simple constante, qu'il est toujours 
permis de supposer égale à l'unité. On est alors ramené à l'inté- 
gration de l'équation (3), dont j'ai fait précisément dépendre la 
recherche des surfaces à pente uniforme. 

Nous sommes ainsi conduits à examiner la question suivante : 

A quelle condition V équation (6) représente-t-elle une 
famille de courbes appartenant à un réseau proportionnel? 

Soit tp(#, jx") = C l'intégrale de l'équation (6). On a identi- 
quement 

/os do . do 

<8 > £ + 'sj = "- 

Si l'on considère les deux courbes consécutives ^(x, y) = C 
cl o(x, y) = C -{- dC et si l'on veut que leurs trajectoires ortho- 
gonales les divisent proportionnellement, on doit, en appelant ds 

et ds -j- S ds les arcs élémentaires correspondants, -f- la dérivée 

de co suivant la normale, p le rayon de courbure, écrire que le 

do 

. §ds , , ,, . y dn ,.ii j 

rapport —y— égal, comme l on sait, a ? est constant le long de 

la courbe tû(ûc^y)= C. D'ailleurs 

do do j =- i y" dx dy 

TïTi = 7/y * /7T7 ^ " ô = i = T' 



m;, 



i donc on iin-c 



on ;« 



I 



ai >'/ 

I 

Or ■ dj 



— = h -y-, 



el celle expression doit demeurer invariable quand 'f est con- 
stant, c'est-à-dire quand dy = f dx. On trouve ainsi 



F 



d», 






ùx i)y Oy' 1 J \0x ' Oy J ùy 

L'équation (8) donne d'ailleurs 

c) 2 ^ 2 Q (te <>/' 

()x Oy ())- Oy Oy 

La condition précédente peut donc s'écrire 

(10) 



Ox Oy Oy 



Calculons, au moyen de (9), les dérivées partielles de F et por- 
tons dans (10). Toutes réductions faites, nous obtenons 



(«0 
ou bien 

(.-2) 



l — — -h 2 / - h f- -r-- 

1 W r2 J A™ A,a 



Ox' 2 " Ox Oy 



Ox 



Oy"- 

J Ox Oy J \0y 



0*0 . 0^0 . c)2 

0x % J Ox Oy J Oy- 



en posant 9 = arc tang/*. 

Telle est la condition cherchée. Quand elle est vérifiée par la 
fonction y, le réseau proportionnel est donné par les deux der- 
nières équations (2), d'où l'on tire 



H I) 



, Ou . Ou. 

x = cï ( — si n a — cosa 

07 Oi 



Ou <>u 

\ -—cosa — — 

0\' <>y. 



mu y. 



— 196 — 

A chaque valeur constante de y correspond l'une des courbes 
du système. La surface à peulc uniforme s'obtient eu adjoignant 
la première équation (2). 

Il reste à dire comment on peut choisir la fonction u de façon 
à identifier la famille de courbes (i3) avec une famille donnée de 
courbes vérifiant l'équation (i;>.). il suffit évidemment que les 
deux familles aient une courbe commune. 

L'intégrale générale de (3) peut s'écrire 

*j — » 
'-£= f~~e-*F'(* + *tfi)dt, 

I *S — a, 



d'où 



Pour la valeur particulière y = o, ces formules deviennent 
M = vAcF(a), — = /<*F'(a), — - = — = sjr, F"(a), 

et les équations (i3) se réduisent alors à 

x = /^[sina F" (a) — cosa F' (a)], 
y = v/7c[cosaF"(a)H- sinaF'(a)]. 

En écrivant que ces valeurs vérifient l'équation W(ûr,y) d'une 
courbe donnée, on est évidemment conduit à une équation diffé- 
rentielle de premier ordre en F'(a). La fonction F s'obtient en- 
suite par quadrature. 

La ligne asymptolique projetée suivant la courbe pour laquelle y 
est nul présente une pente de 45° ; car, en vertu des équations (4), 
l'hypothèse Y = o entraîne/}'- -J- - q- = 1 . Si l'on veut s'affranchir 
de cette restriction, il suffit de changer y en Y-+- c, c étant une 
constante arbitraire, et de remplacer en même temps u par uc~ c . 
Celte double modification, sans altérer les équations (i3), a pour 
effet de multiplier z par la constante e~ c et, par conséquent, de 
multiplier par ce même facteur les pentes des lignes asvmplo- 
liques. 



— i!)7 — 

En résumé, I»' problème étudié par M. Buhl peul être résolu 
chaque fois que la fonction arc tang/ est une solution de 
l'équation (i>). Ce «;is s'ajoute à ceux qu'il a indiqués h qui 

reviennent à mettre y sous la forme .-> puis À chercher si, en 

appelants une solution quelconque de (12), l'une des quantités 

S^r, S -r- est une solution, ou bien encore à vérifier s'il existe un 
I > A 

facteur 11 ici que 11A ei RB soient simultanément des solutions. 

Comme exemple particulier, j'ai cilé jadis celui de certaines 
courbes homothétiques divisées proportionnellement par leurs 
trajectoires orthogonales. De pareilles courbes existent, et elles 
possèdent celte propriété caractéristique, que pour chacune 
d'elles le rayon de courbure est dans un rapport constant avec 
la projection, sur la normale, du rayon vecteur issu du centre 
d'homolhétie. Lorsque ce rapport est égal à l'unité, le système est 
constitué par des développantes de cercles concentriques, ayant 
leurs points de rebroussement sur un même diamètre. La fonc- 
tion u a alors pour valeur a 2 + av. La surface correspondante est 
définie par les équations très simples 

x = i et ( sin a — a cosa), 
y = 9.eY(cosa -ha sin a), 

z — a 2 -h 3y- 



SUR LE PROBLÈME DES AIRES; 
Par M. H. Lebesgue. 

Dans ma thèse Intégrale, Longueur, Aire, parue aux Annale 
fli Matematica en 1902, j'ai étudié le problème des aires des 
domaines plans. L'un des énoncés que j'avais choisis pour ce pro- 
blème était le suivant : 

Attacher à chaque domaine plan un nombre positif) que Von 
appellera son aire, et satisfaisant aux conditions suivantes : 

Deux domaines superposables ont la même aire. 

Fx domaine formé par la réunion de deux domaines, sans 
points intérieurs communs, ayant en commun un arc de fron- 



— 108 — 

tière et un seul, a pour aire la somme des aires des domaines 
composants. 

Avec cet énoncé, le problème des aires est déterminé quand on 
se borne aux polygones, comme l'ont montré MM. Gérard et 
Hadamard. Il l'est aussi pour les domaines quarrables, au sens de 
M. Jordan, c'est-à-dire pour ceux dont la frontière peut être 
enfermée dans un nombre fini de carrés dont la somme des aires, 
au sens ordinaire du mot, est aussi petite que l'on veut. Au para- 
graphe 14 de ma Thèse, j'ai indiqué quelques raisonnements qui 
montrent que le problème des aires est indéterminé pour les 
domaines non quarrables; mais l'exposition que j'ai donnée de ces 
raisonnements est inexacte et incomplète. Je vais reprendre ici la 
question. 

Considérons deux domaines D,, D 2 ayant un arc a de frontière 
en commun. Soient a, a, ; a, ou les frontières de D< et D 2 . Soit 
A un point de a, non confondu avec l'une des exlrémilés de a. 
De A pour centre, on peut décrire une circonférence Y assez petite 
pour qu'elle ne contienne aucun point de a, ni de ou ; et cela quels 
que soient les arcs a, et ou, qu'ils aient ou non des points com- 
muns, pourvu que D, et D 2 soient deux domaines. A l'intérieur 
de T se trouvent des arcs de a, soit lin celui qui cou lient A. Pre- 
nons sur lin deux points a et />, différents de / et m, et de part et 
d autre de A. Si l'on se reporte aux raisonnements qui servent à 
M. Jordan (Traité d' Analyse, i e édit., t. I) à démontrer qu'une 
courbe fermée, sans point double, sépare le plan en deux régions, 
on verra qu'à l'intérieur de T il est possible de tracer une courbe C, 
tout entière dansD,, et joignant a et b : et une courbe (7 joignant 
les mêmes points et extérieure à D,. 

Le domaine A limité par C et l'arc ahb est intérieur à D,, le 
domaine M limité par C et akb est extérieur à D,. Aucun point 
des arcs a, eu n'est intérieur aux domaines A et A'; donc, ou bien 
A est intérieur à D 2 et A' extérieur à D 2 , ou bien A est extérieur 
à D 2 et A' intérieur à D 2 . Ce sont bien les deux seules hvpotbèses 
possibles, car le domaine A -h A', contenant A et tous les points 
voisins de A, contient des points intérieurs à D 2 et des points 
extérieurs à ce domaine. Lorsque A est intérieur à D 2 , nous dirons 
qu'en A, 1), cl D 2 sont du même coté de a. Lorsque A est exté- 



— 199 — 

rieur à I > ._, , nous dirons qu'en A, l) ( el Dj sonl de côtés différents 
de y.. Ces définitions sont légitimes, car elles ne dépendent évi- 
demment pas du choix de r, <7, h, C, C. 

Ceci posé, la considération de A ci, A' donne, non seulement la 
position respective de l) ( el D 2 en A, mais pour tous les points de 
lare y. qui sont compris entre a et b. Ceci revient à dire que si I ), 
et D 2 sont d'un même coté de a en un point, ils sont du menu; 
côté de a en Ions ses points, les extrémités étant exclues de nos 
considérations. Lorsqu'il en est ainsi, on dit (pie D, et D 2 sont du 
même coté de a; dans le cas contraire on dit qu'ils sont de côtés 
différents. Nous avons ainsi précisé ce que l'on doit entendre par 
les deux cotés de a. 

Soit un arc de courbe a(3, sans point multiple et non quarrable 
faisant partie de la frontière d'un domaine A. Soit maintenant un 
domaine quelconque D limité par une courbe G. G peut contenir 
des arcs non quarrables superposables à certains arcs de ocj3. 

Si A est un tel arc et si, lorsque l'on effectue la superposition 
d'une partie non quarrable quelconque A/ de A avec l'un quel- 
conque des arcs de a[3 qui lui sont égaux, D et A sont toujours du 
même côté de A', A sera dit un arc de la première espèce. 

Si B est un arc non quarrable de G tel que, lorsque l'on effectue 
la superposition d'une partie non quarrable quelconque B' de B 
avec l'un quelconque des arcs de a£J qui lui sont égaux, D et A 
sont toujours de côtés différents de B', B sera dit un arc de la 
seconde espèce. 

Les autres arcs de G seront de la troisième espèce. 

Choisissons arbitrairement, une fois pour toutes, un nombre 
positifô, inférieur à i , et attribuons comme aire à D le nombre 

m +0m(A) + (i-0)m(B), 

où m désigne la mesure superficielle des points intérieurs à D, 
c'est-à-dire l'étendue intérieure, au sens de M. Jordan, de D, où 
/n(A) et m(B) désignent les sommes des mesures superficielles des 
arcs de la première et de la deuxième espèce, c'est-à-dire les 
sommes des étendues extérieures, au sens de M. Jordan, de ces 
arcs. 

Il est évident que Taire ainsi construite satisfait bien aux condi- 
tions que nous nous sommes imposées. 



— 200 — 

Dans le Paragraphe 11 de ma Thèse, j'établissais la classification 

des arcs de G en laissant D et A immobiles, là est l'erreur que je 
signalais au début, car alors à deux domaines superposables pour- 
raient correspondre des aires différentes. Cette erreur rectifiée, je 
dois montrer qu'on peut choisir <x(3 de façon qu'il existe efi'cctive- 
ment des arcs des deux premières espèces, sans quoi l'aire con- 
struite ne dépendrait pas de 0. L'existence de tels arcs n'est, avec 
la nouvelle classification, nullement évidente; il n'existerait que 
des arcs de la troisième espèce si l'arc ajâ avait un centre situé sur 
lui. 

La classification des arcs en trois espèces s'applique au domaine A 
lui-même et à l'arc ap; seulement aucun arc de a|2 n'est de la 
seconde espèce. La courbe que je vais construire, en modifiant 
légèrement la méthode qu'emploie M. Hilbert ( ( ) pour obtenir une 
courbe passant par tous les points d'un carré, est telle que tout 
arc non quarrable de cette courbe est de la première espèce. 

La courbe sera donnée par les formules 



./• 



/(O, r = ?(Oi 



où /'et cp sont des fonctions continues quand t varie de o à i. 
Traçons {fi g* i) les droites QAF', QM'R et les deux arcs de 



Fis 



JE// 



' '•*■''■ %y'. 



En \ H . 

~-yX- 

>'B\\ K 






---V-OÎ' L. 



u v 



K7 



>0' 










cercle de centre 1), AM 7 , F'R. Pour t = o le point .r, y est en A. 



(') Malhematische Annalen, Bd. 38. ou E. Picard, Traité d'Analyse, 2« édi- 
tion, t. I. 



— 201 — 

pour / — i il csi en R., pour / compris entre <> <•! i il est dans le 
domaine \ I I ï M . • 

Marquons cuire o <-i i lc> valeurs de t de la forme — _ t e, où n 

{ ) 

est entier; traçons les rayons QF, ÛG, QG', QR' el les arcs B'N, 
(/(), 1)1", EQ' tels que 

F'F - GG'= R'R, AB'=C'D = EF', 
FG = G'R' = B'G'= DE = z. 

r» 1 l I ' '>■ # i 

Tour les valeurs e, — h e, - — 6, . . . , -f- e, le poml x, y 

9 9 9 9 

occupe les positions R, C, D, E, F, G, H, 1, J, K, L, M, N, O, 

P, Q. Quand / varie de s à — -h s, le point x, y décrit la 

droite issue de Q, ou l'arc de cercle de centre qui joint les deux 

points correspondant aux valeurs — — e, — + s. Enfin, quand 

I l 9 9 l 

/ varie de - — h £ a e, le point x, y reste dans celui des 

9 9 ' J 

domaines, tel que AA ; BB', dont deux sommets opposés sont les 

points correspondant à t = - — f- s et £ = " e. 

II 9 9 

Nous pouvons ainsi supposer entièrement définies les fonc- 
tions /et <p dans les intervalles l— — e, - "+-ê); pour les définir 

dans les intervalles (- + e, £— - £ j, nous opérons sur chacun 

de ces intervalles comme sur (o, i), et sur chacun des domaines, 
tels que AA'BB', comme sur A F' RM', en remplaçant e par une 
quantité plus petite s, , assez petite pour que les opérations soient 
possibles. Après celte opération, il restera o, 2 intervalles dans les- 
quels f et œ ne sont pas définies; on répétera sur eux les mêmes 
opérations en remplaçant s par e 2 . Si les e sont choisis assez 
décroissants, on ne sera jamais arrêté dans ces opérations et l'on 
définira f et cp pour un ensemble de valeurs de t partout dense 
dans (o, i); ce qui suffit pour les déterminer entièrement puisque y* 
et o sont continues. 

La courbe AR ainsi définie est celle qui va jouer le rôle de aJ3; 
cette courbe est en effet non quarrable, si les £ tendent assez vite 
vers zéro. L'étendue extérieure de la courbe est la limite vers 
laquelle tendent les nombres décroissants A, A,, A 2 , ... qui 



- 202 - 

représentent respectivement l'aire, au sens ordinaire du mol, 

deAF'RM'; la somme des aires des () domaines tels queAA'BB'; 

la somme des aires des o, 2 domaines correspondant à s 2 ', etc. Or 

on a 

A - A, <9 (AF'H-F'R)e, 

A,— A s <2.3 (AF'+F'-R)*!, 



A p — A |H -i<2.3P(AF'-t-F'R)ep. 
On peut choisir les s de façon que la série 

2(AF'-hF'R)2e p 3P 

ait une somme aussi petite qu'on le veut, c'est-à-dire de façon que 
la limite des A, ne soit pas nulle et la courbe AR n'est pas qtiar- 
rable. 

Le domaine A est limité par la courbe AR, la droite OA et une 
courbe QR telle que le secteur QAM/ soit intérieur à A. Alors on 
distinguera les deux côtés de AR en disant que A est du côté inté- 
rieur de AR. 

Considérons un arc y non quarrable de la courbe obtenue; cet arc 
ne se réduisant pas à une droite contient des arcs de cercle. Sup- 
posons par exemple qu'il contienne l'arc ST, relatif à e 2 , que l'on 

obtient pour t variant de -(j — z) — z { à -(" — zj + £<• AR ne 

contient que deux arcs égaux à ST, les arcs UV, XY, correspon- 
dant aux intervalles 

[¥~- Kf-)--¥ + ' + i(î-)H- 

De là résulte que y est superposable au plus de cinq manières dif- 
férentes avec des arcs de AR; dans les cinq déplacements corres- 
pondants ST prendra les positions TS, UV, VU, XY, YX. 

Les cinq déplacements dont il s'agit sont donc, soît des rotations 
autour de û, soit des symétries par rapport à des droites issues 
de Q, lesquelles droites sont des bissectrices d'angles tels que FQG, 
SUT. Or il est évident que dans ces opérations le côté intérieur 



— 203 — 

de V vie ni coïncider avec le côté intérieur <!<• AU. Cela suffi i pour 
qu'on puisse affirmer < [ i § < * tout arc non quarrable de AI» <^i de la 
première espèce. 

Ce résultat est plus évident encore si L'on modifie quelque peu 
l.i construction de AK. La courbe Ail étant construite ainsi qu'il 
vienl d'être dit, remplaçons chaque arc de cercle 8 faisant partie 
de celle courbe el tournant sa concavité vers l'extérieur par l'arc 8' 
symétrique de 8 par rapport à la droite joignant les extrémités 
de 8, La nouvelle courbe AR ainsi construite sera sans point 
double; elle aura même étendue extérieure que la précédente, 
donc sera non quarrable. Si pour cette courbe on définit comme 
précédemment le côté intérieur, tout arc non quarrable de AJR 
scia de la première espèce, car tous les arcs de cercle faisant 
partie de AR ont leur concavité vers l'intérieur. 

Qui l s'agisse de l'une ou de l'autre des deux courbes AR, on 
peut remarquer que tout arc non quarrable de AR est de la pre- 
mière espèce quand on effectue la classification des arcs en trois 
espèces en tenant compte, non seulement des superpositions d'arcs 
de C et de a3, c'est-à-dire de AR, qui s'obtiennent par des dépla- 
cements de C, mais aussi des superpositions que l'on obtient en 
effectuant sur C une transformation par figure semblable quel- 
conque. Avec cette nouvelle manière de classer les arcs, et avec les 
courbes AR construites, le nombre que nous avons appelé aire 
dépend effectivement de 9; il satisfait bien aux deux conditions du 
problème des aires et de plus est tel que, si deux domaines sont 
semblables, le rapport de similitude étant K, leurs aires sont dans 
le rapport K 2 . Cette dernière condition n'était pas réalisée avec la 
première classification des arcs. 



SUR LES COEFFICIENTS DES DÉVELOPPEMENTS EN SÉRIES DE tangx, seca: 

ET D'AUTRES FONCTIONS. 
LEUR EXPRESSION A L'AIDE D'UN DÉTERMINANT UNIQUE; 

Par M. E. Estanave. 
Dans une précédente Communication (')j'ai montré que la 

(') Bulletin de l<i Société Mathématique, t. XXX, p. aao. 



— 204 — 

considération des nombres A ;/ imaginés par M. Désiré André dans 
un Mémoire sur les permutations alternées (Journal de Lio avilie, 

1881, p. 167) pouvait, avec avantage, être substituée à la consi- 
dération d'autres séries de nombres, tels que les nombres d'Euler, 
de Bernoulli, de Genocchi, etc., qui apparaissent dans les déve- 
loppements en séries de lang^, de sècx et aussi dans la somma- 
tion de suites numériques importantes. Ces derniers nombres 
forment, en effet, des suites assez disparates, les unes formées de 
nombres entiers, les autres de nombres fractionnaires, tandis que 
les nombres A forment nue suite de nombres entiers qui ont une 
signification combinatoire simple et par suite une existence indé- 
pendante des développements dans lesquels ils entrent comme 
coefficients. 

Rappelons que, à l'aide de ces nombres A, les développements 
de tang^r et de séc# s'écrivent 

tangir = Aj — H- A 3 — +Ajrr+...+ A 2/ ,-i 



1! ' ~'*M ' ° 3 ! "" l (-ip — \)\ 

séca? = A -+- A 2 — 7 -4- A 4 *— 4- ... -h A 2 p — t -+-•••• 
•1 ! 4 ' ? P ■ 

Si nous comparons ces développements à ceux déjà établis à 
l'aide des nombres de Bernoulli (B) et des nombres d'Euler (E), 
nous voyons que ces nombres sont liés aux nombres A par les 

relations 

•>/2/m y'-p — 1 ) 

(1 ) A.20--1 = — - B ; „ A 2/ , = E p . 

' ip 

Ayant déjà montré que les suites des nombres B 7 ,, E^ peuvent 
être remplacées par une suite unique de nombres entiers A„, pour 
lesquels j'ai indiqué un caractère remarquable de périodicité du 
chiffre des unités, je me suis proposé ici de donner une représen- 
tation par les déterminants de ces nombres A. Il s'ensuivra que 
les nombres B /; , E^ dont on a des représentations indépendantes 
diverses, que je signale ci-dessous, trouveront une représentation 
unique dans l'expression de A w , grâce aux relations (1) qui lient 
ces nombres aux nombres A„. 

Or les nombres d'Euler, de Bernoulli ont été exprimés par 
divers auteurs, MM. Glaislier, Haussner, etc., à l'aide de déter- 
minants. Bien que la dépendance de ces nombres ait été démon- 



— 208 — 

1 1 , ;e ,,,, ,, donné <!<■ ces nombres une représentation indépendante. 
Vinsi les nombres de Bernoulli ont été exprimés par les déter- 
minants 

i 



B p =(— lyn-taji! 



1 


i 


3! 


a! 


i 


i 


r- 


3! 



I ... o 



2! 



(2/n-ij! 2jo! (■>./> — ij! 
où B« est exprime à l'aide d'un déterminant d'ordre 2/?, 





l 


o 


o 




G! 


I 





•>./>(— IV'- 1 

7 '~ 2*1» ('2 1 *'— I) 


ci 


ci 


i 



u 2/;-3 U 2P-S ^2/^-3 

ri r 3 n. 3 

U 2P-1 Wp-1 ^2/J-l 



2! 



O I 

O I 

O I 

I 
1 I 



qui est un déterminant d'ordre/?. 

J'avais indiqué aussi la représentation suivante pour B^ 



*P 2 ( 2 2/»-l_,) 



I 




"3Ï 


i 


i 


i 


5! 


" V. 



o o 



(— i)p (—iy- 1 



<—I )*/'+* 



(ip-+-l)\ {ip—i)\ 



De même des nombres d'Eulcr on a diverses représentations à 
l'aide de déterminants 

i o o 

G? — i <» 



E,= (-0' 



G! 



C* . 



p 2 p* f r. 

■j. /' ' l !> 2 /' 

/, étant le plus grand entier contenu daus —■> expression de h f , 
xxxi. i i 



— 206 



sous forme d'un déterminant d'ordre p, que l'on obtient en par- 
tant de la formule de récurrence qui définit E^. Ou encore la 
forme que j'ai indiquée 



E p = tfPip 



i 



i 



3! 



i 
3T 



2O! 

i 



2*. 5! 



(— \)P ( — i)/ J - 



(ï/> + i)! (*/> — i) 



■A-i>(-ip + i)! 



JL p est ainsi exprimé à l'aide d'un déterminant d'ordre p -+- i 
qu'il serait facile de réduire à un déterminant d'ordre/? en retran- 
chant les éléments de la première et de la dernière colonne. 

De la comparaison de ces diverses expressions, on peut déduire 
des identités entre déterminants, qu'il pourrait être malaisé d'éta- 
Ijlir directement. 

Pour avoir une représentation unique pour les nombres A /n 
considérons la relation suivante indiquée par M. D. André 

ac«- ■ a, ■+■ (- 1)*- 1 2*cr 2 Ai-» 1 cr 3 A 3 + (- i)»-*a*Cr* A ¥ +.. . 

+ (-i/^^Gr 2 ''A 2/ , + (- i)/'22/'+ l G«- 2 ^ +I) A 2/ ^i +...-+-(— i) /l i' 1 Cj»A„ = i-4-(— 1)« 

/i étant la partie entière de — » relation que nous pouvons écrire 
d'une manière plus condensée 

n—\ 



Y (-iy/-2 2 v+ic;;-^'/ +l )A, 7+1 

-+- Y (— i)"-/'^/'C;r 2/ 'A 2/ >= (— n+1 -+-i 
P =i 

Dans le cas où n est pair •/ prendra les valeurs o, 1,2, 

et p les valeurs 1, 2, 3, . . ., r > et si n est impair q prendra les 

valeurs o, 1. 2, . . . , — - — ct/j> les valeurs 1.2, . 



. . . , 



n — 1 



— 207 

Si nous donnons à n les valeurs i , 2, 3 5 • • . n , nous obtenons 
les // équations linéaires à n inconnues A i , \ ■_. • V; , • • • ■» A.« sm— 

\ iinlcs : 



— 2 

= () 



aCJ \, 2*03 l| 
'<;; l, ; a *CJA,— 2»CSA 3 
,<;.; ^j — a'GJA,— 23GJA 3 H-2*GJ k» =o 

,,;. V 1 -+-2*C|A 2 —2»GiA 3 - 2*C|A 4 +2»GSA 5 =2 






aCJi ' ^,-4-(— i)»-»a«C2-»A,— a»G* 3 A 3 4-(-i)»- s 2*Gîi "*A, 
+ (_ , )/i 2 /j C» A „ = i-f- (— !•)»+«. 

De ces équations on tire la valeur de A„ 



i» I n -+- I ) 



*2 
2 Cl 

aCf 



a^CJ 

— i«GJ 

2*C3 



o 

o 

— a 3 

-23CJ 

-a 3 Gl 



o 

<> 
o 
a* 
a* G| 



o 
o 



o 
a s 



2 c«-i (— i)»-i2*c^- 1 — 2 3 c;r :j (— i)«-2a*G;r* a , c»-« 



i+(~0 



/i-f-i 



qui est la représentation de A u à l'aide d'un déterminant d'ordre n. 

Dans celte expression k est impair toutes les fois que — - — est 

entier et À* est pair dans tous les autres cas. En sorte que le signe 
à prendre devant le déterminant sera le signe — ou le signe -J-, 

n — a 
suivant que — - — sera ou ne sera pas entier. 

Gela étant, remarquons que le déterminant ci-dessus, que j'ai 
écrit sous celte forme transitoire, uniquement pour faciliter la 
lecture, se simplifie ; la première et la dernière colonnes sont divi- 
sibles par 2, la deuxième est divisible par 2 2 , la troisième par 2 3 
et ainsi de suite la colonne de rang p est divisible par iP . Il résulte 



n i/i — i) 



+i 



que ce déterminant est divisible par i - 

Nous avons par suite pour A, n en remarquanl que CjJ = (/" r . 



— 208 



la représentation suivante, à laide d'un déterminant d'ordre n. 



A„ = 



r-o* 



I 


(> 




o 


() 




o 


i 




GJ 


- 1 




o 


() 




o 







ci 


CJ 




- 1 


() 




o 


1 




CJ 


-Cj 




-G? 


1 












Ci 


G| 




-ci 


-G! 




1 


• 




en 


r— n"- 1 


G?. 


— C» (- 


- n*-2 




C* .. 


r -+- ( — i 


)/M 1 



Comme vérification, si l'on donne à n les valeurs i, 2, 3, 4? 
5, . .., on trouve facilement 

A, = i , A -, = i , A 3 = i, A v — 5, A fi = 16, . . . , 

qui sont bien les valeurs des cinq premiers nombres de M. André. 



SUR UN PROBLÈME MIXTE AUX DÉRIVÉES PARTIELLES; 
Par M. FLyuamard. 

1. Considérons une équation linéaire aux dérivées partielles du 
second ordre, ayant la forme de Laplace 



(i) 



<r-z dz ôz 

dx dy ùx ) ' 



(équation qui admet pour caractéristiques les parallèles aux axes) 
et une ligne L. 

Si celle-ci n'est coupée qu'en un point par une parallèle quel- 
conque à l'axe des x et en un point par une parallèle à l'axe 
des jTj une solution de l'équation (î) sera déterminée si l'on 
donne, en chaque point de L, les données de Caucny, c'est-à-dire 
les valeurs de z et de ses dérivées premières. 

Si, au contraire, la ligne L, tout en continuant à n'être coupée 
qu'en un seul point par une parallèle quelconque à l'axe des r, 
est composée de deux ares BA, AC {Jïg- i) tels que toute paral- 
lèle à Paxe des x qui rencontre l'un rencontre aussi l'autre (chacun 
d'eux n'étant (railleurs rencontré (pieu un point), le problème 
de Gauchy, comme l'a montré M. Picard, devient, en général, un- 



209 



possible par surabondance des données. Vinsi que je I ai remarqué 
(huis un article précédenl (' ), celui qu'il convienl de lui subsli- 
tuer esl un problème mixte ) intermédiaire entre celui de Caucln 



Fi«. . 




cl celui de Diriclilet, lc(|ucl consiste à se donner : 

Su i- l'un des deux arcs (AB par exemple) les données de Cauchj ; 

Sur Tau ire are, AC, les valeurs de z seulement. 

Cetle dernière série de données est d'ailleurs supposée concor- 
der avec la première au point A, c'est-à-dire fournir, en ce point, 
la même valeur pour g et la même valeur pour la dérivée de z 
prise suivant AC. 

Le problème ainsi posé est possible et déterminé ( 2 ), ainsi que 
je l'ai établi dans l'article cité. Il peut, si l'on veut, se ramener à 
un autre qui a été étudié par M. Picard ( :! ), puis par M. Cour- 
sât (''), et dans lequel on se donne les valeurs de l'inconnue s, 
d'une part sur AC, d'autre part sur une caractéristique issue de A, 
en l'espèce, la parallèle AA' à Taxe des y. 



(') Sur l'intégrale résiduelle, ce Bulletin, t. XXVJII, 1900, p. Si cl. suiv. 

(-) Il est intéressant de rapprocher ce résultat de celui auquel est parvenu ré- 
cemment M. Goursat [Comptes rendus de l'Académie des Sciences, s juin 1903) 
relativement nu cas où les lignes A!! ci AC sont dans un même angle formé par 
les caractéristiques issues de A; on détermine alors une solution en se donnant 
uniquement les valeurs de c sur AB et sur AC. Au contraire, si AB et AC sont 
dans deux angles adjacents, le problème ainsi posé est indéterminé, comme 1 ob- 
serve M. Goursat. Notre remarque de 1900 consiste en ce qu'on le détermine en 
adjoignant aux données précédentes les dérivées premières de c sur \\\. Enfin, 
si les deux segments de L sont dans deux angles opposés, les données à prendre 
seront, bien entendu, celles de Cauchy sur chacun d'eux. 

(•') /// Darboux, Leçons sur ht théorie des surfaces, t. [V, noie 1. 

( l ) Liions sur l'intégration des éjuations aux dérivées pari ici les du sl<<>/uI 
ordre, t. II. p. 3o3-3oR. 



— 210 - 

Le problème mixic (cl non le problème de Cauchv) est celui 
qui intervient dans la plupart des questions dynamiques, dès qu'on 
abandonne le cas tout théorique d'un milieu indéfini en tous sens 
pour passer à celui d'un milieu limité. C'est à lui qu'on est con- 
duit, en particulier, dans la théorie de la propagation de l'élec- 
tricité le long d'un cable limité au moins dans un sens. Aussi 
les recherches sur cette théorie poursuivies, cetle année, par 
M. Brillouin, dans son cours au Collège de France, m'ont-elles 
engagé à reprendre l'étude du problème mixte et à en chercher 
une solution analogue à celle qui résulte, pour le problème de 
Dirichlet, de la considération de la fonction de Grcen et, pour le 
problème de Cauchv relatif à l'équation (i), de la méthode de 
Riemann. C'est cetle solution que je vais exposer : appliquée à 
l'équation des télégraphistes, elle conduit, bien entendu, aux ré- 
sultats que M. Brillouin a obtenus par des calculs directs ( *). Elle 
permet même, comme nous le verrons, de simplifier la solution 
de M. Brillouin. 

2. La formule que nous appliquerons sera toujours la formule 
fondamentale employée dans la méthode de Riemann (-) et (pie 
nous écrirons sous la forme suivante : 



(*) 



M* 



du 

7h 



ds -+- u z ( b (Lr — a dy ) 



dans laquelle 

z est une solution régulière quelconque de l'équation proposée (î); 
u, une solution régulière de l'équation adjointe; 
s, l'arc de la ligne d'intégration, laquelle est supposée fermée; 
v, la direction conormalc ( :} ) «à cette ligne, direction qui n'est 

autre que la symétrique, par rapport aux axes, de celle de la 

tangente, et qui est définie par les relations 



d.r 
~d, 



d.r 
7/7 



dy 

d> 



a]y 

ds 



(') Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences. 23 mars 1903. 
{■) Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. II. § 358, p. ~o. 
( :i ) D'Adhémar, Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences. 
1 1 février 1901 . 



*JII — 

Soit alors (x f y y) un point situé entre les lignes \ l>. A.C el 
où Ion veul calculer la valeur de z. Menons par ce point la carac- 
téristique x ■ const.j nous considérerons uniquement le cas où 
celle caractéristique coupe [en un poinl IN./', i , <| l'arc \(\ el 
non l'arc V.B, le problème pouvant être considéré comme résolu 
(par la méthode <le Riemann) dans le cas contraire. Par les 
points 0, I* menons les caractéristiques i y = const., qui coupent 
l'arc \T> aux points Q, R respectivement. 

Soit, d'autre part, U (x,y; x \ .)'') unc fonction de x,y définie 
par les propriétés suivantes : 

i° Entre les parallèles OQ, PR, elle se réduit à la fonction de 
Riemann u(x,y t x'^y)( { ); 

2° Au delà de PR, elle satisfait encore à l'équation adjointe, et 



se 



I ùdx 

réduit, sur PR, à // — u v & x " , où 



— / a(x',y)dy 

(3) u P =s u{x\ y x \ a?',y) = e % n ; 

3° Sur l'arc AP elle est nulle. 

Cette fonction est, comme on Je voit, discontinue sur PR. Les 
conditions 2'' et 3° (qui concordent au point P, grâce au choix du 
facteur n v ) la définissent dans toute la portion du plan comprise 
entre PR et la parallèle à cette droite menée par le point A. 

De même que la recherche de la fonction de Green est un cas 
particulier du problème de Dirichlet, la détermination de U, à 
l'aide des deux conditions précédentes, est évidemment un cas 
particulier du problème mixte (ou, plus exactement, du problème 
équivalent de MM. Picard et Goursat, auquel nous avons fait 
allusion tout à l'heure), l'équation (i) étant remplacée par son 
adjointe et la caractéristique AA', parallèle à l'axe des j', étant 
remplacée [comme nous le faisait prévoir une première solution 
théorique oblenue précédemment (-)] parla caractéristique PR, 
parallèle à Taxe des x. Quant à l'arc AP, il est le même dans les 
deux cas, de sorte que, comme nous devions également nous \ 



(') Dàrboux, loc. cit., p. 78. 

( a ) Sur V intégrale résiduelle, u" 9, p. 83. 



_ v>i2 

attendre ('), la solution dépend essentiellement de la forme de 
cet arc. 

Appliquons successivement la formule; (2), où nous remplace- 
rons u par U , au quadrilatère mi xti ligne OPRQO, puis au 
triangle mixliligne PARP, cl «ajoutons les résultats obtenus. L'in- 
tégrale prise le long de 01* est, comme on sait( 2 ). égale à 

-[^0 — { az )v\i cl celle qui est prise le long de QO, à - [z — ("-Oui* 

De plus, une réduction toute semblable s'appliquera à l'ensemble 
des deux intégrales prises le long de 1*11. En effet, celles-ci, comme 
les premières, ne dépendent que des valeurs de z et de u sur PR 
même, puisque PR est caractéristique, de sorte que toute la partie 
de U cpii est continue sur cette ligne s'éliminera dans l'addition et 
que la variation brusque [U] de U interviendra seule. Or celle 
variation vérifie, le long de PR, l'équation différentielle 

<*[UI /[m 

analogue à celle par laquelle sont déterminées les valeurs de u 
sur OQ. Donc la somme des deux intégrales prises le long de PR 

, À . , 1 ( f'" 1 '- ) 

se réduit a -- u P \3r<?^ p — z v J . 

Considérons enfin les termes relatifs à AR, RQ et Al*. Les 
deux premiers ne dépendent que des données de Caucbj sur AB 
et sont entièrement connus. Enfin il en esl de même du dernier, 

puisque,* grâce à la troisième condition imposée à U, il ne contient 

dz 



P as * 



On obtient donc la solution du problème par la formule 

z = -(uz)q-{- (az)i> — - a v e z\\ 



(4) 



3. L'intégrale prise de A à Q est, en réalité, la somme de deux 



(') Ibid., n» 10, p. 84. 
( 2 ) Darboux, loc. cit. 



— 213 - 

autres de nature différente, puisque la fonction U n'a j >; * s lu même 
forme lorsqu'on la considère le long de lare \l! ou le long <!<• 

l'arc \\() . Les coefficients de 3 el de . sont même ions deux 

discontinus au point B. Cette discontinuité n'a rien qui doive 
nous surprendre. Si, en effet, on applique la méthode précédente 
à un problème physique quelconque, par exemple si Ton pari, de 
l'équation 

ô'-z 

,),■■! <>l- '" (>1 

qui définit les mouvements des cordes vibrantes ou les mouve- 
ments rectiligues infiniment petits d'un gaz, la ligne AC corres- 
pondra aux conditions à l'extrémité; la ligne AlB à l'état initial ; 

l'arc QB de celte ligne {fig. 1) représentera la partie de l'état 
initial qui ne peut influer au lieu et à l'instant représentés par le 
point O; l'arc QR, la partie qui, dans les mêmes conditions, 
inilue uniquement par ses ondes directes; l'arc RA, la partie qui 
agit à la fois par ondes directes et par ondes réfléchies à l'extré- 
mité. La discontinuité dont nous avons parlé plus haut ne repré- 
sente donc autre chose que le phénomène de la réflexion. 

4. Si, au lieu des données tle Gauchy sur AB, on donnait les 
valeurs de z sur AA', il suffirait de placer les points Q et li sur cette 

droite ; la formule(4) deviendrait (en transformant, à l'aide d'une 
intégration par parties, le terme / U -%- ds = — / U — dy\ 



= {uz)^-~(uz)^ — u Y c ■■ z n — j zdy( — —abj-J -z-^ 



ds. 



o. Notre fonction U présente une propriété de symétrie ana- 
logue à celle que possède la fonction de Riemann. 
' Autrement dit, si, en même temps que le point O qui sert à 
former la fonction U (en menant la parallèle OP à l'axe des y et la 
parallèle PR à l'axe des #), nous considérons un second point O' 
{fig. 2,261*5), par lequel nous menons la parallèle O' P' à l'axe 
des te, pour mener par P' la parallèle P'JV à l'axe des y (les demi- 
droites P'O', PB' étant du même côté de la ligne AC), el si nous 



— 2H — 

définissons une fonclion Z des coordonnées d'un point M par Les 
conditions suivantes : 

i° Pour les positions du point AT, situées du même côté de P'R 
que le point (.)', Z coïncidera avec la fonction de Kiemann z rela- 
Fift. 2. Fie. 2 bis. 





live aux points O' et M [solution de l'équation (1), lorsqu'on la 
considère comme fonction des coordonnées de M]; 

2 Pour les positions de M situées au delà de P'R', mais en deçà 
de la ligne ÀG, Z sera également une solution de l'équation (1), 

/ " t!y 
prenant sur P'R/ les valeurs z — z ? ,e * '•' (z v étant la valeur de z 

au point P') et sur l'arc P'C la valeur zéro. La valeur de Z au 

j)oint O sera égale à la valeur de U au point O'. 

Dans le cas où le point O' est du même côté de PP\ que le 
point O (Jig- 2) et où, par conséquent, la fonction U coïncide 
avec la fonction de Riemann U, nous pouvons considérer cette 
proposition comme déjà démontrée, du moment que la fonction Z 
coïncide, elle aussi, avec s , c'est-à-dire que le point O est du 
même côté que O' par rapport à P'R' : et c'est ce qui a manifeste- 
ment lieu, car ce fait et celui duquel nous sommes partis (O et O' 
situés du même côté par rapport à PR) reviennent tous deux à 
dire que le point d'intersection de OP, O P' est du même côté de 
la ligne AC que les points O, O' eux-mêmes. 

Lorsque, au contraire, les lignes OP, O'P' ne se coupent pas 
entre elles avant de rencontrer AG {fig. 2 bis)( K ), on peut établir 



(') En ce qui concerne la position relative des points O et O', il y a, géométri- 
quement parlant, d'autres cas de ligure à considérer que ceux qui sont repré- 
sentés par les figures 2 et 2 Ois, niais ceux-ci sont les seuls qui interviennent 
dans l'élude du problème mixte. 



— 215 — 

l'égalité X„ l „. en montrant que la fonction I „ . considérée 
comme fonction du poinl O, vérifie toutes les conditions qui 
caractérisenl Z. Mais on peut aussi, ce qui revienl au même en 
somme, employer encore la formule fondamentale | ■>. ). Soient, à 
cet effet, OQ une parallèle menée par O à l'a*e des x, O'Q une 
parallèle me née parO' à l'axe des r; R, R' les points d'intersection 
de PR, P'R' avec O'Q, OQ respectivement; I, le point d'inter- 
section de PR, V'W. 

On intégrera le long des trois rectangles OPIR', R'JRQ, IP'O'R 
cl du triangle mixliligne IPP'. Si l'on lient compte de la valeur 
i\c> discontinuités éprouvées par les fonctions Z., I le long des 
lignes PR, P'R', on verra aisément que l'équation qui résulte des 
quatre formules ainsi obtenues se réduit à l'égalité annoncée. 

(>. Considérons l'équation des télégraphistes, réduite à la forme 

d*z d*z 

l'élude de la propagation de l'électricité dans un fil indéfini dans 
un sens (') conduit à la détermination d'une solution de cette 
équation par les données suivantes : 

i " Valeurs de z et de — pour t. = o, Ç ^ o ; 

2° Valeurs de z pour ç=o, f^o. 

Autrement dit, ramenant l'équation à la forme de Laplace 

<)•■ z 

( 5 ) -r—. z — o 

a.vay 

par le changement de variables 
(6) ; J 



(') On sait que le cas du fil limité clans les deux sens ne présente aucune dif- 
ficulté essentielle nom elle, toute la question étant de tenir compte des réflexions 
successives dont chacune peut se calculer par les formules du texte. On devra 
diviser le plan des cl (ou du moins la portion de ce plan définie par t^o, 
o : /, où l est la longueur du câble) en régions en forme de triangles ou de 
losanges, telles qu'elles sont figurées dans mes Leçons sur la propagation des 
ondes et les équations de l'hydrodynamique (Jig- i<>, p. i48), les formules 
étant différentes pour chacune dv ces régions. 



— 21() — 

nous sommes ramenés au problème qui vient d'être étudié, la 

ligne AB ayant pour équations 

( - ) /)-;./• — o, cc[. °- y = ° 

et la ligne AG 

( 8 ) \ = x — y — o, ar > o, y^o. 

La fonction de Riemann, m, symétrique, ici, par rapport aux 
deux poinls (#, y), (œ\y') dont elle dépend, puisque l'équation 
est identique à son adjointe, a, comme on sait, la forme 

(9) «=/I(ff — x')(y— /)], 

où la fonction y n'est autre, au changement près de l'argument en 
son carré, que la fonction de Bessel d'indice zéro : 

X X 2 X* 

(10) y(X) = !■+-- + 



1 {>i\)* ' ' (/i!) 2 

7. La forme de la fonction u suggère immédiatement un pre- 
mier mode de solution du problème mixle, lorsque la ligne AG 
est représentée par l'équation (8) (ou, plus généralement, par 
l'équation x — y = const). 

Si, en effet, on prend pour (.r, y) un point de la droite AG et, 
pour le point (#', y'), successivement deux points Q, Q ( symé- 
triques l'un de l'autre par rapport à cette ligne, la fonction u aura 
évidemment la même valeur dans les deux cas. 

Supposons, dès lors, qu'on se donne les valeurs de l'inconnue z 
sur AG et aussi sur la caractéristique A A ; , parallèle à l'axe desjK. 
Jl sera aisé de calculer z en tout point de l'autre caractéris- 
tique AA, menée par Je point A et qui est l'image de la première 
par rapporta AG. Soient, en effet, Q un point de AA/, Q, l'image 
de Q par rapport à AG, c'est-à-dire \\\\ point de AA', ; P 5 le qua- 
trième sommet (situé sur AG) du carré AQQ, P. 

11 suffit d'ajouter l'une à l'autre les deux formules 



1 



(") 



:>.J V ,\" J <'■> ' '<■' 1 ' 

j AV \ «« <h t/v / . 



.7..M \ 

j, =- ( 2 A+ SP 



- 217 — 

(mu exprimen I i ' i :,, el Sq ( en fonction des valeurs de z cl de ses 
dérivées sur \('., pour éliminer la dérivée conormale <!<■ z. 

Connaissant les valeurs de cette quantité sur \ V el sur A \ ( , 
on pourra la déterminer dans tout l'angle de ces deux droites pai 
une formule connue (-). 

Rien n'empêcherait (railleurs d'appliquer ce mode de calcul à 
la fonction U, qui est nulle sur \(\ et dont on connaît les valeurs 
sur la droite nommée plus haut PR. Sur la droite PR n prolonge- 
ment de OP, les formules (n) donneront si ni plein eut U R( = — CJ K 
(pour V\\ { = PR), et la formule dont nous venons de parler fera 
connaître les valeurs cherchées par une quadrature; ce seront ces 
valeurs qu'il conviendra de reporter dans la formule (4). 

Que Ton emploie l'un ou l'autre de ces deux procédés, on voit 
qu'on serait conduit, pour le calcul de z , à deux quadratures su- 
perposées. On retomberait ainsi sur des résultats semblables à 
ceux qu'a obtenus M. Brillouin, dans le travail cité. 

8. La fonction U ne joue qu'un rôle secondaire dans le calcul 




R.i 



qui précède, puisqu'il peut être opéré sans son intervention. C'est 
elle, au contraire, qui va nous permettre d'en simplifier le résultat 

et de montrer que le coefficient de z ou de -t-j dans chacun des 

1 en 

termes qui figurent sous le signe / au second membre de la for- 



(') Darboux, loc. cit. Le changement du signe de l'intégrale définie Lorsqu'on 
de la première formule (n) à la seconde correspond évidemment au chan- 
gement de rôle qui se fait entre les points .V et P, lorsqu'on passedu point Q au 
point Q,. 

(-) Darboux, ibid., n q 359. 



— 418 — 

mule (/j), peut s'exprimer explicitement sans nouvelle quadra- 
ture. 

Soit, en effet, O, (./', y) l'image du point () par rapport à 
A.C {fig* 3), c'est-à-dire un point obtenu en portant sur la 
droite RP, prolongée au delà du point P, une longueur PO, 
égale à PO. 

Considérons la (onction 

(12) "ï!-<- 

Nous avons déjà utilisé, il y a un instant, deux propriétés de 
celte fonction : celle de satisfaire à l'équation et celle de s'annuler 
sur AC. 

Mais il est également évident, d'après sa forme même, que cette 
fonction possède la troisième propriété caractéristique delà fonc- 
tion U, celle qui est relative aux valeurs sur PR. Sur cette der- 
nière droite, en effet, le terme u$ se réduit à l'unité, et, d'autre 
part, cette valeur est aussi celle que prend la discontinuité 

I b d.r 

u v e^ x ' de la fonction U. 

Donc V expression (12) représente la fonction U cherchée. 

La formule (4) peut, par conséquent, s'écrire immédiatement. 
Les dérivées normales qui interviennent dans celte formule seront 
prises par rapport à t sur AB et par rapport à ç sur AG; sur celte 
dernière droite, d'ailleurs, la dérivée conormale du second terme 
de l'expression (12) vient doubler celle du premier. 

Dès lors, si l'on désigne par j et y', les valeurs que prend la 
fonction j lorsqu'on y remplace l'argument X successivement par 
les expressions 

jVj-t'y—tt-ï) 9 -], y[{t-t')*~ (Ç + ?')']; 

par y' et y', les valeurs que prend, dans les mêmes conditions, la 
dérivée j' (X), on aura 

*<r, o = * + 5 (*a - *») +- \f [u - h )% + { ° w -/. )] >>i 



— ± I!) — 

où i/. r sont les abscisses des points Q, I», savoii 

g i \\ ' >'-\\ 
et p = r ~ t f — ;' La valeur de t correspondais l au poinl I*. 

9. Il est intéressant de comparer le calcul tel que nous venons 

de le faire avec ce lui qui s'étail présenté à nous tout d'abord (n°7). 
En particulier, nous axions indiqué le moyen de former (moyen- 
nant une quadrature) la fonction U. 

Egalons l'expression ainsi obtenue à l'expression (12); il esl 
aisé de voir que nous obtiendrons l'identité suivante, relative à la 
fonction j : 

f j\<nc-t)\.bj'{bl)<lt=j(ac+-bc)-j(ac), 

ou, si l'on veut, 

(13) / j\an-t)\d\j(bt)\=j\a-±-b)-j{a), 

en faisant c = i, ce qui ne diminue pas la généralité. 

Autrement dit, si nous faisons correspondre, à un point quel- 
conque (X, Y) du plan, un second point de coordonnées /(X), 
y (Y), et que le premier point décrive le triangle rectangle dont 
les cotés, dirigés suivant les axes de coordonnées, ont pour lon- 
gueurs a et b, le second point décrira une figure dont l'aire sera 
j(a + b)-j(a)-j(b)+j{o). 

On démontre directement sans difficulté l'identité (i3) en rem- 
plaçant la fonction j par son développement en série (9) et utilisant 

la valeur connue de l'intégrale / (1 — i)p tl~ { dt. 

D'autre part, cette identité est caractéristique de la fonc- 
tion j et pourrait, par conséquent, servir à définir la fonction de 
Bessel [à un facteur constant près figurant dans l'argument, et 
qui sera déterminé si l'on adjoint la condition y 7 (o) =i]î il suffit, 
en effet (du moins si Ton suppose la fonction continue ainsi que 
sa dérivée), de faire h = o après avoir divisé par t pour retomber 
sur l'équation linéaire à laquelle satisfait/. 

10. On peut se demander s'il existe une relation du même genre 



220 — 



entre les fondions do Besscl d'indice non nul. C'est ce qui a lieu, 
en effet; pour Je voir, nous multiplierons une telle fonction par 
une puissance de la variable et nous Ja considérerons sous la 
forme 



.//< 



w-2f 



\/> w " 



( m -h i) Tip -r- m -+- 1) 

m = 



La fonction ainsi écrite est liée à la fonction J /; , telle qu'on la 
considère habituellement ('), par la relation 

yV(X) = (-X)Û / ,( 2 /=Tx). 

Nous prendrons deux quelconques j /n j q des fonctions ainsi 
définies, les indices p, q étant toutefois positifs (ou, plus exacte- 
ment, l'indice q positif ou nul et p supérieur à — i) et nous for- 
merons l'intégrale 

f jp[*(*-t)]d[j g (bt)]. 

La quantité sous le signe / est une série double dont le terme 
général est 

aP+ m b i -*-"(i — t)P + ' tt d(ti +n ) 

{m, H = 0,1, 2, . . ., -hoc). 



ni ! n ! T (p h- m -+- i ) V (q -+- ni -f- 1 ) 
Or, on a 

/ (i~—t)P+ m d(W +n ) = (q'-hn) I ( i— t)i> + '"t f i*-"-i dl 

r ( p -h m -j- [) V(q -\- n -+- Q 

r (/> + <7 -t- m + » + ij 

Il est, dès lors, clair que l'intégrale (il) est égale à 

aPbn . 

si q est différent de zéro, et à cette même quantité diminuée de 
jp(a) si q est nul. 

11. Les raisonnements qui viennent d'être développés (n°8) 
(') Voir, par exemple. Jordan, Cours d'analyse, t. III, Gh. II. 



221 - 

oui |>;is particuliers à l'équation d'Euler : 1 1 ^ reposent, au 
tond, sur ce seul fail que I équation ne change pas de forme quand 
on \ perra ute x el > . 

Pour toute équation à Invariants égaux 

À Z = (), 



t)x <)y 



où X esl symétrique en ,n:tcnr, ces raisonnements sont valables 
el prouvent que In fonction U a la valeur (rs>.), lorsque la li^nr 
\( \ a pour éq ua lion x — y = o. 

Considérons, par exemple, l'équation d'Eulcr, que l'on peut 
réduire à la forme 



(i5) 



dxày {x — y) 2 



Elle offre le genre de symétrie dont nous venons de parler rela- 
tivement à la droite x — y = o; seulement celle-ci est une ligne 
singulière, de sorte qu'il n'y a point lieu de la considérer à notre 
point de vue actuel. 

Mais l'équation (i5) présente également la même symétrie 
relativement à toute droite x -Ary — const. : une telle droite 
pourra donc être prise pour la ligne AC, et nous pourrons 
résoudre le problème ainsi posé. 

12. L'équation (i5) est celle qui régit le mouvement rectiligne 
d'un gaz contenu dans un tube cylindrique. Les données par les- 
quelles il est le plus naturel de déterminer un tel mouvement sont 
constituées par l'état initial du fluide et les mouvements des pis^ 
tons placés aux extrémités du tube. 

Ce problème est, dans le cas général, beaucoup plus difficile 
encore que celui dont nous venons de nous occuper. L'équation 
du mouvement n'est, en effet, ramenée à la forme (i5)que moyen- 
nant une transformation de Legendre, de sorte que x et y sont 
des fonctions delà vitesse et de la densité, et l'on ignore comment 
cette dernière quantité varie au voisinage du piston mobile, autre- 
ment dit ('), les données fournies par le mouvement de ce piston 
sont relatives à une ligne inconnue du plan des xy. 

(') Voir mes Lcro/is sur fa propagation des ondes et les équations de l'll\ - 
drodynamique, \\ 180, p. 172-1-'!. 

\ \ \ 1 . 1 5 



242 

Il csL toutefois un cas où le problème rentre dans la catégorie 
qui vient d'être étudiée : c'est celui du piston fixe. Alors, 

pour a— o, la vitesse, égale à , est constamment nulle, et 

il en est de même ( ' ) de la variable z. 

Par conséquent, non seulement nous sommes ramenés à notre 
problème mixte, mais même à un cas clans lequel nous savons 
résoudre ce problème. 

Il en serait de même si la vitesse du piston était constante. On 
serait encore ramené au problème mixte, mais dans un cas non 
résolu jusqu'ici, si, au lieu de se donner le mouvement du piston, 
on s'imposait la condition que la pression au contact de ce piston 
fût égale à une constante donnée. 

13. Les calculs du n° 11 conduisent évidemment à des iden- 
tités analogues à celles du n° 9, mais relatives à la série hyper- 
géométrique. 

La question du problème mixte n'est pas d'ailleurs seule à les 
fournir. Toute expression qui représente la fonction de Riemaun 
relative à une équation du type (i) donne lieu à de telles iden- 
tités; on les obtiendra en utilisant la formule qui exprime une 
intégrale de l'équation en fonction de ses valeurs sur deux carac- 
téristiques. 

Soient, en effet, 0'(.r', y')] 0(x,y) deux points du plan; 
x = x t , une parallèle à l'axe des y qui coupe en P, P ; les paral- 
lèles à l'axe des x menées par O, 0'. La quantité u(0, O'), lors- 
qu'on l'envisage comme fonction du point O', est une solution 
de l'équation proposée; comme telle, elle peut être considérée 
comme définie par ses valeurs sur les deux caractéristiques PO, 
PP' et calculée en O' d'après ces données : on a ainsi l'identité 

/ m (a?, y\ x u 7]) ^u(x u i]]x',y') — a(x u ïj) u(x u r t ; x',y')\ dr t 

j b(x.y') dx 

= u(x,y; x r , y')— u(x, y; x u y 1 ) e x " 
En appliquant à l'équation d'Euler et de Poisson, on trouvera, 



(') Loc. cit., n° 170, p. 162-163. 



- 223 — 
pour la série h vpergéomé Irique F(P, '^' -, ij 9), l'identité 



»' ■ 



'=i^Ffp,P',«, ' 



i a/ 



a 



i -+- « / 



.d 




a? 6P F(3, ?', i, i — aô) — aP'F(g, (*', i, i — a) (a> o, h ; o) 

à laquelle <>n pourrait donner diverses formes en utilisant les di- 
verses transformations que l'on peut effectuer sur la série hyper- 
géométrique. On pourrait, par exemple, écrire 

f"~F[p,i-P',i,(i-5)uj.«*F [V, i-p, i,(:-^(.-«/j 

= *P-P'F(p',.-M,.-^)-F( P M- ?I ,,.-i). 

Il y aurait, d'ailleurs, intérêt à établir directement cette formule : 
on arriverait ainsi, sans doute, à la généraliser, comme nous 
l'avons fait au n° 10 pour la formule (i3). 

I i. Je présenterai, en terminant, une remarque relative au pro- 
blème mixte relatif à l'espace. 

J'ai fait observer, dans mon article sur Vintégrale rési- 
duelle ('), que le principe de Huyghens cesse de s'appliquer à 
l'équation du son 

z ~7ë~dtï ~ ' 

lorsque l'on considère, relativement à cette équation, le problème 
mixte et non le problème de Cauchy. 

II semble que, là encore, la forme du domaine joue un rôle 
essentiel. Si, en effet, au lieu de la sphère que j'avais envisagée 
dans l'article cité, on prend comme surface initiale le plante — o, 

sur lequel on se donnera les valeurs de z pendant que z el-p seront 

donnés pour t = o, x^l o, il est aisé de voir que le principe de 
Huyghens subsiste. 

On peut, en effet, résoudre le problème mixte ainsi posé, en 
considérant l'image { du point O par rapport au plan en ques- 



< ' ) N° 15, p. 88, 



99 i _ 



tioncl formant non seulement la fonction classique u= -f(r-\-at), 

mais la fonction analogue dans laquelle les rayons vecteurs sont 
comptés à partir du point Oi et non du point O. 

11 suffira de substituer la différence de ces deux fonctions à la 
première d'entre elles, dans la solution de KirchhofF, pour l'appli- 
quer au cas actuel; et l'on constatera sans difficulté que les seules 
données qui interviennent dans la solution sont relatives à des 
multiplicités doublement (et non triplement) étendues. 



SUR L'EXISTENCE DES INTÉGRALES D'UN SYSTÈME COMPLET 

D'ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU PREMIER ORDRE 

D'UNE SEULE FONCTION INCONNUE; 

Par M. N. Salïykow. 
Considérons un système complet (*) de m équations 

. . ( Pk : — Ha(^"1î x 1i ' • • > x "i z i l } m+\* Pm-hii •••>Pnh 

I k = i , 2, . . . , m, 

où les fonctions H,, l\ 2 , . .., H m sont holomorphes dans le voi- 
sinage des valeurs zéro des quantités x K , x 2 , ..., x, n s, Pm+n 
Pm+'ii •••> Pn considérées comme des variables indépendantes. 
Cela étant, le théorème de Cauchj démontre V existence d'une 
intégrale z du système (i) holomorphe dans le domaine du 
point x { = x 2 = • • • = x n = o et telle que les valeurs 

dz ôz ôz 



àx'm+i ôx m +<> àx n 

pour x K = a? 2 = • • •= Xm= o, deviennent identiques à 



A 



u&m+l v&m-hi ôx n 



f étant une fonction des variables oc m+ii x m+2 , ..., ar n arbi- 
traire, mais holomorphe aux environs du point 



x \m-i-l • — x m-h2 — • • • — X n — O, 



(' ) Cf Journal de Mathématiques, 1899, p. 436. 



-)-)*; 



s* annulant pour ce dernier, ainsi que toutes ses dérivées du 
premier ordre. 

La démonstration de ce théorème, qui \;i être exposée, esl 
fondée sur l'introduction <lc la notion de fonction majorante du 
système (i). 

Il est aisé de représenter le développement de L'intégrale en 
question par la série de Maclaurin ('), 



*- /.''a,,» a„''i •' -i • 



..r; 



INolre problème revient alors à démontrer la Convergence 
absolue et uniforme de cette dernière série. 

Les fonctions H,, H 2 , . . ., H 7/i étant développables en séries de 
Maclaurin aux environs des valeurs zéro des variables x t , x 2 , . . ., 
a?«i Z)Pm+\i pm+21 - ■ i Pm soient /• le plus grand des modules de 
ces dernières et M le plus grand des modules des fonctions H/ f 
dans le domaine considéré; désignons enfin par p et N les valeurs 
analogues relatives à la fonction y. Gela posé, les fonctions 

M 

X X -h #2 -h . . .-+- œ n -+- Z -f- p m+ i -4- pm+i -h . . • -+- p n ' 



00 



/* 

IN ( &/n-hl ~*~ x m+ï H- • . . + X „ )~ 
P p — ( &rn-hl "+" x in-\-l -h . • . -f- X n ) 



sont développables, dans le même domaine, en séries de Ma- 
claurin, dont les termes sont supérieurs aux termes correspon- 
dants des séries représentant les fonctions H# et y. 
Formons ensuite le système complet 

( 3 ) Pjt = H, k = i , 2, . . . , m i 

P/r désignant les dérivées partielles du premier ordre de la fonc- 
tion Z par rapport aux variables indépendantes #,, # 2 j •••> x n 
et H représentant la fonction 

M 



H = 



J7!-4-a? 2 -H- • ■ -t-.r /t -H Z -+- F w+1 -+- T w+2 



( ') GoURSAT, Leçons sur l'intégration des équations aux dérivées partielles 
du premier ordre. Paris, 1891, p. 178-179. — DELASSUS, Leçons sur la théorie 
analytique des équations aux dérivées partielles du premier ordre, p. 20-21. 



— C J C 2() — 

On voit aisément que notre; problème revient à ealeuler une 
intégrale Z du système (3) holomorphc aux environs du point 
a; t = x* = . . .= x n = o, telle que les quantités 

dZ ÔZ dZ 

deviennent, au point x K = &2 = * • • = ##»= o, égales aux valeurs 
correspondantes de la fonction (2) et de ses dérivées premières 
par rapport aux mêmes variables indépendantes. 
Si l'on met le système (3) sous la forme suivante, 

P/ t — Pj = o, A = 2, 3, . . . , m, 
Pi =H, 

l'intégrale générale des équations de la première ligne est 

Z = r \X\ -+• x% -+-... -+- x , n , X/ l i-^-i 1 x m-^i ^ . . . , x h ), 

F étant une fonction arbitraire. Par conséquent, en introduisant 
les notations 

Xi -h Xi -h. . .-h a?„, = 37, a?/»+i + #/«-hi +...+ *»*/) 

on parvient à l'équation aux dérivées partielles du premier ordre 
p cl q d'une fonction u par rapport aux variables indépendantes 
x ety, 

( 4 ) [ a? H- ^ -h m ■+• ( n — /?i ) 7 — r]/j + M/' = o, 

dont il s'agit de trouver une intégrale m liolomorphe aux environs 

du point x =y = o, telle que, pour x = o, la fonction m et sa 

! , . , du -, • . • 1 

dérivée -r- deviennent respectivement identiques a 

ày v 



n j 2 n a r r 2 1 

p*p(p— r)' p "<>/ Lp(?— r)J 



Ce dernier problème a été résolu par M. Kônigsberger (*). Le 
résultat requis s'obtient aisément si l'on transforme l'équation (4) 
en prenant/) comme nouvelle variable indépendante, au lieu de x, 
et en introduisant, au lieu de u, la nouvelle fonction v définie par 

(') J. Crelle, Bd. 109, S. S. 173-277. — Mat hem. Ann., Bd. 12, S. .',85. 



— ±>7 — 

<<i nul ion 

v = y ; u — /• — .//>. 

L'équation transformée devient alors linéaire, 



dv 


(l -H p) 0:> 

a — ni Op n 


i 


M/- 


Oy 


V > 1 

/// ( il 


— m)p 



= I 



dont l'intégrale demandée s'obtient sans difficulté. 

Le seconde question que je veux aborder à présent concerne 
l'existence unique des intégrales définies par les conditions ini- 
tiales du théorème de Cauchy. Nous allons voir (*) que, dans le 
domaine considéré, il n'existe point d'autres intégrales avec les 
mêmes conditions initiales que celles qui viennent d'être étudiées. 
En effet, supposons le contraire; soit z K une intégrale quelconque 
admettant les mêmes conditions initiales que l'intégrale Z dont 
l'existence vient d'être démontrée, et distincte de celte dernière. 
Par conséquent, les identités suivantes ont lieu 

ÙZ H / 

"j — — "A x \i •*'■>■> • • ' i x '/ii *i 

axic \ 



Oz 


Oz 


ÔZ 


0x m+ \ 


àXm+t ' 


0x n 


dz x 


dzi 


ùz, 


0x, ll + i 


^m+2 


' 0x n 


. . . , m. 







dz * u ( 

/, =1, 'i,. 

En les retranchant les unes des autres et posant 

z — z v = u, 

on obtient, moyennant le théorème sur les accroissements finis, 
ni identités nouvelles 

i Oit. Ou . Ou 

(5) { «te* <tej»t+i 0x n 



\ 



k — i, 2 /n, 



Aa, B/ f , ...,L/f étant des fonctions des variables indépendantes jc { , 
a? 2 , • • -, #/*• Comme ^ et z t admettent des dérivées des deux pre- 
miers ordres, les coefficients A A , B A , . .., L* admettent des déri- 



(') La démonstration qui va suivre présente la généralisation de celle de 
M. Picard pour les équations différentielles ordinaires ( Traite d'Analyse, t. 11. 
»° 14, p. 3i',)- 



- 228 — 

vées partielles du premier ordre par rapport aux variables indé- 
pendantes. 

Par conséquent, les égalités (5) ayant lieu identiquement, la 
fonction z — z { est une intégrale des équations (5) et ces der- 
nières forment un système jacobien. Donc, dans le domaine con- 
sidéré, l'intégrale générale du système (5) renfermant toutes ses 
intégrales possibles, appartenant à ce domaine, est représentée 
par la formule suivante 

u = e F 4>(Mi, iiî, . . ., M/t-w), 
<I> étant une fonction arbitraire. Les quantités 

uc- v , U U U 2 , ..., U,i-m 

désignent les n — m -\- i intégrales distinctes du système (5), la 
fonction F conservant une valeur finie, dans le domaine consi- 
déré, ainsi que ses dérivées du premier ordre par rapport aux 
variables indépendantes, et le déterminant fonctionnel 

( 6 ) d( "''"»'"'' "?-g JU o, 

étant distinct de zéro dans le même domaine. 

, i i , i • -• au du du 

D après notre hypothèse, les quantités m, > t > • ••> ^ — - 

s'annulent pour les valeurs x { = x 2 =...= x m = o. Donc, pour 
ces dernières valeurs, on a les identités 



f <ï>(«î, u ( l, . .., u%_ m ) = o, 

n — m 

(7 ^ 1 2d Oui 



n — m 

0<l> [ dut \ 

= o. 



s ùx, 



r = i, 2, . . . , /i — m, 



Moyennant l'inégalité (G), les n — m dernières équations nous 
donnent les identités 



-— . =o, i = i. a. ..., n — m. 



Par conséquent, la fond ion <1> est constante; de plus, en vertu 
de la première égalité (7), cette constante est nulle. Il s'ensuit que 



— 229 — 

l'intégrale c, <"-i identique ù z\ donc, il n'existe qu'une seule 
intégrale définie par les condition* initiales du théorème 
étudié* 

La démonstration exposée se rapporte non seulement aui inté- 
grales analytiques, mais évidemment encore à toutes les intégrales 
<lc Cauclry admettant des dérivées partielles des deux premiers 
ordres. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES 



SÉANCE DU 8 AVRIL 1903. 



PRESIDENCE DE M. RAFFV. 



M. le Président annonce à la Société la perte cruelle et imprévue 
qu'elle vient d'éprouver en la personne de M. Duporcq, secré- 
laire, décédé le 2 avril 1903. 

M. Laisant retrace en quelques mots la carrière scientifique de 
M. Duporcq et se fait l'interprète des sentiments douloureux de la 
Société. 

La séance est levée en signe de deuil. 



SÉANCE DU 22 AVRIL 1903. 



PRESIDENCE DE M. RAFFV. 



M. Quiquet fait hommage à la Société, de la part du Comité des 
Compagnies d'assurance sur la vie, de Tables de mortalité par 
âges à l'entrée, établies par ce Comité. 

Communications : 

M. Laisant : Sur une propriété de la trajectoire d'un point 
décrite sous l'action d'une force centrale. 

M. Raffy : Sur la recherche des surfaces W ayant une 
représentation spliérique donnée. 

M. Servant : Observations au sujet de la Communication 
précédente. 



— 230 - 
SÉANCE DU G MAI r.HKJ. 

PRÉSIDENCE DE M. BLUTEL. 

Élections : 

Sont élus membres de la Société, à l'unanimité des membres 
présents : 

MM. A. Boulin, présenté par MM. Lemoine et Laisant. 

J.-L.-W.-V. Jensen, présenté par MM. Borel et Bricard. 
L'abbé Issaly, présenté par MM. Touche et Laisant. 
Espanet, présenté par MM. Maillet et Bricard. 
Suchar, présenté par MM. Appell et Lévy. 
Fraissé, présenté par MM. Lecornu et Laisant. 

M. le Président fait connaître à l'Assemblée une décision du 
Conseil en vertu de laquelle M. Grévy est appelé aux fonctions de 
secrétaire, en remplacement de M. Duporcq, décédé, et M. Leau, 
aux fonctions de vice-secrétaire, en remplacement de M. Grévy. 

Communications : 

M. Borel : Sur l'approximation des nombres réels par les 
nombres quadratiques. 

MM. Bricard et Bioche : Observations à ce sujet. 

M. Bioche : Sur la détermination des sur/aces pour lesquelles 
on connaît les projections d'une famille cV asymptotiques sur 
un plan. 

M. Lecornu : Sur les réseaux proportionnels et sur une Note 
récente de M. Buhl. 

M. Lévy : Résultats de V examen des papiers scientifiques 
laissés par Ribaucour . 



SÉANCE DU 20 MAI 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. RAF F Y KT DE M. PAINLEVÉ. 

Communications : 

M. Servant : Sur une propriété de l'élément linéaire des 
quadriques. 



— 231 — 

M. Estanave : Sur les coefficients des développements en série 
de laiii;./-, secr, et d'autres fonctions* Leur expression à l'aide 
d'un déterminant unique. 

M. lîiill'v : Sur une classe particulière de surf aces \\ . 

M. Painlevé : Sur la théorie des fondions abé lien nés. 



SÉANCE DU 3 .JUIN 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. RAFFV- 

M. d'Ocagne fait hommage à la Société d'un Mémoire intitulé : 
Exposé synthétique des principes fondamentaux de la Nomo- 
gr api lie. 

Communication : 

M. Raffy : Sur les surfaces de Joachimsthal qui sont en 
ma me temps surfaces W. 



SÉANCE DU 17 JUIN 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. CARVALLO. 

M. l'abbé Issaly fait hommage à la Société de deux Ouvrages 
intitulés : Principes fondamentaux de la théorie des pseudo- 
suif aces et La Géométrie non euclidienne et l'insuffisance de 
ses principes. 

Election : 

M. J. Richard, présenté par MM. Painlevé et Clairin, est élu 
membre de la Société à l'unanimité des membres présents. 

Communications : 

M. Iladamard présente un Mémoire Sur un problème mixte 
aux dérivées partielles. Outre les résultats communiqués à la 
Société le 18 mars dernier, ce Mémoire contient un moyen de 
simplifier la solution du problème mixte relatif à l'équation des 



— 232 — 

télégraphistes, on formant la fonction L à l'aide de deux fonc- 
tions de Bessel sans quadratures. La comparaison de cette expres- 
sion avec celle que l'on obtient par quadrature fournil, pour la 
fonction de Bessel d'indiee zéro, une propriété fonctionnelle qui 
a d'ailleurs son analogue pour les fonctions de Bessel d'indices 
quelconques. 

M. Boulin : Sur un certain carre arithmétique. 

M. Raflj : Sur les réseaux cylindres. 

M. Blutel : Sur une certaine sur/ace. 

M. Saltykow : Sur les équations aux dérivées partielles. 



SÉANCE DU 1 er JUILLET i903. 



PRESIDENCE DE M. RIOCIIE. 



Le Président annonce à la Société la perle qu'elle vient d'éprou- 
ver en la personne de M. Cremona, membre honoraire du Bureau. 

Communication : 

M. Bricard : Sur une propriété des épicycloïdes cl Sur un 
problème d'analyse combinatoire. 



SÉANCE DU 15 JUILLET 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. RAFFY. 

Communications : 



M. Perrin : Su/' quelques conséquences géométriques de 
r équation différentielle des coniques. 

M. Lecornu : Sur les milieux hétérogènes. 
M. Bricard : Sur un théorème de M. Raffy. 



HÉM01HES ET COMMUNICATIONS. 



SÉPARATION ANALYTIQUE D'UN SYSTÈME DE RAYONS 
INCIDENTS ET RÉFLÉCHIS; 

Par M. M. de Mojvtcheuil. 

Ou peu L considérer les deux familles de surfaces respeclive- 
menl normales aux congruences d'un système de rayons incidents 
cl réfléchis, comme les deux nappes de l'enveloppe d'une sphère 
dont le centre décrit la surface dirimante. 

La séparation analytique de ces deux nappes est en général 
impossible. Elle l'est néanmoins dans quelques cas particuliers. 
De ce nombre est le cas que nous nous proposons d'étudier et 
(pie nous définirons comme il suit : 

Soit donnée une sphère mobile, dont le centre se déplace 
sur une surface de translation, lieu du milieu d' un segment 
reliant deux courbes données C, C, ; si nous prenons pour 
rayon de cette sphère la demi-somme, ou encore la demi- 
différence des arcs de ces courbes, comptés d'une origine fixe 
aux extrémités du segment, l'enveloppe de la sphère sera 
composée de deux nappes analytiquement séparables. 

Le problème de la séparation des deux nappes de l'enveloppe 
d'une sphère est étroitement lié, comme nous le verrons, à celui 
de la séparation des deux plans isotropes langenls en un poinl 
d'une courbe. Or, la solution de cette question dépend à son tour 
de la solution de l'équation différentielle, qui définit la valeur de 
l'arc d'une courbe donnée. Nous allons donc commencer par 
résoudre ce premier problème. 

Résolution de l'équation cl s' 1 = dx- -f- dy' 1 -j- dz- . — J.-A. 
Serret ('), et après lui M. Darboux ( 2 ), ont donné des formules 
qui résolvent cette équation au moyen d'expressions des fonc- 

(') J.-A. Sicruiît, Journal de Liouville, i. XIII, p. 355. 

(-') Darboux, Sur une classe remarquable de sur/aces et de courbes al< r é- 
Iniques, p. \'\ et suiv. 

xx\i. ni 



- 234 - 

lions x, y, z, s dégagées de tout signe <l< b quadrature. Nous nous 
proposons d'établir des foi mules qui jouissent de la même 
propriété, et soient en même temps rationnelles, pur rapport 
à la variable et aux fonctions qui y figurent. 

On se rend compte que tout système d'expressions des fonc- 
tions .r, y, Zj s donnant la solution de l'équation proposée, doit 
renfermer trois fonctions dune variable, l'une de ces fonctions 
pouvant d'ailleurs cire prise pour variable. Du reste, les quan- 
tités x, y. s, s étant rationnelles, il doit en être de même de leur-> 
différentielles. Supposons donc les différentielles dx, dy, <lz 
définies au moyen d'expressions rationnelles; la question est 
ramenée à exprimer la quatrième différentielle ds, au moyen 
d'une expression de même nature. 

Celte différentielle étant liée aux précédentes par la relation 

ds*- = dx*- -+ dy l -+- dz°>-, 

ne saurait être carré parfait, quelle que soit la courbe donnée, si 
l'on ne fait pas uneboix convenable des fonctions et de la variable 
qui la caractérisent. C'est ce choix qu'il s'agit de fixer. 

Représentons-nous une courbe quelconque de l'espace, comme 
le lieu décrit par un point de la tangente à une courbe minima. 
Nous plaçant à ce point de vue, nous supposons la courbe définie 
par les trois éléments suivants : i° par une fonction définissant la 
direction du plan osculaleur de la courbe minima; 2° par une 
deuxième fonction, achevant de déterminer la position de ce 
plan; 3° par une dernière fonction F dont nous nous abstenons, 
pour le moment, de préciser la signification géométrique, mais 
n'ayant d'autre rôle que de déterminer la position du point décri- 
vant sur la tangente. 

L'introduction de ces trois éléments nous permet d'abord 
d'écrire les coordonnées de la courbe cherchée sous la forme sui- 



vante : 



i — u- ., 
x = x t -+- r , 

2 



. i -+- u- 

y=yi- J ri — - — 



~— *! 



mF, 



— 2:*;> - 

./, i , : désignant ici les coordonnées «le la courbe minima. iup- 
posées exprimées par les formules d<- Weierstrass, tandis que u 
désigne la variable indépendante. Nous avons donc obtenu des 
expressions rationnelles des coordonnées de la courbe, par rap- 
port aux fonctions et à la variable qui la définissent. 

Il nous reste à étudier la forme de la différentielle ds de l'arc 
<l<- la courbe, par rapport à ces éléments. 

L'arc élémentaire ds étant situé dans le plan osculateur de la 
courbe minima peut se décomposer suivant deux directions : la 
tangente à la courbe minima et une droite de direction fixe par 
rapporta cette tangente, tracée dans le plan isotrope. La première 
composante est nulle; ds se réduit donc à ds t . Or cette compo- 
sante ayant une position [\xc par rapport aux éléments de la 

i • • ds\ . ds . . . 

courbe minima -?— , et par suite -.-- peuvent être considérées 

comme dépendant uniquement de la position du point sur la 
tangente, -j- pourra donc s'exprimer à l'aide de la seule fonc- 
tion F. La différentielle de l'arc ayant ainsi cessé d'être repré- 
sentée par la racine d'une forme quadratique des trois éléments 
de la courbe; la principale difficulté se trouve levée, et nous 

ds 
allons voir à l'instant que la dérivée — n'est autre que la fonc- 
tion F, que nous désignerons par D' . Il nous suffit d'écrire les 
formules 

a? = -^(C"+D') + «G'-G, 



(i) 



/ ^ = k((7h-D') — G', 
s = D, 

C désigne la fonction qui caractérise la courbe minima; (7, C" ses 
dérivées. On vérifie que la dernière formule est une conséquence 
des trois premières. Elle nous montre que si l'on considère une 
courbe quelconque de l'espace, comme définie au moyen des fonc- 
tions G, D de leurs dérivées et de la variable u, les quantités #, 
j, Z t s seront exprimées au moyen de fonctions rationnelles par 
rapport à ces éléments. Les formules (i) résolvent donc complè- 
tement le problème. 



230 



Du système précédent on déduit le nouveau système 



x = 



du d 2 C dC d*u 



ds ds* 



ds ds- 



Ts) 



/duy 



dC 
ds 



c 



du 

~d~s 



(2) \y 



I v=,- 



a- 



c/// c/ 2 G û?C f/ 2 « / du \ 2 
"Zs" dk s " " ~ds ds' 1 ' ' <:/.v / 



</a\3 



/ du\ 
\ ~ds) 



du 
ds 

<7< \ du 

ds ds 



du 
ds 



f-du d*C dC d*u 



ds ds- 



ds ds' 



duy-] 
~ds) 



du 
~dl 



dC 
ds 
du 
ds 



Si l'on considère C et u comme des fonctions données de s, les 
formules précédentes nous donneront les coordonnées d'une 
courbe quelconque, en fonction de son arc. 

Elles vont nous permettre de déterminer ton les les courbes 
dont les coordonnées sont des fonctions rationnelles de leur aie. 
Nous allons en effet démontrer cette proposition : La condition 
nécessaire et suffisante, pour que les coordonnées d'une 
courbe soient des fonctions rationnelles de leur arc, est que 
les fonctions G, u qui figurent dans les formules (2) soient 
elles-mêmes des fonctions rationnelles de cet arc. 

Il est évident que la condition est suffisante. JNous allons 
montrer qu'elle est nécessaire. 

Des formules (2) on tire 



(4) 



( 1 — u 2 ) dx 4- i ( 1 -f- it 1 ) dy +awrfz = o, 

( I — W 2 ) X -t- l(l+M 2 )/ + 2U^+ 2 G 



0. 



Or, la première relation nous donne 



u — 



de .dy 
ds ds 

dz . 



On voit que x,y, z étant fonctions rationnelles de s, il doit en 
être de même de u. 

Dès lors, la deuxième relation qui définit C en fonction de .r, 



- 237 - 

w 3, h montre que celte fonction doit, <•! !<• aussi, être rationnelle 
en 5. 

Nous venons d'envisager les courbes de L'espace comme définies 
au moyen des fondions G, I) considérées comme données. Sup- 
posons qu'inversemenl une courbe soil définie par les deux équa- 
tions 

<p(.r,/, z) = o, '|0,.r, z) - -.. 

où ./'. )-, c- désignent ses coordonnées cartésiennes, et cherchons 
à déterminer les fonctions G, D relatives à celte courbe. 
Nous avons le système 

-%- dx -+- -ri dy H- -^ dz = o, 

dx dy J dz 

~ dx -h -^- r/r H- — - dz = o, 
dr r)j «te 

( i — u 2 ) <;/.r + {([+ u 2 ) dy -t- 2 w dz = 0. 
Eliminant les différentielles, on trouve 

à(yz) d{zx) à(xy) 

Cette équation, jointe aux deux équations de la courbe, nous 
donnera x, y, Z en fonction de u. Portant ces valeurs dans 
l'équation (4), nous connaîtrons G. Nous pourrons ensuite dé- 
duire D' de la relation 

*= u(C + D') — G'. 

Nous avons ainsi obtenu sans quadrature les fonctions G, D', 
qui seules figurent dans les expressions des coordonnées. Une 
quadrature sera seulement nécessaire pour obtenir la fonction I), 
c'est-à-dire l'arc de la courbe. 

Supposons maintenant que les coordonnées de la courbe nous 
soient données en fonction d'une variable quelconque 0. 

La relation 

dx -+- i dy 

u — — 

ds — dz 

nous donnera G en fonction de u. Portant la valeur trouvée de 
dans les expressions des coordonnées, nous achèverons le pro- 
blème comme précédemment. 



- 238 — 

\\ant d'aller plus loin, nous croyons utile de reprendre l'équa- 
tion différentielle «pic nous venons d'étudier et d'en donner une 
interprétation géométrique, <pii nous permettra de déterminer 
presque immédiatement la solution de cette équation. 

Posons 

s — iz\. 

Dès lors, notre équation prendra la forme absolument symétrique 
(6) dx*+dy*-\-dz*+dz\ — <>. 

Cela posé, nous allons établir la proposition suivante : 

U équation différentielle (6) définit les coordonnées des 
deux points de rencontre d'une droite perpendiculaire au 
plan des x,y avec les tangentes à deux courbes minima quel- 
conques, les points de ces courbes étant associés de telle sorte 
que les projections des tangentes sur le plan des x, y forment 
un angle droit. 

En effet, soient M, M { deux points associés des courbes minima; 

m, /?? ( les projections de ces points sur le plan <Ics xy\ P, P, les 
points de rencontre des tangentes en M, M, aux courbes minima 
avec une même droite perpendiculaire au plan des x, y\ p la pro- 
jection commune des deux points. Par hypothèse, les projec- 
tions mp, m K p forment un angle droit. 

Considérons la tangente MP. Comme caractéristique d'une 
développable isotrope, cette droite est perpendiculaire à toute 
droite tracée dans le plan qui enveloppe cette développable, et par 
suite elle est perpendiculaire à la trace de ce plan sur celui 
des x, y. Cette trace est dès lors perpendiculaire à la projec- 
tion nip de MP, et par suite parallèle à la projection m { p de M, P,. 
Il suit de là que le plan oscillateur de la première courbe minima 
est parallèle à la projection m s p de la tangente à la seconde 
courbe. Il est évident que le plan oscillateur de la seconde courbe 
sera de même parallèle à la droite nip. 

Cela posé, considérons l'élément infinitésimal ds décrit par le 
point P. Cet élément étant situé dans le plan oscillateur de la 
courbe minima peut être considéré comme la résultante de deux 
composantes, l'une située sur la tangente MP, l'autre sur la paral- 
lèle à m K p menée par le point P dans le plan isotrope. La pre- 



— ±w - 

mière composante esl de longueur nulle. L élémenl ds sera donc 
égal à sa composante suivant la seconde direction. Mais celle-ci se 
trouvant parallèle à la droite ft!*/?, on voil que ds a même valeur 
que sa projection sur la droite m \p • Pour une raison identique, 
l'élément linéaire ds\ relatil à la courbe décrite par le point l\ 
sera égal à sa projection sur la droite tnp. Supposons, pour un 
instant, que les droites mp, m x p représentent les axes des x ei 
des j'. Alors on aura 

ds — (/r. ds\ -— <ly 

au poini considéré. 

D'où 

ds* H ds\ dv 2 -+- dy'-. 

D'ailleurs la quantité dx 2 -\-dy 2 est indépendante delà position 
des axes des x et des y. On aura done identiquement 

ds*+ds\ = (ûfe? 2 +- dy*-+- dz ' > + (dx*-h dv*-+- dz\) = dx*-hdy*. 

D'où 

dz--h dy % -k- dz*-\- dz\ = o. c. q. r. i>. 

Il nous est maintenant facile de déterminer les expressions des 
fonctions ûc^y, z, z K . 

Si nous supposons les coordonnées des courbes mini ma expri- 
mées au moyen des formules de Weierstrass, la condition d'ortho- 
gonalité des projections des tangentes se traduira par la relation 

U*- -h u\ = o, 

//, u K désignant les deux variables relatives aux courbes minima. 
Tenant compte de ce résultat, on vérifie que les quantités x, 
y, s, z K sont définies par le système 

12 1 

. I — U- ,,, .1 — U\ ,_. 

z — qz i.s'i = — F qz iu\ ¥\ , 
z { =±ù =— F! ±ia F', 

F, F, désignant ici deux fonctions arbitraires de u et de u { ; 
F', ¥\ les dérivées de ces fonctions. 



— 240 — 

Applications. — Cherchons un système <le formules générales 
donnant les coordonnées et l'arc d'une courbe sphérique quel- 
conque. 

Soit R Je rayon de la sphère sur laquelle est tracée la courbe. Du 
système (7) on tire 

X* -+- j 2 -f- ~ 2 = m 2 F' 2 -h F* ± 2 ittj FF', = R*. 
D'où 

M 2 F' 2 -+-F 2 — R 2 

■ ~ 2 u F 

Portant cette valeur de FJ dans les formules (7), il vient 

1 -f- u- r ,, I — u- 



— F'+- ïïïr (F.+ «.F'»-R. ) ; 



.r — 

1 



(8) 



I — M 2 I + M 9 

v = / F' + /-—-f- ( F 2 -4- m 2 F' 2 - RM, 



I 
u-iV'-i— F2— R 2 



2 F 

M 2F'*-+-F 2 — R 2 



5 — _u £« 1 — 



„r-/ 



rf«. 



> // r 



Les formules (7) permettent encore de déterminer les courbes 
dont l'arc est une fonction linéaire des coordonnées. 
Elles peuvent être toutes définies par la relation 

QLZ-+- a, 3] = o, 

a, a, désignant des constantes. 

Si l'on porte dans cette dernière équation les valeurs de z et 
de z t ) on trouve que les fonctions F, F, sont définies par les rela- 
tions 

.a f* a 

— * — / i + «r 1 
V =13,11 a > I <p u a '«M, 

■- 1 r —t— 

F] = — ia i u l a f ou^ *dui. 

<p désigne ici une fonction arbitraire de « ou de i/ { . Nous avons 
pris le signe supérieur dans les expressions de z et de z t . 
On peut prendre, par exemple, 

F =f, 
F,= £, 

Kl 



— iiil — 
ci l'on trouvera l< i système 

a - .v, 

a, (3 désignanl des constantes. On obtient ainsi des courbes ima- 
ginaires tracées dans le plan isotrope 

x — i> = ap, 

qui se projettent sur les plans des xz el des y 3 suivant des para- 
boles. 

Donnons -nous maintenant une courbe, par ses équations en 
coordonnées cartésiennes, et cherchons les valeurs des fonc- 
tions G, D correspondantes. 

Soit donnée, par exemple, une conique définie par le svslème 

o(x,y, z) = 6 2 .r 2 -f- a* y 2 — a 2 6 2 = o, 

<b(.r,y,z) = z = o. 

L'équation (5) devient ici 

6 2 (i + u^)x -hia-(\ — u' 2 )V = o. 

Nous avons ainsi un système de trois équations qui nous permet 
de déterminer #, y, ^ en fonction de //. 

Il vient 

a 2 (i — if-) 



.r 



J 



V/V(i — u 2 ) 2 — 6 2 (i -h w 2 ) 2 



/a 2 (i-u^-i^i+ttî)' 
^ — o. 

Portant ces valeurs dans la relation 

(i — it 2 )x ■+■ i(\ -+■ u r )y -h i u z 1 -b 2 C = o, 
on trouve 

c __ y/a 2 ( i — //. 2 ) 2 — 6 2 ( i+ m 2 ) 2 

2 

D' sera donné par la relation 

G'— m G" 



D' 



u 



D'où l'on déduira D par une quadrature. 



- 242 — 

Posons 

l> ft 

Nous obtenons alors le système 

ia i — u 2 
i u 

a i -+- //- 

G = — ia a , 

I) = ta loj^ //. 

Nous avons ainsi déterminé les fonctions C, D, relatives au 
cercle de ravon a. 

Séparation des deux plans isotropes tangents à une courbe. 
— Soient j?, y, z les coordonnées d'une courbe quelconque de 
l'espace, s Ja longueur de Tare; les deux équations des plans iso- 
tropes tangents à cette courbe peuvent s'écrire 

(d.r dzzç: idyds)(\ — x) -~ (dydz à= idxds){Y—y)—{dT î ~dyi)[Z — z) = o. 

Si nous portons, dans cette relation, les valeurs de #, )\ c, s et 
de leurs différentielles déduiles du système (i), on obtient les 
deux équations suivantes 

( (l — K*)X -4- l(l -t- U 2 )Y + 2«Z + 'iC = o, 

(9) < 

( (1 — v % ) X -+- i\ 1 + ^)1 +2PZ + •:>. G = o, 

V et G étant des fonctions de u définies par les relations 

I 2I)' 

' = "- <rT7?' 

(10) _ 

G = G-h — - [jC'+(p- b)(C+D')]. 

Ces formules étant établies, nous devons préciser ce que nous 
entendons par plans isotropes ou nappes d'enveloppes de sphères 
analyliquement sépara blés. 

Supposons les coordonnées d'une courbe, exprimées au moyen 
dune variable, de deux fonctions de celte variable et de leurs 
dérivées, nous dirons que les plans isotropes de la courbe sont 
analyliquement séparables quand les coordonnées de la courbe et 



— 243 

les paramètres des deux équations des plans isotropes seront à la 
fois rationnels par rapporta ces éléments; ou encore, lorsque les 
fonctions étant particularisées, ces mêmes coordonnées el ces 
mêmes paramètres seront à la fois rationnels par rapport à la 
variable. Les hypothèses faites sur la nature de la courbe el sur la 
forme des expressions de ses coordonnées indiqueront, pour 
chaque cas particulier, dans lequel de ces <lcu\ sens on don 
prendre l'expression analytique ment séparable. 

Si, aux coordonnées de la courbe, nous substituons les coor- 
données de la surface, lieu du centre de la sphère mobile, el au 
groupe d'éléments formé d'une variable el de deux fonctions, 
celui des deux variables et des quatre fonctions qui figurent dans 
les expressions des coordonnées de la surface, notre définition 
s'appliquera d'elle-même aux équations des nappes de l'enveloppe 
de la sphère. 

En rapprochant les équations (9) et (10), nous constatons que 
les équations des deux plans isotropes d'une courbe pourront 
toujours s'exprimer rationnellement par rapport à la variable a, 
aux fonctions C, D' et à leurs dérivées, seules quantités qui 
figurent dans Jes expressions des coordonnées de la courbe. 

De cette constatation nous déduisons la conclusion suivante : 

Si l'on exprime les coordonnées d'une courbe par les for- 
mules du système (1), les plans isotropes de la courbe seront 
analytiquement se para blés. 

Ces mêmes équations nous permettent de délerminerPensemble 
des courbes unicursales, dont les plans isotropes sont analogi- 
quement séparabîes. 

Ces courbes ne sont autres que celles dont la différentielle 
de l'arc est rationnelle par rapport à la variable. 

La condition est suffisante. On s'en assure, en remarquant la 
forme de l'équation en ce, y, z, dx, dy, dz, ds écrite (p. 342), et 
qui définit les deux plans isotropes d'une courbe. 

La condition est d'ailleurs nécessaire. En eifel, d'après la défi- 
nition, les quantités ?/, C, v, G, qui figurent dans les équations 
des plans isotropes, doivent être rationnelles par rapport à la 

variable. Dès lors, la seconde des équations (10) qui définit D' = ~ 



- 2i4 

rationnellement en fonction de u, c, C, G cl des dérivées de C 
par rapport à u, sera rationnelle par rapport à la variable. Elle 
donnera donc pour ds une expression rationne;] le par rapport à 
cette variable. 

En particulier, toutes les courbes unicursales en u auront 
leurs plans isotj-opes analytiquement séparables. 

On les obtiendra en prenant pour G et D' des fonctions ra- 
tionnelles. 

Il n'est pas sans intérêt de se demander à quelle particularité 
les formules du système (i) doivent d'effectuer cette séparation 
des plans isotropes, que d'autres formules ne réalisent pas. 

Imaginons une figure de l'espace, composée des éléments sui- 
vants : d'une sphère de rayon R et de centre x 0) y , z , d'un 
point M de coordonnées .r, r, z situé sur une courbe quel- 
conque, de la tangente à cette courbe au point M, d'un des plans 
tangents à la sphère passant par la tangente à la courbe, enfin 
d'une droite D perpendiculaire en M, à la tangente à la courbe et 
au rayon de la sphère passant par ce point. L'équation du plan 
tangent à la sphère que nous venons de considérer sera définie 
par une relation de la forme 

u I y v -7 o dx dy dz \ 

F ( V V, Z;*,jr, .;*.,,„ z ; R;_, - f - , - /7 )=o, 

X ; Y , 7j désignant les coordonnées courantes du plan. 

Cela posé, considérons la figure symétrique de la précédente 
par rapport à la droite D. Elle se composera évidemment des 
mêmes éléments, avec cette différence que le premier plan tan- 
gent à la sphère aura été remplacé par le second, et que la dif- 
férentielle ds sera de sens contraire. On voit donc que, pour 
obtenir l'équation du second plan, il suffira de changer ds en — ds 
dans l'équation du premier. 

D'autre part, remarquons que les deux plans tangents à la 
sphère ne se succèdent d'une façon continue, en d'autres termes 
ne se confondent qu'aux points de la courbe où la tangente à 
celle-ci est en même temps tangente à la sphère. Il faudra donc, 

pour que ces plans soient séparables, que -r- dérivée de l'arc par 



- 2i;> — 

rapport à la variable s annule en un de ces points e( soit con- 
tinue dans le voisinage. 

Supposons, maintenant, que la sphère de r;i\<>n R soit rem- 
placée par le cercle de l'infini. Les deux plans tangents à la sphère 
deviennent 1rs deux plans isotropes tangents à la courbe et les 
deux conditions précédentes subsistent. 

Il faudra donc que l'un des points où la tangente a la courbe 

rencontre le cercle de l'infini -, s'annule, ce Qui, dn reste, aura 

du ' 

lien dans le cas général. Il faudra, en outre, que cette fonction soil 
continue dans le voisinage de ce point. Or, si celle condition est 
nécessaire pour que les plans isotropes Soient géométriquement 
séparables, la condition requise pour qu'ils le soient analytique- 
ment sera que les formules définissant les équalions des coordon- 
nées de la courbe el des plans tangents traduisent celle propriété 
géométrique de la figure. C'est ce qui a lieu quand on prend les 
formules du système (i). En e(Fel, les expressions des coordonnées 

de la courbe étant supposées rationnelles en u, la fonction — = D' 

sera continue dans le voisinage des points pour lesquels elle 
s'annulera. D'ailleurs, pour D'=o, la formule qui donner en fonc- 
tion de u se réduit à v = u. Le système (i) indique donc bien le 
caractère essentiel des courbes à plans isotropes séparables. On 
voit par là comment elles se prêtent à la séparation analytique des 
équalions de ces plans. 

Le système (1) exprime les coordonnées de la courbe en fonction 
des éléments qui entrent dans l'expression du premier plan iso- 
trope. U est évident que l'on obtiendra des expressions de forme 
identique des coordonnées de la courbe, si l'on substitue aux (dé- 
ments Ju premier plan isotrope ceux du second. Il suffira de rem- 
placer, dans les formules du système (i), w, C, D et les dérivées de 
ces fonctions par c, G, E et les dérivées de ces nouvelles fondions. 
Nous désignons par E la fonction qui joue le rôle de D dans le 
nouveau système. A priori, on obtiendra trois relations distinctes 
entre ces fonctions el ces variables. Il suffira pour cela d'identifier 
les deux systèmes de valeurs des coordonnées. 

Nous avons déjà trouvé les deux relations (10). Il suffira d'\ 
ajouter la relation évidente 

D-+- I<: =o. 



— 246 — 

E désignant la relation de l'arc de la courbe, dans le second 
système. 

On remarquera, en passant, que ces trois relations sont réci- 
proques et qu'ainsi l'on pourra passer d'un système à l'autre par 
de simples opérations algébriques. Les quantités «, C, D' étant 
connues, nous obtiendrons p, G, E' par des équations du premier 
degré et réciproquement. 

Parmi les courbes dont les équations s'expriment rationnelle- 
ment par rapport à u, nous pou\ons signaler le cercle, et plus 
généralement toutes les courbes sphériques. Cela résulte des for- 
mules (8) qui définissent les coordonnées de ces courbes. 

Séparation des deux nappes de t'enveloppe d'une sphère. 
— Nous venons de prendre une courbe isolée. Nous allons main- 
tenant étudier le réseau des courbes génératrices d'une surface de 
translation et considérer le système des intersections des quatre 
plans isotropes tangents à deux de ces courbes en i\n même point 
de la surface. 

Désignons par X, Y, Z les coordonnées d'une courbe quel- 
conque de l'espace, exprimées au moyen des formules du sys- 
tème (i); par X', Y', U ces mêmes formules où les quantités 
//, C, D auront été remplacées par les quantités v, G, — D. Dési- 
gnons par X,, Y,, Z, ; XJ, Y' {i Z!, un couple analogue au précé- 
dent relatif à la seconde courbe. 

Soient S, S'; S n S[ Jes couples d'expressions des arcs des deux 
courbes correspondant aux couples d'expressions des coordonnées 
des courbes. 

Désignons enfin par #, y , z les coordonnées de la surface de 
translation <\\\ milieu d'un segment dont les extrémités décrivent 
les deux courbes. Chaque coordonnée de la surface pourra s'écrire 
sous quatre formes distinctes, et l'on aura, par exemple, 

r= \h-\! = v + Xj = \ \; x'+x; ^ 



Soient m,, v, les deux formes de la variable indépendante rela- 
tives à la seconde courbe. Les quatre plans isotropes seront 



donnés par les équal ions 

(, _ //2 h \ - x) I il i "" l(Y- » i ; 2« ( Z — z) 
M v- i i \ .'■ » Il i h (»*) O J' » '"' ' I' — *) z °> 
(] . tt?)(X — .*)— l(H &J)(Y — 7)H-2M 1 (Z — i)aO, 
(! — P{)(X .r)-/(i hfJ)(Y— 7) + 2Pi(Z *) = 0. 

Ces plans, par Ictus intersections, détermineront quatre con- 
gruences de droites, dont l'une sera définie par le système 

X — x Y- -y = Z — -g _ 

On déduira les trois autres de celle-ci par la substitution suc- 
cessive ou simultanée des lettres e, u, aux lettres w, ;/,. 

Soient c, c', C ff les cosinus directeurs de l'intersection des deux 
plans isotropes relatifs aux variables K, «,. On trouve la relation 

c t/a? -4- c'flf?' ■+■ c"fl?,6 -h rf ( ■ — - l = o. 

On vérifie que la substitution de v à a et de e, à m, a pour effet 
de substituer S' = •— S à S, S ', = — S , à S, dans la relation pré- 
cédente. 

De ces résultats nous déduisons les conclusions suivantes : 

Les quatre intersections des quatre plans isotropes tangents aux 
deux courbes qui se rencontrent en un point d'une surface de 
translation forment quatre congruences, normales à quatre familles 
de surfaces. 

Ces surfaces sont les enveloppes des sphères de rayons égaux à 
la demi-somme et à la demi-différence des arcs des courbes géné- 
ratrices, dont le centre décrit la surface de translation. Ces quatre 
surfaces se groupent évidemment en deux couples formant chacun 
les deux nappes de chaque enveloppe. 

Les propriétés des enveloppes de sphères nous permettent 
encore d'affirmer que les quatre congruences, intersections des 
quatre plans isotropes, formeront un double système de rayons 
incidents et réfléchis admettant la surface de translation pour sur- 
face di ri mante. 

Nous allons retrouver et compléter les résultats précédents en 
procédant comme il suit : 



— 2i8 — 
Soit donnée l'équation aux dérivées partielles 

' OU 1 OU \ 

£, u, u t désignant les coordonnées tangen belles de O. Bonnet. On 
vérifie que la développée moyenne ponctuelle relative aux surfaces 
définies par cette équation se compose de l'ensemble des surfaces 
de translation ('). On constate encore que le segment qui relie un 
point de la proposée au point correspondant de sa développée est 
égal à la demi-somme ou à la demi-diflerenee des arcs de courbe 
de la surface de translation, ces arcs étant définis comme précé- 
demment. On en conclut que les quatre familles de surfaces nor- 
males aux congruences de rayons incidents et réflécbis sont défi- 
nies par autant de solutions de l'équation (i 1). Nous sommes 
ainsi amenés à cberclier quatre solutions d'une équation de 
celte forme définissant les quatre nappes des deux enveloppes 
des sphères. Ces nappes étant déterminées, nous en déduirons 
aisément les deux systèmes de rayons incidents et réfléchis. 
La solution de l'équation (11) est donnée par la formule 

£ = u Ai + «i A + B -r B l5 

A, B, ; A l? B, désignant deux couples de fonctions respectives 
de u et de U\ . 

De cette formule on déduirait sans peine la surface de transla- 
tion, développée moyenne de la proposée, et les courbes généra- 
trices de la développée. Mais, si l'on veut retrouver les coordonnées 
des courbes génératrices sous la forme même définie par le sys- 
tème (i), il faut modifier la forme de l'expression de \ que nous 
venons d'écrire. 

Ecrivons les relations 

| 1= = Ui C ■+- wCi — -(C'-h C*! -+- S -+- Si), 



(12) 



l 2=Ui G + v Ci- i±-^i(G'-f-C / l -S-4-S 1 ), 
É,= p 1 C + «.G t ~ I " h a ltPt (C , -hGi + S-S l ) l 
j 4a=Pl G + «>G!-!±^ (G'+Gi-S — S,). 



( ' ) Thèse de Doclorut. 



— 2i!> — 

Os quatre fonctions sont bien autant de solutions d'équations de 
la forme (n). D'ailleurs, si Ton cherche Leurs développées 
moyennes, on trouve L'unique surface de translation précédem- 
ment définie exprimée successivement par les quatre formes que 
nous avons indiquées. Calculant les quatre plans isotropes des 
courbes génératrices de la surface de translation, on retrouvera 
les quatre congruences de droites déjà rencontrées. Nous avons 
donc bien déterminé les quatre nappes des deux enveloppes de 
sphères définies par l'équation 

(X-*)*+(Y- 7 )»-h(Z-*)*= (^-^j 2 - 

Les formules (12) ayant été ainsi établies, il nous reste à déter- 
miner les enveloppes de sphères dont les deux nappes sont ana- 
lytiquement séparables. 

On obtient immédiatement ce résultat, si l'on remarque que les 
quatre fonctions £ t , j* 2 » ?3i 5* sont toutes rationnelles par rapport 
à chacun des systèmes de variables et de fonctions u, G, S, m,, 
G,, S,, par exemple. En effet, le système (10) donne v et G sous 
forme rationnelle des éléments du premier système. La même 
•remarque s'applique évidemment aux quantités v t et Gj. 

Si l'on suppose maintenant les quatre fonctions £ exprimées au 
moyen des éléments u, G, S, «,, G,, S,, on se rendra compte 
aisément que les enveloppes auront leurs nappes séparables toutes 
les fois que les fonctions C, S, G<, S, sont respectivement ration- 
nelles en u et u { . Pour que les congruences de rayons incidents 
et réfléchis soient séparables, il suffira que C, S', G|, S'j soient 
des fonctions rationnelles de u et de U\. Nous désignons ici 
par S', S', les dérivées de S et S ( . 

Nous pouvons résumer les résultats trouvés dans la proposition 
suivante : 

Soient données deux courbes quelconques P, P, définies par le 
svstème (1). Considérons les sphères mobiles ayant pour centre le 
milieu du segment qui relie les points de ces courbes et pour 
rayons la demi-somme et la demi-différence des distances des 
extrémités du segment à deux développantes des courbes P, P,. 
Soient Q, Q, les courbes de mêmes paramètres que P, P, décrites 
par le milieu du segment. Les enveloppes des deux sphères se 
ww. 17 



— 2o<) — 

composeront de quatre surfaces respectivement normales aux 
quatre congruences de droites intersections des quatre plans 
isotropes tangents aux courbes Q, Q, . La surface de transla- 
tion pourra être considérée comme la surface dirimant.e de 
deux systèmes de rayons incidents et réfléchis fournis par les 
quatre congruences. Pour que les congruences de rayons 
soient séparables, il faut et il suffit que G, S', C<, S', soient des 
fonctions rationnelles de u et de u s . Pour que les nappes des 
enveloppes des sphères soient elles-mêmes séparables, il faut 
en outre que S, S, soient des fonctions rationnelles de u et 
de U\. 

Nous plaçant à un point de vue un peu différent, nous énonce- 
rons encore cette proposition : 

La condition nécessaii'e et suffisante pour que les deux 
nappes de la sphère précédemment définie soient analytique- 
ment séparables est que les coordonnées des deux courbes 
génératrices de la surface de translation, lieu du centre de 
cette sphère, soient des fonctions rationnelles de leurs arcs. 

La condition est suffisante. On s'en assure en calculant les 
coordonnées des nappes de la sphère et tenant compte du sys- 
tème (a), qui donne les coordonnées d'une courbe en fonction de 
son arc. 

Celte condition est nécessaire. En effet, si les équations des 
coordonnées des nappes sont rationnelles, il en sera de même de 
l'équation de la sphère mobile 

(X _,r)2+(Y- J )M-(Z-.,^= (^4^) 2 ' 

Or, cette équation ne saurait être rationnelle à moins que x, 
y, z ne soient des fonctions rationnelles de S et de S,, ces quan- 
tités étant prises pour variables indépendantes. 

On obtiendra donc toutes les enveloppes des sphères de 

S zb S 
rayons ^-^ — à nappes analytiquement séparables en prenant 

pour u, G, u {) G, des fonctions rationnelles de S pour les pre- 
mières, de S ( pour les dernières. 

Surfaces réelles. — La condition nécessaire et suffisante pour 



<<>.*; i _ 



(jtic L'enveloppe de la première sphère ci sa développée moyenne 
soient des surfaces réelles est que Les fondions C, S, C,, S t soienl 
des fonctions conjuguées. Ces résultats onl été démontrés ail- 
leurs (*). La seconde enveloppe sera réelle dans des conditions 
analogues qu'on déduirait aisémenl des précédentes. Il faut seule- 
ment remarquer que les deux enveloppes ne sauraient être simul- 
tanément réelles. 

Applications. — Donnons-nous les deux couples de fonctions 

C = oc u :i , Ci = aj tt'\, 

a, p, a,, (3, désignant des constantes. 

Appliquant notre méthode, cherchons les courbes, les con- 
gruences de droites et Jes enveloppes de sphères correspondant 
aux fonctions données. 

Si l'on porte Jes valeurs données des fonctions G, D, C< , D, et 
les valeurs des dérivées qu'on en déduit, les formules (i) nous 
donneront pour définir les coordonnées de l'arc de la première 
courbe 

X= — (a-+-P)w 3 -h (3a-f-P)«, 

Y= «(a-h fi)M 3 -f- i(3a 4- [i)«, 

Z = (3a -h 2 p) w 2 , 

s = pi**. 

Eu a H ec tant d'un indice les lettres qui figurent dans ees for- 
mules, on obtiendra les coordonnées de l'are relatives à la seconde 
courbe. 

Ces courbes, d'ailleurs imaginaires, sont les intersections de 
surfaces du second degré. La première courbe est définie par le 
m sterne 

(a-t-P)(X — »Y)Z + (3a-+-P)(3« -h ?.p) (X -+- tY) = o, 
4(3a-h P)*Z — (3a-i-aP)(X — »Y)*=o. 

Nous avons vu que chaque courbe peut s'exprimer au moyen de 
deux systèmes de fonctions et de variables. Cherchons à déter- 

(' ) Thèse de Doctoral. 



— 232 - 

miner les éléments du second système en fonction de ceux du 
premier. 

Appliquant les formules (10) nous trouvons 

-, *+P 
v = 3 ' //. 

3 a -h p 

_ (3a-l-4p)(«H-P) //3 _ <3a +- 4 ft X 3 a -h S)» 
3a+fi = 2 7 ( a + P)« 

Il suffira de remplacer a, p par a,, (3< pour obtenir ^, , G,. On 
voit que les deux groupes de fonctions sont de même forme et l'on 
vérifie qu'elles définissent les mêmes courbes. 

Désignant par oc, y, z les coordonnées de la surface de transla- 
tion, par p le rayon de la première sphère, on trouve 

ar= '[— (a-h P)a*-H(3a-4- P)w — (a,-f- fi, )u\ 4- ( 3a, -f- (3,) u t ], 
y = -| (a-h P)w 3 -t-(3a+ p)w — (a t + p t )wf — (3a t H- Pi) M iL 

a = I[(3aH-2P)M*H-(3ai+aPi)MÏ], 

S -h S, P^ + p,//f 



P = 



La première congruence sera définie par le système 
\ — £ Y— y Z — z 

Il -+■ U\ UU{ — II) UU\ — I 

La congruence des rayons réfléchis sera définie par le système 
X — x Y— y /— z 

V -+- Pj /( T, — V ) VVy — I 

Si l'on lient compte des valeurs trouvées pour a?, y, s, v, v { en 
fonction de w, u^ on voit que les deux congruences du système 
sont bien analytiquement séparées. 

Le second système de rayons incidents et réfléchis donne lieu 
imx mêmes observations. 

Il nous reste à déterminer les quatre nappes des deux enveloppes 
des sphères. En procédant comme nous l'avons indiqué, nous 



- 283 — 
obtiendrons quatre fonctions de la forme 

v, y«i 8, 3, désignant des consiantcs. 

\insi donc les quatre nappes formeront bien autanl de surfaces 
analytiquement séparables. 

Considérons le cas particulier où l'on a 

«i = «, pi= P- 

Alors la fonction £, prend la forme 

La fonction £ 4 prend une forme analogue. 
Ces surfaces jouissent des propriétés suivantes : 
Elles sont définies par des solutions communes aux deux équa- 
tions 

= 0, 



du' 1 du\ du* du\ 

Elles ont leurs lignes de courbure planes. 
On a en effet 

d*t d*i d*l 

( L1 du* - |4 du \ = t\ ( rf " 2 ~ du \ > = °- 

Si donc nous désignons par p, p< les paramètres de ces lignes, 
par c, c 7 , c" les cosinus directeurs de la normale à la surface, nous 
déduirons de l'équation précédente 

ic 

p = U -+■ Ux 



Pi= i{u\ — ") = 



I — c 



Les deux nappes de la surface des centres sont séparables. 

En effet, la seule irrationnelle qui figure dans les expressions 



des coordonnées de ces nappes est la quantité 4 /-j4 y~f * Mais, 

en vertu de la relation -t-4 = t-t> cette quantité est ici rationnelle. 

ou* ou] 1 

Les coordonnées des deux nappes \e seront donc égalemenl. 



— 254 — 
On trouve encore (k désignant une constanle) 

p = kz. 

Le rayon de la sphère est donc proportionnel à l'ordonnée du 
centre de celte sphère. 

Si nous posons 

a-f-B 
Y = --— ' 

H, prendra la forme 

£j = ^(3 -+- H«i)(M 2 H- u\) -+- P(//--t- u\ ). 
Or, on vérifie que les équations 

Ç = (3 + MM 1 )(tt2+af), 

définissent respectivement la surlace minima d'Enneper et la 
cyclide de Dupin. D'où l'on conclut que la surface définie par E, 
est le lieu d'un point partageant dans un rapport donné le segment 
qui relie deux points à normales parallèles d'une surface minima 
d'Enneper et d'une cyclide de Dupin. En faisant (3=o, nous 
aurons la surface minima; pour y = o, nous obtiendrons la 
cyclide. 

La nappe associée à la cyclide de Dupin n'est autre que le plan 
des xy\ par suite, l'une des congruences de rayons est formée 
de droites parallèles. D'ailleurs, la développée moyenne de celte 
surface est le paraboloïde équilatère défini par l'équation 

z = a (x*—y*), 

a désignant une constante. 

On en déduit celte proposition : Un faisceau de l'ayons paral- 
lèles à i axe cl un paraboloïde équilatère se réfléchit sur cet ti- 
surface normalement à une cyclide de Dupin. 

Nous venons de rencontrer un système de rayons incidents et 
réfléchis dont l'une des congruences est formée de rayons paral- 
lèles. Plus généralement, cherchons tous les systèmes dérivés 
des sphères mobiles précédemment définies qui jouissent de la 
même propriété. Prenons pour plan perpendiculaire à la direction 
des rayons parallèles le plan des xy. 



— 2:>r; — 

Soient V Y, Z; \,, \T|, Z, les coordonnées respectives des 
courbes^énératrices de la surface <l<- Lranslation, S, S, les lon- 
gueurs <l<' leurs arcs. Désignons encore par ./•. r, z les coordonnées 
<lu centre <l«' la sphère, par p son rayon. 

La sphère étanl supposée tangente au plan des a r, on a ici 



La surface dirimante étant une surface de translation engendrée 
au moyen des courbes considérées, on a 

X-4-X , V V, z-i z, 
(i3) a?= - y y= — - — > z- — 



On a d'ailleurs par hypothèse 

S H- S, 
D'où l'on tire 

o — i— Oi Z -f- Z i 

= = const. 

2 2 

On tire de là 

dS = <ÏL , dS { = d'A { . 

D'où 

d\i + dX*- = o, rfXJ H- ûfYJ = o. 

Telles sont les équations qui doivent vérifier les courbes cher- 
chées. On peut considérer comme équivalent au système précé- 
dent le système des deux équations 

< i i i X-+-i*Y=o, X,— **Yi=o. 

Ce sont donc des courbes planes tracées dans deux plans iso- 
tropes conjugués. 

Formons l'équation qui définit la surface de translation lieu du 
centre de la sphère. 

Des équations (i3) et (i4) on tire 

x,-w;y, 

X y = 2 = S i ^' 

X-iY ,. . 

x — ly = = / ( u). 

D'ailleurs Z et Z, sont aussi deux fonctions respectives de u et 



— 256 — 
de //, . On a donc 

z = y(x — iy)-\- cptO-f- iy). 

La surface de translation est donc définie par la solution géné- 
rale de l'équation harmonique 

d*z d*z 

r H ~ = O. 

Ox- ây 2 

Il est inutile de chercher l'enveloppe de la sphère de rayon l y 

car ici la congruence des normales à cette enveloppe se réduit à 



"O 



pp. 



deux ensembles de droites situées respectivement dans deux plans 
isotropes conjugués. 

La nappe qui a pour normales les rayons non parallèles est 
définie par l'équation 



= o. 



Ou dui 
Nous pouvons donc énoncer le résultat suivant : 

Si, par le milieu d'un segment dont les extrémités décrivent 
deux courbes quelconques tracées dans deux plans isotropes 
conjugués, on mène une droite parallèle à l'intersection des 
deux plans isotropes mobiles tangents aux deux courbes, on 
obtiendra un système de rayons qui se réfléchiront sur la sur- 
face lieu du milieu d'un segment suivant une congruence de 
droites parallèles. 

Gomme dernière application, nous allons nous donner les deux 
courbes et en déduire les fonctions avec les éléments géométriques 
qui en dérivent. Soient donnés les deux cercles de rajons conju- 
gués a, ct. { définis par les équations 

X*-+-?* = a 2 . x*-*-y*=*\. 

L'application de la méthode exposée précédemment donnera 

G = ia u, Ci = t'ai Ui, 

D = ialogu, D,= i'a 1 Iog«i. 

Les coordonnées de la surface, lieu du milieu du segment qui 



- 257 — 
relie les doux cordes, seront définies par le système 



i — u . i — u\ 

x = ta — ; 1- itx x — ; > 

4 u 4 '* 1 

l + l/ ! I -h M? 

y = _a — ha, — » 

^ 4 M 1 Ml 

Z = O. 

Ces relations définissent un réseau de cercles tracés sur le plan 
des .r, v. 

On obtiendra les directions des quatre normales aux enveloppes 
de sphères en calculant v, V\ au moyen des formules (io). 

Il vient 

v = — //. (•[ = -- m,. 

On déduit de ces relations que les deux plans contenant respec- 
tivement les couples de rayons incidents et réfléchis de chaque 
système se coupent à angle droit. 

On trouve pour rayons des sphères 

S -h S! . a log u -f- a, log m, 

p = = i > 

2 2 

, S — S, .alogM — a, loga, 
p = = i 

' 2 2 

Les fonctions G, G, ont ici pour valeurs 

G = t'a u = — ta v , 

Gi — ÎOLi Ui = — î'a, P, . 

Les quatre nappes des enveloppes des sphères sont définies par 
les équations 

.a -f- a, .i-+- mm, 
5i — î ( mm, — ]) — i ( a log m -f- a, logM,), 

t .a -h a, . i-t-Piti 

Çï=ï ; (VUi-l)-hl ■ ( aloge -t- a, logM,), 

.a -f- a, . i -+- uv r 
£:i — l ■ (lW\ — I) H- i ■ ( — a log M -f- <Xy logp, ), 

, . a -f- a, . i-+- w>i 

U = i ■ ( ^i — i) -+- i ( a loge -h a, log Pi ). 

Au moyen d'une translation effectuée parallèlement à l'axe des z, 



— 258 - 
ces équations se ramènent au type 

; = (i + uui)($ logw. H-Pi loga, ». 

On peut déterminer les lignes de courbure de ces surfaces. 
Désignant par p, o, les paramètres de ces lignes, on trouve 

/ploga — v/Pi logwj= p, 
Don l'on déduit 

•pIS + /pïS 1 =a/PPïpi. 

Ces dernières formules montrent que le réseau des projections 
des lignes de courbure de chaque nappe sur le plan des xy rap- 
pelle par sa forme le réseau formé d'ellipses et d'hyperboles se 
coupant à angle droit. 

Pour a = a,, les cercles se confondent et l'on obtient des sur- 
faces de révolution. Alors le réseau se réduit à un système formé 
de cercles concentriques et des rayons de ces cercles. 



PROPRIÉTÉS GÉOMÉTRIQUES DES MILIEUX CONTINUS; 
Par M. L. Lecornu. 

Toute équation <£>(#, y, z) = C dans laquelle C désigne une 
conslanle arbitraire définit une famille de surfaces; mais la réci- 
proque n'est pas vraie, et une même famille de surfaces corres- 
pond à une infinité d'équations obtenues en remplaçant cp par une 
fonction arbitraire de cp. Si l'on veut avoir une représentation 
adéquate de l'équation cp = C, il faut considérer une variable de 
plus et imaginer, par exemple, un milieu matériel dans lequel 
<p(#, y, z) serait la densité au point (#, y, z). Les surfaces cp = C 
sont alors les surfaces d'égale densité. Parmi les propriétés d'un 
pareil milieu, les unes se confondent avec les propriétés purement 
géométriques du système de surfaces et demeurent invariables, 
quelle que soit la loi de variation de la densité dans le passage 
d'une surface à une autre; les autres dépendent essentiellement 
de cette loi de distribution . 



- 2S9 — 

Je me propose d'établir Ici quelques théorèmes de géométrie 
infinitésimale concernant ces deui sortes «le propriétés. 

L'origine des coordonnées rectangulaires étant placée <-n un 
poinl de la région élémentaire qu'on veul étudier, nous considé- 
rerons a?,V, -3 comme des infiniment petits du premier ordre, et 
nous écrirons, en négligeant les quantités du troisième ordre. 

(,) cp _ tf +p#+q y -+- rz -+- - (a .r 2 -h /; j 2 H- c s 2 -!- 2/>* -h 2£\sa? -4- •/// .ni. 

Posons 

/", ./•, k. r- ) = a r^ -h /;j2 -+- c ~ 2 ■+■ if y* -+- ? g ' zx «=t= 2 // arr- 
L'équation 

(2) /(*> ?,*) = ** 

dans laquelle £ désigne une constante arbitraire, représente une 
quadrique à cenlre, que j'appellerai la surface indicatrice, on 
simplement Y indicatrice du système, et que je désignerai par I. 
Cette indicatrice ne change pas quand, laissant s invariable, on 
modifie la direction des axes. On pourrait le vérifier par un 
calcul direct, mais on le voit géométriquement de la manière sui- 
vante : Soient A et B deux points symétriques par rapport à l'ori- 
gine. La moyenne des densités en ces deux points est évidemment 

'fo-h _ £ - L a surface [ est donc le lieu des points tels que la 

moyenne des densités en l'un de ces points et au point symé- 
trique par rapport à O possède une valeur donnée, et cette défi- 
nition est indépendante du choix des axes. 

Les directions principales de l'indicatrice ont une signification 
mécanique assez remarquable. Orientons les axes de coordonnées 
suivant ces directions, de manière à annuler les coefficients/, g, h. 

Si l'on calcule alors les intégrales lyz<£>dio, I zxvdut, t xyodto 

étendues à tous les éléments dto d'une sphère infiniment petite 
de centre O, on reconnaît immédiatement que ces intégrales sont 
nulles. Par suite : 

Les axes de l'indicatrice coïncident en direction avec les 
axes principaux d'inertie d'une spJière infiniment petite 
appartenant au milieu considéré. 



- 260 — 

.l'ai démontré celte proposition, avec plusieurs autres du même 
genre, dans une Note communiquée à l'Association française pour 
l'avancement des Sciences (1890). 

Soit S la surface d'égale densité passant au point O. Son indi- 
catrice de Dupin est, par définition, sa courbe d'intersection 
avec un plan parallèle au plan tangent en O et infiniment voisin. 
Pour tous les points de cette ligne, l'expression px -h qy + rz 
a une valeur constante; en même temps, cp est égal à <p . La com- 
paraison des équations (1) et (2) montre alors que, pour tous les 
points de l'indicatrice de Dupin, la quantité e a une valeur con- 
stante. En d'autres termes : 

La surface indicatrice contient la courbe indicatrice de 
Dupin . 

Si nous cherchons l'intersection de la surface indicatrice 
J\x, y, z) = e avec le plan tangent lui-même P, nous trouvons 

que cette courbe appartient à la surface d'égale densité cp = cp -l — e 

infiniment voisine de la surface passant en O. Cette courbe est 
infiniment peu différente de l'indicatrice de Dupin, et c'est elle 
que nous désignerons désormais sous le nom de courbe indi- 
catrice. 

En modifiant la loi de distribution des densités, c'est-à-dire en 
remplaçant cp par une fonction F(<p), on fait varier la forme de la 
surface indicatrice. A un système donné de surfaces d'égale den- 
sité S correspond donc, pour chaque point de l'espace, une 
infinité de surfaces indicatrices. Si Ton appelle F' et F" les dé- 
rivées première et seconde de F(cs), l'équation générale des sur- 
faces indicatrices qui correspondent au point O est 

F'/(*, j, m) + V"i px 4- qy H- rs)* = r t . 

L'intersection avec le plan P est donnée par F'f= r,, et, en dé- 
terminant la constante arbitraire y\ parla condition F / e=7j, toutes 
les surfaces indicatrices passent par la même courbe indicatrice 
le long de laquelle elles sont tangentes entre elles. 

Si l'on fait en particulier s = o, toutes les surfaces indicatrices 
se réduisent à des cônes coupant le plan P suivant deux droites 



— 261 - 

lixrs, réelles <>u imaginaires, qui sont les tangenles aux lignes 
Bsvmpto tiques d<- S; ce sonl les cônes indicateurs. 

La direction conjuguée «lu plan P est h même pour louies les 
surfaces indicatrices. Elle est définie par les équations 

ax i hy-+- gz hx by_ fz gx -*rfy -\ cz 

(S) — — • 

p q r 

Pour un déplacement effectué, à partir de l'origine O, suivant 
celle direction, on a évidemment 

dp dq _ dr 
P 9 ~' 

cela revient à dire que/?, q, /-conservent des rapports invariables 
et que, par suite, l'orientation du plan P n'est pas changée. La 
direction dont il s'agit est donc celle de la droite joignant les 
points de contact de deux plans tangents menés parallèlement à 
deux surfaces S infiniment voisines. Nous appellerons cette droite 
Y axe de parallélisme. Parmi tous les cônes indicateurs, il y en 
a un qui contient l'axe de parallélisme et se décompose, par suite, 
en deux plans. 

Extension du théorème des tangentes conjuguées. 

Soient X, Y, Z les coordonnées courantes. L'équation du plan 
langent à l'une des surfaces S en un point A(x,y, z) infiniment 
voisin de l'origine est, en négligeant les infiniment petits du 
second ordre, 

p(\ — x) H- q(Y — y) h- /•( Z — z) H-.aXa? H- b Xy ■+■ cZz 

-\-f{Xz -+- Zy) -h g(Zx-^- Xz) -+- h(Xy -+- Yx) = o. 

Sa trace sur le plan P, tangent en O, dont l'équation est 
/?X + cj Y -+- rL = o, vérifie la relation 

(aX + h Yh- gZ— p)x-+-(h X -±bX^-j"L — q)y-+-(gX -+-/Y + cZ-r)^ = o. 

On reconnaît ici l'équation du plan diamétral conjugué de la 
direction OA par rapport à la quadrique 

a X-' + b Y*-h cZ»-h 2/YZ + igZX -+■ ihXX — i(pX 4- q Y-+- rZ) = o, 

tangente en O au plan P. 



— 2G2 — 

La caractéristique du plan tangent, pour yn\ déplacement OA 
du point de contact, est donc la polaire de OA par rapport à cette 
quadrique Q. Elle est parallèle à la trace sur le plan V du plan 
diamétral conjugué de OA par rapport à l'une quelconque des 
surfaces indicatrices. 

Le centre de la surface Q se trouve sur Taxe de parallélisme, 
au point défini par les équations 

a X -4- h Y +^'Z — p = o , 
hX-h /;Y 4-/Z — q = o, 
5-X + /Y+ cZ— r = o. 

La quadrique Q est tangente en O à la surface S. RI le admet 
la même indicatrice de Dupin et elle est symétrique, par rapport 
à O, de la quadrique 

aX* + 6Y«-h cZ2-t-a/YZ 4- 2^ZX -h 2/1XY -4- i(pX -+- ^Y -4 /•/) = o, 

déduite de la surface S en effaçant, dans le développement 
de sp — cp , les termes d'ordre supérieur au second. 

En particulier, pour un déplacement OA normal en O à la sur- 
face S, la construction précédente fait connaître la caractéristique 
de la trajectoire orthogonale des surfaces S, c'est-à-dire l'axe de 
courbure de celte trajectoire. 

En faisant varier la loi de distribution des densités, on obtient 
une infinité de quadriques Q dont les centres se trouvent tous 
sur l'axe de parallélisme et qui se louchent toutes au point O. Ces 
quadriques sont évidemment homologiques. 

Normalies développables. 

Cherchons maintenant pour quels déplacements OA effectués 
à partir de O la normale en A à la surface S passant en ce point 
[encontre la normale en O à la surface initiale et engendre, par 
suite, un élément de surface développable. Les équations de la 
normale en un point x, y, z pour lequel p, <y, r désignent les 
paramètres du plan tangent peuvent s'écrire 



x \ — y L — z 



263 



(I ou 






X - ./• /■/'. N = ) /.'/, 



z /, t . 



Si Ion veul que deux uormales infinimenl voisines se ren- 
contrent, on est conduit aux équations 

/ dx h- X dp -+- p dk = o , 
(5) < dy- À dq -h q d\ = o, 

f r/c À <■//■ -t- r r/X = o , 

d'où, par L'élimination de a el <7a, 

dx dp p 
dy dq q 
dz dr r 

Appliquons ceci à l'origine et remplaçons alors dx, dy, dz 



par .r, y, z, puis dp, d</, dr par ax - 

ainsi 

x a x -h hy -f- gz p 

h by H- fz q 



(6) 



ax -Jrby-T- f. 

y* -+- fy -h c* /• 



// r 



= o. 



vient 



Il est aisé de reconnaître que Ja somme des coefficients de x' 1 , 
r 2 , 5 2 est identiquement nulle et que, par suite, le cône du second 
degré C représenté par l'équation précédente est capable d'une 
infinité de trièdres trirectangles. Ce cône admet comme géné- 
ratrices plusieurs droites remarquables, savoir : 

i° L'axe de parallélisme (3) ; 



2° La normale à la surface S 



x 



y_ _ 
p q ' 

3° Les tangentes aux lignes de courbure 
4° Les droites pour lesquelles 



ax 



hy 



h x -f- by -+- fz 



X 



fr 



x y z 

c'est-à-dire les axes principaux de l'indicatrice L 

En modifiant la loi de distribution des densités, on n'altère pas 
le cône G, ainsi qu'il est aisé de le vérifier directement. Les axes 
principaux de toutes les indicatrices se trouvent donc sur ce cône 
et, par conséquent : 



— 264 — 

Le lieu des tangentes aux directrices des normalies dévelop- 
pables en chaque point de V espace est le cône du second degré 
formé par les axes principaux de toutes les indicatrices. 

Remarquons encore que l'équation (6) est suceptible d'une 
interprétation géométrique évidente : le plan mené par une géné- 
ratrice du cône, normalement à la surface S, contient la normale 
au plan diamétral conjugué de cette génératrice par rapport à 
l'une quelconque des indicatrices. Il en résulte que, pour un 
déplacement effectué à partir de O suivant une génératrice, la 
caractéristique du plan tangent à la surface S est perpendiculaire 
au déplacement, ainsi qu'il était d'ailleurs facile de le prévoir. 

Cherchons le plan tangent au cône G le long de la normale en O 
à la surface S. Si <}(.r, y, z) = o est l'équation du cône, ce plan 
tangent a pour équation xà'(p) -irj-'l' (q) + zty'(r) = o, ce qui 
peut s'écrire 



x ap -+- hq -+- gr 


p 


y hp -+- bq + fr 


9 


z gp-+- h -+- cr 


r 



= o. 



Ce plan contient la direction 



ap -+■ hq -+- gr hp -+- bq -h fr gp -f- fq 4- cr 

qui appartient évidemment au plan oscillateur en O à la trajectoire 
orthogonale des surfaces S. Donc : 

Le cône des axes principaux est tangent le long de la nor- 
male (/?, q, r) au plan oscillateur de la trajectoire orthogonale 
des surfaces S. 

Courbures normales. 

Soient ON, AN' les normales à deux surfaces S, en deux points 
infiniment voisins O et A. Projetons AN' sur le plan normal NOA, 
et cherchons les coordonnées X, Y, Z du point de rencontre B de 
cette projection avec la normale ON. Si les deux points O et A se 
trouvaient sur une même surface S, le point ainsi obtenu serait le 
centre de courbure de la section de la surface par le plan normal 
contenant Ox\. Notre calcul va donc constituer l'extension, à un 
système de surfaces, de la théorie de la courbure. 



2Cm — 



En appelant ./■, r, 3 les coordonnées <l<- \ el p dp, </ \ <l<p 
/• -i <//■ les valeurs de />, y, r en ce point, on exprime que !<• plan 
de W ci AI) csi normal au plan NOA par l'équation 



\ _ x \ — y Z — z 

/> <(/> q (h/ r tir 
<l z — ry /•./■ — p z py q ./• 



D'ailleurs, si Ton pose ()T> K et y//? 2 + <7 2 + /' 2 = <*>, ( >n a 



X Y Z R 

/' Q " >' " w 



d'où, en substituant, dans L'équation précédente, et simplifiant 









/■ 






.r 



7;; — ry rx — pz py — (j .r \ \ (/ z — ry r'y — p z py— qx 

El 
dy 



En remplaçant dp. dq, dr par leurs valeurs — '-■> -> — * , 

1 il' 1 9. OX 1 Oy 2 Oz 

on obtient finalement 



1 

i; 



-{px -- qy + rz) (p £ + q ^L __ ,._J _ «»/(*, j, *) 



Soient a, [3, y les cosinus directeurs de OA. On peut encore 
écrire 



P. 



— (o ( /> a — 7 [J -1- ry )' 



Si l'on appelle enfin /' l'angle de OA avec Ja normale ON, il 
vient 

/ of or àf\ 

- COS / f 

I 

\\ tu- si n 2 i 



(7) 






Pour i =. ~ , on retrouve ia formule ordinaire donnant la cour- 

2 



. v'Û 



hure des sections normales d'une surface. 

Portons sur chaque direction OA un vecteur é^al à —. — -, .: le lieu 
1 ° su» 1 

de l'extrémité de ce vecteur est une quadrique à centre. De là 



XXXI. 



18 



266 - 



résultent diverses relations, parmi lesquelles je signalerai seule- 
ment la suivante : 

Pour trois directions rectangulaires quelconques OA,, OA 2 , 



sin 2 /, sin 2 / 2 sin 2 ï 3 



a une 



OA 3 issues du point O, V expression — tt- 
valeur constante. 

La valeur de cette constante est 



/(/>, q, /•) — (/P 2 h- ? 2 -t- r *)(a -^ b -4- r ) _ 
2 -+- </ 2 +r 2 ) 2 

Elle doit naturellement être indépendante de la loi de distribu- 
tion des densités; c'est ce qu'on vérifie sans peine par un calcul 
direct. 

Si l'on considère en particulier le trièdre formé par la nor- 
male à la surface S et par les directions principales de cette sur- 
face, la valeur de —rr- correspondant à la normale est nulle; pour 

les deux directions principales, sin i est égal à l'unité. La con- 
stante dont il s'agit ne diffère donc pas de la somme des inverses 
des rayons de courbure de la surface S, c'est-à-dire du double de 
sa courbure moyenne. 11 est remarquable que la courbure moyenne 
d'une seule surface S détermine ainsi, d'une manière complète, 



•n y 



sin-/ 



relative à trois directions reclan- 



la valeur de l'expressiow 

gulaires quelconques, issues d'un point de cette surface, indépen- 
damment de la forme des surfaces S infiniment voisines. 

Le lieu des directions pour lesquelles R a une valeur infinie est 
le cône asymptotique représenté par l'équation 

r*)f(x,jr,z)= o. 



I df df ùf\ 
ou bien 


2(jD 2 -f- 7 2 - 


(8) 


P <l 

a x -+- hy -+- gz h x -h by -+- fz 
qz rv rx—pz 


r 
gx-+-fy 

py— 



q x 



Ce cône contient la normale en O à S et l'axe de parallélisme; 
il coupe le plan tangent à la surface S suivant les deux directions 
asympto tiques. 



267 — 

INmr un déplacemenl effectué suivant une génératrice quel- 
conquede ce cône, la caractéristique du plan tangent esl parallèle 
à la trace du plan normal contenant Le déplacement. 

Courbure de ht trajectoire orthogonale. 

Nous avons précédemment déterminé I axe de courbure de la 
trajectoire orthogonale 'les surfaces S. On pourrait en déduire son 
rayon de courbure o ; mais il vaut mieux traiter la question direc- 
tement. A cet effet, menons par L'origine O la normale ON, ren- 
contrant en N une surface S' infiniment voisine de S. Menons 
aussi Taxe de parallélisme OA, rencontrant en A la même sur- 
face S'. La déviation du plan tangent aux surfaces S est la mène 
lorsqu'on parcourt le chemin AN sur la surface S' que lorsqu'on 
\a de O en N suivant la normale. D'ailleurs, si R t et R 2 sont les 
rayons de courbure de S' au point N (infiniment peu différent des 
rayons de courbure de S au point O) et si *b désigne l'angle du 
plan AON avec le plan de la section principale correspondant au 
rayon R,, l'angle a des normales en N et en A est donné par la 

formule connue 

a 2 cos 2 ^ sin 2 'i/ 

AN* = "1 \\[ ~Rf' 

Soit 9 l'angle AON. On a AN = AO tango et JL = -. 

55 & AO p 

Le rayon de courbure p de la trajectoire orthogonale vérifie 
donc la formule 

Il est entièrement défini par les rayons de courbure de la sur- 
face S et par la direction de l'axe de parallélisme. 

Je me suis borné, dans cette étude, aux propriétés dépendant 
des dérivées premières et secondes de la fonction ce. Si l'on voulait 
aller plus loin, on serait conduit à aborder des problèmes beau- 
coup plus ardus. A la fonction cp sont liées, en chaque point de 
l'espace, trois directions rectangulaires, correspondant aux axes 
principaux de l'indicatrice. On peut tout d'abord se demander 
quelle condition doit remplir la fonction pour que ces directions 
soient normales à un système triple de surfaces orthogonales. 



— 268 — 

Celle question (énoncée sous une forme un peu différente) a été 
résolue par M. Darboux dans les Proceedings of the London 
matliematical Society de 1900. 11 a trouvé que la fonction 
doit vérifier une équation aux dérivées partielles du troisième 
ordre, homogène, ne contenant ni la fonction, ni ses dérivées 
premières. Imaginons maintenant que nous changions la loi de 
distribution sans altérer les surfaces d'égale densité. Nous modi- 
fions, en chaque point, l'orientation du trièdre trircctangulaire. 
Dans quels cas ce nouveau trièdre demeure-t-il normal à un sys- 
tème triple de surfaces orthogonales? 

Au lieu de se donner la fonction o et d'en déduire les directions 
principales en chaque point, on peut inversement se donner ces 
dernières, puis chercher dans quels cas il existe une fonction cp 
correspondante, et quelle est alors cette fonction. 

On multiplierait sans peine les questions de ce genre; mais il 
est plus aisé de les imaginer que de les résoudre. 



SUR QUELQUES PROPRIÉTÉS DES MATRICES HYPOHERMITIENNES 

/z-aires ; 

Par M. L. Au tonne. 

1° Je me propose de compléter certains résultats énoncés dans 
mes publications antérieures : 

I. — Sur V Hermitien (Rendiconli du Cercle mathématique 

de Palerme, 1902). 

II. — Sur les groupes linéaires réels et ortliogonaux (Bul- 
letin de la Société mathématique de France, 1902). 

III. — Sur U Hypohermitien (même Recueil, 1903). 

IV. — Sur la canonisation des formes bilinéaires (Nou- 
velles Annales de Mathématiques, 1903). 

Je supposerai aussi connues du lecteur les propriétés des ma- 
trices bilinéaires telles que les a exposées M. Frobenius dans ses 
remarquables travaux, notamment : 

V. — Ueber linearc Subslilutioncn und bilineare Formen 
(J. f. r. u. a. M., t. 84, p. 1). 



269 — 

\|. — Ueber die cogredienten Transformationen der bili- 
nearen Formai (Sitzungsberichte de l'Académie des Sciences 
de Berlin, 1896, p. 7) (<). 

2° Soil A une hypohermitienne w-aire. L'équation caractéris- 
tique (0 

|. / K — A] (./• a)S(x — b) h (x — c) k ... o, 

n = g h- // + /i+... 

aura / racines distinctes a, 6, c, .... Les successifs (Elementar- 
theiler) seront tous simples et seront x — a, .... x -- b, ..., 
.r — c, .... 

Enfin les racines a, />, c, ... de (0 seront des nombres réels, 
positifs ou nuls. 

Désignons par it (x) le polynôme 

tl» ( x ) = a?' -f- . . . — ( x — a) {x — b ) ( x — c ) . . . . 

L'équation de degré minimum à laquelle satisfait la matrice A 
est <l> (A) — o. Toute fonction rationnelle /(A) peut, sous le 
bénéfice de '}(A) = o, s'écrire 

/( A ) = d A'-* -f- di A '-« H- . . . -f- o?/_2 A -+- dt-i E ; 

le polynôme f(x) est 

y'( a?) = d x l ~ ' ■+• . . . -f- d/_ 2 # -1- û?/- 1« 

Comme les successifs sont tous simples pour Thypoliermi- 
tienne A, le cas d 'excepi f ion (V, p. 20, théorème V) ne se pré- 
sente pas. L'équation caractéristique afférente à /(A) sera 

\xE-f(A)\=:[x-f(a)]e[x-f(b)]K..= o, 

et les successifs, encore tous simples, seront 

x ~ /(«)> *—f( b ), -r—fic), .... 

A et /(A) admettent évidemment les mêmes canonisantes et, 
si A a été canonisée, il en est de même pour /"(A). 



( x ) Je renverrai à cette liste simplement en rappelant le chiffre romain qui 
désigne chaque travail. 



— 270 - 

»{° Tout cela posé, passons à la première question, qui nous 
occupera : 

Quelles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour 
que /(A) soit aussi une hypohermitienne? 

Comme A et /(A) se laissent on même temps canoniser par une 
même canonisante unitaire, il faut et il su Hit évidemment, pour 
rendre f "(A) hypohermitienne , que les quantités 

/(a), f(b), /(c), ... 

soient réelles et non négatives. 

Le rang q d'une hjpoliermitienne /ï-aire est donné par la 
relation : n — q = le nombre des racines nulles dans l'équation 
caractéristique. 

Ce rang q est, en général, différent pour /'(A). 

-4° Voici maintenant le second problème qui nous occupera. 
J'ai démontré (III) que, A étant une hypohermitienne /i-aire 

quelconque, il existait toujours une et une seule hypohermitienne 

i 
B = A" 1 = y/A telle que B m ;= A; m = entier positif. La méthode 
donnée pour la construction de B est fondée sur la canonisation 
préalable de A et n'est satisfaisante qu'en théorie. Le calcul direct 
devient bien vite impraticable [voir, par exemple, I, 26°, le 

cas m = n = 2). 

_i_ 

On va chercher s'il est possible d'exprimer A" 1 par une fonc- 
tion rationnelle /(A) (2°). 

Nommons a, [3, y, . . . les nombres réels et non négatifs, qui 
sont les racines m ièmes arithmétiques de a, b, c, .... En vertu 
de ce qui précède, il suffit de faire 

/(a) = a, /(ô)= p, /(c) - y 

c'est-à-dire de définir les coefficients d r du polynôme /par les / 
relations 



( 2* 



a« 



r 

1 

• = 0, F, ..., / — I. 



274 



où le déterminant «les £ inconnues d r esl o, puisque les / racines 
<i. A, c, ... son i toutes distinctes. 

Ce calcul i\rs d, .se résume d'ailleurs dans une formule unique 






<> 



a l i a i-i 



l« \ i; \< 



<7- <7 | a 

6 s b i p 



obtenue en éliminant les / inconnues d r entre les / relations ( i ) et 
t 

i \ ) V" . 

o° Comme application facile, extrayons la racine carrée d'une 
hermitienne binaire H, de déterminant un. C'est le cas m = n='A 
(déjà traité, I, 26°). 

Il viendra 



H = 



. |H i = A11A22— A 12 A 2 i = i; 



i|;( a? ) = [ .r E — il | = a? 2 — x ( // , t h- A 22 ) -+- 1 = ( a? — a) ( a? — l>); 

ab = ap = 1 . 

La formule (2) donne, après départ de a — |3, 



H 2 



! H -f- E 



II i: H* 

a i a 

6 r 3 

1 



= 0, 



h\ 1 -+- 1 /' 1 2 



Posons 
il viendra 



car 



« = a 2 , 6 = P 2 ; aô = ap = 1 ; a-.b = /i n ~ h t * 
Cela est bien d'accord avec le calcul ancien (I, 26°). 



->7-> 



QUELQUES REMARQUES SUR LES ENSEMBLES DE DROITES OU DE PLANS; 

Par M. Emile Borel. 

La notion d'ensemble de points est aujourd'hui tout à fait clas- 
sique; il semble que l'on soit moins habitué à considérer des 
ensembles dont les éléments sont d'autres éléments géomé- 
triques ('); cependant, certains de ces ensembles, par exemple 
les ensembles de droites dans le plan ou de plans dans l'espace, 
se présentent dans bien des recherches et leur élude systéma- 
tique, d'ailleurs aisée, est presque aussi utile que l'étude des 
ensembles de points. Ayant été amené dans un Mémoire récent ( 2 ) 
à utiliser de tels ensembles, je voudrais en indiquer ici quelques 
propriétés très simples et très élémentaires, qui me paraissent de 
nature à pouvoir rendre des services dans de nombreuses ques- 
lions ( :$ ). 

II importe tout d'abord de définir ce que l'on doit entendre par 
droites infiniment voisines d'une droite donnée; nous adopte- 
rons la définition géométrique suivante : Etant donnée une 
droite fixe D, la droite variable D' sera dite infiniment voi- 
sine de D si, deux points quelconques A et B étant c/ioisis 
sur D, on peut ci tout nombre positif t faire correspondre une 
position de D' telle que la distance à D' de chacun des points h 
et B soit inférieure à s. Il est aisé de voir que le choix: des 
points A et B sur D peut être fait arbitrairement; si la définition 
est vérifiée avec un choix particulier de ces deux points, elle est 
vérifiée avec tout choix de ces deux points, pourvu qu'ils soient 
distincts. 



( 1 ) Bien entendu, je ne veux pas dire que l'on n'a jamais considéré de tels 
ensembles; mais leur introduction ne parait pas èlrc classique, c'est-à-dire que 
l'on n'en parle pas habituellement sans explications préalables, comme on fait 
pour les ensembles de points. 

( 2 ) Contribution à t'analyse arithmétique du continu {Journal de Mathé- 
matiques, 1903, p. 329-375). ,1c dois signaler une erreur d'impression dans ce 
Mémoire: p. 872, dans l'énoncé du théorème \YI'" ! , au lieu de borné, on doit 
lire borné et fermé. 

( 3 ) On pourrait évidemment se borner à dire que tout être géométrique dépen- 
dant de n paramètres peut être représenté par un point dans l'espace à n dimen- 
sions; on ramène ainsi les ensembles quelconques aux ensembles de points. Mais 
ces indications générales demandent à être complétées dans chaque application 
particulière. 



— 273 — 

De même, étant donne un plan fixe P, !<■ plan variable I'' 
sera dit infiniment voisin de I' si, trois points quelconques non 

en ligne droi le \, B, C, étant choisis sur P, on />('/// à tout 

nombre positif s /dire correspondre une position de I*' telle que 
la distance et P' dechacun despoints \. B, <. so*7 inférieure à t. 

Les définitions précédentes sonl invariantes par une transfor- 
mation homographique quelconque, si, par cette transformation, la 

droite 1) ou le plan P ne sonl pas rejetés à V infini. Si I) ou P 
sonl à l'infini, on les ramènera à distance finie par u ne transfor- 
mation homographique et, par définition, la dcoite variable D' 
sera dite infiniment voisine de D, si la transformée homographique 
de D'esl infiniment voisine de la transformée homographique de D. 
De même pour les plans ('). 

Étant donné un ensemble de droites (ou de plans), ['ensemble 
dérivé est, par définition, l'ensemble des droites (on des plans) 
tellesqu'ily ait des droites de l'ensemble infiniment voisines de ces 
droites ( 2 ). On dira qu'un ensemble est fermé ( 3 ) s'il contient 
tous les éléments de l'ensemble dérivé et qu'il est parfait s'il est 
identique avec l'ensemble dérivé. 

Un ensemble est dit borné lorsque, étant donné un point quel- 
conque O, il existe un nombre A tel que la distance du point O 
à une droite (ou plan) quelconque de l'ensemble soit inférieure 
à A; bien évidemment, si cette propriété est vérifiée pour un 



(') Il y aurait, à mon avis, grand intérêt à définir de même la notion de limite 
et toutes les notions qui s'y rattachent, en se plaçant à un point de vue projectif, 
c'est-à-dire en ne faisant pas jouer aux points à l'infini un rôle spécial. Je me 
propose de développer prochainement cette indication d'une manière systéma- 
tique; il en résultera, à ce qu'il me semble, de grandes simplifications dans bien 
des questions d'Analyse. 

(-) Il y a parfois avantage à considérer certains éléments de l'ensemble comme 
y figurant une infinité de fois ; dans ce cas, ces éléments doivent être considérés 
comme appartenant à l'ensemble dérivé; mais il faut avoir soin de prévenir expres- 
sément lorsqu'on s'écarte ainsi de l'usage. Voir à ce sujet Hadamard, La série de 
Taylor et son prolongement analytique, p. i5, note au bas de la page, et BoRKL, 
Leçons sur les fonctions entières, p. 22, note au bas de la page. 

( 3 ) Dans mes Leçons sur la Théorie des fonctions j'avais introduit l'appella- 
tion : relativement parfait pour les ensembles fermés (que M. Jordan appelle 
parfaits et qui ont effectivement beaucoup d'analogies avec les ensembles parlait- : 
il est souvent indifférent qu'un ensemble soit fermé ou parfait); l'expression : 
ensemble fermé est plus usitée. 



— 274 — 

point elle est vérifiée pour tous les points de l'espace (A peut 
varier avec le point choisi). 

Pour qu'un ensemble soit borné, il est nécessaire et suffisant 
que son ensemble dérivé ne renferme pas la droite de Vin fini, 
s'ils 7 agit d'un ensemble de droites dans le plan, et ne renferme 
pas le plan de l' infini, s' il s'agit d'un ensemble de plans dans 
l'espace. 

On en conclut immédiatement que : Si un ensemble de droites 
dans le plan est tel que son ensemble dérivé ne se compose pas 
de toutes les droites du plan, on peut le transformer en un 
ensemble borné par un ensemble ho mo graphique convenable ; 
il en est de même pour un ensemble de plans de l'espace dont 
r ensemble dérivé ne comprend pas tous les plans de l'espace. 

La question est plus délicate pour un ensemble de droites dans 
Cespace; tout ce que l'on peut immédiatement affirmer, c'est 
qu'un ensemble de droites peut être transformé en un ensemble 
borné par une transformation homographique, s'il existe un plan 
qui ne soit pas un plan limite de l'ensemble. On entend par 
plan limite tout plan tel que si Ton y trace trois droites D, D', D", 
non concourantes, on peut à tout nombre positif £ faire corres- 
pondre une droite A de l'ensemble non située dans ce plan et telle 
que le moment de A par rapport à chacune des droites D, D', D" 
soit inférieur à s; un plan est aussi d'il plan limite s'il renferme 
une infinité de droites de l'ensemble. 

Mais on peut aller plus loin et montrer que tout plan limite P 
renferme au moins une droite limite, c'est-à-dire une droite 
appartenant à l'ensemble dérivé. Cela est évident si le plan limite 
renferme une infinité de droites de l'ensemble ; dans le cas con- 
traire, on peut se donner un nombre e, et déterminer une droite A 
non située dans le plan P, telle que ses moments par rapport à 
D, D', D" soient inférieurs tous trois à î, ; comme ces moments 
ne peuvent être nuls tous les trois, on peut choisir un nombre 
positif £•> inférieur au plus grand d'enlre eux et inférieur aussi 

à — et déterminer une droite A.> non située dans le plan P et telle 

que ses moments par rapport à D, D', D" soient inférieurs à z 2 ; 
on choisira ensuite s 3 inférieur au plus grand de ces moments et 

à - et ainsi de suite à l'infini. Désignons par A,, A 2 , . . . , A„. . . ., 



-) 



1l.t 



les points d'intersection avec Pde A, . A 2 . . . ., A„, ...; ces points 

SOnl à distance finie OU Infinie; ils ont en Ions eus an moins un 

point-limite \ à distance finie ou infinie; si \ esl à l'infini nous 
le ramènerons à distance finie par une transformation homogra 
phique. Ceci fait, choisissons des nombres tendanl vers zéro 

fcp •', e' ;i , ..., et soient \' r V., • .-, A'„, ... .1rs points 

choisis parmi les points \,, Y., ..., \„, . ..,et tels que l'on ail 
V V„ : s„ (les points V„ pourraient tous coïncider avec V); 
désignons par A',, A' 2 , . .., A;,, ... les droites qui correspond. -ni 
•\ A' A' V ei nar S' ô . o' , . . . les droites 

passant par A et parallèles aux projections sur P de A,, A 2 , . . . 
\' /n . . . 1 /ensemble des droites concourantes ô,, 8' 2 , . . . , 8,,, . . . 
admet au moins une droite limite o; on démontre aisément que 
cette droite est une droite limite de l'ensemble qui comprend 
A,, A 2 , • • • , A„, ... On en conclut qu'un ensemble, de droites 
peut être transformé en un ensemble borné par une transfor- 
mation homo graphique dans le cas et seulement dans le cas où 
il existe un plan ne renfermant aucune droite de V ensemble 
dérivé (il existe alors forcément une infinité de plans ayant cette 
propriété). 

On voit, par ces exemples qu'il serait aisé de multiplier, quel 
intérêt propre peut avoir l'étude géométrique des ensembles de 
droites et de plans. 

SUR LES INTÉGRALES DE L'ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE DES CONIQUES 
ET LEUR INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE; 

Par M. Raoul Perrin. 

T. Dans une précédente Communication («), j'ai démontré que 
l'équation différentielle des coniques 

(,.) 9jV-45y r y , y v +4oy" 2 =o 

conduit, lorsqu'on y remplace y", y'", . . . par leurs expressions 
en fonction de R, p«, p 2 , p 3 (rayons de courbure de la conique cl 
de ses développées successives en des points correspondant-, 
affectés des signes convenables pour que ce soient aussi les dé- 



(') Voir Bulletin, t. XXXI, p. 54- 



— 27(> — 

rivées successives de l'arc S de la conique par rapport à l'angle o 
que fait la tangente avec une direction fixe), à L'équation différen- 
tielle intrinsèque 

(2) 9 R2(p 8 _ h 4p 1 )__ 45Rp,p 2 : /,oo : /-o. 

J'ai établi en outre que, si l'on écrit ainsi l'équation générale 
finie des coniques 

( 3 ) ^/i' 2 +i/ 2 +c + if y -h i gx -h ■>. h xy = o 

et que Ton pose 

( g = ab — h\ 

(4) 

/ A = aèc -f- 2j^A — af- — bg z — cli-, 

les équations (i) et (2) admettent respectivement pour intégrales 
premières 

( 5 ) 3« r>y 8 = A 2 ( 3 y" y" — 5y'" 2 r. 

(6) 3 6 o3 Rio _ A2(gR2_ 3 H p 2 ;- 4 pj )3 sin2<o 

(w étant l'angle des axes de coordonnées). 

Les parenthèses des seconds membres des équations (5) et (6), 
égalées à zéro, fournissent respectivement l'équation différentielle 
ordinaire et l'équation différentielle intrinsèque des paraboles. 

II. J'ai remarqué depuis que l'équation 

(7) aR2-h {3Rp 2 -HYp!^o 

comprend comme cas particuliers, non seulement l'équation des 
paraboles (a =9, (3 = — 3, y = 4), comme il vient d'être dit, mais 
aussi les équations générales d'autres familles de courbes bien 
connues, savoir : 

(8) 18R 2 — 3Rp 2 H- 5pi = o, hyperboles équilatères, 

(9) 4 R- — 2Rp 2 -+- 3pf = o, chaînettes, 

(10) ( R- — 4Rp2-+-5p? = o, courbe? de poursuite, 

dans le cas où la vitesse du poursuivant est moitié de celle du 
poursuivi. 

11 est à remarquer que ces quatre familles comprennent des 



- 277 - 

courbes don I les branches onl toutes une forme analogue, c'est- 
à-dire possèdent un sommel ;'i distance finie el deui bras s'éten- 
danl à l'infini de pari et d'autre du sommet, avec courbure régu- 
lièrement décroissante. 

D'autre part, L'équation (-) admet, comme il est facile de !<■ 
vérifier, l'intégrale première 

_H 
(ii) *R« h(pH-Y)p? = A:R P, 

où L esl la constante d'intégration, que l'on peut (railleur-; 

exprimer par aR ^ , en appelant R le rayon de courbure an 
sommet (point pour lequel o, — o). 

Par conséquent, pour tontes les courbes dont il s'agit, le rayon 
de courbure de la développée est lié à celui de la courbe au point 
correspondant par la formule 

qui donne en particulier 



i 



-rr- 1 — i pour la parabole. 



h 



■ / R N •* 
p!— >I^Y ( tt" ) — ' pour l'hyperbole équilatère, 



R 



p, = 2 Ri / — — i pour la chaînette. 



i 

/ / 



.,4 / R \- 1 pour la courbe de poursuiie 

Pi = 2Rl/-ô-)~i < . ,., l 

V V Rc / ( particulière. 

III. Il était à prévoir que l'équation (8) des byperboles équila- 
tère s conduirait à une intégrale de (2) analogue à celle (6) que 
fournit l'équation des paraboles. Et, en effet, si l'on pose 

(«R*-h pRp 2 -f-YP?)'"= *R« 

et que l'on cherche à déterminer ot, (3, Y, m et // de manière que 
I élimination de k entre cette équation et sa dérivée conduise 
précisément à l'équation (2), on trouve deux systèmes de soin- 



— 278 — 
lions, savoir : 

ni - i. n - m. y. = 9, (3 = — 3, 7 = 4, 

/// : - 3, // = S. a - |S. ; j , — J. y - ",. 

dont le premier fournit l'intégrale (6) déjà connue, et le second, 
la nouvelle intégrale que voici : 

03) (i&R* 3Rp 2 H- Spf) 3 = ÂrR». 

La parenthèse du premier membre de cette équation égalée à 
zéro donne bien, comme il était prévu, l'équation différentielle 
intrinsèque des hyberboles équilatères. 

A celte nouvelle intégrale de (2) doit évidemment correspondre 
une nouvelle intégrale de (1), distincte de celle (5) déjà connue : 
pour la former explicitement, il suffit de remplacer dans (i3) R, 
0,, p 2 par leurs expressions en fonction de y\ y" , y'" , y", (0. 

J'ai donné, dans la Note précitée, ces expressions [for- 
mules (18)] quand lu -— -; dans le cas de co quelconque, les foi- 
mules à employer sont les suivantes : 



3 

sin (t) 



(14) 



SI 11 (0 w J J J 



^ ry(./'+ cosa) ) 2 h- ><r — 8wy- 2 y(y-+- cosw n 

p2_ sin no L -H w 2 /'-*< 3y 2 — y> n 1 

W = I -+-y 2 -f- 2^' COSO). 

En opérant la substitution indiquée, on trouve pour la nouvelle 
intégrale cherchée l'équation 

( Àjk" 1 ° sin • co — [ 9 y"* — by"' 2 y'" (y' -+- cos co 1 

■y 2 + •.> jr' cos co) (3 y" y"— \y" 2 )\*. 



1 



Mais on aperçoit immédiatement que cette équation renferme 
non pas seulement une, mais bien deux constantes arbitraires 
indépendantes l'une de l'autre, savoir /.sin' 1 to et cosco, en sorte 
qu'elle doit fournir deux intégrales distinctes, chacune à une seule 
constante. 

Pour dégager ces deux intégrales distinctes et obtenir en même 



— 27!) — 

Lemps 1 <* 1 1 f interprétation géométrique, remplaçons dans (i5) i . 
)'"', r ,v par leurs valeurs en fonction des coefficients <l<- L'équation 
générale (3), savoir, comme il a été indiqué dans ma Note pré- 
citée • 

r" : Ar~", 



•> ..' 



y" --- -^' " 2 " 

3 -' 

r n ! ; Ar - 1 ir'^-'Uï >, 

î 

P — O.a- ' i /'A - A,A' î-' 1 ,/' 2 /"". (''-■—- 'X(Z.r bg J'h I, 

• r - — 2 o. u 1>P — i - - | h A. 

L'équation (i5) se transforme alors en la relation Suivante . 

. . . 3 6 (f7 -h h — ■>. Il COSto ) :! 

/. sin* oj — — — — — ■ , 

qui donne l'expression de h sin'to en fonction de a, (>, Il et coso). 
En la reportant dans l'équation (i5), celle-ci devient 

o = y (a -■- b — xh costa) y" :i h- A :5 [gy Hi ~ 6y" 2 y" '(?'-+- coswj 

+ (n-y2_ h2 y coso))(3 yyv_ 4 y« 2) ] j 

et, puisque to est arbitraire, on peut égaler à zéro séparément !<■ 
coefficient de costo et la partie indépendante de (<), ce qui fournit 
les deux intégrales distinctes cherchées, savoir : 

, .<; i 3«(« -+- b)*/'">= A[6//V"- ftr ** + ( I+ yi) yy* _ 3/y v )]», 

(i 7 ) 3«A«^" = A(3 7 »- - 4r>'" 2 - W") 3 - 

Les parenthèses des seconds membres de ces deux équations, 
égalées à zéro, fournissent les équations différentielles des deux 
>\ Pleines de coniques qui sont respectivement caractérisées par 

les relations 

a + è= o, // = o, 

entre les coefficients de leur équation en coordonnées carié- 
siennes. 

\u point de vue géométrique, la première de ces relations 
exprime que les directions des points à l'infini de la conique fonl 
avec l'une ou l'autre bissectrice des axes de coordonnées des 



— 280 — 
angles 0,, 2 , satisfaisant à la condition 

(i<S) tangÔj tang0 2 = - tang 2 — • 

La seconde exprime que les directions des axes de coordonnées 
sont conjuguées par rapport à la conique. 

Si io — - (coordonnées rectangulaires), la condition (18) carac- 
térise les hyperboles équilatères, et la relation A — o les coniques 
dont les axes sont parallèles aux axes de coordonnées. 

Appelons coniques pseudo-équilatères celles qui satisfont à la 
condition (18) et coniques axiales celles qui admettent les direc- 
tions des axes de coordonnées comme directions conjuguées, et 

posons 

I H, = 6//V"- 9.r" 4 + ( « --r' 2 ) (4/" 2 - 3/> IV ), 
H, = /(3/> w - 4r'" 2 ) - 3/V". 

f p = *yy r -5y*. 

Les équations 

D =o, P = o, 11 ! = o. H 2 = o 

seront respectivement les équations différentielles des droites, des 
paraboles, des coniques pseudo-équilatères et des coniques axiales, 
et les trois intégrales premières que nous avons obtenues pour 
l'équation (i), savoir (5), (16) et (17), pourront s'écrire 

/ _8. _2 

i PD » = 9 ô A :l . 

_U> 1 

(20) ' HiD » == 9(«-+- b) A \ 

/ 'il 1 

[ H 2 D~ 5 = 9/' A ■> . 

Puisque = ab — h 2 , ces formules permettent de transformer 
en une expression différentielle, fonction de D, P, H, et H 2 , toute 

fonction de --,-> — p — - et de former, par conséquent, l'équation 

A :i A :{ A> 
différentielle de tout système de coniques défini par une relation 
entre ces trois quantités, c'est-à-dire par une relation où ne 
figurent que la forme ou l'orientation, ou les deux ensemble, mais 
non la position absolue dans le plan. 



2X1 - 



On lire en effel de (20) 



(21) 



a 

r 



_i 
1) ' 

18 



(ll.H-v/ïl? -4H|-36PD*), 



_ 1 « 
4= ^-(H 1 -v / Hf-4Hl ^6PD*), 



:t 



-11= -11,1)" 



1 11 



A :f 



PD 



Proposons-nous, par exemple, de former l'équation différentielle 
du système des coniques semblables à une conique donnée. On 
sait que l'expression 



ab — h* 



{a -h b — 2 k cos tu ) 2 



a la même valeur pour toutes les coniques semblables. Soit q cetle 
valeur pour la conique donnée. On trouvera immédiatement pour 
l'équation demandée 

('i-i ) qPD'' — </(Hi — 2 H.> cosco; 2 = o. 

Si l'on veut obtenir l'équation différentielle des cercles, il faut 

poser 

a = b, /1 = a costo, 

ce qui donne les deux équations 

H? — 4H2— 36PD* = o, 

'2 Ho = U\ coso>, 

dont la première représente le système des coniques avant leurs 
axes parallèles aux bissectrices des axes de coordonnées. 

Si, dans ces deux équations, on remplace P, D, 11,, H> par 
leurs expressions en y ! , y", y", y"\ il suffira d'éliminer y"' pour 
obtenir l'équation cliercbée ; mais le résultat ne s'obtiendrait que 
par un calcul pénible. Il est beaucoup plus simple de poser 0, = o, 
ce qui équivaut, d'après l'une des formules (1 ï), à 
(a3) 3y7 ff 2_ (l _ h y 2) y// +costo(3 y 2 _.,, , l=0 . 

telle est l'équation des cercles. 

xxxi. m 



— 282 — 

Connaissant trois intégrales premières de (i), chacune avec une 
constante arbitraire, il suffit d'éliminer entre elles y" et y'" pour 
obtenir une intégrale Lroisième à trois eonstantes arbitraires, c'est- 
à-dire une équation différentielle du second ordre, relation entre 
y\ y" et les constantes 

a -h h h <i b — A 2 



i \ ■> 

A :! A :i A :< 



Le calcul donne pour cette équation différentielle 
(a4) o = S *V* + [4A/-4- (a -h *)(!-+- y»)] A V* ! 

( -H8(i-y2)2_ h [( a+ 6)yn-/i(n-j , 2')p) 

On en tire alors deux expressions 

1 2 

A 2 '/' 3 = — ( ay'i -h 2 A/' — /> ) 
— — ( by' 2 -S- 2 Ajk' -4- a), 

dont la seconde seule se trouve vérifiée, quand on y reporte la 
valeur de r', savoir 



r' — — 7 l — 2 /* zt p 
J 2 b 



i 



où v et p' ont les significations données précédemment. 

Gomme d'ailleurs le rayon de courbure R en un point quel- 



, , (i -f- r' 2 -t- 2v'cosw) 2 
conque est égal a : „— .— — —-> on arrive a cette expression 

1 <J I' <IIWil -I 



du rayon de courbure au point où le coefficient angulaire de la 
tangente est y', en fonction des coefficients de l'équation géné- 
rale et de l'angle w des axes de coordonnées 

i 1 

.. ( — A )- /i -4- k' 2 H- •->. r' roso)\ - 

('2)1 R : 



si ii (o \ by 1 ' 2 - ■> hy' -+- a 
Si la conique donnée est un cercle, son rayon sera donc 
. y// ''- -+- ,A'- — if g COS tu — </<? sin- o> 

K — — — ; ) 

a si n (m 
comme il est facile de le vérifier directement. 

IV. Des résultats analogues peuvent être obtenus au moyen des 



283 



équations différentielles intrinsèques (6) cl (i3), qui sonl deux 
intégrales premières distinctes de (a), La signification géomé- 
trique de la constante /. qui figure dans (i3) a d'ailleurs été don- 
née ci dessus, en sorte que ces deux intégrales premières de 
peuvenl s'écrire 

_ ' _ - LSL 
, a6) <)li ! 3Rp a îpf= <>oA »sin 3 wR :t . 

_ 1 _ ï s 

i ■>- ) 18R 2 — 3Rpj-f-5pf — 9(a + 6 — a/*, costo) A 3 sin :i (•)!>'•. 

L'élimination de o 2 esi immédiate et donne l'intégrale se- 
conde 

r. (il) 
Si l'on pose 



i A sin u>) 3 



i{ » 



rt -+- A — •>. /, 



R3 (,. 



A :î sin :i (» 



Tir ' 

celte équation peut s'écrire 

i »9 ) 



\V 



A sin (i) 



= V», 



,» „ a ■+• b — ■>. h costo 

fi 2 H- oc 2 h : t- — i — o. 

sin oj 



On en tire l'expression de p< en fonction de R, et aussi celle 
de R aux sommets de la courbe pour lesquels o, — o, savoir : 



(3o) R 



•S 



sin (o 



•_>.// coso)--(r/---/; |±y/(a — b)' 1 -*- \ /& 2 -r- \(a- b)h cosi 



L'élimination de p, entre (26) et (27) donne de même 

a _|_ /y — ,1, costo 



il 
3R 



sin to 



Par des différentiations successives, on pourrait obtenir de 
> • • • en fonction de c, c'est-à-dire de R 3 ; et, si 



même 



p 3 Pv Ps 
Pi I i pi 



Ton élimine p entre deux de ces relations, on pourra obtenir une 
relation où n'entrera plus R et qui, par conséquent, s'appliquera, 
en augmentant tous les indices des p d'une unité, aux développées 
successives de la conique caractérisée par les valeurs données aux 
constantes arbitraires r/, b y h. 

On peut donner à ces équations une forme pins élégante eu 



9 G V S 

i 

r 

o, 



— 284 — 

remarquant que l'aire S de la conique et celle V de son cercle 
orlhoptique ont respectivement pour expressions 

7i A si n (o 7t A ( a •+• b — 2 h cos tu ) 
(3i) S= — -3 » 1= — p 

Soient alors C, Cm, C 2 les aires des cercles de courbure en un 
point arbitraire de la conique et aux points correspondants de la 
première et de la seconde développée. Les équations (26) et (27) 
pourront s'écrire (') 

1 /Cl 4 d /C^ 

(3.) — i\/c ■ 

1 /c7 > c, c"3r 

(33) 2 __^/_- i .-_.^_ r 

et l'équation (28) 

1 Ci /cy /c\«r 

Ces diverses formules permettent de résoudre des problèmes tels 
<jiie celui-ci : 

On donne les équations (finies) de deux coniques quel- 
conques. Si on les déplace, sans les déformer, de manière à les 
amener à avoir quatre points consécutifs communs, quelles 
seront les valeurs communes de R et de p, au point de contact? 
Et quelle condition doit être remplie pour que le problème soit 
possible? 

En se reportant à l'équation (34), il est clair que, aux points qui 
doivent venir en contact, G et G, doivent avoir la même valeur 
pour les deux coniques; si S et F sont les caractéristiques de Tune, 
S' et T' celles de l'autre, on aura, avec l'équation (34), celle-ci: 

1 Ci /cy /cy /r\ 



d'où, en retranchant membre à membre, 

(35) G 



/ 4 l \ 3 

v rs 3 — rs' 3 



S 2 S' 2 (s' 3 s*")' 



(>) La relation (3a) figure déjà sous le n° (20) dans ma Note précitée. 



— 288 



ou, remplaçant S, S', r, Y' par leurs valeurs (3i) el C par it 11-' , 



(36) \K 



v/aa' 



SIM (•) 



(a // — 2Â / cosa>)A 8 (a 6 2/tco9io)A /; 

2 2 

oA' ; « — o'A» 



Pour que le problème soit, possible, il faut évidemment que 

.(a' ;//—•>.// cosoj ) A 5 — {<( \ h — 2/lCOSto)A' a 
AA — ^— —5 — > o 

oA- 1 - o'A> 

el que, en outre, R calculé par la formule (->()) soit, pour chacune 
des deux coniques, compris entre le maximum et le minimum 
qui lui conviennent. 

Si les cercles ortbopliques des deux coniques sont égaux, la 
formule (35) devient 



(3-i 



?)•- ©■*(»■ 



Pour terminer, je donnerai l'équation différentielle intrinsèque 
des coniques semblables, correspondant à l'équation différentielle 

ordinaire (22). Ici ^ doit avoir une valeur constante; mais 



1 a -•-- h — ih cos w 



0- su) (0 



Comparant avec (20) et (2-), il vient 

(38) (i8R*-3Rp 2 = 5pfP=9~R 2 (9R 2 -3Rp2+4pf), 

ce qu'on peut écrire plus simplement 

(3 9 ) S252— 9 r2<£*$'=o, 

en désignant par $ = 0, ( J?=o, *$? = o les équations différen- 
tielles intrinsèques des hyperboles équilatères, des points (R = o) 
et des paraboles. Si ces coniques semblables sont des cercles, 
pour lesquels p l = û 2 =o, l'équation (38) exige que Y 2 = {S 2 , 
comme cela devait être. 



286 — 

SUR L'EMPLOI SIMULTANÉ DE LOIS DE SURVIE DISTINCTES; 
Par M. Albert Quiquet. 

Dans deux Communications faites à l'Académie des Sciences (' ), 
j'ai établi, il y a déjà plusieurs années, comment une formule, 
indiquée par Gompertz pour interpoler les Tables de survie, puis 
généralisée par Makeham, était susceptible d'une nouvelle géné- 
ralisation. La fonction trouvée par les deux actuaires anglais jouit 
dune propriété fort utile dans les assurances sur la vie, et j'avais 
surtout cherché à étendre cetle propriété. Par l'emploi d'une loi 
de survie de Gompertz et de Makeham, en effet, on peut expri- 
mer, à l'aide d'une seule variable, indépendante de x, la proba- 
bilité que dans x années un groupe quelconque d'individus, obéis- 
sant à cette loi, existera encore tout entier : la variable en ques- 
tion ne dépend que des âges de ces individus. 

En employant les lois généralisées auxquelles conduisent les 
Communications précitées, on arrive à exprimer, à l'aide seulement 
de n variables, indépendantes de x, la probabilité que dans 
x années un groupe de N =/&+/? individus, obéissant tous à 
une de ces lois généralisées, existera encore tout entier : les n 
variables ne dépendent que des n -\- p âges, et p est un nombre 
entier positif absolument quelconque. 

On conçoit l'intérêt pratique d'une propriété semblable, car, de 
cette probabilité, on passe aisément aux annuités viagères sur 
n -f- p têtes et, de là, à diverses opérations usuelles d'assu- 
rances. 

La loi de Gompertz et de Makeham n'est pas toujours suffisante 
comme biomètre, et en la généralisant ainsi j'offrais d'abord une 
plus grande variété de formules pour interpoler les Tables de 
survie; puis les efforts des calculateurs se dirigeaient dans une 
voie où ils retrouvaient, avec extension, une propriété célèbre 
de celte loi. Mais le problème de probabilité que j'avais résolu 
comportait une restriction : les n-\- p individus devaient tous 
obéir à une même loi de survie. 

Or les besoins croissants de l'industrie des assurances m'ont 

(') Voir Comptes rendus, 12 mai 1888 et 20 novembre 1889. 



— 287 — 

amené à considérer cette restriction comme une gêne. Voulant 
m'en affranchir, j ai repris ma démonstration, et j'ai constaté | ' I 
qu'il fallait ni changer bien peu les termes pour \ comprendre le 
cas tout à fait général où les // \- f> individus obéissent simulta- 
nément à des lois de survie distinctes. Le problème que je veux 
résoudre devient doue le suivant : 

Soie/// c/, A, . . . , / les âges de N individus qui suivent des 
lois de survie distinctes ou non, et supposons que le nombre 
des vivants à Vâge z pour un nombre donné de naissances soit 
figuré par ®\ (-s), z>. 2 (z), . . . , ep N («), suivant qu'il s'agit du pre- 
mier, du second. ..., du N"'""' individu. Soie///, d'autre part, 
n fonctions de a, />, ..., /, que j'appelle a, [j, . .., B, indépen- 
dantes entre elles et i //dépend a //les du temps ./■, n étant plus 
petit que N. Quelle doit être la forme respective de 'fi(-), 
9t(z) 9 . . ., © N (s), pour que l'on ait, quel que soit x, 

?!<"-;- g) o,ib~.x) > ^d-\-x) __ , 

I ) : -, ■ • • • ; = <_» ( J- , P , . . . . 'J , .r > . 

o,(«) cp 2 (6) ?N ( /> ' n } 

(i ) étant une identité par rapport à x, nous pouvons égaler les 

dérivées logarithmiques par rapport à x des deux membres de (i) ; 
posant 

as ° a.£ 

nous avons ainsi 

• 2 ) 'l].(a -\-œ) ■+- 6 2 < 6 -i- a?) +. . .+ ^n<V -#) = Fl *• $, • • • > () : ■*")• 

Comme la relation (2) doit aussi avoir lieu quel que soit x, 
nous pouvons encore égaler les dérivées des deux membres prises 
par rapport à x, et cela n fois successivement. Faisant enfin # = 
dans tous les résultats, nous arrivons au svstème 

[ 'li(a) 4- •l.i b) -}-...-+- '\>s(l) = F , 

4*1(11) H-4»i(6) -r-... ■-■«(/.) =F l5 



[ ^«(a)-+-4|p»(ft)-t-...-h4»J/»»(0 = F», 

(') Voir Comptes rendus, 2i juin 190.3. 



— 288 — 

F , F,, . . ., F,j étant ce que deviennent F et ses n premières déri- 
vées prises pnr rapport à x quand ou y fait x = o. 

Mais les seconds membres de (3) sont au nombre de n H- i et 
ne dépendent que de n variables, a, (3, . . ., 9. Il y a donc une rela- 
tion entre les premiers membres. 

Ces premiers membres ne sont autre ebose que n -f- î fonctions 
de n -\~ p variables indépendantes, a, b, . .., I. La condition né- 
cessaire et suffisante pour qu'il y ait entre eux une relation indé- 
pendante de ces variables est, comme il résulte d'un Mémoire de 
Jacobi, que les déterminants fonctionnels de ces n -f- i fonctions 
par rapport à n H- \ quelconques des variables soient égaux à 
zéro . 

L'un de ces déterminants fonctionnels est 



(4) 



fi(«) 



<bUb) 



4>\'* +1 >(a) <\>% l+i) (b) 



Pour que ce déterminant soit identiquement nul, il faut et il 
suffit qu'il y ait une même relation linéaire et homogène entre 
tous les éléments de chacune de ses lignes ou de ses colonnes. Soit 
en particulier, pour la première colonne, 

AoM {a ) + AnKCa)-*-. • .-+- A„ff +1 '(a) = o; 

A , A,, . . . , A a sont indépendants de a et non tous nuls à la fois. 
Comme a est un âge arbitraire, on peut dire que la fonc- 
tion <L, (z) satisfait à l'équation 

Àoft (*) + Ai 4. J (z) -4-. . .4- A»<N*+«(j ) = o. 

Ce résultat a été obtenu avec la première colonne de (4)- Si 
nous avions opéré avec la seconde, nous serions arrivés pareille- 
ment à 

Aot , ,(*)-*-A|+ï(*)-h...H-A»+i»+»(*) ï =o, 

les A , A, .. ., A n étant les mêmes que ci-dessus. 

En répétant toujours les mêmes raisonnements, soit avec une 
autre colonne de (4), soit avec une quelconque des colonnes des 
autres déterminants fonctionnels tels oue (4) qui ont à intervenir, 



— 289 - 

nous voyons que toutes les conditions nécessaires el suffisantes de 
Jacobi se résument ici d'une manière bien simple : 

Si bgi z i est une quelconque des Jonc/ions •!>, ( z », ^(s », . . ., 
4^n ( 8 ) ) cette fonction satisfait à 

n/> /r\ \ , A,, ..., \„ sont indépendants de z et de g, c'est- 
à-dire constants. 

I 5 ) est une équation différentielle linéaire à coefficients con- 
stants sans second membre, el la suite du problème n'offre plus 
de difficultés. Aussi j'arrive de suite à l'expression générale des 
fonctions <p ff (z). 

Soit i'i une quelconque des racines de l'équation caractéris- 
tique 

(6) \„ -h A, r-h.. .-\-k n r n — o, 
et A/ son degré de multiplicité. On a 

( 7 ) <p ff (*) = e A+B S H-2^'/.-(s), 

oùfi(z) est un polynôme de degré A/ — i quand r,- n'est pas nulle 
et de degré X/-f- i quand 77 est nulle. Quant au signe 2, il s'étend 
à toutes les racines distinctes de l'équation caractéristique. 

Si l'équation caractéristique (6) est commune à toutes les fonc- 
tions (n) et par suite les racines 77, par contre les constantes 
d'intégration A et B et les coefficients des polynômes J)( z ), tout 
en étant des constantes par rapport à z, ne sont pas astreints à 
être identiques dans les diverses fonctions o g (z). En d'autres 
termes, ces constantes peuvent passer pour des fonctions de g : 
de là les distinctions possibles entre les fonctions cp,(^), 
cp 2 (V), .. ., fg(z). 

Gomme applications, les cas où l'on fait intervenir des lois de 
survie distinctes commencent à être nombreux. 

Lorsqu'il s'agit d'une rente de survie, les compagnies françaises 
usent de la Table de mortalité AF pour les assurés et de la 
Table RF pour les bénéficiaires. 

Pour les rentes viagères sur deux on plusieurs tètes, on essaie 
de tenir compte du sexe. 



— 290 

( )n étudie aussi la survie suivant l'âge à l'entrée. 

L'assurance contre les accidents réclame des Tables de mortalité 
de valides et d'invalides, elc. 

Pour ces divers objets on pressent les ressources de la variété 
presque indéfinie des fonctions (7), et, dans les calculs sur 
plusieurs têtes, les avantages de la propriété qui leur est com- 
mune. 



SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU TROISIÈME ORDRE 
QUI ADMETTENT UN GROUPE CONTINU DE TRANSFORMATIONS; 

Par M. À. Boulanger. 

1. Je me propose de déterminer toutes les équations différen- 
tielles du troisième ordre 

où R est rationnel en y", y', analytique en y et #, qui admettent 
un groupe continu de transformations de la forme 

(r) \ = •'•• Y = F(.r,y, a, 6, c), 

où F, rationnel en y, analytique en r, dépend essentiellement 
des trois paramètres a, />, c. 

D'après un théorème très général de M. Painlevé ('), les équa- 
tions qui admettent un tel groupe (Y) transitif ont leurs points 
critiques fixes. A la vérité, de par la théorie des groupes, ces 
équations se ramènent à des combinaisons d'équations linéaires 
et de quadratures; mais on pourrait espérer que les inversions 
entraînées par cette réduction conduisent à des transcendantes 
uniformes nouvelles. Dans le cas du groupe (F), il n'en est rien, 
et nous allons établir ce résultat : 

Les seules équations qui répondent à la question sont des 
équations linéaires ou se déduisent des équations linéaires par 



( ' ) P. Painlevé, Sur une relation entre la théorie des groupes continus et 
les équations différentielles à points critiques fixes ( Comptes rendus. 
t. CXXX, p. 1171, 3o avril 1900): voir ;ms>i Acta Mathematica. t. XXV. 



— 201 — 

////<• transformation ho nxo graphique effectuée sur la fonction^ , 
suivie ou mm du changement defonctiony <■ . 

*2. Les i ransformalions infinitésimales de loui groupe (T) sonl 
de la forme 

X \% ,jj£, \ o, q_. Pr + Tr». 

a, ( j, vêtant des fonctions analytiques de #. De plus, toute telle 
transformation peut, si Ton opère sia-j une homographie conve- 
nable à coefficients fonctions de #, être ramenée à l'une des deux 
formes réduites 

( 3 ) \ ■ : O, Tj = or, 

(4) ? T] = e, 

S et s dépendant de x. 

D'autre part, d'après S. Lie('), tout groupe de transformations 
infinitésimales à trois paramètres peut, par un choix convenable 
de trois transformations indépendantes X { /", X 2 /, X^/* prises 
dans la famille des transformations du groupe, être ramené à véri- 
fier l'un des systèmes suivants : 

(A) (XtXOssXi/, (XtXO^aX,/, (X S X 3 )^X 3 /, 

(B) (XiX s ) = o, (X f X,) ;X,/, (X 2 X 3 ) = cX 2 / (c^o, , i. 

(G) (X t x 2 ) SO| (x,x 3 )r,x 1 /; (X 2 x 3 ) = x 2 /, 

(D) (XiX,) = o, (XiXOaX,/. (X 2 X 3 )^X 1 /+X 2 /, 

(E) (X t X 2 ) = o, (X 1 X,)sX 1 / î (X 2 X 3 ) = o, 

(F) (X t X 2 ) = o, (XiX 3 ) = o, (X 2 X 3 ) = X 1 / 1 
<G) (X,\ 2 ):— o, (XjX 3 ) = o, (X 2 X 3 ) = o. 

Exprimons que trois transformations (2), distinguées par des 
indices, vérifient l'un de ces systèmes. 

Les cas (B), (D), (E), (F) conduisent de suite à des impossi- 
bilités. 

Dans le cas (G), — et — ne dépendent que de x\ les trois 



(') Voir, par exemple, S. Lie, Th. der Transformationgruppen, t. III, p. 71 ■">. 
716 ou Lie et SCHKFFERS, Vorlesungen liber Di (fcientialgleichungcn, p. Jgo. 



292 — 



transformations se réduisent simultanément à la forme (3) ou à la 
forme (4)5 de 'à ' es deux types : 



< i\ i 



( r 3 > 



v /• - "J 


~ J dy 
















\ r- , ù - f 


X f- ■- ^ 




• 



Dans le cas (G), — ne dépend que de x. On peut donc prendre 

f i i 



Xi/= 5 i >' 






\ 2 / = o. 2 yf-< 

dy 



on l)ien 



X 1 /=« 1 



àf 
à} 



X 2 / 



~ dy 



Les deuxième et troisième identités (G) conduisent alors à trois 
conditions entre les coefficients a 3 , 8 3 , v 3 de X 3< /*, et qui sont 
contradictoires avec la première forme de Xijf X 2< /*, tandis 

qu'elles donnent avec la seconde X. 3 /= (a 3 --y) -f-', en chan- 
geant y en a 3 — y, on a le type canonique 



i r,) 



Xi/=e 









X 3 / 






Enfin, dans le cas ( \), on a neuf relations entre les coeffi- 
cients a, [$, y de X,/, X 2 /, X 3 / : 



a, 5, 



„, o „ 



2(«sTi 



'•> ) 







P2 , 1 pJ ,2 — , 1 



On reconnaît de suite qu'on ne peut supposer réductible à la 
forme oy ni rj,, ni r l3 , pas plus que r 12 à la forme e. Si r, 2 est 
réductible à la forme ù 2 y, on trouve d'abord o 2 = zbi; pour 
8o = — i, on est conduit à 






x*/ 



4/" 






pour o 2 = + i, on obtient un système qui se ramène à celui-ci en 



— 2 ( j:$ — 
changeant^ en -• Si rj 8 est réductible à La forme : :! , on trouve 



v/'--- 



£, dy 



w y •"!;!' v/ ' ■■";!/ 



et, en changea ni r en^ — oc 2 , on csi ramené au i > £ > * ' précédent. 
Résultai analogue avecv) 1 = e. On a donc, La quatrième el dernière 
forme réduite 



(r,) 



w^,- 



" ^ <>y 



W 



dy 



Les transformations infinitésimales prolongées jusqu'au troi- 
sième ordre sont 



1" Pour \ = o, "/\ = e< ./ ) 






dy dj' 

2° Pour :e:o, r, =jk 



°f „< °f , ^ "f 



àf_ 



àf 



\« Pour \ 



^^^^''^^dp-^V 



o, r, = ùy 






<V 



+ ( 3> + 2 o>' + sy » -^ + ( 3> ■+■ 3 rj'y + 3 sy ■ - sy , . 

3. Considérons maintenant l'équation (i) 

y =R(*,.y, /,/'), 

et supposons qu'elle admette un groupe (T). La transformation 
homographique qui ramène les transformations infinitésimales de 
ce groupe à l'un des types canoniques Y^i = i, 2, 3, }) char 
eelte équation en une autre de même forme 

y m =fr(af,y t y,y) i 
où <»\ est rationnel en r", y', analytique en r, >'. Non- allons 



exprimer que celle équalion (5) admet les trois transformations 

infinitésimales If 

Mais, en verlu du théorème de M. Paihlevé, celle équalion (5) 
doit avoir ses points critiques fixes, ce qui précise déjà la forme 
de <R, en tant que fonction de y et de y'. D'après les résultas 
démontrés par INI. Painlevé (»), l'équation (4) est de la forme 

(6 ) y 1 " \.v"< hB/'-l-C; 

de plus, A, regardé comme fonction de y\ ira que des pôles 
simples, au nombre de trois au plus : 



m n 



y -+- a ' y -+■ i> y h- <■ 

m, //, p étant certains nombres commensurables, qui peuvent être 
nuls, et a, b, c étant des fondions analytiques de x ely. 

Enfin, B et C n'ont que des pôles simples en y\ coïncidant 

B G 
nécessairement avec ceux de A, et — > — restent finis pour y'= oo; 

d'où l'on déduit 

B = a ) : ix 



y "+■ " y ■+■ ° y ~~ 

C = v j <> -+- pjK - — iy H- t -r- — r 



jk'-+- « JK'-+- ^ . l 



r 



m,, //,, . . ., p 2 sont des fonctions de x et de y telles que si p = o 

par exemple, on a aussi 

Pi — Pî— o; 

A, ul, v, . . ., t sont des fonctions dey et de x. 

4f. Examinons d'abord le cas où A o. L'équalion est de la 

forme 

y = i \y + [x . .>-" + v/ 3 + p y a + T y + T . 

Pour qu'elle admette la transformation prolongée 

C J ~ " &y z Oy' ">' * dy'"' 



(') P. Painlevé, Sur les équations du troisième ordre à points critiques 
fixes {Comptes rendus, t. CXXX, p. 879; 2 avril 1900) : voir aussi Mémoire sur 
les équations différentielles dont l'intégrale générale est uniforme (Soc. 
Math., t. XXVIII, 1900). 



298 - 
il faul ci il suffit que l'on ait identiquement 



t'Ck v 



:' i B 'i '\V" 3 v_i "•' api 7 



„ "/ „ dp 

! i i ' r 

wr dy 



,.. <>'' l4t dp ,Oa < ~ 

y -I i y 

(>)■ <>y ■ Oy iiy 



• >. 



I )( là les conditions 



te) 






o, 



dp 



I 



2e' p s ff A = o, 



3e'v = o, 

dt 

s h 



B~- i / ... 

dy 



o. 



i" Ces seules relations montrent que, s'il y a deux fonctions 
distinctes £ ( et s 2 les vérifiant (types r. 2 et r 3 ), on doit avoir 



h = v = p 

> 

dy ~ dy 



et 



c'est-à-dire 



dx 

dy 



in -H 



;ju X ) -+• s' cr( -r ) | — /( .r ). 



t — r /'( .r ) -h g-( x |. 
L'équation se réduit à 

/" = f*(#)/' •ff(07)y-+-/(a?) < yH-^(a?); 

c'est une équation linéaire non homogène. Les valeurs de e véri- 
fient l'équation sans dernier terme 

e'"= ;,.(>ms"-^7(./-> e'-+-/( ./•)£. 

2° Dans le cas du type (T|), les coefficients de l'équation 
doivent vérifier les relations (e) et aussi celles qui expriment que 
l'équation admet la transformation prolongée 

•' ■ dy ■ ùy' ' dy" J or'" 
c'est-à-dire qui expriment que l'on a identiquement 

'/'/. „ il'). , <)\- , dû , (>7 HZ 



y [ yr — • y — ■+■ y" — y - - '- -+- y - h ) 

J \ ày • dy • dy ' dy J dy dy j 

y' a y" 3 vr - ■>}) - <*) — vy' 3 — ?. v 



7 y — - 



- 296 - 

On déduit de là 

du. dv 

A = o, -i- = o, y h 2V = o, 

ày J ày 
(e ) ' 

dp os dx 

y ' h p = O, — = o, v x = O. 

■^ dy ' ^ '{/ 

Les équations (e) et (V) entraînent 

X = v = p — o 

et 

-=)'/(•'')■ 

L'équation (5) correspondante est donc linéaire et homogène. 
Recherchons enfin les conditions pour que l'équation admette 
les transformations (r 4 ). Elles résultent de l'identité 

- | l'"y + 3 l'y + 3 l'y" + 3 < \y" y' + ^j'" 4- v/« -4- p y'* H- <r/ +- x)] 
-i- ( 8"/ -h a l'y' -h 8/') (Xy+ fx) 

i l'y ly' ) ( \y" -+- 3 v r' 2 -h 2 pj' -h <j) 

^ / o\ „ , du „ <h tn dû ,„ d<r , dx 

J \<>y <>y i] r °y "y °. y 

On obtient d'abord 

À+y- — = o, (Àr — o ) o -h . - o = o. 

Cette seconde relation, devant être vérifiée par trois valeurs 
distinctes de o, entraîne 

X — A ^ — o 

v _ y ' 4r " 

On a ensuite 

d'où 

■>. e)| p v ) 

v = -, — '-— = o. 

7 2 '>■<■ 

En tenant compte de ces résultais, les conditions suivantes 

s'écrivent 

. ^, da > 
■Hl^^pyjo -y^° =°> 

_ ô"'„ „ g" + a 5'_:_ ( _ 1 1)1= O, 



297 - 



d'où 



c'est-à-dire 



y () y " 

/ * \ s, 



- =/(*) Log.r-h^(a?). 



L'équation (5) s'écrit alors 

'] y y' y" — oy'* yy" — y'* 

yn = . . , ,- (U (, r) ^^ ■' + Z(T) f -\- f( T ) y \,0<ry + y ~ { .r >, 

OU 

(îr) = [L{x) \v) +a(,7; ^ ■*-/(*) Lo w -*-*(*)• 

En posant^ = e 7 , on est ramené à une équation linéaire en s. 

5. Considérons maintenant le cas où A = o. En aucun cas, 
l'équation 

m - / 



jk' -h ^ y' -+- b y' -*- c 

\/+a y'-hô y'+c J ' / 
z?z. 2 ;i 2 /> 2 



y -ha y' -t- & y + c 



-H v ^ ■* -j- py * -f- <tjk -h 



ne saurait admettre les transformations (Y/) (i = 2, 3, f\). En 
effet, en prenant, dans l'identité qui exprime l'existence de la 
transformation prolongée 

ày J Oy' J Oy" J dy m ' 
les termes en y' f ' 2 et en annulant, on obtient 

V71 m / ôa \ 

y -, — ? \ (t — y — 1 = 0; 

en opérant de même pour la transformation prolongée 

r1 , i .,<£ , .àf , . àf 
xxxi, 20 



— 298 
on trouve 



m / , da 

= o; 



^- (y' -v- à) % \ ùy 

) f 
enfin, en prenant la transformation X/= oy -•— , on arrive à 

Si m, h i p ne sont pas tous nuls, on aurait des identités de la 

forme 

ùa 
ùy 
ou 

qui ne peuvent être vérifiées par plusieurs fonctions distinctes z 
ou o; d'où l'impossibilité des groupes i\>, F 3 , 1\, . 

Pour le type T,, si plus d'une des quantités m, /?, /? est diffé- 
rente de zéro, il y a aussi impossibilité; soit, par exemple, mn^o, 

on a 

da db 

ày ' ~ ùy 
et 

a — y — - 9 o = y -r- ; 

par suite a = b; ces deux pôles ne seraient pas distincts. 

Il ne reste à examiner que le cas où m seul serait différent de 
zéro et où le groupe serait du type F,. Eu égard aux conditions 

lUt , ùa 

a — v — = O, E-He-r-=0, 

oy ùy 

la considération des termes en j/ ; , dans les mêmes identités, con- 
duit, pour la première transformation, à 

ùm x 

—7— = '«1, 

ùy 

et, pour la seconde, à 

ùm x 



■> i ni 



ùy 



On conclut de là -r-^ = o, puis m = o, d'où contradiction 



— 20!) — 

(>. En résumé, si \~ y <>, l'équation (5) ne peul admettre un 
groupe (I), et si \ <>, elle ne le peul que si elle esl linéaire <>u 
réductible à une équation Linéaire par le changement <le fonc- 
tion y - c z . 

Le théorème énoncé est, donc complètement établi. 

\insi, le groupe 1res simple (V) n'a pas conduit à des équations 
à points critiques fixes nouvelles. On pourrait alors se propose i 
(l'étendre la question aux groupes 

X = *, Y = F(#,jO, 
où F est algébrique en y et dépend de trois paramètres distincts. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES. 



SÉANCE DU 4 NOVEMBRE 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. BOREL. 

Communications : 

M. Rafly : Sur une propriété des lignes de courbure des 
surfaces. 

M. Rorel : Sur les ensembles de droites. 



SÉANCE DU 18 NOVEMBRE 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. PAINLEVÉ. 



Elections 



MM. Louis Roche, présenté par MM. Blutel et Grévy ; 

Niels INielsen, » Picard et Painlevé; 

Zervos (Panaïotis), » Rafly et Estanave; 

G. Remoundos, » Painlevé et Rafly; 

F. Godey, » Rafly et Bi icard ; 

J.-O. Millier, » Hadamard et Borel ; 

Fueter, » Hadamard et Borel; 

Lebeuf, » Biihl et Bricard, 

sont élus membres de la Société à l'unanimité des membres 
présents. 



— 300 — 

Communications : 

M. Raffy : Sur certaines classes de surfaces isothermiques. 
M. Suchar : Sur les équations différentielles du second, 
degré, réciproques. 

M. Hadamard : Sur les solutions à surface singulière des 

équations au.r dérivées partielles linéaires (solutions qui va- 

rient comme une puissance à exposant non entier; cas où la sur- 
face singulière est un conoïde caractéristique; applications aux 



solutions analogues à - )• 



M. Borel : Sur la détermination des intégrales des équations 
aux dérivées partielles au moyen de leurs singularités, 

M. Hadamard fait la Communication suivante : 

Sur les surfaces à courbure positive. 

Un théorème bien connu d'Ossian Bonnet montre la connais- 
sance de la courbure d'une surface comme capable de fournir, sur 
la forme d'une surface, des renseignements beaucoup plus précis 
qu'elle ne pourrait le faire sur la forme d'une courbe. Si, en effet, 
la courbure d'une surface est partout positive et supérieure à un 
nombre fixe, la surface est fermée et la plus grande distance géo- 
désique de deux de ses points est inférieure à un nombre que l'on 
peut assigner. Rien de pareil ne peut être affirmé pour une courbe 
dont la courbure est toujours de même sens et limitée inférieure- 
ment. Celle-ci peut fort bien présenter un nombre quelconque de 
boucles (et, par conséquent, de points doubles) et ne se fermer 
jamais ou se fermer seulement au bout d'un trajet aussi long qu'on 
voudra. 

Cette remarque montre que le théorème suivant : 

Une surface S à courbure partout positive [laquelle est sup- 
posée dépourvue de singularités et de nappes infinies et, par 
conséquent, fermée) est un corps convexe, c'est-ci-dire située 
entièrement d'un même côté d'un quelconque de ses plans 
tangents 

n'est nullement évident a priori, l'énoncé correspondant relatif 
aux courbes étant faux. 



— 301 — 

Pour les surfaces, au contraire, la conclusion esl exacte. Elle 
s'établit aisément en partant de ce théorème : 

Une surface fermée S à courbure positive correspond d'une 
manière univoque à sa représentation sphérique. 

Considérons, en effet, un point O de la surface S et supposons 
que le plan tangent en ce point (plan (pic nous supposerons hori- 
zontal) traverse S. 

Le point le pins haut et le point le pins bas de S seronl alors 
distincts de O -, leurs normales intérieures seront verticales et de 
sens différents. L'une d'elles devrait donc être de même sens que 
la normale intérieure en O, de sorte qu'il devrait exister deux 
points ayant même représentation sphérique. 

Il est à remarquer que le raisonnement précédent ne suppose 
nullement la non existence de lignes doubles où deux nappes de 
surface se traverseraient l'une l'autre pourvu que chacune de ces 
nappes reste régulière. L'impossibilité de telles lignes est, au 
contraire, démontrée par cette voie : elle est manifestement con- 
tradictoire avec la convexité de la surface. 

La correspondance univoque qui existe entre la surface S et sa 
représentation sphérique est démontrée dans un Mémoire : Sur 
certaines propriétés des trajectoires en Dynamique ( 1 ). On 
peut également la déduire du théorème de M. W. Djck sur la 
curvatura intégra d'une surface fermée. Cette courbure totale 
est, en effet, d'après le théorème en question, au plus égale à 4~- 
Or il est clair qu'on obtiendrait, au contraire, un total supérieur 
à 4~ si, la courbure étant positive, certaines parties de la sphère 
figuraient deux fois dans la représentation sphérique. 

La limitation de la curvatura intégra apparaîtrait ainsi comme 
étant en relation avec la convexité, la conclusion contraire relative 
aux courbes étant liée à ce fait que la rotation totale de la tangente 
peut être d'un nombre quelconque de circonférences. 

(') Journal de Mal/iérn., 3 e série, t. III, 1H57, p. 352-353, n° 23. 



— 302 — 
SÉANCE DU % DÉCEMBRE 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. PAINLEVÉ. 

Communications : 

i\L Bioclie : Sur unproblème d'analyse combinatoire. 
M. Horcl : Sur les séries convergentes de fonctions con- 
lin ues. 

M. Andoyer : Sur les coordonnées polaires dans l'espace. 



SÉANCE DU 1G DÉCEMBRE 1903. 

PRÉSIDENCE DE M. BLUTEL. 



Elections 



MM. Walter Ford, présenté par MM. Laisanl et Hadamard ; 

Marotte, » Painlevé et Bricard, 

sont élus membres de Ja Société à l'unanimité des membres 
présents. 

Correspondance : 

M. de Sparre adresse des Remarques sur la question de Méca- 
nique posée au Concours d' agrégation en igo3. 

Communications : 

M. Raffy : Sur deux classes de surfaces isothermiques dépen- 
dant de deux fonctions arbitraires. 

M. Lecornu : Sur le mouvement cVun point pesant guidé par 
une courbe rigide. 

M. Es tan ave : Sur un liyperbolo graphe à liquide. 



FIN DU TOME XXXI. 



TABLE DES MATIERES 

DU TOME XXXI. 



| Les lettres et numéros qui précèdent les titres indiquent les classifications du 
Répertoire bibliographique des Sciences mathématiques.) 

i 
Étal de la Société mathématique au commencement de igo3 v 

Liste des Présidents de la Société depuis sa fondation xiv 

Liste des Sociétés scientifiques et des recueils périodiques avec lesquels la 
Société échange son Bulletin \v 

MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 

| I 1 a \ J3 | André (D.). — Mémoire sur les couples actifs de per- 
mutations i o5 

J S 2 a | Appell (P.)- — Sur les fonctions et vecteurs de point 
contenant uniquement les dérivées premières des com- 
posantes de la vitesse 68 

|l>2ca'| Autonne (L.). — Sur l'hypohermitien \\<> 

| lîlla] Autonne (L.) — Sur quelques propriétés des matrices 

hypohermitiennes «-aires '» s 

j 11 ] Borel i'E.) — Sur l'approximation des nombres réels par 

les nombres quadratiques i5} 

| I 5J Borel (E.). — Quelques remarques sur les ensembles de 

droites ou de plans. . •-/> 

|J4f | Boulanger (A.)- — Sur les équations différentielles du 
troisième ordre, qui admettent un groupe continu de 
transformations îçjo 

| 05 j a] Bûhl (A). — Sur les surfaces dont un système de lignes 
asymptotiques se projette suivant une famille de courbes 
donnée '17 

| L) 6 c s | Estanave (E.)- — Sur les coefficients des développe- 

ments en série de tangue, sécr et d'autres fonctions... »o3 

| I > 1 [ Goursat (E.). — Sur la théorie des fonctions impli- 
cites 1^1 

| Il 9s | Hadamard ( J.). — Sur un problème mixte aux dérivées 
partielles 

|<>5p| Hadamard (J.)- — Sur les surfaces à courbure po- 
sitive 3oo 

I \5b] Laisant (C.-A.). — Note sur un problème d'interpo- 
lation ' ■'• 

I l« l'p | Laisant (C.-A.)- — Sur une propriété des mouvements 



— 304 — 

Pages. 

dus à une force centrale i56 

| o 2 a] Lebesgue ( H.)- — Sur le problèmes des aires j< ( 7 

|(>5ja| Lecornu (L.)- — Sur les lignes asymptotiques de cer- 
taines surfaces 19a 

| i; 2 a] Lecornu (L.)- — Propriétés géométriques des milieux 

continus 258 

| D3p] Maillet (E.). — Sur les fonctions monodromes à point 

singulier isolé <7 

[06k] De Montcheuil (M.)- — La développée moyenne et les 

surfaces appl icables 1 

[() 7 b] De Montcheuil (M.) — Séparation analytique d'un sys- 
tème de lavons incidents et réfléchis 2.33 

[0 2g) Perrin (R.). — Sur quelques conséquences géométriques 

de l'équation différentielle des coniques 54 

| <>2g] Perrin (R.)- — Sur les intégrales de l'équation différen- 

tielle des coniques, et leur interprétation géométrique. >-') 

|J2g] Quiquet (A.)- — Sur l'emploi simultané de lois de 

survie distinctes 2&G 

[0 5 k a] Raffy (L.)- — Détermination explicite des surfaces qui 

présentent un réseau doublement cylindre 77 

[II 7 a] Saltykow (N.). — Sur l'existence des intégrales d'un 
système complet d'équations aux dérivées partielles du 
premier ordre d'une seule fonction inconnue 224 

[J4aa] De Séguier (J.-A.). — Sur une pi*oposition de Mathieu. 65 

COMPTES RENDUS DES SÉANCES. 

Comptes rendus des séances ~\, ??<) et 29g 

Table des matières du Tome WXI 3o3 



FIN DE LA TABLE DES MATIERES DU TOME XXXI. 



33112 Paris. —Imprimerie GAITHILU V1LLAKS, quai des Grands -Augustins, 5;. 












J{ U L L E T I N 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 

DE FRANCK. 



3M58 Paris. — I nprinierie GAUTIIIEU-VILL.VRS, quai des firands Augu>tins, &s. 



BULLETIN 



i> i; i. a 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE 



DE FRANCE, 



P U 11 L I P. 



PAR LES SECRETAIRES. 



TOME TRENTE-DEUXIÈME. - ANNÉE 1904. 



PARIS, 



AU SIEGE DE LA SOCIETE, 

A LA SORBONNE. 

1904 






ÉTAT 

DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE 

AU COMMENCEMENT DE L'ANNÉE 1904 ('). 



Membres honoraires du Bureau, 



i MM. APPELL. 

DARBOUX. 

OUYOU. 

11. MON DE LA GOUPILL1ÈRE 

HUMBERT. 

JORDAN. 

MANNHEIM. 

MITTAG-LEFFLER. 

PICARD. 

P01NCARÉ. 

VOLTERRA. 

ZEUTHEN. 



Président MM, 

\ 

\ ice-Présidents 

Secrétaires \ 

Vice-Secrétaires 

Archiviste 

Trésorier 



Membres du Conseil ( *) \ 



CARVALLO. 

BIOCHE. 
BLUTEL. 
BOREL. 
HADAMARD. 

BRICARD. 
GRÉVY. 

LEAU. 

SERVANT. 

RAFFY. 
CLAUDE-LAFONTA1NE. 

ANDOYER, 1007. 
ANDRÉ. 1907. 
FOURET, l ( .)07. 
COURSAT. 1905. 
KOENIGS, 1906. 
LAISANT, 1905. 
LECORNU, 1906. 
I.EVY (L.), 1905. 
DOCAGNE, 1905. 
PAINLEVÉ, 1907. 
PERRIN (R.), 1906. 
TOUCHE, 1906. 



(_*) MM. les Membres de la Société sont instamment priés d'adresser au Secrétariat 
les rectifications qu'il y aurait lien de faire à cette liste. 

( 2 ) La date qui suit le nom d'un membre du Conseil indique l'année au com- 
mencement de laquelle expire le mandat de ce membre. 



— VI — 
Dnte 
de 
l'admission. 

1872. ACIIARI), ancien directeur do la Compagnie d'assurances sur la vie la Foncière, 
rue de la Terrasse, G bis, à Paris (17 e ). 

1000. 4CKERHANN-TEUBNER, éditeur, à Leipzig. 

1893. ADAM (Paul), ingénieur des ponts et chaussées, docteur es sciences mathématiques, 

boulevard des Invalides, 4o, à Paris (7 e ). 

1900. ADIIEiMAR ( vicomte Robert d'), professeur suppléant à la Faculté libre des Sciences, 

I2i, boulevard de la Liberté, à Lille (Nord). 

189G. AXDOYElt, professeur à la Faculté des Sciences, rue du Val-de-Grâce, 1, à Paris (5"). 

1894. ANDRADE, professeur à la Faculté des Sciences, 1, rue de la Mouillière, à Besançon. 

1S72. ANDRE (Désiré), docteur es sciences mathématiques, rue Bonaparie, 70 bis, à 
' Paris (6 e ). 

1901. ANfilBOUST, rue d'Assas, 104, à Paris (6 9 ). 

y 1379. APPELL, membre de l'Institut, doyen de la Faculté des Sciences et professeur à l'École 
Centrale des Arts et Manufactures, rue Bonaparte, 17, à Paris (G'). 

1881. ASTOR, professeur à la Faculté des Sciences, place Vaucanson, 4, à Grenoble (Isère). 
1900. AIRIC, ingénieur des ponts et chaussées, à Valence (Drômc). 

1882. AUTONNE, ingénieur des ponts et chaussées, rue Mont-Bernard, 9, à Lyon (Rhône). 

S 1900. RAIRE, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des ^Sciences de Mont- 
pellier (Hérault). 

1896. BAKER, professeur à l'Université, Toronto (Canada). 

1891. RALITRAXD, ingénieur à Métlaoui (Tunisie). 

1889. BEGUIN, ancien élève de l'École Polytechnique, rue du Champ-de-Mars, 22, ii 

Paris (7 e ). 

1875. BERDELLE, ancien garde général des forêts, à Rioz (Haute-Saône). 

1872. BIENAYME (Arthur), inspecteur général du génie maritime en réserve, rue Revel, i4, 

à Toulon ( Var). 

1888. BIOCIIE, professeur au lycée Louis-le-Grand, rue Notre-Danie-des-Champs, 56, à 
Paris (6 e ). 

1875. BISCIIOFFSUEIM, membre de l'Institut, rue Taitbout, 3, à Paris (9 e ). 

1898. BLAKE (Edwin-M.), 1910, Addison street, à Berkeley, Californie (U. S. A.). 

1900. BLUMENTHAL (Otto), docteur en philosophie, Herzberger chaussée, 49, à Gôttingen. 

^1891. BLUTEL, professeur au lycée Saint-Louis, maitre de conférences à la Sorbonne, rue 
Denfert-Rochereau, 110, à Paris (i.{ e ). 

1902. B0BERIL (vicomte Roger du), rue d'Orléans, 3o, à Rennes ( Ille-et-Vilaine). 

1892. BOMAPARTE (prince Roland), avenue d'Iéna, 10, à Paris (16 e ). 

-1895. K0REL, maître de conférences à l'École Normale supérieure, 2, boulevard Arago, 
à Paris (1 3 e ). 
^1890. BOULANGER, maitre de conférences à l'Université, rue Caumartin, So, à Lille (Nord). 
189G. B0URGET (Henry), maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue Saint-Jacques, 
20, à Toulouse (Haute-Garonne). 

1896. B01RLET, professeur à l'École des Beaux-Arts et au lycée Saint-Louis, avenue.de 

l'Observatoire, 22, à Paris (i4*)« 

1903. B0UTIN, rue La Vieuville, 26, à Paris. 

1900. BREITLIXG, proviseur du lycée Saint-Louis, boulevard Saint-Michel, 44 (6 e ). 

1897. BRICARD, ingénieur des manufactures de l'État, répétiteur à l'École Polytechnique, 

boulevard Raspail, 295, à Paris (i4 l )• 

1873. BROCARD, chef de bataillon du génie en retraite, Ville-Haute, 70, à Bar-le-Duc. 

1901. BlIUL (Adolphe), maître de conférences à la Faculté des Sciences, 4, rue de Ville- 
' franche, a Montpellier (Hérault). 



— VII — 

Data 

de 
l'admission. 

1893. RURKMAROT, professeur à l' Université, Krenzplatz, i, a Zurich (Suisse). 

1897. CABREIRA, membre de l'Académie royale des Sciences, rua « I : • Alegria, 3a, I Liebonne 

1894. CAIIEX, professeur an collège Rollin, '!>, rue de la Pompe, s Paris (i6 - ). 

1893. CALDAR1RA, professeur k l'Université, palaxzo Giampaolo, via délia Liberté, k Palerme. 

1888* CANET (Gustave), ingénieur civil, directeur de l'artillerie de MM. Schneider et G'*, 
aveulit' Henri-Martin, 87, à Paris (16°). 

1835. CAROX, professeur de géométrie descriptive, rue Claude-Bernard, 71, à Paris ( ', ), 

1S!)2. CARONNET, docteur es sciences mathématiques, rue Demours, 6a bis, a Paris (17*). 

1896. CARTAN, maître de conférences à la Faculté des Sciences, rue Suchet. 38, à Lyon. 

1887. CAR VALLO, examinateur desortie à l'Ecole Polytechnique, rueGlovis, 1, k Parie (5*). 

1890. CEDERCREliTZ (baronne Nanny, née de Lagerborg), Unionsgatan, 4> à Helsingfors. 

1892. CELLÊRIEfi (Gustave), quai des Eaux-Vives, 3/|, à Genève (Suisse). 

1887. CERRUil, professeur à l'Université, Piazza S. Piétro in Vincoli, 5, à Home (Italie). 

1888. CIIAILAN (Edouard), rue Berthollet, 16, à Paris (5 e ). 

1893. CHARLIAT, ingénieur des arts et manufactures, rue de Paradis, ^6, à Paris (10 e ). 
1896. CIIARVE, professeur à la Faculté des Sciences, cours Pierre-Pugel, 60, à Marseille. 

1881. CHEMIN, ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Montaigne, 33, à Paris (8"). 

1884. CHRYSTAÏj, professeur à l'Université, à Edimbourg (Ecosse). 

^1901. CLAIRIX, docteur es sciences, maître de conférences à la Faculté des Sciences de 
l'Université, 07 bis, rue Jacquemars-Gielée, à Lille (Nord). 

1875. CLAUDE-LAFONTAINE, banquier, rue de Trévise, 32, à Paris (9 e ). 

1890. C0L0T, château du Seuil, à Cérons (Gironde). 

^1898. C0MRER1AC, capitaine du génie, docteur es sciences, à Limoges. 

1900. COMTE (Firmin), ingénieur des ponts et chaussées, à Commercy (Meuse). 

. 1896. C0SSERAT (E.), professeur à la Faculté des Sciences, rue de Metz, 1, à Toulouse. 

1896. C0SSERAT (F.), ingén. en chef des ponts et chaussées, rue d'Alsace, 23, à Paris (io*). 

^ 1900. C0TT0X (Emile), maître de conférences à l'Université de Grenoble. 

187 '2. DARR01X, secrétaire perpétuel de l'Académie des Sciences, doyen honoraire de la 
^ Faculté des Sciences, rue Gay-Lussac, 36, à Paris (5 e ). 

1885. DAUTIIEVILLE, professeur à la Faculté desSciences, à Montpellier (Hérault). 

1882. DELANXOY, sous-intendant militaire en retraite, àGuéret (Creuse). 

1901. DELASSIS, chargé de cours à la Faculté des Sciences, avenue Alsace-Lorraine, 3g, à 

Grenoble ( Isère ). 

1895. DELAIXAY (N.), professeur à l'Institut Polytechnique Empereur Nicolas II, à Varsovie. 

1899. DELE.1IER, ingénieur des ponts et chaussées, place Simon-Vollant, 10, à Lille (Nord). 

^ 1885 . DEMAIN lîl'.S, doyen de la Faculté des Sciences, avenue Saint-Maur, à la Madeleine- 
lès-Lille (Nord). 
1892. DEMOILIN ( Alp.), professeur à l'Université, rue du Bas-Polder, 20, à Gand (Belgique). 

1897. DEXIS (Henry), élève libre à l'Ecole d'application du Génie maritime, rue de Fleu- 

rus, 23, à Paris (6 e ). 

1883. DKRUYTS, professeur à l'Université, rue des Augustins, 35, à Liège (Belgique). 

1894. DESAIXT, docteur es sciences, boulevard Gouvion-Saint-Cyr, l\" n à Paris (17" ). 

1900. DICKSTEIX, 117, Marszatkowska, Varsovie. 

1902. DIEGLEZ (D.-F.), professeur de mathématiques à l'École provinciale des Arts et 

Industries, calle del Orzan, 'j-3 u , à La Corogne (Espagne). 

^ ls99. DIUCH (Jules), chargé de cours à la Faculté desSciences, rue Bourbeau, 3, à Poitiers. 



— VIII — 

Date 

de 

(admission. 

189G. DUMAS (G.), licencié es sciences, à Gland, canton de Vaud (Suisse). 

1897. Dl'MONT, professeur au lycée, rue Royale, 10, à Annecy (Haute-Savoie ). 

1886. DUiVCAN, Consulting Engineer, Empire Building, Broadway, 71, New-York City. 

1897. DURA\ T -liOltIGA,command. d'artillerie, 20, plaza de Maria Pita, à la Corogne (Espagne). 

1885. DVCK (Walther), Tecknische Hochschule, à Munich (Bavière). 

1902. EGOROFF (Dimitri), professeur à l'Université de Moscou, rue Palianka, Institut des 

Maîtres. 

1903. ESPANET, ingénieur civil, rue Berthollet, ?., h Paris (5 e ). 

1900. ESTA\AVE, docteur es sciences, à la Sorbonnc, à Paris (5 e ). 

1900. ESTIEXNE, capitaine au 19 e régiment d'artillerie, à Nice. 

1896. EUVERTE, ancien élève de l'École Polytechnique, ancien capitaine d'artillerie, ingé- 
nieur aux Forges de Denain (Nord). 

r 1888. FABRY, professeur à la Faculté des Sciences, 17, rue Chaptal, à Montpellier 
(Hérault). 

1891. FAUQIEMBERGUE, professeur au lycée, à Mont-de-Marsan (Landes). 

1892. FEIIR (Henri), professeur à l'Université, rue Gevray, 19, à Genève (Suisse). 

1885. FIELDS (John), professeur de mathématiques, 21, Liberty Str., à Hamilton (Canada). 

1881. FL0QUET, professeur à la Faculté des Sciences, rue de la Commanderie, 21, à Nancy. 

1872. FLYE SAINTE-MARIE, chef d'escadron d'artillerie en retraite, ancien répétiteur à l'École 
Polytechnique, place Boyer-Collard, à Vitry-le-François (Marne). 

1896. F0NTANEAU, ancien officier de marine, cours Bugeaud, 8, à Limoges (Haute- Vienne ) . 

1897. F0NTE1VE, inspecteur de l'Académie de Paris, boulevard de Clichy, 6, à Paris (18"). 

1891. F0NTVI0LANT (de), profes. à l'École Centrale, rue d'Erlanger, 29, Paris-Auteuil (16 e ), 

1903. FORD WALTER, professeur à l'Université de Miehigan, rue Notre-Dame-dcs-Charnps. 99, 
à Paris (6 e ). 

1889. F01CIIE, professeur de mathématiques, rue Soufllot, 5, à Paris (5 e ). 

1872. F0URET, examinateur d'admission à l'École Polytechnique, avenue Carnot, \ , à 
Paris (17 ). 

1903. FRIÏSSE, agrégé de l'Université, rue Vavin, 10 bis, à Paris (6 e ). 

1892. FROIiOV (le général), quai des Eaux-Vives, 36, à Genève (Suisse). 
1903. PUETER, rue Berthollet, 2, à Paris (5 e ). 

1900. GAIiDEANO (Z.-S. de), professeur à l'Université, corso 99, 3, à Saragosse. 

1872. GARIEU, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à la Faculté de Médecine, 
rue Édouard-Detaille, 6, à Paris (17 e ). 

1896. GAUTHIER-YILLARS, ancien élève de l'École Polytechnique, éditeur, quai des Grands- 

Augustins, 55, à Paris (6 e ). 

1890. GEBBIA, professeur libre à l'Université, à Païenne (Italie). 

1872. GE\TY (E.), ingénieur en chef des ponts et chaussées, avenue Rapp, 20, à 
Paris (7 e ). 

1890. GERRALDI, professeur à l'Université, via Daita, 11, à Païenne (Italie). 

1897. GERRANS, professeur à Worcester Collège, Saint-John Street, no, à Oxford (Grande- 

Bretagne). 

1896. GIRARDVIliLE, capitaine d'artillerie, rue Michelet, 6, à Montreuil-sous-Bois (Seine). 

1903. G0DEY, rue du Bois-de-Boulogne, 6, à Paris (16 e ). 

1881. COURSAT, professeur à la Faculté des Sciences, répétiteur à l'École Polytechnique, 
boulevard Raspail, Î70, à Paris (i4')- 

1896. GREE.MIILL, professeur à l'École d'artillerie, à Woolwich (Grande-Bretagne). 



— IX — 

Bile 
U 

l'admission. 

1896. GRÉVY, professeur au lycée Saint Louis, rue Saint-Placide, 6a, k Paris (6' |. 

1899. fiUADET, ancien élève < I «^ l'École Polytechnique, boulevard Saint-Germain, ■>]<< i>i . \ 

Parie (7). 

1880. 8UCCIA (Jean |, professeur h l'Université, via Ruggiero Settimo, 3o, à Palerme (Italie 

1900. QDICHARD, professeur à l'Université de Clermont-Ferrand. 

1891. GUIMARARS, officier du génie, à l'Académie des Sciences, rue Nova da Piedadc 
à Lisbonne ( Portugal). 

1881. GONTUBR (D'Sigismond), professeur à l'École Polytechnique, à Munich (Bavière 
1885. GliYOll, membre de l'Institut, capitaine de frégate, rue de l'Université, i3, à Paris(7*). 
1873. IIAAG, ingénieur en chef des ponts et chaussées, professeur à l'École Polytechnique, 

rue. Chardin, m bis t à Paris (ib v ). 

1882. IIABICII, directeur de l'École des Ingénieurs, à Lima (Pérou). 

1896. DADA1HARD, professeur adjoint à la Faculté des Sciences, professeur suppléant au 
Collège de France, rue Humholdt, .>5, à Paris (i'i°). 

1891. HALSTED, professeur à l'Université du Texas, Guadalupe Street, 2407, à Austin (Texas). 

1901. HANCOCK (Harris), professeur à l'Université de Cincinnati, Auburn Hôtel (Ohio, 

Étals-Unis ). 

1900. IIAROEL, élève ingénieur à l'École des Ponts et Chaussées, villa italienne, à 
Dieppedalle-Croisset ( Seine-Inférieure). 

1872. II\T0\ DE LA GOUPlLLlÈBE, membre de l'Institut, inspecteur général des mines, direc- 
teur honoraire de l'École des mines, rue de Vaugirard, 56, à Paris (6 e ). 

1892. BEKMANN, libraire-éditeur, rue de la Sorbonne, 8, à Paris (3°). 

1893. III0TX, professeur en retraite, rue des Fossés-Saint- Jacques, 16", à Paris (5 e ). 

1900. HOFFBAtER, ancien lieut. d'art., rue du Chàtelet, :>:>, à Fontenay-sous-Bois (Seine). 
1879. II01,ST(EUing), professeur àl'École Polytechnique, à Hôvik, près Christiania (Norvège). 

1895. II0TT (Stanislas), professeur à l'École S le -Geneviève, rue Bausset, /|, à Paris (i5°). 

y 1880. IIIJMBEBT, membre de l'Institut, ingénieur en chef des mines, professeur à l'École 
' Polytechnique, rue Daubigny, b, à Paris (i7 P ). 

1881. 1MBEK, directeur des études à l'École Centrale, 33, boulevard Voltaire, à Paris (11 e ). 

1903. L'ABBÉ ISSALY, rue Poquelin-Molière, 9, à Bordeaux. 

1896. JACQLET (E.), professeur au Prytanée militaire, rue Couchot, 8, à la Flèche. 

1898. JAIIXKE, privât docent à l'École Polytechnique de Charlottenburg, Ludwigskirstrassc, 
à Berlin W 15 (Allemagne). 

1898. JABBY (N.), ingénieur civil, avenue du Bel-Air, 7, à Paris (12 e ). 

1872. JAVABY, chef de bataillon dugénieen retraite, chef des travaux graphiques à l'École 
Polytechnique, rue du Cardinal-Lemoine, 1, à Paris (5 e ). 

- 1903. JE\SE\ (J.-L.-W.-V.), ingénieur en chef des Téléphones, Cl. Kongevej, 80, à Copen- 
hague, V (Danemark). 

^1872. J0B0W, membre de l'Institut, professeur à l'École Polytechnique et au Collège de 
France, rue de Varenne, q8, à Paris (7 e ). 

1872. JOUFFBET, lieutenant-colonel d'artillerie, rue de l'Estrapade, 20, à Paris (."> ' j. 

1875. Jl'iYG, professeur à l'Institut technique supérieur, via Fatebcnelïatel li, 19, à Milan 
(Italie). 

1890. IvOUB (Custaf), maître de conférences à l'Université, à Stockholm (Suède). 

^1892. K0CII (II. von), maître de conférences à l'Université, à Djursholm-Stockholm 

(Suède). 

^ 1 880. KŒ.MGS, professeur à la Faculté des Sciences de Paris, répétiteur à l'Ecole Poly- 
technique, boulevard Arago, 101, à Paris (i'|"). 



— X 

Dale 

•le 

l'admission. 



1897. LACAUCHIE, ingénieur civil, chef du laboratoire de la Compagnie générale des Omni- 
bus, rue de Douai, ^8, à Paris ( 9 ). 

^r-1873. LAISANT, docteur es sciences, répétiteur et examinateur à l'École Polytechnique, 
avenue Victor-Hugo, 162, à Paris (16 e ). 

1893. LANCELIX, astronome adjoint de l'Observatoire, rue Boissonnade, 3, à Paris (i4 c )• 

1899. LA\I)AU (Edmond), privat-docent à l'Université, Sommerstrasse, 3, Berlin, N. W. 
1890. LAROSE, ingénieur des télégraphes, cité Martignac, 5, à Paris (7 e ). 

«wrl896. LADGEL, ancien attaché d'ambassade, villa des Bruyères, au Golfe Juan (AJpes-Mar m "). 

1873. LAUTII, manufacturier, à Thann (Alsace). 

1896. LE VU, professeur au lycée Michelet, rue Vavin, 6, à Paris (6 e ). 

1880. LEAUTE, membre de l'Institut, boulevard de Courcelles, 18, à Paris (17 e ). 

1890. LEHEL, professeur au lycée de Montpellier, villa Mont-Carmel, avenue Bouisson- 

Bertrand, à Montpellier. 

1902. LEHESGME, docteur es sciences, maître de Conférences à la Faculté des Sciences, rue 

Pougirard, /j, à Rennes (Ille-et- Vilaine). 

1903. LElïEUE , directeur de l'observatoire de Besançon. 

„^»1893. LECORMI, ingénieur en chef des mines, répétiteur à l'École Polytechnique, rue Gay- 
Lussac, 3, à Paris (5 e ). 

1895. LE.REDAY, licencié es sciences, ingénieur civil du génie maritime, rue Ville-ès-Martin, 
109 bis, à Saint-Nazaire (Loire-Inférieure). 

1872 . LEM0l\E (Emile), ancien élève de l'École Polytechnique, boulevard de Vaugirard, \, 
à Paris (i5 e ). 

1879. LE PAIGE, professeur à l'Université, à l'observatoire de Cointe, à Liège (Belgique). 

«^ 1895. LE HOUX, professeur à la Faculté des Sciences, rue de Chàtcaudun, 17, à Rennes 
(Ille-el- Vilaine). 

h» 1898. LE ROY, docteur es sciences, rue Notre-Dame-des-Champs, i~, à Paris (6 e ). 

1891. LERY, agent voyer d'arrondissement, à Pontoise (Seine-et-Oise). 

1872. LES1MAULT, doyen honoraire de la Faculté des Sciences de Bordeaux, à Nérac (Lot-et- 
Garonne ). 

1900. LEYI CIVITA (T.), professeur à l'Université, via Allinate, i4, à Padoue (Italie). 

_, 188?. LEVY (Lucien), répétiteur et examinateur d'admission à l'École Polytechnique, rue 
du Regard, ir>, à Paris (6 e ). 
1872. LEVY (Maurice), membre de l'Institut, inspecteur général des ponts et chaussées, 
professeur au Collège de France, avenue du Trocadéro, i5, à Paris (16 e ). 

1875. LEZ (Henri), à Lorrez-le-Bocage (Seine-et-Marne). 

^1898. LINDELOF (Ernst), professeur à l'Université, Nylandsgatan, 1 5, à Helsingfors. 

1877. LINDEMANN, professeur à l'Université, Franz- Joseph strasse, 12, à Munich (Bavière). 

^1886. LI0L VILLE, ingénieur des poudres, examinateur des élèves à l'École Polytechnique, 
quai Henri IV, 12, à Paris ( î e ). 

1900. LOVETT (E.-O), professeur à Princeton University, New-Jersey (États-Unis). 

1888. LUCVS (Félix), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Boissière, 3o, à 

Paris (16 e ). 
1902. LUCAS-GIRARDVILLE, ing r des manufactures de l'État, Manufacture des Tabacs, à 

Château roux. 
1902. LUCAS DE PESL0UAN, ancien élève de l'École Polytechnique, rue Marbeuf, 8, à Paris (8-). 
1886. LY0\, docteur es sciences mathématiques, chemin de la Roseraie, 26, à Génère 

( Suisse). 

1882. MACE DE LEPINAY, professeur de mathématiques spéciales au lycée Henri IV, rue 
Claude-Bernard, 79, à Paris (5°). 

^1895. MAILLET, docteur es sciences, ingénieur des ponts et chaussées, rue de Fontenay, 11, 
à Bourg-la-Reinc (Seine). 



— XI — 

Dale 
da 

i . i . 1 1 1 1 1 - .-> ; ■ • 1 1 

1872. MAMNBBIM, colonel d'artillerie en retraite, professeur honoraire a l'Ecole Poïyteeh- 

11111110, boulevard Beauaéjour, i, à Paria(i6*). 

1903. MAROTTE, professeur au lycée Charlemagne, mo de Reuilly, 35 bis, h Paris (ia ( j. 

1884. MARTIN (Artemas), <)i">, IN. Street, N. W., à Washington l). C. (États-Unis d'Ame 

rique ). 
1889. MARTIX (Emile), ancien élève de l'École Polytechnique, professeur de mathéma- 
tiques, rue des Fossés-Saint-Jacques, aa, à Paris (5 a ). 

1901. MASSAI) (J.), professeur à l'Université, rue Maruix, ■?.?., à Gand (Belgique). 

1894. MAIPIX, professeur au collège, rue de l'Arceau, 3o, à Saintes (Charente-Inférieure). 

1897. MEHMKE, professeur à l'École technique supérieure, Woisseinburgstrasse, 29, a 
Stuttgart ( Wurtemberg). 

1889. MENDIZADAL TAMBOBEL (de), membre de la Société de Géographie de Mexico, called.- 
Jésus, i3, a Mexico (Mexique). 

188'i. MEIlCEItEAU, licencié es sciences, rue de l'Université, 19.'), à Paris (7'). 

190-2. MKRLIN (E.), avenue Négrié, J6, à Forest-lès-Bruxelles (Belgique). 

1902. MESXY (R.), enseigne de vaisseau, rue de la Rampe, 4» à Brest. 

1893. MICHEL (François), chef de parcours de la Compagnie des chemins de fer du Nord, 
rue Perdonnet, 12, à Paris (10 e ). 

1899. MILLER (D r G.-A.), professeur à Stanford University, Californie (États-Unis). 
^1873. MITTAG-LEFFLEK, professeur à l'Université, à Stockholm (Suède). 

1902. M0LK (J.), professeur à la Faculté des Sciences, rue d'Alliance, 8, à Nancy. 

1897. MOXTCIIEITL (l'abbé de), rue du Vieux-Raisin, 11, à Toulouse (Haute-Garonne). 

1898. MOXTESSUS DE RVLL0RE (vicomte Robert de), maître de conférences à la Faculté libre 

des Sciences, boulevard de la Liberté, 121, à Lille (Nord). 

1903. MliLLER ( J.-O.), rue Berthollet, 6, Paris (5*). 
1898. NAID (C.), éditeur, rue Bacine, 3, à Paris (6°). 

1885. NEUBERti, professeur à l'Université, rue Sclessin, 6, à Liège (Belgique). 

1897. XIC0LLIER, professeur, à Montreux (Suisse). 

^1903. K1ELS NIELSEN, inspecteur général de renseignement secondaire, Norrebrogade, b-. ;» 
Copenhague (Danemark). 

1900. MEWEiXGLOWSKI, docteur es sciences, inspecteur général de l'Université, rue de l'Ar- 

balète, 35 ( 5 e ). 
^ 1882 . 0CAGNE (M.d'), ingénieur des ponts et chaussées, professeur à l'École des Ponts 
et Chaussées, répétiteur à l'École Polytechnique, rue La Boëtie, 3o, à Paris (8 j. 

1873. 0VIDI0 (Enrieo d'), professeur à l'Université, Corso-Oporto, 3o, à Turin (Italie). 

1901. PADE (H.), professeur à l'Université, rue de Turenne, 89, à Rordeaux. 

1893. PA1XLEVÉ, membre de l'Institut, maître de conférences à l'École Normale supérieure, 
f répétiteur à l'École Polytechnique, rue d'Assas, 33, à Paris (6 e ). 

1888. PAPELIER (Georges), professeur de mathématiques spéciales au lycée, rue de Re- 

couvrance, 20, à Orléans (Loiret). 

188 '1 . PARAF, maître de conférences à la Faculté des Sciences, à Toulouse. 

1881. PELLET, doyen de la Faculté des Sciences, rue Pascal, 3o, à Clcrmont-FerraniL 

1900. PERCII0T, astronome adjoint à l'Observatoire de Paris, avenue de l'Observatoire, 1 (5 e ). 

187't. PERCER, général de brigade, chef du cabinet du ministre de la guerre. 

1881. PER0TT (Joseph), Université Clark, à Worcester (Massachusetts). 

1873. PERR1X, ingénieur en chef des mines, avenue d'Eylau, 9, à Paris (16°). 

1892. PERRIX (Élie), professeur de mathématiques, rue Tarbé, 3, à Paris (1 

1896. PETROVITCII, professeur à l'Université, Kossantch-Venac, 2',, à Belgrade (Serbie). 

1902. PETROVITCH (S.), capitaine d'artillerie de la garde, professeur adjoint a l'Académie 

d'artillerie Michel, Sabalkansky prospect, 17, 1<>^. 1 ">, à Saint-Petersboui , 



— XII — 
Date 

de 
l'admission. 

1887. PEZZO (del), professeur à l'Université, via Gennaro Serra, -'■>, à Naples (Italie). 

1879. PICARD (Emile), membre de l'Institut, professeur à la Faculté des Sciences et à 
l'Ecole Centrale des Arts et Manufactures, rue Bara, \, à Paris (6*). 

1872. PICQUET, chef de bataillon du f.énic, examitiateur d'admission à l'Ecole Polytech- 
nique, rue Monsieur-le-Prince, \, à Paris (6°). 

1896. PIEROX, inspecteur général de l'Instruction publique, rue d'Assas, 5o, à Paris ((> 

1899. PIERPONT (James), prof, de l'Université Yale, \ 2, Manslield st., New Haven, Con- 
necticut (États-Unis). 

^ 1882. POliVCARE, membre de l'Institut et du Bureau des Longitudes, ingénieur en chef 
des mines, prol'esseur à la Faculté des Sciences, rue Claude-Bernard, Gj (5 1 ). 
. 1872. P0I,I(i\AC (prince C. on), villa Jessie, à Cannes (Alpes-Maritimes). 

1899. PRIVGSHEIM, professeur à l'Université de Munich, 12, Arcisstrasse. 

1896. PRUVOST, inspecteur général de l'Instruction publique, n, rue de la Tour, .1 
Paris (16 e ). 

1872. PUTZ, général d'artillerie en retraite, rue Saint-Merry, 98, à Fontainebleau. 

1902. PliX. (Victor), ancien élève de l'Ecole Polytechnique, professeur de Mathématiques. 

rue des Eossrs-Saint-Jacques, 16,; à Paris (5 e ). 
1896. QUIQUEP. actuaire de la Compagnie la Nationale, rue Laffilte. 1 7, à Paris (9 e ). 

1895. RARUT (Charles), ingénieur en chef des ponts et chaussées, rue Duplessis, 77, à Ver- 

sailles ( Seine-el-Oise). 
^1872. RADAU, membre de l'Institut, rue deTournon, 12, à Paris ('>"). 

1883. RAFFY, professeur-adjoint à la Faculté des Sciences, maître de conférences a 
l'Ecole Normale supérieure, rue Nicole, 7, il Paris (5°). 

1903. REMOINUOS, agrégé de 1T niversité d'Athènes, rue d'Ulm, /,5,à Paris (5 e ). 

1900. REXARD, rue de la Tour, 7, à Paris (16"). 

1903. RICHARD, professeur au lycée de Dijon, place du Rosoir, 1, à Dijon. 

^ 1893. RIVEREAU (l'abbé), professeur à l'Institut catholique, à Angers (Maine-et-Loire). 

^^1903. ROCHE, agrégé de l'Université, rue Madame, 69, à Paris (6 e ). 

1872. R0UART, ingénieur civil, rue de Lisbonne, 34, a Paris (8 e ). 

1872. ROUCHE, de l'Institut, professeur au Conservatoire des arts et métiers, examina- 
teur des élèves à l'École Polytechnique, boulevard S'-Germain, 2i3, à Paris (7' ). 

1896. R01GIER, docteur es sciences, rue Sylvabelle, 84, à Marseille. 

1885. ROUQl'ET (V.), professeur honoraire de mathématiques spéciales, à Belpech (Aude). 

1900. SALTYK0W. maître es sciences mathématiques, professeur à l'Institut Polytechnique» 

à Tomsk ( Russie). 

1872. SARRAU, membre de l'Institut, ingénieur en chef des poudres, professeur à l'École 
Polytechnique, avenue Daumesnil, 9 bis, à Saint-Mandé (Seine). 

1872. SARTIAIX, ingénieur en chef des ponts et chaussées, chef de l'exploitation à la Com- 
pagnie du chemin de fer du Nord, à Paris. 

1885. SAUVAGE, professeur à la Faculté des Sciences, à Marseille (Bouches-du-Rhône). 
1881. SCHLEGKIi, professeur à l'École technique, Volmestrasse, 62, à Hagen (Allemagne). 

1897. SCIIOU (Erik), (il. Àntvorskov, à Slagelsc (Danemark). 

1881. SCIIOUTE, professeur à l'Université, à Groningue (Hollande). 

1901. SEE (Thomas-J.-J.), 01>ser\alor> Mare Island (Californie). 

^1896. SEGIIER (J.-A. nu), docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 56, à Paris (7 e ). 

1882. SÉLIVAN0FF (Démétrius), attaché à l'Université, Fontanka, 1 16, log. 16, à Saint-Péters- 

bourg ( Russie). 

1900. SERVANT, docteur es sciences, rue des Saints-Pères, 8, à Paris (7 e ). 

^.1900. SPAR11E (comte Magnus de), château de Valliére, à S l -Georges-de-Reneins (Rhône)» 

1881. STARK0FF, Maximilianovskiy pereonlok, 19, log. 12, à Saint-Pétersbourg (Russie). 

1879. STEPIIiWOS (D r Cyparissos), professeur à l'Université à Athènes (Grèce). 



— Mil — 

Data 

de 

l'idmlstlon. 

1901. SI'EI'SOX (Orlando i, a Franklin (Massachusetts). 

1898. STORMBR (Cari), professeur a l'Université, Holtegaden, 14, s Christiania. 
1903. SICHAH, docteur es sciences, rue Lafayette, 6o, à Paris. 

1872. SHOW, professeurs l'Université, a Frederikshald (Norvège). 

1896. TANNENBERfi (de), professeur à la Faculté <l«-s Sciences, a Bordeaux (Gironde). 
1872. TAWEKY (Paul), directeur des manufactures de l'État, à Pantin (Seine). 

-1875. TAWKKY (Jules), sous-directeur à l'École Normale supérieure, rue d'UIm 55 
r à Paris (5 - ). 

1882. TAUHY (Gaston), rue d'Isly, 19, k Alger (Algérie). 

1897. TARHY (Harold), inspecteur des finances eu retraite, à Kouba (Algérie). 

1872. TERRIER, professeur au collège Chaptal, avenue Léouie, 1. à Saint-Cloud (S.-et-O.). 

1899. TIIYB.-Vl IT (Alexandre), docteur es sciences, professeur au lycée Carnot, rue du Ho- 

cher, 101, a Paris ( 8 r ). 

I s; .',. TISSOT, ancien examinateur d'admission à l'Ecole Pol y lechniq ne, à Voreppe (Isère). 

1896. TISSOT, enseigne de vaisseau, professeur au Borda, h Brest (Finistère). 

1896. TORRES, membre de l'Académie des Sciences, Valgame Dios, 3, à Madrid (Espagne). 
1893. TOUCHE, lieutenant-colonel d'artillerie territoriale, rue Truflault, a3, à Paris (1- ;. 
1872. TRESCA, ingénieur en chef des ponts et chaussées en retraite, château de Cour- 

tozé, par Vendôme (Loir-et-Cher). 

189G. TRESSE, doct. es sciences, prof, au collège Rollin, rue Caulaincourt, 20, à Paris (1 

.,1893. VALLÉE-POUSSIN (Ch.-J. de la ), professeur à l'Université, rue de Namur, 190, à Lou- 
vain (Belgique). 

1897. VASS1LAS-VITALIS (J.), docteur de l'Université, rue Polyclète, 5, ii Athènes (Grèce). 

1898. VASSILIEF, président de la Société physico-mathématique, à Kasan (Russie). 

^1901. VESSIOT, professeur à la Faculté des Sciences, chemin des Granges, 45, à Lyon 
W (Rhône). 

L 1888. YOLTEIUtA ( Vito), professeur à l'Université de Rome, via Lucina, 11. 

1900. YUIRERT, éditeur, G3, boulevard Saint-Germain (5 R ). 

1893. YVAGNEK, professeur à l'École J.-R. Say, rue Spontini, i3, à Paris (i6 ft ). 

1880. WALCKENAEIl, ingénieur en chef des mines, boulevard St-Germain, 218, à Paris (- •). 

1879. YVE1LL, directeur du collège Chaptal, boulevard des Ratignolles, 45, à Paris (8). 

1878. W01U1S DE ROMILLY, ingénieur en chef des mines, rue Balzac, 7, à Paris (8°). 

1882. ZAB0UDSKI, membre duComité d'artillerie et professeur à l'Académie d'Artillerie, rue 
Znamenkaja, 22, à Saint-Pétersbourg (Russie). 

^ 1890. ZAUEMM, docteur es sciences, professeur à l'Université de Cracovie (Autriche). 

1903. ZERV0S, docteur de l'Université d'Athènes, rue Claude-Bernard, 25, à Paris (5 e ). 

1881. ZRDTHEN, professeur à l'Université, Rosenvonget, Saint-Kannlkestrœde, 11, à Co- 

penhague (Danemark). 

1898. Z1WET, South Ingalls street, 644, Ann Arbor (Michigan) (Etats Unis). 

1902. ZOtKIS (Aristide), professeur à l'École militaire des Evelpides. rue Scoufa. 6. .« 
Athènes. 



XIV — 



S C I K T A I R E S PERPETUELS. 



ACKERMANN-TEIBNER, à Leipzig.— BKNOIST (décédé).— RKRBELLE, à Rio/. — BIENAYME 
(décédé). — BIOCHE, à Paris. — BISCHOFFSIIEIM, à Paris.— BOBEBIL (vicomte R.du), 
à Rennes. — BORCHARDT (décédé). — BOREL, à Paris. — BROCARD, à Bar-le-Duc. — 
CANBT, à Paris. — CARI ALLO, à Paris. — CIIASLES (décédé). — CLAUDE-LAFONTAINE, 
à Paris. — COTTON, à Grenoble. — POURET, à Paris. — GA0TBIER-V1LLARS (décédé). — 
COURSAT, à Paris. — HALPHEN (décédé). — IIALSTED, à Au s tin. — BADAHABD, à Paris. 

— MATON DE LA GOLPILLIÈRE, à Paris. — HERMITE (décédé). — IIIRST (décédé). — 
HOTT, à Paris. — JORDAN, à Paris. — LAEFON DE LA DÉ BAT (décédé). — LÉAITÉ, à Paris. 

— MAILLET, à Rourg-la-Reine. — MANNIIEIM, à Paris. — DE MENDIZABAL TAHBOBEL, à 
Mexico. — MERCEREAl!, à Paris. — B'OCAGNE, à Paris. — PEROTT, à Worcester. — 
PERRIN, à Paris. — POINCARÉ, à Paris. — POLIGNAC (prince C. de), à Cannes. — RAFFY, 
à Paris. — SALTYKOW, à Tomsk. - SÉLIVANOFF, à Saint-Pétersbourg. — SPARRE 
(comte M. de), à Saint-Georges-de-Reneins. — SYLOW, à Frederikshald. — TANNERY 
(Paul), à Paris.— TARRY (G.), à Alger. — TCIIEBICHEF (décédé).— VIELLARD (décédé). 



LISTE 



DES 



PRESIDENTS DE LA SOCIETE MATHEMATIQUE DE FRANGE 

DEPUIS SA FONDATION. 



.11 M. 



MM. 



1873 


CIIASLES. 


1874 


LAFFON DE LADÉBAI 


1875 


BIENAYME. 


1876 


DE LAGOUBNERIE. 


1877 


MANNIIEIM. 


1878 


DABBOUX. 


1879 


0. BONNET. 


1880 


JOBDAN. 


1881 


LAGUEBRE. 


1882 


HALPHEN. 


1883 


BOUCHÉ. 


1884 


PICARD. 


1885 


APPELL. 


1886 


POINCARÉ. 


1887 


FOURET. 


1888 


LAISANT. 



1889 


ANDRE (DESIRE). 


1890 


RATON DE LA G0UPILL1ÈRE 


1891 


COLLIGNON. 


1892 


VICAIRE. 


1893 


HUMBERT. 


1894 


PICQl'ET. 


1895 


COURSAT. 


1896 


KŒNIGS. 


1897 


PICARD. 


1898 


LECORNL. 


1899 


CUVOU. 


1900 


POINCARÉ. 


1901 


DOCAGNE. 


1902 


RAFFY. 


1903 


PAINLEYÉ. 



— XV — 



Liste dos Sociétés scientifiques et des Recueils périodiques avec lesquels 
la Société mathématique de France échange son Bulletin. 



Amsterdam . 
Amsterdam . 
Amsterdam . 

Baltimore . 

Berlin 

Berlin 

Berlin 

Berlin 

Bologne. . . . 

Bordeaux. . . 

Bruxelles. . . 

Bruxelles. . . 
Cambridge. 
Christiania. 
Coïmbre. . . 

Copenhague 
Cracovie. . . . 
Edimbourg. 
Edimbourg. 

Gand 

Gôttingen . . 
Gôttingen . . 
Hambourg. , 

Harlem 

Helsingfors. 

Kasan 

Kharkov. . . . 
Kharkov. . . . 

Leipzig 

Liège 

Livourne .. . 
Londres. . . . 
Londres. . . . 
Londres. . . , 
Luxembourj 
Marseille. . . 
Mexico 



Académie Royale des Sciences d'Amsterdam . f 
Société mathématique d'Amsterdam. 

Revue semestrielle des publications mathéma 
tiques. 

Johns Hopkins Universily. 

Académie des Sciences de Berlin. 

Archiv fur Matlicmatik utul Pliysik. 

Jahrbuch iïber die Fortscltritte (1er Matlic- 
matik. 

Journal fur die reine uiid angewandte Ma- 
thematik . 

Académie des Sciences «le l'Institut de Bo- 
logne. 

Société des Sciences physiques et naturelles 
de Bordeaux. 

Académie Royale des Sciences, des Lettres el 
des Beaux-Arts de Belgique. 

Société scientilique de Bruxelles. 

Société philosophique de Cambridge. 

Archiv for Matliematik og Naturvidenskab. 

Jornal de Sciencias matematicas e astrono- 
mie as. 

Nyt Tidsskrift for Mathematih. 

Académie des Sciences de Cracovie. 

Société Royale d'Edimbourg. 

Société mathématique d'Edimbourg. 

Mathesis, 

Société Royale des Sciences de Gôttingen. 

Mathematische Annalen. 

Société mathématique de Hambourg. 

Société hollandaise des Sciences. 

Société des Sciences de Finlande. 

Société physico-mathématique . 

Annales de l'Université. 

Société mathématique de Kharkov. 

Société Royale des Sciences de Saxe. 

Société Royale des Sciences, à l'Université. 

Pcriodico di Maternât ica. 

Société astronomique de Londres. 

Société mathématique de Londres. 

Société Royale de Londres. 

Institut Royal de Luxembourg. 

Annales de la F acuité des Sciences de Marseille. 

Socicdad cientilica Antonio Alzatc. 



Hollande. 
Hollande. 

Hollande. 

États-Unis. 
Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne . 

Allemagne. 

Italie. 

France. 

Belgique. 

Belgique. 

Grande-Bretagne. 

Norvège. 

Portugal. 

Danemark. 

Autriche. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagne. 

Belgique. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Allemagne. 

Hollande. 

Finlande. 

Bussie. 

Russie. 

Russie. 

Allemagne. 

Belgique. 

Italie. 

Grande-Bretagne. 

Grande-Bretagne 

Grande-Bretagne. 

Luxembourg . 

France. 

Mexique. 



— XVI — 



Milan 

Moscou 

Munich 

Naples 

New-Haven 

New-York 

Odessa 

Palerme 

Paris 

Paris 

Paris. . 

Paris 

Paris 

Paris 

Paris 

Pise 

Piso 

Pise 

Prague 

Prague 

Prague 

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Stockholm 

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Vienne 

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Institut Royal lombard des Sciences et 
Lettres. 

Société mathématique de Moscou. 

Académie des Sciences de Munich. 

Académie Royale des Sciences physiques et 
mathématiques de Naples. 

Académie des Sciences et Arts du Connec- 
ticut. 

American mathematical Society. 

Société mathématique d'Odessa. 

Rendiconti del Cirçolo matematico. 

Académie des Sciences de Paris. 

Association française pour l'avancement des 
Sciences. 

Société philomathique de Paris. 

Bulletin des Sciences mathématiques. 

Journal de l'Ecole Polytechnique. 

Institut des Actuaires français. 

Bibliothèque de la Sorbonne. 

École Royale Normale supérieure de Pise. 

Université Royale de Pise. 

Il Nuovo Cimenta. 

Académie des Sciences de Prague. 

Casopis pro péstorâni mathematiky a fysiky . 

Société mathématique de Prague. 

Académie Royale des Lincei. 

Académie Impériale des Sciences. 

Acta Mathematica. 

Bibliotheca Mathematica . 

Annales de la Faculté des Sciences de Tou- 
louse. 

Académie des Sciences. 

Société Royale des Sciences d'Upsal. 

Institut Royal vénitien des Sciences, Lettres 
et Arts. 

Académie Impériale des Sciences de Vienne. 

Monatshefle fur Malhematik und Physik. 

Société des Sciences naturelles de Zurich. 



Italie. 

Russie. 

Bavière. 

Italie. 

États-Unis. 
États-Unis. 

Russie. 

Italie. 

France. 

France. 
France. 
France. 
France. 
France. 
France. 

Italie. 

Italie. 

Italie. 
Autriche. 
Autriche . 
Autriche. 

Italie. 
Russie. 
Suède. 
Suède. 

France. 

Italie. 
Suède. 

Italie. 
Autriclie. 
Autriche. 

Suisse. 



BULLETIN 



SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE. 



SUR LE THÉORÈME DE M. JENSEN; 
Par M. G. Mittag-Leffler. 

M. Goursat vient de publier (Bull, des Sciences math., 
octobre 1902) une nouvelle démonstration du théorème do 
M. Jensen (Acta math., t. XXII), qui rattache ce théorème au 
théorème fondamental de Cauchy. J'ai employé dans mon ensei- 
gnement une démonstration analogue qui parait plus directe. 

Soity(^) une fonction méromorphe à l'intérieur d'un contour 
fermé S, comprenant dans son intérieur le point .zfsur lequel nous 
faisons, pour simplifier, la supposition qu'il ne sera ni un zéro ni 
un pôle. Supposons encore, pour simplifier, que f (z) soit holo- 
morphe et différent de zéro sur le contour même. Soient a 1 , 
rt 2 , . . ., a n les zéros de f(z) intérieurs au contour, chacun d'eux 
étant compté avec son degré de multiplicité, et b { , b>, . . . , b m les 
pôles def(z) intérieurs à S, chacun d'eux étant encore compté 
avec son degré de multiplicité. 

Je me propose d'évaluer l'intégrale 

_lf S log/(£) rfi 

1-1,1 Z — X 

prise le long du contour S dans le sens direct. Je suppose que la 
variable part d'un point A sur le contour, \ogf(z) ayant une 
valeur initiale déterminée. Je considère le contour fermé S 
formé de la courbe S, des circonférences c v , Â v , de rayon £, 
ayant pour centres les différents points « v , 6 V , et des lignes 
infiniment voisines tracées de part et d'autre d'un nombre de 
lignes situées entièrement à l'intérieur de S et reliant chacune 
un des points a v et £ v avec le point A, en laissant les autres 
points <7 V? & v , ainsi que les points x, en dehors. 

XXXII. I 



2 _ 



V=:l L 
m 

-mi — 

V=l L 



La fonction log/(,s) est holomorphe à l'intérieur du contour S. 
En lui appliquant le théorème de Cauchy, on obtient 

-Ki Au J k z — x J z — x J a / - — x 

rPviog/(^)^ + ^iq«/w a+ p^^»^' 

-4 : / ' ' dz = lûg / I X), 

IT.lJ Z — X D,/ 

cf.' v et Pv étant des points sur les circonférences c v et /c v . En allant 

, / 
deviennent alors zéro, on obtient 



V=l 

On en tire 



tS^ 



S./ V ^J °A— X JL4 * \ — X 1TZI J z — x 



Il s'ensuit 



(3) f{x)= ^- X)( ^- X l--^"- X \ ^-xyn-n e ^J 
JK > (b l — X)(b 2 —x)...(b m -x) K 



i /»Sio e /(j8] 



r/r 



et encore, en faisant s — x = re^ et en supposant que S soit un 
cercle de rayon /', ayant pour centre le point x, 

\b i — x\\b i —x\...\b m — x\ 

Cette dernière formule devient celle de M. Jensen si l'on y 
fait x = o. 
On a 

En faisant dans la formule (3) x = o et en supposant que ce 



-) 



3 — 
point ne soit ni iid zéro m un pôle, <>n obtient 

I /' S l'._: / i ; , 

En divisant (3) par | 5), <>n obtient «loue: 

«#)-/(o)i ^- v s* L 

(«) ('-êX'-*;)- ••('-£) 

x ( i — -r- ) e* m J -"-•• \*/ 
Celle formule peut facilement être généralisée en écrivant 

et, en appliquant aux différentes intégrales 

i r S lo?/(;) ,,_ r f S Iog /(*) ,,, i r S Io g /(,, 



■>.-«,/ Z 2 2TUJ Z- >~lj 



Z/'~+~ l 



le même procédé que nous avons employé auparavant pour les 
intégrales 

ITll J Z — 07 '1TU J Z 



on obtient alors la formule 



log-/(0)H JT-K..H r^ Xl' 



TT E (->/<, 

n-(S" x 

V = l 

en ayant posé 

, E(*,/>) = (i — ^)e 3+ ï ::,+, " + ? 3P 
E(~, o) = i — s. 



— h 



La formule (7) doit être mise à côté d'une autre qu'on obtient 
en partant de l'égalité (') 

/'(*) f'(o) 1 D f(Q) * , 
/(*) /(o) /(o) [1 ••' 



(9) 



+ D</>-u 



/'(o) .r/'-i 



ï-2 



1 / x \ v 



/(o) p — 1 M 2 
v = l 



JmmàX—b v \6 V / ITZlJ f(3) Z •?" \ ~ / 

V = l 

En faisant l'intégration par rapport à #, et en observant que 

s 



I / X\P 



— a: \ z 



da 



dz 



J /<*) L 

27CÏ J /(*) L \ */ 

on obtient 



x \ ! x 



Wh 



II 



Dlog/(0) 



57 



D/'iog/-(o) 
1/' 



af 



X 



v = i 



^> 2 71/ 



ifmH^y^m^mh- 



eKê-0 



v—l 



On revient immédiatement de la formule (10) à la formule (7 ) 
en intégrant 



/asru.(,-!)* î+ i(=)v..:*i( : 7]* 



par parties. 



( ' ) Voir ma Note aux Comptes rendus, 20 février 1882. 



RECHERCHES SUR LA DIVISIBILITÉ DU NOMBRE '••'•••" / 

(1.2 ... X)" 

PAR LES PUISSANCES DE LA FACTORIELLE i.a . . . n; 
Par M. C. DE PoLlGHÀC. 

§ 1- 

Vvaul d'entrer en matières, rappelons quelques résultats bien 
connus. 

Désignant par \ j le quotient entier de la division de a par 6, 

notation usitée par Lejeune-Dirichlct, et appelant c l'exposant 
de la plus haute puissance du nombre premier p qui entre comme, 
diviseur dans le produit i .2.3. . . .x, en sorte que ce produit est 
supposé divisible par/?*, mais non pav p €+i , on a la formule clas- 
sique 

-2[?]- 

1=1 

La limite i= x est symbolique; elle se justifie en remarquant 

que, dès que p l ^> x, on a — = o. 
De plus, on a toujours 



Il en résulte 



i 



[5] " 



X 

YP \ 



L P J 

Par suite, si l'on écrit, 



m- 



[?] 



L P J 



X = pq x -h n ^/'i</^ ^^Ifl)' 



<li=Pqz- J r r * ( r *<P, ?3 = 



[?]-[?] 



(') FbiV, entre autres, Lejeune- Dirichlet, Zahlcntheorie, § 15. édi- 
tion iS(j3. 



— — 
on ob lient 

Cela posé, je commencerai par démontrer trois propositions : 
Soit x un nombre entier écrit dans le système de numération 
dont la base est le nombre premier/?, en sorte que 

x = a tl p 1l -\- a„_i/?" +1 -H. . .4-rt 2 /> 2 + a x p 4- « 

avec a <ip à un rang quelconque. 

Désignons par 2> x ^ a somme des chiffres de x : 

N x = «o+ rt i H- «2 H-* • .-+-««-1 -H #n- 

Proposition 1. — L'exposant de la plus haute puissance du 
nombre premier p qui entre comme diviseur dans le pro- 

x — / x 

duit i.2.3. . .x est 

p — i 



Démonstration. — D'après ce qui précède, il suffira d'établir 

2< 



l'égalité 



x — 7 X 

p 



-I 2d[pi\ 



Conservant les notations adoptées ci-dessus, on a 

<7i =a ri p' l - l -^a n - l p ,l - 2 - 1 r...-^a 3 p'--ha,p-!rt( l =\ - \, 

— = q°i = a n p n ~*-+- a n - x p' l -z-+-., . + « 3 /'+«2 = -^ 



[ — J = 2n-i = a„ p -h a n -x = [ — t | 



7 — 



Chaque colonne de ce Tableau se compose oV termes en pro- 
gression géométrique. Faisant donc la sommation par colonnes 

et introduisant pour la symétrie le terme mil — , il vienl 

c'est-à-dire, d'après nos notations, 



i i 



x 



1 



X 



l -oo 
i = l 



C. Q. F. D. 



Proposition 2. — Soit n un second nombre entier écrit dans 
le système numérique de base p ; faisant l'addition x -f- 71, on 
aura 

où A* désigne le nombre total d'unités que, dans l'addition, on 
est amené à reporter d'une colonne à la suivante. 



Démonstration . 

x = a -+- «i/? -+- ciîp- 4- . . . 
n=: b -h bi p-h b 2 p 2 -f- . . . 

L'addition, membre à membre, donne 



a<P, 
b <p. 



x -+- n = a -f- «i 



p -+- a 2 



jd 2 -4-. 



expression dans laquelle il faut ramener dans chaque colonne la 
somme des deux chiffres à un nombre inférieur à p. Ces réduc- 
tions faites, on obtiendra 

Comparons ces deux expressions. 

Gomme dans la première, chacun des deux chiffres a/, b t - dune 
colonne quelconque est moindre que /?, leur somme est moindre 
que ip. On a même partout 

puisque le maximum est p — i -\-p — i-4-i — 2/> — i. D après 



— 8 - 

cetle remarque, on peul composer de proche en proche le Tableau 
suivant : 



ct<p (/.-,• = o OU l), 



à-o 4- <% = k p 4- Cq 

a t 4- bx 4- k = k t p -! r, 

a % -+- b 2 4- /» i = X 2 /> -f- ^2 

(( m 4- 6/n H - k»i—\ = "/;,/? -4- <" //t 

A',,, = c /rtH _, — O OU 1 
par suite 

a 4- «i 4- . . .4- « m h- 6 4- bi -+- . . . -h b m 4- k -+- Art -*- . i . -+- /« -,« 

= ( A',, -+- A"t -+- . . . 4- £,„)/? -h C -h f'i -h . . . -:- C m -+- CrfH-i. 

Or, comme chacun des nombres À , À,, . . ., k m est égal à zéro 
ou à un, leur somme est égale au nombre d'unités reportées d'une 
colonne à la suivante, soit k. D'autre part, on a par définition 



«o+ a \ - 


f- a 2 4-. ■ 


■ -H- «7/1 




_y 


j^tf, 


b -\- b { - 


+-6,-4-.. 


■ .+ 6 „, 




^\ 


K»i 


C G H- c, - 


+- C 2 H- . , 


• • + C 7 „ 4- 


C/n+1 


_ 1 


j?(>4- n) 



11 en résulte donc bien 

V 0+ /i) = Vir 4- V/i — £((/> — i) (*). c. q. F. d. 
On trouverait de même 

A" étant ici le nombre d'unités empruntées au chiffre d'une 

(') Arithmétiquement, l'opération s'indiquerait ainsi : 

... a- ... a 3 a 2 «, a„ a. C />? 
... ft- ... 6 3 6 a 6, fr £, /'• 
... c,- ... c 3 c 2 c, c c t <p. 

Dans chaque colonne, l'addition de deux chiffres ne peut surpasser ip — 2 
(18 dans le système décimal). On ne peut donc jamais reporter plus d'une unité 
dans la colonne suivante. Le chiffre de cette colonne augmente de 1, celui de la 
précédente diminue de p à chaque report; d'où la formule. 



!» 



colonne ci reportées <!;» n s la précédente suivanl les règles <l«' 
l'arithmétique élémentaire. 

On voit d'ailleurs qu'en posant x H- n ///, d'où x — /// — /i, 
la formule d'addition devient 



«l'on 



m N — N ( Di — yi)-4- f ,n — /> ■('/; — i i, 
7 ( /» — n) — 2_t' n — / > n "*" ^(P — ' )« 



Proposition 3. — Faisant le produit nx, on aura 

où A représente encore le nombre d'unités que, dans le produit, 
on est amené à reporter d'une colonne à la suivante. 

Démonstration. — Soient 

x = «o-i- «i/> -+- a-ip---. . . a, </?, 

n — b -+- b i p ~ b 2 p- + . . . b, <.p, 

nx = c -H Cj /) + c 2 /? 2 -... bi <Cp. 

La multiplication, membre à membre, donne 

/> 2 + ..., 



-H «i^o 



p ^r- a by 

H- «i^! 

H- « 2 &0 



X. 



résultat que, pour abréger, nous écrirons 

nx = C -rC 1 /) + C î /j- + .... 
Observons que, par définition, 

G -+- Ci -h C 2 -4- . . . = /■ n . ^ t 

Si a o o <^p, on a C =c ; mais, en général, 

et l'on reporte k unités à la colonne suivante, et cela quand bien 
même cette colonne ferait défaut dans le produit membre à 



- 10 - 

membre nx; ce qui arriverait par exemple si l'on avait a { = l> { = o. 
On a donc jusqu'ici 



nx = c -h C i 



p ■+■ G 2 /? 2 -f- 



On posera de même 

Ci H- k = pk { -\- c x 

et l'on reportera/», unités à la colonne suivante. Observons qu'ici 
on pourrait avoir k t >/?, ce qui ne change rien à la marche du 
calcul. 

On obtiendra ainsi successivement 

Go =CQ-\-k Q p, 

G 1 -hk ='c 1 -4-Ar 1 />, Go+Gi=c H-c,-f-Ao(/? — O + Ai/?, 

G 2 -f-Âi = c 2 -h 2 />, Go-4-Gi+G 2 =CoH-c 1 +C2-h(à-o-hA: i )(/?— i)4-X- 2 />, 



G, + À7_ 1 = c, + /q/?, C H-G 1 -hG 2 +. . .h-C/ 

+ c/+(*o + *i+...+*w)(/' — i)-h *//>. 

Mais, comme le produit est fini, il arrivera un moment où l'on 
trouvera ki = o; on aura alors 

G H- Gj -+-...-f-G/ = C -h Ci -4- . . . -h C/-+-(£ H- *iH-...-+-**- t )(/>— 0» 

c'est-à-dire 



ou 



^/>r = N n. 2, x ~~ k{p — 0- C.Q.F.D. 



Remarque. — La Proposition 1 exige que p soit un nombre 
premier. Dans les deux autres propositions, p peut être quel- 
conque. 

§ 2- 

Nous allons maintenant faire quelques applications de ces trois 
propositions. 

Théorème. — x et n étant, comme ci-dessus, écrits dans le 



- H - 
système de base p nombre premier, si le produit 

I.2.3.. .(/i — \)n 

est divisible par p a , — a exposant maximum — 

(x -\-\){x \- ■>.).. A x a) 

sera divisible par p*+ k ; où k représente le nombre d'unités 
reporters (Tune colonne à la suivante dans l'addition x -\- n. 

Démonstration. — Par la proposition 1, on a 

a = 

et, par la même proposition, l'exposant maximum avec lequH /> 
entre dans le produit 

[.a. . .x(x-+-i)(x-+- a). . .(œ-r- ri) 
est 



X -r- Il — 2_, ( X "+" U ) 



p— I 



De même, l'exposant maximum avec lequel /? entre dans le 
produit 



1 . 2 . . . x 
est 



37 



p — « 
Le nombre premier/? entrera donc dans le produit 

(x -h 1) (.r -+- a). . .(a?-+- n) 

avec un exposant égal à la différence des deux précédents, soil 

x -+- n — 2, ( x ^~ n ) — a?-+- /g /* — \ ( a? 4- n ) 4- /^ 



D'ailleurs, par la proposition 2, on a 



— 12 - 

l'exposant considéré est donc 

h À = h/i=a + / . 

p — i /> — i 

C. Q. F. D. 

En vue d'ane application de la proposition 3, partons de 

l'identité 

1.2 ...N — i. N 

i . 2 . . . N — i .N ~" ' ' 

Posant N = a, -h a 2 , elle devient, en admettant a, < a- 2 , 

I ."2. .(«i -I- « 2 — l)(«l+«2) 

i . 2. . .«! .(a t -h i ) («i -h a) . . .( «i -+- «a ) 

et comme, d'après un théorème classique, le produit 

(ai + i)(ai-+-a)...(«i-i- « 2 ) 

est divisible par i .2. . . # 2 , on a 

. i .2.0. . .(a, + a. 2 ) 

(i) = entier. 

[ .2. . .«1.1.2. . .«2 

On trouvera de même généralement avec N = a, H- <7, 2 -f-. . . a n 

, x 1.2. 3... («i-4- a 2 -+-. ..+ a fl ) 

(2) = entier. 

i . 2 . . . « i . i . 2 . . . a-i . . . i . -2 . . . a n 

Si l'on pose dans (i) a { = #, a 2 = (/i — i)^, on aN = «^ et 

, . 1.2... ;i.r 

(3) ; = entier. 

1.2. . .x. 1.2. . .(n — î ) x 

D'autre part si dans (2) on pose a, = a 2 = a 3 == . . . = a, t = x 
on a 

. , . 1 . 1 . 3 . . . nx . ... 

(4) 7 5 — = entier (»), 

w/ (i.2.3. ..ar)" v y ' 

relation qui résulte de (3) a fortiori. Pour le faire voir mettons (4) 



C 1 ) Les expressions (1), (2), (3), (4) sont bien connues mais en vue de ce 
(|iii suit il y avait intérêt à montrer qu'elles résultent de l'identité initiale par 
la suppression de certains facteurs au dénominateur. 



13 — 
sous la forme 

l . >.. . .Ii.r 

i ij - ■ — - sentier. 

i . > .. . ../i i . a . . ./■ i" -1 

Changeant dans (4) /l en /; — i? on obtient 

\ .■>....( il — i)x ._ . . 

- — — M ( nombro ciihrr i 

(l.a r) n ~ l 

ou 

r.a. ..(n — \)x =(i.a.. .a?)*- 1 . M ; 

remplaçant dans (3) on a 



i . •>. . . .nx 

== entier 



i .2 /.(i . •>.. . .a?)"-». M 



Donc (5) ou (4), ce qui est la même chose, résulte de (3) par la 
suppression au dénominateur du nombre entier M. 

L'expression (3) peut se mettre sous la forme plus explicite 

i . -i . . . { n — i ) x [ n — i . x -+- 1 ] [ n — i . x -4- i ] . . . [ n — i . x -+- x — i J nx 
I . 2 . . . ( n — I )x . I . 2 . . . {x — I )x 

ou. en réduisant, 

[n — i.3?-t-ij[/i — i . x -+- 2 I . . . \_n — i .x-v- x — ij 

1 . 2 . . . ( X — I ) 

L'expression (3) est donc divisible par n quel que soit x et, en 
posant 

[ n — i . x -h i J [ n — î x H- 2 . . . \\n — i x H- x — 1 1 

q "-*- I.2...(*--I) 



on trouve 

r . 2 . . . nx 



= nq n -v 



1.2. .'.(/l — l)X.l .9. . .X 

Changeant successivement n en n — i , n — 2, . . . , il vient 

i.2.3... nx = 1 .2. . .( n — \)x . 1 .?.. . .x.nq n -i, 

1 . 2 . 3 . . .(n — i)x = 1 . 2 . . . {n — 2) x. 1 . 2 . . . x ( n — 1 ) q ,1-2 • 

(.2.3... 3 x = 1 . 2 . . . 2 x. 1 . 2 . . . x . 3 q%, 

1 . •>. . 3 . . . 2 x = 1 . 2 . . . x . 1 . 1 . . . x . 2 q 1 , 

d'où par multiplication 

1.2. . .nx =(1.2. . .x) a .2.3, . .n.qiqt. . .q /: —> f />i-i 



— li- 
on 

1.2. . .nx 

( - )a ) -, ~ = 1.2.3. ..n.qiq z . . .qnr-tÇn-* 

(i . 2 . . . X ) n 

Dans une Note insérée aux Comptes rendus de l'Académie des 
Sciences, 19 décembre 1 88 1 , M. Mathieu Weill a démontré par 
un procédé d'analyse combinatoirc la divisibilité du nombre 

1 ' 2 ' ' * nx ■ par la factorielle 1.2.. .n. L'équation (5a) implique ce 
( i . -i . . . x ) n r 

ihéorème et déplus fait connaître explicitement le résultat de la 
division. On voit que le théorème en question, tout comme ceux 
qu'expriment les égalités (1), (2), (3), (4), résulte de l'identité 
initiale avec N = nœ, par la suppression de différents facteurs au 
dénominateur. Ils se trouvent restitués dans l'équation (5a) qui, 
en y remplaçant les quantités q K , q 2 , . ., par leurs valeurs, repro- 
duira l'identité initiale. 

On peut pousser plus loin cette investigation et montrer que 

l'entier 

1.2... nx 
h = — 

{1.2. . .x y 1 

est en général divisible par une puissance de la factorielle 1.2.. .n 
supérieure à Puni té, soit (1.2. . .n) h avec h > 1 . La proposition.) 
trouvera ici son application. 

Soit p un nombre premier non supérieur au plus grand des 
deux nombres x et n; p z la plus grande puissance de p qui 
divise E. Évaluons d'abord s. 

Par la proposition 1 , p entre dans le numérateur de E avec un 
exposant 

nx — ^ nx 

et dans la factorielle 1.2. ..x avec un exposant 

x-^x 

S 2 == f 

/>— I 

par suite p entre dans le dénominateur de E avec l'exposant nt 2 
et l'on a 

n^, x — 7 , nx 

z = £1 — ?iz 2 . c'est-à-dire s= • 

1 £i p — 1 



— i;i - 

I bailleurs par La proposition 3 

N ,,x = ? Il \ X -/,[/> i). 

Par conséquent 

a — \ n 

(6) e = Va? _f- /■ 

/? — i — 

telle est la valeur exacte de l'exposant cherché, ou, comme ou dit 
aussi, le nombre de fois que le nombre premier p entre coin me 
facteur dans l'entier E. 

Si Von se contente d'une valeur approchée on peut écrire 

p— l — 

On retrouve ainsi une formule approximative déjà obtenue par 
M. Désiré André ('). 

Cherchons maintenant avec quel exposant s', p entre dans 
l'expression 



// — 7 II 



„, I .2. . .TIX 

E 



(i .2. ..#)'* 1.2 .. .71 

Par la proposition i , p entre dans i .2. . .n avec un exposant 

■2 



n — 7 n 

£3 = 



P — l 
Conservant les notations précédentes on aura donc 

£ = £1 — H £2 — £3, 



et, comme nous avons trouve 



£ t — n £ 2 = 






(') Dans une Note insérée aux Comptes rendus de l'Académie des Sciences, 
le i3 février 1882, M. Désiré André a donné ce résultat sous la forme 

*>(*+ P + Y-4— ••)"** ( n ) où z désigne l'exposant e, a+p + Y + ... =2 x cl 
où P(n) représente le nombre de fois que p, nombre premier, entre comme 

facteur dans i.a...n, c'est-à-dire d'après la proposition 1. 

p — 1 



— 16 - 
il vient 



e = y x — i 



2 



Cette valeur ne doit jamais être négative puisque nous avons 
trouvé plus haut que E' est un nombre entier; et en effet il résulte 
de nos notations que l'on a toujours 

Par une généralisation immédiate, p entrera dans l'expression 



E" = 



avec un exposant 
soit 



(r .9.. . .x) n {\ .•>... ,n) h 

' = £j — HZo — /?3.j. 



11 ~Z-i n I \ 



et pour que E" soit un nombre entier il faut et il suffit que cette 
expression soit nulle ou positive quel que soit p parmi les nombres 
premiers non supérieurs au plus grand des deux nombres x et n. 
Dans le cas d'un nombre premier p supérieur à la fois à x et 
à n les développements du Paragraphe 1 

X — «o-H <*lP -+"■ • • («i<P), 

»■= &o 4- bip-h... (bi<p), 
se réduisent à leurs premiers termes a , 6 . On a 

et l'expression (7) donne simplement 

6*=*. 

Dans ce cas aussi les valeurs ci-dessus trouvées pour les expo- 
sants e 2 , e 3 se réduisent à zéro comme cela devait être, eu égard 
aux hypothèses x </?, n <Cp', par suite l'égalité 



- 17 — 

se réduit à 

d'où l'on conclut 

£ i - k . 

Il est facile de vérifier ce résultat par la formule classique 

£, =2, \ — • I^ n effet, dans les notations du Paragraphe \ , la mul- 

/ = 1 
tiplication nx se réduit aussi au seul terme 

//./• = G 

et pour déterminer k on a d'abord {voir § I) 

G = nx = pk Q -+- c ( c < />); 

d'ailleurs, puisque x <^p, n •< /?, on a /i^ <Cp 2 ', donc Ar </>, par 
suite k = k Q = — » terme unique auquel dans ce cas se réduit 

lasérie 2[?]- 

/ = 1 
Désignons maintenant par <r le minimum de 2> x P our tous ^ es 

nombres premiers considérés quand x est mis sous la forme 

x — « + a x p -+- a 2 p-- J r. . . (ai<p; p = (2, 3, 5. 7, 1 1 . ..). 

Alors pour un nombre premier quelconque de cette suite on aura 
assurément 

Si donc on remplace h par a- dans la valeur de s /; , la nouvelle 
expression 

-T=r[If-'h k 

ne sera jamais négative et il en résulte, remplaçant h par a- dans 1. . 
xxxii. 2 



— 18 - 

que la quantité 

, p _ \ .')... . HT 

9 ^ ~ (i .'?.. . .x) n {\ .?.. . .n)'* 

est toujours un nombre entier (' ). 

Remarque. — Si 2, x = i pour un certain nombre premier on 

a nécessairement <r — i . Ecartant le cas illusoire x = i cette cir- 
constance ne peut se présenter que si x = p 1 . Alors l'expression (8) 
s'évanouit. En effet, le premier terme s'annule en vertu de l'hypo- 
thèse N x = i = t. Quant à Â", remarquons qu'en mettant n sous 

la forme 

n = b -+- b\p -h b 2 p- -+- . . . 

le produit nx s'effectuera parla simple addition de i à chacun des 
exposants de p dans l'expression de n. On n'aura donc rien à 
reporter d'une colonne à la suivante, par suite k = o. Dans ce 
cas on a simplement 



F = E' = 



1.2... 713" 



(l.2...a?)'*(l.2...7l) 

S 3. 



Dans les notations des Paragraphes 1 et 2, un nombre entier 
quelconque x étant écrit dans le système de numération dont 
la base est le nombre premier^?, savoir 

x = a -f- a x p -+- a 2 p--h . . . (a<Cp), 



nx ^ 
(') M. Désire André, loc. cit., pose Q = — ^ et énonce ainsi qu'il suit le 

{x . ) n 

théorème qu'implique l'égalité (9): 

« S'il est impossible d'exprimer x par une somme de moins de A - puissances 
d'un même nombre premier le quotient Q est divisible par la puissance A ièn,c de 
la factorielle n. » 

Dans la notation de M. André x = a -+- [JjD + yp 1 -*-. . ■ doit être considéré 
•omme exprimé par la somme de a ■+• £ + y-K • • puissances de p; savoir a puis- 
sances égales à zéro, jà puissances égales à 1, y puissances égales à 2, etc. Si x ne 
peut être exprimé par moins de À" puissanceson a A = minimum (a-f- p-f-y-h- •• ' ~ 
de notre texte. L'égalité (9) correspond donc bien à l'énoncé de M. André; nui- 
dans cet énoncé la signification de la lettre À est toute différente de celle qui esl 
attribuée à la même lettre dans le présent Mémoire. 



on a par définition 

7 x = a -i- a, -h <7 2 i .... 

a- = fe minimum 7 x que donnent les diverses expressions 

de ./• (HKind p parcourt la suite indéfinie des nombres pre- 
miers. 

Ce minimum ne peut se rencontrer qu'avec un nombre premier 
non supérieur à x. Car avec un nombre premier quelconque supé- 
rieur à x, l'expression de x se réduit à son premier terme a el 

donne 7g = x, tandis que, pour tout autre nombre premier non 

supérieur à x, on a \ #<#. Le nombre x Lui-même ne saurait 
donc être égal à ff. 

Nous avons vu également que le nombre entier 

„ 1.2... ht 



( i . 2 . . . x y 



est toujours divisible par ( 1 . 2 . . . n)°. Mais la puissance <7 est-el le 
une limite supérieure et sinon, dans quels cas est-il possible de 
déterminer de combien la puissance limite surpasse <7? C'est ce 
que nous nous proposons de rechercher. 
Reprenons à cet effet l'expression 

(1) z*= p ^ (£*-*) + * [S 2; ( 7 )] 

qui fait connaître l'exposant s" de la puissance du nombre pre- 
mier/? dans le quotient 

„ 1 . a . . . nx 



(1. a... a?)" (1.2. . .ny 



exposant qui selon la valeur de h pourra être positif, nul ou négatif. 
Remplaçant, dans (1), h par <r -f- u, où jj. représente un nombre 
entier positif quelconque, il vient 



n — y n 



'-^(S-'-'H 



— 20 — 
ce qui peut s'écrire 

Cette formule est exacte quels que soient x et n et jusqu'ici nous 
n'avons rien stipulé sur les grandeurs relatives de ces deux 
nombres. Or, pour déterminer a-, nous pouvons nous borner, ainsi 
qu'il vient d'être dit, à faire varier le nombre premier p sans 

dépasser x. D'autre part, lorsque/? >/i,ona N n = n et la for- 
mule (2) se réduit à s" =. k. Si l'on suppose x > n, alors pour tout 
nombre premier compris entre n et x cette formule est indé- 
pendante de u et par conséquent illusoire en ce qui concerne 
l'examen de cette quantité. Nous introduirons donc la restriction 
suivante : 

Convention restrictive : x est au plus égal à n. 

D'après la signification de e", tant qu'en donnant à u, des 
valeurs croissantes l'expression (2) ne sera pas négative le nombre E 
sera divisible par p c+ V-; il ne le sera plus à partir du moment où 
s" deviendra négatif. 

Or le premier terme de t" dans (2) étant essentiellement positif 
(ou nul) quel que soit /?, les valeurs de u. susceptibles de 
rendre e" négatif ne se rencontrent que parmi celles pour les- 
quelles 

et, si /; est un des nombres premiers qui donnent ^ x = 7, on a 

2 



11 
k - <x 



Dans ce cas, si Ton trouve 



n — 7 n n — 

(u — 1)— — - -^A<{^ 



P 



— 1 



— 2i — 

le d ombre 

!.'>...///■ 

E 



(1.2. . ../•)" 



sera divisible par />' T+ ! J •~ , et ne le sera |>as par />' 7, ! ; 1 el cela suffît 
pour que E soit divisible tout au plus par la puissance »-+-u — i 
de la factorielle \ .•>.... n . 

Nous sommes donc amenés en définitive à comparer l< s valeurs 



2< 



n — 7 11 



de A el de Celte comparaison se fera aisément dans 

p — i i 

chaque cas particulier par un calcul direct, mais il n'existe 

aucune formule susceptible de rattacher à la variation de x el 

de n ni la variation de /» , ni celle des nombres premiers pour 

lesquels N.r est minimum. Il faut donc se créer une méthode 

indirecte d'investigation; celle dont nous ferons usage repose sur 
la remarque suivante : 

Remarque. — Lorsque n augmente, p restant constant, la quan- 

tilé ne peut pas diminuer. 

La démonstration directe serait facile, mais elle n'est pas néces- 



n 



saire. Puisque représente par la proposition I (§ 1) 

l'exposant de la plus grande puissance du nombre premier p qui 
entre comme diviseur dans la factorielle 1.2.. .n, il est clair que, 
si l'on fait croître n sans faire varier p, cet exposant ne peut 
décroître. 

Gomme conséquence immédiate, quand n croît,/? restant cons- 
tant, n — -2u n ne P eut décroître. 

Voici comment cette remarque peut être utilisée : 

Exposé de la méthode d'investigation . 

Soient 3; et n deux nombres donnés respectivement compris 
entre des limites pour le moment indéterminées 

iiq n V 



0)0) 



Pour satisfaire à la convention générale .r^//, nous suppo- 
serons n y X. 

Soit encore p un nombre premier quelconque non supérieur 

à n. 



n — 7 n 



D'après la remarque la quantité ne pourra jamais 

décroître quand n croît jusqu'à N, donc sera un maximum. 

Imaginons qu'on puisse déterminer X et N de façon que, dans 
le produit nx, variable dans les limites fixées, la quantité k qui cor- 
respond à NX soit un maximum. Le désignant par K nous poserons 

(3) K<<x — — — ; 

comparant, à dessein, K non avec la valeur maxima correspon- 

dante mais avec la quantité minima Supposons 

p — i l p — i ' l 

qu'on ait déterminé le minimum de u pour lequel cette inégalité 
est satisfaite, on aura a fortiori 



K < [x 



p — ï 



et il en résulte que pour cette même valeur de u. on aura partout 
dans le produit variable nx 

n — > // 

k < fi - — , 

p — l 

puisque d'une part k est égal ou inférieur à R et que d'autre part 

n — 2\ n "° — • Hù 

est é^al ou supérieur à 

p — i ° x p — ! 

Le nombre/; désigne ici un nombre premier quelconque non 
supérieur à n. Si nous le prenons inférieur à x et si pour ce 

nombre premier on a \^x= Ton pourra conclure, ainsi qu'il a été 
dit plus haut, que le nombre E = — _^^__ n ' eS £ p as divisible par 



2;] 

i i .-.)... .n) <7+ \ 1 . Mais si avec /> on n'a pniniV./- 7 l'inégalité 

// — 7 il 

ma 

A <C u- — cosse d'être un en tenu in de non-divisibilité. C'est 

pourquoi il faut concevoir théoriquement le procédé que nous 
venons <lo décrire appliqué successivement à tous Les nombres 
premiers non supérieurs à x. Soit //l'un d'entre eu* différent de/?. 
Partant toujours des deux nombres donnés x et // on détermi- 
nera de nouvelles limites x' X'j n' N' remplissant les conditions 
précédemment imposées à x X et n N et l'on en inférera un nou- 
veau nombre |// déterminé par l'inégalité 

K' < fx' ; 

p — I 

En continuant ainsi on obtiendra une série de nombres 

fi, fx', fx", ... 

Soit M le plus grand nombre qui se rencontre, une ou plusieurs 
fois, dans cette suite. On aura l'inégalité 

a — / J l 

k < M =- 

p — i 

dans laquelle k se rapporte au produit nx des deux nombres 
donnés et p k tous les nombres premiers non supérieurs à x; par 

conséquent aussi à ceux pour lesquels %# — ' 7 - P° lir ceux-ci 

l'inégalité précédente est, exactement ou a fortiori, un critérium 
de non-divisibilité; on pourra donc conclure que le nombre E 
n'est pas divisible parla puissance <r + M de la factorielle i . 2. . ./i. 

Telle est la conception théorique de la méthode d'investigation; 
il s'agit maintenant de montrer qu'elle est réalisable. 

Déterminons d'abord les limites supérieures X et N. 

x étant un nombre entier quelconque, p un nombre premier 
non supérieur à x, il existera toujours un nombre entier i tel que 



— 24 — 
et l'expression générale de x sera 

où a/_, n'est pas nul et où le minimum de i est 2, eu égard à la 
condition p^x. 

Dans cette formule, le minimum de x correspond à 

On a donc 

minimums = p*'— 1 . 

Le maximum s'obtient en donnant à chaque coefficient sa 
valeur maximum p — 1 , d'où 



maximum x = p — 1 -h/3 — 1 ./?-:-.. . -+- p — t ,p l ~ x =-p i — 1 . 

Prenons maintenant pour n un nombre quelconque au moins 
égal au maximum de x, soit 

n = b 4- &,/> -h ... + bi-ip'- 1 4- 6//? 1 " -t- . . . ; 

alors, dans le produit nx où n est fixe et x variable dans ses 
limites, on aura un maximum pour k en prenant x maximum. En 
effet, k étant par définition le nombre total d'unités reportées 
d'une colonne à la suivante dans la multiplication membre à 
membre des deux expressions 

x = a -+- «i/> -+-. . . (a , #i, ••• variables), 

n = 6 H- b\p -h. . . (b Q , fej, ... constants), 

ce nombre total ne saurait être plus grand que lorsque chaque 
coefficient a , «,, ... est le plus grand possible, c'est-à-dire égal 
à p — 1 , auquel cas x est égal à son maximum p 1 — 1 . 
Nous pouvons donc prendre 

iro = /> 1 ' -1 , X=p i — 1, 

et les limites de x se trouvent déterminées. 

Passons à la détermination des limites de n et prenons, sauf 
justification, 

n Q ='kp h , N = ( X -+- 1 )p h — 1 avec ^>*\ 

où \ peut varier de 1 à p — 1 . 



— <*.*; 



[I s'agit de justifier le choix de N, eu égard ;'j la règle donnée 
ns la méthode < 
On peul écrire 



dans la méthode d'investigation. 



N p /l - [-4- Ip' 1 , 
d'où résulte immédiatement 

N =p — 1 -+-p — I 'P-hf — I ./> 2 -h. . •-+-/> — I .//'-' -h >//'. 

formule exacte puisque L<^p. 

Pour un autre nombre n quelconque de n à N, on aura 

ra = b -+- bip H-. . .-f- b/ l - l p / '- 1 ^- \p h . 

Mais dans le produit //.r, où ^ est supposé fixe dans ses limites 
et n variable, la quantité k est maximum quand chaque coeffi- 
cient de n est le plus grand possible, c'est-à-dire quand n = N. 

La limite N est ainsi justifiée et l'on voit que le maximum 
maximorum de k correspond au produit maximum NX. 

D'autre part, n étant donné, il existera pour tout nombre pre- 
mier/? un nombre h tel que 

pà= n ^pà+i— h 

et, par conséquent aussi, une valeur de X pour laquelle 
^P h <n<{^ -^-i)p h — i (i = l=p — il 
Si l'on fait h = i et \ = i , on a 

n — \p'\ p'-t-i, • .., 2/?*'— i|. 
Avec h = & et exceptionnellement A = o, on a 

n = />' — i ; 

c'est, d'après nos conventions, le minimum absolu de n égal à V 
maximum de x. Ici « = n = N. 

Faisant varier h à partir de i, on peut résumer l'ensemble des 
valeurs simultanées de x et de n dans le Tableau suivant. Il se 
compose de divisions indiquées par des accolades el de sub- 
divisions indiquées par des barres verticales |. Les divisions cor- 



— 26 — 
respondent aux valeurs de A, les subdivisions aux valeurs de X. 



n= \p i —A [i^y-t-i... ■>./>'■ — 1| 

| 2/>*, '2p { -+- I , . . . 3/>' — 1 1 



, I (/> — 0/>S(./> - !)/>'' h- i • • -/>' :+1 - Ml 
j I /?'+! , P M -+- 1 . . . 2/>'- t " 1 — 1 1 

\(p —1) pi+l^p -.l)pi+l-irl ... pi+* — i|J 
» | /> /+2, pi-t-2 -(_ i . . . 2jD*'-*- 2 — ! | ... J 

j| p /l ,J) /l -\-l .. . •>./> / <— l| ... 

\ip h . ip h -+- 1 . . . ( x h- i )p h — i ! ... ! 

(i = à^/> — i). 

.# étant un nombre donné et p un nombre premier non supé- 
rieur à x, l'exposant i sera déterminé, et n, quel qu'il soit, à 
partir de p i — i, tombera forcément dans une des subdivisions 
de ce Tableau. 

En faisant varier p et i le Tableau donne pour x tous les 
nombres entiers, sauf l'unité, puisque le minimum de i est 2, et, 
pour /?, tous les nombres entiers à partir de p 1 — i. 

Pour appliquer la méthode générale, nous aurons à former le 
produit NX correspondant à la subdivision dans laquelle tombe // 
et à déterminer t u par la condition 

/i — \ n 

K < ;jl , 

p — \ 

n Q étant pris dans la même subdivision. 

Nous commencerons par le nombre n = p 1 — i , seul de sa sub- 
division. 

On a ici 



X = n = p 1 — i = p — i -î-/> — i .p -+-p — i ./>--±-. . .-r- p — i -p l ~ l -, 
Supposant le produit //X effectué, on aura dans les notations 



— 27 — 
du paragraphe I, toutes réductions faites, 

n X c Cip <■,/>• . . ., i \p 

el comme // \ /)' — i , on a mi 

ttX I />' - i) 2 ^- i — >.p'-{- />-'. 

D'ailleurs, on a identiquement 



i — •>./>' -f/> 2/ = i -\-p — i.p 1 -\- p — i ./> 



— i . />''+' 



-+-/>— 1 .jD* +8 +... -H/?— I ./>*' - />— i./> 2 '-'; 
d'où résulte immédiatement 

c = I, '■ i = <" 2 = . . . = C/-1 = o, 

Cj—p — 2, C/ +1 = C/h-2 = . . . = C 2 ,"_, = /? — I 

et 

V„x = i(p-i). 

Nous pouvons maintenant évaluer K par la formule générale 
N nœ — Nra. N.r — A:(/? — i) [Proposition 3, § 1], 
qui devient ici 

c'est-à-dire 

»•(/» — !) = »*(/> -I)*-K(j»-|), 

K = t 2 ( p — i ) — i. 

n se confondant ici avec ses limites n , N, nous avons, confor- 
mément à la méthode générale, à déterminer le minimum de u, 
dans l'inégalité 

n — N ii 

K<jjl — . 

p — i 

Or, on a ici 

n—\n 
p — I /; — I /? — I i" I 

et l'inégalité devient 

i*l p — i) — i < |x(i -h/? -î-/? 2 -+-. . .-h/>'~ ! ) — t\± 



— 28 — 
ou 

(4) i*(p — i) + i(n - i) < fJi(i +/> 4-/? 2 + . . .+ p'~ l ). 

que nous indiquerons brièvement ainsi 

V,<V 2 . 

Notre but est de trouver le minimum numérique de jjl pour 
lequel cette inégalité est satisfaite quelque soit/?, nombre pre- 
mier, et i nombre entier > a. 

Or pour ï= 2, p = 2 l'inégalité devient 



H-2(jx — i)<3jx; p>2. 



La limite inférieure cherchée ne peut donc être moindre que 3 
et l'inégalité (4) est satisfaite par les valeurs minima i= 2,/?= 2 
avec [A ^3. 

Nous chercherons maintenant à la vérifier avec i et p nombres 
entiers quelconques, à partir de 2; par implication elle se trou- 
vera vérifiée pour/? = nombre premier quelconque. 

A cet effet nous remplacerons successivement dans l'inéga- 
lité (4) i et p par i + 1 , p -f- 1 et nous comparerons dans les deux 
cas l'accroissement SV \ du premier membre avec l'accroissement 
8V 2 du second. Tant que l'accroissement du premier membre sera 
égal ou inférieur à l'accroissement du second l'inégalité sera 
encore satisfaite et la condition 3V,^oV 2 donnera dans chaque 
cas un minimum pour jj. qui pourra être supérieur au minimum 3 
déjà trouvé avec les valeurs initiales i = p = 2. Le maximum 
minimorum ainsi obtenu sera la limite inférieure de u, dans l'iné- 
galité (4). 

i° Changement de i en i-\- 1 dans (4)- 

On a 

oVî = ( 2 ï + i) (p — 1) -+■ p — 1 ; 8V 2 = [j.p'. 

La condition oV,<àV 2 est 

(2 i -f- 1 ) (p — I ) -h [l — I ^ [J-p'- 

Elle peut s'écrire 



— 29 

ou 

/'' - I I 

a i i i m 

P — « /' - ' 
ci sera satisfaite a fortiori si l'on pose 

/> — I 

» est-à-dire 

(5) 2 » ■+■ i ^ jj. ( i + p -h />' -+- . . . -h/ 



Dans l'examen de cette nouvelle condition et de celles que 
nous rencontrerons par la suite, nous aurons à opérer identique- 
ment comme avec l'inégalité (4) : chercher d'abord les valeurs 
initiales minima de i, /?, p. qui y satisfont et comparer ensuite les 
accroissements des deux membres quand i et p augmentent sépa- 
rément d'une unité. 

Or la forme de la condition (5) montre que, si elle est satisfaite 
par trois valeurs i, /?, m, elle le sera encore par les mêmes valeurs i, 
y. et toute valeur supérieure de p. Il suffit donc de l'examiner avec 
p = 2 ; elle devient alors 

2 t -f- I 7 pt ( I -f '2 -r- 2 2 -+-... h a*"" 1 ) 

cl pour le minimum i=z 2 on trouve 

5 ^ 3 ;jl ; \x ^ i. 

Changeons maintenant dans (5) i eni+i. On a 

Accroissement du I er membre = 2, 
Accroissement du 2 e membre = p.. a*, 



el la condition 



-fx.a' 



est toujours satisfaite quels que soient ti. et i. 

La condition V < 5 oV 2 est donc satisfaite quels que soient i et /> 
avec p > 2 et a fortiori avec u. > 3. On en conclut que L'inégalité | i . 
satisfaite avec {^>3, p = 2, j = 2, le sera encore avec u. 
p — 2, i quelconque. 



— 30 - 
2° Changement de p en p -f- i dans (4)- On a ici 

oV t r=^: 8V 2 =(jl|i /> i + (/^ + i) 2 + ...+ (/? + i)'- 1 

— (i-\-p-h />- -.-. ..-:-/>*'- 1 )|. 

La condition à satisfaire : ÔV! ^ oV 2 devra être traitée identi- 
quement comme la condition correspondante dans i° et comme 
['inégalité (4). Nous appliquerons le procédé sans répéter les rai- 
sonnements. 

On voit d'abord que oV 2 croît avec p. Car en groupant les 
termes deux à deux on a 

o\' 2 = [X j [-+- (p h-i)1— jB»-4_(_p-4~i)» — jE>3 -h... -h (/? M- i ,>'- 1 — 7?'- 1 ! 

et ia différence des deux termes d'un groupe quelconque 

m. m — i 
(p ■+- 1 V" — /?'« = i -+- mp -\ p* -+-. . . -h mp m ~ l 

est positive et augmente avec /?. Il suffit donc encore d'étudier la 
condition 8V, 5 8V 2 avec p = 2 ; elle devient alors 

OU 

(6) ,-«=li(, + 3^ 2 *+i) 

et pour le minimum i = i on trouve 

limite plus élevée que celles obtenues jusqu'ici. 

Changeant maintenant i enî+i dans (6) on trouve 

Accroissement du i er membre = ?,i-\-i, 

Accroissement du a e membre = — \ 3 i+i — -i i+ ' 2 — ( 3' — i i+y -)\ 

= - I 2 . V — 2' +1 i = \L ( 3' — T>/ ) . 
2 ' » ' 

La condition 

2 / -I- I ^ [JL (3 1 ' — 2» ) 

est satisfaite avec t= 2, jjl = i; a fortiori avec jjl >4 J elle le sera 



— ;n — 

aussi quel que soit /; car changeant encore / en / ; i on ,i 

accroissement du i"' membre i . 

accroissement du .>.'' membre = ;x ( 3'' >--•>' '> i— ( \> — ■>< , m , . ; 

et la condition 

i u.(2.3'— a') 

est évidemment toujours satisfaite. 

En résumé nous trouvons 4 comme maximum minimorum : 
telle est donc la limite inférieure de u. dans L'inégalité (4). 

De l'examen du cas 2° considéré isolément résulte que l'irx 
lité (4) satisfaite avec [*>4? 1=2, p = 2 le sera encore avec 
jjl ^ 4? i ' — "à-, P quelconque. 

Associant les résultats de i° et de 2°, la conclusion finale est 
la suivante : 

L'inégalité (4) est toujours satisfaite avec p = 4 et i, ^? nombres 
entiers quelconques, sauf l'unité. 

Elle est donc aussi satisfaite avec p nombre premier quel- 
conque. 

D'ailleurs l'inégalité (4) est identique à la condition 

n -2 n 

K< a ^~ 

/> — r 

n = p* — i , 

K < i 

p — i 



avec 



par suite on a 



et il en résulte, comme dans l'exposé de la méthode, que dans 
tout produit nx, où 

n = p' — i et p* i ~x^p i — i, 
on a 

n — \ n 
p — i 

puisque n est constant et k< K. 

Remarquons enfin que la limite ut = \ convient à toutes les 



— :i± — 

valeurs de i, le minimum i=2 inclus. Pour des valeurs de i 
supérieures à 2, la limite s'abaisserait. 

Ainsi, en reprenant l'investigation avec £>3, on trouverait, 
quel que soit /?, minimum \k = 2 ; avec l '^ 5, minimum ;j. = 1 . 

Généralisation. — Passons maintenant au cas général 

n = | \p'>, XpA-hi, ...,(> -i- i)p h - 1 1, 
X=p'~— 1, n = \p h , N = Ck-ht)p h —i, 

et, comme ci-dessus, 



N = /> — i h- /> — 1 . p -1- . . • -+-/> — 1 .//' ! h- A />''■ 

Notons 

2 X =i(p-i), ^N = h(p -l)-r-l, 



7 n = A, 



» j,*-. 



Formons le produit NX 

NX = [X -f-i )/>* — 1] \p''- 1 ] - 1 —/><-( A H- 0/> 7 ' -M 'X ■+■ i)a> /,+/ , 

et l'on a identiquement 

NX = 1 4-Qo — i)p*-h(p — i)p i+i + • • •+(/> — VP U ~ X ^-(P — A — a)/>* 
_l_ ( p _ ,)/>/'+! + . . . 4-( p — ] )ph-+-i-\ -+- "kp h +i. 

Pour la valeur limite \ — p — 1, le coefficient de p h devient 
égal à — 1 et la formule est en défaut. On la corrige immédiate- 
ment en écrivant ce terme et le suivant 



p — 1 . p h -h p — 2. p h+x , 
sans changer les autres termes, sauf le dernier qui devient 

(p — \)p h + l . 
Notons ici 

X=jD — i, N =/>>'+» — 1, 2n = (A-*-i)(/> — Oi 

/i = (/> — 1 )/> 7 ', 2«u = /> — I, ~^"1 =P /l — ' 

NX =(/>/*+!— [)(/?*— l)= l- p*- p'^—p^+i, 



— ;i:i — 
el l'on a bien 

N\ = H-(/> \)/>' , ( /> I )/>' ' ' H-. . .-\-( p i)p/t + (p 2)ph+i 

Procédant, nous trouvons 

^ </> •> z NX — h( p - - 1 1, 

X=/>-i, Vnx=(Ah-i)(/? -i). 

Evaluons maintenant dans les deux cas la quantité K. qui cor 
respond au produit NX par la formule 

On trouve d'abord 

X < \>p — i , 

h(p — i)= [h(p—i)-hl].i(p-i)—K(p~i), 

K = i[h(p — i)+ X] — A, 

et la condition K << a est 

1 P~ i 

(7) i[h(p — i)-l-X] — /*< ;xX 



/;'' — i 



/? — i 
Ensuite 

X = p — i , 

(Ui)(/)-i)=(A + i)(/)-[)j'(/)-i)-K(/)-i), 
K = &(A -4- i) (p — \) — (k -+- i), 



/i () — ^ f n 



et la condition K <T M. — — — est ici 

« /> -i 

(7 a ) i(h-hi)(p — i)_(A + i)<(x(/>A — i). 

Or, en faisant À =/? — i dans l'inégalité (7), on aurait 
*'(/' + ')(/> -n — /'< ^(y^— 1), 

et il est clair que si cette dernière inégalité est satisfaite, l'iné- 
galité (^ a ) le sera a fortiori. 11 suffit donc d'examiner l'inéga- 
xxxii. 3 



- 34 — 

lilé (7) en y comprenant la valeur limite X = p — 1 . De la sorte, 
le cas exceptionnel rentre dans le cas général. 

L'inégalité (7) contient deux nouvelles indéterminées h et A. 
Montrons d'abord que si elle est satisfaite avec deux valeurs parti- 
culières A, X, elle le sera encore avec toutes valeurs supérieures 
de ces deux quantités. 

Nous procéderons comme avant, changeant successivement h 
en h -h 1 et X en X -f- 1 , et comparant les accroissements des deux 
membres. 

Changement de h en h -H 1 clans (7). — L'inégalité (7) peut 



s'écrire 



h[i(p — 1)— ]]-+- il < [jiA y 



p — \ 
d'où 

Accroissement du 1 e1 membre = i{p — 1) — 1 , 

9. e » = [J.lp /l . 



fi 



La condition à remplir est 

ï{p I ) <; \lkp h -+- I , 

et si elle est satisfaite pour une valeur quelconque de h, elle le 
sera a fortiori pour une valeur plus grande. Il suffît donc de la 
vérifier pour h = i, valeur minima. Elle devient alors 

Hp — 0< |*X/>'-hi, 
et comme on a toujours 

la condition est, a fortiori, toujours satisfaite. 

Changement de X en X -+- 1 dans (7). 

Accroissement du I er membre = /. 

p h — \ 

» 2 » = u 



/> — 1 

La condition est 

._ p h —\ 
1 <V- 



p — i 

et il suffit encore d'y remplacer h par &; elle devient alors 

• _ p* — 1 

l < 

p — i 



— 33 — 

Le premier membre est indépendant de />: le second, qui esl 
égal à i ■ J rp- J rp 2 I • • • + p » croît avec p *, on peut donc i rem- 
placer/? par son minimum 2, el il vient finalement 

condition qui est satisfaite avec 1=2, jj. ;i. 

Elle le sera encore avec i >> •?. ; car, changeant i en * 4- 1, l'ac- 
croissement du premier membre est 1, celui du second est u. ■>.' . 
toujours supérieur. 

Nul re assertion est donc justifiée, et il suffit, pour déterminer u 
dans (7), d'y faire h = 1, X= I. 

L'inégalité est alors 

&'[*(/> — l)H-l]— i< |X t— 

/> — 1 

OU 

(8 1 /-( p — [) < [x(i +7; + /? 2 + . . . — pî-i). 

En la comparant avec l'inégalité (4), qui se rapporte au cas 
particulier n = "K = p i — 1, on voit que si (4) est satisfaite, (8) 
le sera a fortiori. Il en sera donc de même de (7). Un nouvel 
examen est, par suite, inutile, et nous pouvons prendre u. = \ 
comme limite inférieure valable dans tous les cas. 

Première conclusion. — Quels que soient, dans le Tableau 
général ci-dessus, x, /?, i et/?, on trouvera dans le produit nx 

n — 2, n 

(9) *<4 — . 

p — 1 

x et n étant donnés, si l'on fait parcourir a p la suite des nombres 
premiers non supérieurs à x, on obtiendra pour chaque nombre 
premier un nouveau tableau, et, quelle que soit la subdivision à 
laquelle n appartienne dans ces diiïérenls tableaux, la condition 
sera toujours satisfaite. 

Gela élant, elle subsistera aussi lorsque le nombre premier /> 

sera un de ceux pour lesquels /x est minimum. Mais dans ce 
cas, c'est-à-dire avec\.r — 6, il a été expliqué en détail dans 
Paragraphe, notamment dans l'exposé de la méthode d'investi- 



— 36 — 

galion, que l'inégalité (9) est un critérium de non-divisibilité du 

nombre 

1.2... nx 
E 



(1. 1. . .x) n 

par (1.2. . ./i)' 7+ '* et il en résulte enfin que le nombre E sera divi- 
sible tout au plus par la puissance «7 -4- 3 de la factorielle 1 . 2 . . . n . 
Toutefois ja = 4 n'est qu'une première approximation et il est 
possible d'abaisser cette limite. 

Cas dans lesquels u.===i. Faisant jji = 1 dans l'inégalité (7) 
qui exprime la condition générale 

K < p , 

p — i 

on obtient 

(10) i[lt(p — 1)+ X] — A < X(H-p-h i p2-f-...4-pA-l) 

(h = i; i = l=p — i). 

Rappelons que la quantité maxima K correspond ici aux valeurs 
maximaX— /?' — 1 ,N = (X -f- i)p h — 1 (voir généralisation). 

Nous avons vu que si cette inégalité est satisfaite pour certaines 
valeurs î 9 p, /*, X elle sera satisfaite pour toutes valeurs supé- 
rieures de h et de X, les autres quantités restant constantes. 

Introduisant dans l'inégalité l'hypothèse 

h = i -+■ i 
elle devient 

i[(» + i)(p — i) + a]~ (t-Hl)<X(lH-/>-h...-h/>0- 

Pour les valeurs minima i=2.=p, ce qui implique X = i il 

vient 

5 < 7. 

L'inégalité est donc satisfaite pour des valeurs quelconques 
de r, /?, X, avec A> ï + 1 . 

Conclusion. — Si l'on a 

pî-i^x </>'; p' +l 7H 

pour tout nombre premier non supérieur à .r, o- sera la puissance 
la plus élevée de la factorielle 1 . 2 . . . n qui divise le nombre 

I .->... . n.r 
(1.2 r"i" * 



- :\i — 

Dans le tableau des valeurs simultanées de x el de n la con- 
clusion précédente qui résulte de l'hypothèse A / i s'applique 
à loui nombre // situé dans la troisième division <lu tableau ou 
dans une division supérieure. \\<-< / 2, par exemple, le tableau 
esl 



\pp ■+■ i...p* 



;|//'/>' Ï...2 p*—l |2JD^..3/>«— I | ... | (/> — !)/>*... />*— 1 H 



// 



I |/> :i />•■«-!- 1. ..2/;» — I | '2 //'.. 



Examen du cas h — î. Le nombre /i dans cette hypothèse 
appartient à la seconde division du Tableau, qui se réduit à 



x 



\pi-lpi-l+ ,. , .pi —[ | 



; 1 /><... «2/>*— 1 1-2//...V-- 1 1 ... 1 (/> — o/y... />'-' — 1 1 ; 

Pour l'examen de ce cas il faut faire dans (10) h = i } d'où 
(11) i 2 (p — l) + «(* — 0< X(H-JDH-.. .+/>'-'. 

Cette inégalité doit être satisfaite avec À </?, et son exactitude 
dépendra des valeurs relatives des indéterminées qui y figurent. 

Ci-joint Ténumération de tous les cas possibles. Les valeurs 
correspondantes de p et de \ sont inscrites en dessous de ces deux 
quantités et en regard les unes des autres. 



1 = 2 



i = 3 { 



i = 4 



P- 


A. 


Inégalité (11) 


2 


1 


en défaut 


\ 


1,2 


id. 


5 


1 ^3 
( ^4 


id. 

satisfaite 


2 


1 


en défaut 


3 


\ 1 
1 2 


id. 

satisfaite 


5 


^ I 

1 "2 


en défaut 
satisfaite 


7 


>! 


id. 


2 


I 


en défaut 


53 


>1 


satisfaite 


~; 2 


. 1 


d. 



- 38 — 
Si l'on remplace dans (i i) A par pi, on retombe sur l'inéga- 



»0— Zj^O 



lité (4), qui exprime la condition k -< u dans le pro- 
duit NX avec n = n = N=X = />' — i ; l'inégalité (4) est don<- 
satisfaite avec u. = i, *j5 et la remarque en a déjà été faite en 
terminant l'examen du cas unique où n coïncide avec ses limites 
extrêmes. 

En résumé, le Tableau des valeurs simultanées de x et de n, 
pour lesquelles l'inégalité (il) est toujours satisfaite, quel que 
soit jp, est 

x = j p i ~ 1 p i ~ 1 -+- 1 • • -p' — i | , 

i 5 5, n =/>' — i ] \p i ,p i -+- 1- • • • ip' ~ i | 2J0 1 *,. . . ')/>' — i | 3//. . . 

4/? /_ I |...|( /> _ I ) /? /..; /? M-i_ 1 |;. 

En prolongeant ce Tableau indéfiniment, on retomberait sur le 
cas Jiyi-^-i examiné tout d'abord, et la condition i^o dispa- 
raîtrait. 

Le produit nx de deux nombres quelconques, pris dans le 
Tableau ci-dessus, donnera 



// 



2» 



k< 

p — i 

car l'inégalité (il) exprime la condition générale p. = i , c'est- 
à-dire 

K< =— , 

p — i 

K se rapportant au produit NX dans lequel X=/7* — i est un 
nombre fixe, et N un nombre variable égal au maximum de n 
dans une subdivision quelconque du Tableau, tandis que n repré- 
sente le minimum de n dans la même subdivision, et nous avons 
vu que la condition tj. = i entraîne 



n 
k< 



p — \ 



- 39 - 
puisque // , n , N étanl pris dans la même subdivision, on .1 

/ K, =- "-'_. 

/> - i /> - i 

Le Dombre a? étant choisi égal ou supérieur à >.'\ il v aura ion- 
jours un nombre premier/?, tel que //' ' ./• - \p l avec i 5 qui 
conviendra par conséquent au Tableau ci-dessus. Il peul se faire 
que l'expression arithmétique de x au moyen de p 

x = a -+- a x p -h a 2 /? 2 -f-. . . («</>) 
donne \ .r = t. Dans ce cas, ainsi qu'il a été expliqué en détail 



»-2* 



au début de ce paragraphe, l'inégalité k << - dans le pro- 



duit n.r où n^x est le critérium de Ja non-divisibilité du nombre 
E = * , par p' 7+i et, par suite aussi, par (i . 2. . .n)****. 

Donc si /?, dans le Tableau ci-dessus, est un des nombres pre- 
miers pour lesquels \ x = <7, le nombre E ne sera pas divisible 

par la puissance o- -j- t de la factorielle 1 . 2 . . . 11. 

Bien que, ;i , /?, N appartenant à une même subdivision du 



n — y«„ 

2 



Tableau, l'inégalité K << , relative au produit NX, 



n ~Zu n 
entraîne k << ■ dans le produit nx, il pourra arriver que, la 

première inégalité n'étant pas satisfaite, la seconde le soit; on en 
rencontrera de nombreux exemples. 

Cas particuliers et exemples. — Notons d'abord 

x =p h , 

n = &o-r- b x p -4- ^ 2 / ?2 -r-- • • • 

Dans le produit nx. on aura évidemment o = k <C 

ri r _ , 

(Voir Remarque, § 2.) 

Mêmes conclusions avec n = p h , x quelconque. 

Dans le premier cas, on a évidemment ar=i, et l'on en con- 



— 40 — 

i i ii- \ . ?.. . .np h , î • i i î 

clut que le nombre \i, = 7 — —, — n est pas divisible par le earre 
n ( i . •>. . . ./;'' )' 1 l L 

de la faetorielle i.a. . .n. 

Exemple 1. — Soit maintenant 

x = i h- p, n —]>*-, N = }.p 2 — i . 

Nous écartons les hypothèses p = 2 et î +/? = 2 A qui ramè- 
nent au cas précédent. 

Dans la Tableau qui correspond à />, on a i = 2; x est égal au 
deuxième nombre inscrit au Tableau, et n tombe dans la pre- 
mière subdivision qui correspond à \ = 1 . 

\p />-hi,../>*-iJ 2 



x x ; |/?a /?*-+- 1...2/>«— -i!j. 

L'inégalité (11), qui exprime relativement au produit NX la 

ftp — 7 , no 

condition K << , est en défaut (voir rémunération). 

p — 1 x ' 

Mais il pourrait se faire qu'avec un autre produit on trouvât 

k < Prenons, à titre d'essai, le produit Nx. On peut 

l'évaluer directement. 
On a 

x = 1 + 1 .p, N = 2/> 2 — 1 — p — i-h(/> — 1)/? ■+- 1 ./> 2 , 

\ — y n 



2 Na5V " i; t^t s= *~ 1 



- = ip. 



p—i p — i 

Na? = [/p~i+(jd- i)/>-f-i;/>2](i-Hi.jt>) =C +Cij»"-+- C 2 />2 + c 3 ^ 3 , 
dans les notations du Paragraphe 1. Ici 

C = p~ 1, G 1 =2( J p — 1), C. 2 = p, G 3 = i. 

On ramènera cette expression à la forme exigée dans le sys- 
tème de numération de base/?, savoir 

Nx == c -f- Cip -4- c 2 p--\-. . . (c</?) 



— il 
par les opérations Indiquées an Paragraphe I . 

<;„- p — i = c<>, <:, \ .pj- p '. C, / , \j_. hi, 

< ! 3 h ki ■> c a si y /. 

On a donc 

k = /. i -i- ki - 2 avec />> > - 

on aurail 

/ — 3 aven /> — i. 



Dans tous les cas, on a 






n i 



e'est-à-dire 



De plus, on a 



2 < 2/> avec /> > r 2. 

3 < ■>./) avec /> = ?.. 






/, — I /> — I 

d'où suit, avec/? >> 2, 

rc — \n 

A < =— -• 

/> — i 

Soit maintenant n un nombre quelconque entre les limites /i , 
N et k r , la quantité qui correspond au produit nx. On aura cer- 
tainement 

2' 



n — 7 ii 



k'< 



p — i 



? 



puisque fc est au plus égal à k et que — est au moins égal 



n 

à 



P — ■ 
D'autre part, on a ^# = 2 et Ton peut être sur que 2 est le 

minimum 2_i X i c'est-à-dire (T. Car, en supposant toujours /> >> 2, 

le nombre x = i -f- i . p est un nombre pair, donc un au tic aombre 
premier P ne donnera pas x = V h (seul cas dans lequel on 



— 42 — 

trouverait z = i ), à moins que P=2, d'où a; = i -+- i *p = 2 A , 
hypothèse écartée au début. 

Cela étant, d'après une remarque souvent répétée, la condition 

V 

n — 7 n 

*-< — ^- 

I '2 H X 

est un critérium de la non-divisibilité du nombre E 



(i .•>... .x ) n 

par /?' 7+, , d'où l'on conclut que ce même nombre E avec x = p-\-i i 
p >> 2, et w = |/j> 2 , p- -\- \ . , .o. p- — i | est divisible par le carré de 
la facto ri elle i.-a.. ./i, mais non par une puissance supérieure. 

Exemple 2. 
x = ■?./>. n = p 2 . N = 2J0*— i=/> — i — (/? — i i/> -f- 1 ./'- : 

V V v ^ ^ 

> .r = •>. . > N = 2 /; — i . = p -f-i , = 2 /' . 

— ^d y /> — i J p — i 

On a encore i = '2 dans le Tableau, et l'inégalité (n) est en 
défaut. 

Evaluons le produit N#. 

V/ =( 2p- — i) ip — — •>./; -f- \ p* = (p — ■?.) p -r-( p — i)/>' 2 -r- 3/> 3 . 

développement exact en admettant/? >> 3. 
Dans cette hypothèse, 

et la formule 

V\,r=y\. V X — k(p — i) 

donne 

2 p = i i p — i ) > — / i p — 1 1 : h = a, 

et l'on a, comme dans l'exemple 1 , 



»o — 7 »o N — } 



\ 



*< =— < 



P — ï p — i 



— 43 - 
On en conclut] comme dans << % i exemple, que dans toul pro 

V 

__ 
dm! //./■ où .r >./)cl />- ii ''./>-, <>n a /, <- -. 

D'ailleurs, ici encore, ? a, <'t. il en résulte que !<■ nombre 

h= -. 5 '—— avec > 6 et ///>-, /;- \ . . . > />- I n est 

(i .a.3. . >'ip) n ' 

p;is divisible par une puissance de la factorielle i.2...n supé- 
rieure à 2. 

On pourrait multiplier les exemples de ce genre, < | « i î montrent 

cpie Ton trouvera k < avec des valeurs de /i plus rap- 
prochées de x que ne l'indique la méthode générale, et il est pos- 
sible que? soit dans tous les cas l'exposant maximum de la puis- 

, • i • • 1.2... nx ... . c -\ 

sance de i . 2. . .n qui divise ; : mais il ne sérail pas tacile 

1 (i .2 . . .T ) a l 

de resserrer les limites n , JN, de manière à obtenir une certitude 
à cet égard. 

Sauf le cas isolé n =IS = \ = />' — i, les résultats obtenus 
jusqu'ici ne s'appliquent qu'aux nombres x et ft, qui ne sont pas 
compris dans les mêmes puissances consécutives d'un même 
nombre premier. S'il en était autrement, c'est-à-dire si x et n se 
trouvaient tous deux dans la première division du Tableau, la 
méthode générale ne pourrait plus s'appliquer sans modification. 
La difficulté consisterait dans le choix de limites n , N suscep- 
tibles de conduire à un maximum numérique pour jjl dans l'iné- 

«o — 'V n. 

ganté K<a > et il faudrait avoir recours à d'autres 

• p — i 

moyens. Dans son étendue actuelle, le présent travail suffit 
néanmoins peur montrer le parti que l'on peut tirer théorique- 
ment de la quantité k dont la nature n'indique a priori autre 
chose qu'un élément matériel de calcul numérique. 



_ u — 

SUR LES ZÉROS D'UNE CLASSE DE FONCTIONS TRANSCENDANTES; 
Par T\I. Georges Remoujvoos. 

1. M. P. Painlevé, dans son Cours à l'École normale supérieure 
sur les fondions abéliennes, a signalé comme vraisemblable une 
proposition, qui est une extension aux fonctions non uniformes du 
célèbre théorème de M. E. Picard, sur les valeurs d'une fonction 
uniforme dans le voisinage d'un point singulier essentiel isolé (*). 

J'ai confirmé, dans certains cas intéressants, l'idée de l'éminent 
géomètre par une Note présentée à l'Académie des Sciences, le 
20 avril i()o3 ( 2 ). 

J'espère que prochainement j'établirai cette extension dans le 
cas le plus général, à l'aide des intégrales abéliennes et en suivant 
une marche analogue à celle qui a permis à M. Picard d'établir 
son théorème. 

Je me propose de développer ici la Note citée en indiquant en 
même temps commentées considérations se rattachent à un théo- 
rème plus général, concernant les zéros d'une classe très étendue 
de fonctions ayant une infinité de branches. 

2. Considérons l'équation 

(1) F(z,u) = <T (a)H- ffiO) A iO) + a* (tt)A t (*)-+-.. . + c7 v O)A v (» = o, 

où A, (s), A 2 (~), ..., A n (s) désignent des fonctions transcen- 
dantes entières de genre fini et <t (m), o-, (m), ..., Gy(u) des 
fonctions entières de u absolument quelconques. 

Considérons pour le moment u comme paramètre, et appelons 
valeurs exceptionnelles de u celles pour lesquelles F(z, u) admet 
un nombre fini de zéros. 

S'il y a des valeurs de u pour lesquelles F(*, u) soit une cons- 
tante, ces valeurs sont toutes exceptionnelles; une telle valeur est 
l'infini ( 3 ); cette valeur exceptée, toutes les autres annulent à la 

( ' ) Voir Traité d'Analyse, t. III, p. 346. 

( : ) Je prie le lecteur de combiner la lecture de cette Note avec celle du pré- 
sent Mémoire. Pour abréger, je la désignerai par la lettre ( N). 

( 3 ) F (a?, 00) n'est pas une constante, si tous ces ff^u) ne sont pas des poly- 
nômes; cependant, l'infini est toujours une valeur exceptionnelle. 



— 4:i — 

lois 7, (//), 9 2 (u), . . ., <Ty(rt) (sinon on pourrait abaisser v). 
Tour abréger le langage, j'appellerai (E) leur ensemble. 
Soient a,, ot 2 , ..., a v , a v+l , v -h i , valeurs exceptionnelles ne fai- 
sant |>;is partie de ( E). D'après les hypothèses F (sa, ), Fteaj), . . . , 
F(*Ov) et F(ca v+I ) seront des fonctions entières <l<- genre fini 
n'ayant qu'un nombre fini de zéros et peuvent, par conséquent, 
mettre sous la forme (') 



F(*,«0 - P, (a)tfQiW, F(*,«,) = P,(*)e°' (s) , 



(a) 



| 

( F(*,av)=P v (s)é!<.\(s), ' F^^a-p^^o^w 



Posons 



ofWj, (0 2 . . . , (l) v ) = 



»l(«*>l) 


<r 2 («i) •• 


• M w i) 


ffi(a)j) 


<r 2 (io 2 ) 


• S v (to 2 ) 


a v (w v ) 


a 2 (w v ) • 


• ^v(wv) 


(* 


= l, 2, 3, . 


... v). 



= [aj (u>/,), a 2 (oj/,), . . . , 7, (co/,)J 



Je démontrerai que les nombres a,, a 2 , ..., a v , a v+ , pris va v doi- 
vent vérifier l'équation 



(3) 



0(0)!, C0 2 , . . . , U) v ) = O, 



c'est-à-dire que v quelconques de ces nombres doivent constituer 
une solution de cette équation. 

En effet, s'il n'en était pas ainsi, l'élimination de A, (z), A 2 (c) — , 
A v (^) (qui serait possible) entre les équations (2) nous condui- 
rait à la relation suivante : 

; <p(a s ,a 3 , ...,a v4 .,)P 1 eQ« — ?(a,,a 3 , ...,a v+1 1 P 2 e& -h... 
(4) +(— i) K + , cp(a,,...,a A _ I ,a A+1 ,...,a v+1 )P A eÛ*-h... 

( ■+■?(*!,««> ...,a v )P v . M eQ-+'= G, 

où G est une certaine constante. 

Or, cette relation est impossible, à moins que toutes ces quan- 



(') Voir É. Borel, Leçons sur les fonctions méromorphes, p. 56. 



— 46 - 

tités 'p(a 2 a :! . . . Kv-h)j f(*i «a • • • &v+i)i • ••> ?( a i *a • • • a v) ne soient 
nulles ( * ). 

M. Borel a fait une étude approfondie des relations de la 
forme (4) beaucoup plus générales que celle-ci et démontré leur 
impossibilité, à l'aide de la théorie de la croissance des fonctions 
entières, dans son important Mémoire. J'y renvoie le lecteur et je 
crois inutile de répéter ici la démonstration, qui est fort simple 
dans le cas qui nous occupe, car une dérivation de la relation (4) 
nous conduit immédiatement à une relation de la même forme, 
ayant une exponentielle de moins. 

Je dois remarquer que j'ai supposé que A 1 (3), A 2 ( s), . . ., A v (^), 
sont des transcendantes distinctes, c'est-à-dire qu'il n'y a pas 
entre elles de relations linéaires avec des polynômes comme coef- 
ficients. 

Cette hypothèse, qui ne diminue pas la généralité de la ques- 
tion, entraîne le fait qu'aucun des Q(s) n'est une constante. 

En désignant par (E) l'ensemble des racines de l'équation, cha- 
cune étant accompagnée par ses valeurs équivalentes, 

(5) cp(a,, a 2 , ..., Gtv-i,») = o, 

on a le théorème suivant : 

I. La fonction u(z) à un nombre infini de branches, définie 
par V équation (1), prend dans le domaine de l'infini toutes les 
valeurs, sauf, peut-être, un ensemble dénombrable qui fait 
partie de V ensemble (E). 

Ce théorème s'applique dans le cas où le nombre des valeurs 
exceptionnelles non équivalentes dépasse v, c'est-à-dire le nombre 
des transcendantes distinctes qui figurent dans F(s, u). 

3. Je dois ajouter que l'on arriverait aux mêmes résultats si 
l'on supposait que <7 (;y), a-, (m), .... <x v (w) sont des fonctions 
uniformes quelconques, n'ayant que des points singuliers essen- 

(') Voir E. Borel, Sur les zéros des fonctions entières [Acta Mathematica, 
t. XX, p. 385). Nous supposons ici que, parmi a,, a.,, .... a v . a v+1 , il n'y a pas 
deux valeurs équivalentes. Deux valeurs a, el a', seront dites équivalentes lorsque 
le rapport F(~, a, t ) : F(z, a',) est une fonction rationnelle. Si a t est exceptionnel, 
<x[ l'est aussi. 



— M — 

licls isoles; alors Les points Limites de l'ensemble (E) seraient 
parmi ces points singuliers essentiels, qui pourraient être aussi 
dc> \ aleurs excepl tonnelles. 

Dans lc> cas où les t( u) a dm ci ten i des lignes singulières essen- 
tielles, il pourrait se fane que l'infini lût un point d'intermina- 
lion incomplète de la (oneiion ii(z), d'après la terminologie de 
M. Painlevé ( ' ), c'est-à-dire que L'ensemble des \ aleurs exception- 
nelles fût continu, une aire, par exemple. 

ï. Passons maintenant au cas, qui a fait l'objet de la Noie (\). 
et qui présente le plus grand intérêt; c'est le cas où \ : {z, u) est 
un polynôme, par rapport à u. Soit 

(G) f(z, u) = <&-{- Aj (z) av+i-f- A 2 (2) m*-* -+-...+ A. v _, (z)u-h À v (;z ) = o. 

Ici, on voit tout de suite que la fonction <p(w,, to 2 , ..., co v ) est 
toujours différente de zéro, lorsque les valeurs des o)|, gj^ . . . ,<o v 
sont distinctes et n appartiennent pas à (E). 

Quant aux valeurs (E), elles n'existent que dans le cas où le 
nombre des transcendantes distinctes qui figurent dans /(s, m) est 
moindre que son degré v, et sont au plus v, l'infini compris. Elles 
sont d'une nature tout à fait différente des autres, car elles ne dé- 
pendent pas du tout des coefficients A(-s) ; elles seraient toujours 
exceptionnelles, quelles que soient les fonctions A(s), pourvu que 
la forme de l'équation f(z, u) = o reste la même. Nous pouvons 
les appeler valeurs exceptionnelles forme lies. 

On en déduit immédiatement les théorèmes énoncés dans la 
Note (N). 

Je n'ai pas cherché à reconnaître si le théorème (I) nous per- 
met de trouver des fonctions à un nombre infini de branches 
définies par (1) et pour lesquelles le nombre des valeurs excep- 
tionnelles soit limité, au plus égal à v + 1 , l'infini compris. 

o. Appelons genre de la fonction à v branches définie par 
L'équation (6) le plus grand des genres de ses coefficients A,(;). 
A 2 (z), ..., A v (s). 



(') Sur les singularités des fonctions analytiques et, en particulier, des 
fonctions définies par les équations différentielles {Comptes rendus, t. CXXXI, 
1 )• 



- 4-8 — 

On donnerait une pareille définition de son ordre. L'ordre 
ainsi défini reste invariable quand on effectue sur u une trans- 
formation homographique. 

En effet, en posant 

aux -\- b il, 

u = . (ad — oc^o), 

cii\ -h a 

on trouve une équation de la forme 

(7) u\ -h ai(<s)a^ -1 -+- a 2 (z)u\~ 2 -4-...-t-a v i(*)mi-+- a v (*) = o. 

dans laquelle les a(u) désignent des fonctions méromorphes dont 
l'ordre est au plus égal kg (*), si g est le plus grand des ordres des 
A (z). La transformation homographique ne peut donc élever 
l'ordre. Elle ne peut non plus l'abaisser, car alors la transformation 
inverse, qui est de même nature, ['élèverait. Les résultats récents 
de MM. Boutroux et Lindelof ne nous permettent pas de dire la 
même chose pour le genre. 

On voit que la définition que je donne ici est en parfait accord 
avec celle du genre ou de l'ordre des fonctions méromorphes 
donnée par M. Borel. 

6. M. E. Maillet, dans son important Mémoire Sur les fonc- 
tions entières (Journal de M. Jordan, fascicule IV, 190^), appelle 
fonctions quasi entières et quasi méromorphes les fonctions de 
la forme 

(•) /^ = <?.(ré^)+?'(d-„J +---+<P»(t^)' 

où o f (t), cp 2 (^)î • • •? °/i(0 désignent des fonctions entières ou mé- 
romorphes et définit l'ordre d'une telle fonction dans le voisinage 
de chacun des points singuliers essentiels. 11 démontre quef(z) 
peut se mettre sous la forme d'un produit 

(9) /(*> = ^î^>Ki^>--->+*(7ir v )' 

où <\>i(t), ..., ^v(0 so nt aussi des fonctions entières ou méro- 
morphes. 

( l ) Voir Emile Borel, Leçons sur les fonctions méromorphes, p. 62. 



— 49 



Cette propriété nous permet d'étendre facilement au cas où le> 
A(c) sont des fonctions quasi entières ou quasi meromorph.es 
toutes les propositions que je viens de démontrer ici. 

7. Convenons d'appeler fonction algébroide toute fonction â un 
nombre fini de branches, définie par une équation telle que (' 
on les A.(z) sont des fonctions entières on méromorphes. On dé- 
finirait de la même façon les fonctions quasi algébroïdes. 

J'ai donc démontre le théorème suivant : 

II. Toute fonction transcendante algébroide ou quasi algé- 
broide à v brandies et de genre fini prend dans le domaine de 
V infini toutes les valeurs, sauf 2v au plus. Si le nombre, des 
râleurs exceptionnelles est supérieur à 2 v, la fonction u(z) est 
algébrique. 

8. En terminant, je dois observer que l'on pourrait généraliser 
tous les théorèmes précédents en utilisant les relations exponen- 
tielles, dont l'impossibilité est démontrée par M. Borel dans son 
Mémoire déjà cité des Acta mathematica ( 1 ). 

Observation. — Le théorème (I) suppose explicitement que 
tous les A(s) sont des transcendantes. Le cas contraire nécessite 
une discussion spéciale que je ferai dans un autre travail. 

Ici j'observe que, pour certaines valeurs exceptionnelles, le 
nombre des exponentielles, qui figurent dans le premier membre 
de la relation (4) peut bien se réduire. Cela arrive dans les cas 
où, parmi les a,, a 2 , . . ., a v+1 , il y a des valeurs équivalentes 

Il n'y a que le second membre qui ne subira aucune réduction. 
Il est aisé de voir qu'il est égal à ^(a,, a 2 , . . ., a v a v+1 ), avec 



<!>( a,, a,, . . ., a v , av+i) 



?oOi) ^0(^2) 
n { (a,) 7, (a,) 



ffo(*v) ff (*v-M) 
ffiC«v) <*i(«v-»-i) 



-., i a 1 ) (T v («s ) • • J v ( av ) » v < »v+ 1 ) 
En appliquant donc toujours la proposition fondamentale de 



(') Au moment de la correction des épreuves, nous ajoutons que ce théorème 
de M. Borel va assez loin pour nous affranchir de toute restriction sur le genre 
des A, (s). 

XXXII. j 



— 50 — 

M. Borel (Mémoire cilé), si l'on veut, par suite, tenir compte de 
toutes les valeurs exceptionnelles, on doit exprimer le théorème 
en question par la seule condition 

<!'( a ( , a 2 . . . . , a v , ocv^-j ) — o. 

Ainsi, v + 1 valeurs exceptionnelles autres que (E) dotvenj 
satisfaire à cette relation. 



SUR LE MOUVEMENT D'UN POINT PESANT 
GUIDÉ PAR UNE COURBE RIGIDE; 

Par M. L. Lecornu. 

L'expérience dite bouclage de la boucle donne une certaine 
actualité à la question suivante que je me propose d'examiner 
ici en détail ( * ) : 

Quelle doit être la forme d'une courbe rigide, située dans 
un plan vertical pour qu'un mobile pesant qui parcourt cette 
courbe sans frottement exerce sur elle une pression constante. 

Pour fixer les idées supposons jusqu'à nouvel ordre que la courbe 
tourne sa concavité vers le bas et que le mobile posé du côté de 
cette concavité est animé d'un mouvement descendant. J'appelle h 
l'angle aigu de la tangente avec l'horizontale, v la vitesse, p le rayon 
de courbure. Je prends la masse du mobile égale à l'unité et je 
désigne par g son poids, par "kg l'action de la courbe sur le mobile 
égale et opposée à la pression constante du mobile sur la courbe. 

On a la relation 

(!) î- = ^(X-t-cos6), 

P 

à laquelle s'ajoute l'équation des forces vives 
(< 2 ) v dv = g sinOtffc. 

L'arc élémentaire ds est lié au rayon de courbure par la for- 



(!) M. Bourlet {Nouvelles Annales, avril igo3) a déjà abordé cette question 
et montré que, même en tenant compte d'une résistance proportionnelle au 
carré de la vitesse, le problème se ramène à des quadratures. 



•il - 
mule p .. • L élimination de p el «le ds donn»* 



(3) 



dt> sin8rf8 



r X -i cos8 
d'où, en appelante une constante arbitraire, 

1 X + cose 

Portons dans (i) celle valeur de c. Il vienl 

(5) 



^(X-f-cos6) 3 kg 

Le rayon de courbure est donc proportionnel au cube de la 
vitesse. Soit y la distance du mobile à l'horizontale sur laquelle 
sa vitesse s'annulerait. On a 

(6) y 



ig \ig( X -+- cosô ) 2 
La comparaison des équations (5 ) et (6) donne 

(7) P-aÇM- 

Le carré du rayon de courbure est donc proportionnel au cube 
de l'ordonnée. 

On retrouve là une propriété connue de la parabole; celle-ci 
est une solution particulière de la question : elle correspond au 
cas où la pression est nulle. 

Signalons en passant la solution singulière p = oc, cos9 — — /., 
qui correspond à une droite inclinée : il est clair d'ailleurs que 
toute trajectoire recliligne répond à la question. 

L'équation (4) admet une interprétation remarquable. Si l'on 
construit Vhodographe du mouvement en menant par une origine 
fixe un vecteur égal cl parallèle à la vitesse r, les coordonn 
polaires d'un point de cette hodographe sont c,9. On en conclut 
immédiatement que : 

U 1 hodographe est une section conique. 



- 52 — 



Soient a le demi-grand axe de cette conique et e son excentricité, 
En identifiant l'équation (4) avec l'équation 



a(\ — e*) 

i -+- e cos<) 



on trouve 



i 



ke k\ 



À " i — e* " X2 



D'après cela l'hodographe est une ellipse, une parabole ou une 
hyperbole suivant que la pression du mobile sur sa trajectoire est 
supérieure, égale ou inférieure au poids. 

La vitesse aréolaire sur l'hodographe est v 2 -r ou Elle est 

donc, en vertu de la relation (5) égale à la constante kg. Comme 
l'origine de l'hodographe est un foyer de la conique, la constance 
de la vitesse aréolaire montre qu'on se trouve en présence du 
mouvement planétaire. En d'autres termes : si x,y sont les coor- 
données du mobile pesant, le point dont les coordonnées sont 

— r-> -r- se meut exactement comme une planète, 
dt dt r 

Voici un corollaire de ce théorème. On sait que la vitesse du 
point qui décrit l'hodographe est identique à l'accélération totale 
du mobile considéré. Or, dans le cas présent, l'accélération totale, 
par hypothèse, est la résultante d'une accélération verticale g et 
d'une accélération \g normale à la vitesse. Ces deux composantes 
sont constantes. Si l'on revient à l'hodographe, on voit que : 

Dans le mouvement planétaire la vitesse est à chaque instant 
la résultante de deux vitesses constantes, l'une perpendiculaire 
au grand axe et l'autre normale au rayon vecteur issu du 
Soleil. 

Il est d'ailleurs aisé de vérifier directement ce résultat. 

Une autre conséquence du même théorème consiste dans la 
possibilité d'utiliser, pour l'étude du mouvement avec pression 
constante, les formules classiques dans lesquelles intervient l'ano- 
malie excentrique. 

Admettons d'abord que l'hodographe soit elliptique et appelons u 



- r>:{ — 
l'anomalie excentrique. On ;i 

v — a{\ — e cos // i. 

A COS II '■ . A v' — C* sin « /i "t h 

(•.•sf)= , suit) — , tanc:- = 4/ i.iiik — » 

l — c COS II I — CCOs;/. n •/ \/ i r a 

// — e si ii it — rit . 

Le moyen mouvement /i qui figure dans celle dernière formule 
est égal à la constante des aires, qui est ici kg, divisée par ab* I )onc 

n = k * = fi/ï=7* 

a*yi — e* <(>■ 



Ces équations déterminent, en fonction du temps, la vitesse c et 
l'inclinaison 9 de la tangente sur l'horizontale. 

L'ordonnée y est fournie immédiatement par la relation 



(8) y = — = — (i — e cos n) 2 . 

Pour avoir l'abscisse x, il suffit d'intégrer la relation 

dx = cos G ds = v cos dt = — (i — e cosn ) (cosn — e)du. 

n 

Le calcul ne présente aucune difficulté et, en remplaçant n par 
sa valeur, on trouve 



(9) 



a 2 e f 3 e 

x = - — eu -h (i H- e 2 ) sin u — - sin iu | . 

v/i — ^ >2 ,A' L ' 2 4 J 



On connaît ainsi a?, y en fonction de l'anomalie excentrique, et 
par conséquent en fonction du temps. 

Si l'on forme l'expression ds — \/dx' 2 -\- dy 2 , on trouve 
ds = — — ( i — e cos u) 2 du = -jz==.ydu. 

L'intégration donne 

aïe \( c 2 \ . ~| 

s = — i h I m — 20 sm u H — -sin 2 ?/ . 

y/i — e 2 ,^ LV a/ » J 



->t 



La valeur dey peut se me tire sous la forme analogue 

a 2 / e>- e* 

y — I H 2C COSM H C0S2 H 

1g \ 2 9. 

Ces diverses formules mon lient que l'expression 3 es H- (2 -\-e 2 )x 
est fonetion linéaire de sinw, sin2//et par conséquent s'exprime 
algébriquement en fonction dey. L'arc s est donc fonction algé- 
brique des coordonnées de son extrémité variable. 

La valeur de x ne se présente sous forme réelle que si l'excen- 
tricité e est inférieure à l'unité. Dans le cas où l'hodographe est 
hyperbolique {e >> 1) on ramène à la forme réelle en posant u= /w, 
ce qui introduit des sinus et des cosinus hyperboliques. Les for- 
mules deviennent 



(10) ce 



aïe T > e ~\ 

^=r ew + (i + 6' 2 ) S h co Sh 1 u> , 

gs/e^—i L " 2 4 J 

— 1 -+- — — 2 e Ch tu H L- h -2to , 

a A' L ' 2 2 J 



^ = — : M 



/e 2 — 1 

to — e b h 10 = £"£ . 

ae 

Les deux coordonnées sont infinies en même temps que t. 
La courbe, symétrique par rapport à l'axe des y, présente deux 
branches paraboliques dont les directions asjmptotiques sont 

tango = di y/e- — x. La valeur de x, positive pour les petites va- 
leurs de t, devient ensuite négative : il y a donc un point double 
réel sur l'axe des y. 

L'hodographe est constituée par la branche d'hyperbole tour- 
nant sa concavité vers le foyer. 

Le cas intermédiaire e = 1 correspond à l'hodographe parabo- 

ke 
lique. Remplaçons, dans la formule (9), a par sa valeur -• 

Pour que x demeure fini quand e tend vers l'unité, il faut que u 
soit infiniment petit. Développant alors la valeur de u suivant les 
puissances croissantes de u, on reconnaît que u doit être du même 

ordre que y/i — e. 

Si Ton pose — ' = cp, il vient à la limite 
•i\/i — e 

x — — 



( )n t rou\ e aussi 

/ - 

La trajectoire est une courbe unicursale du cinquième ordre 
avec un point double réel (<p* : = 5) <■! deux branches paraboliques 
à direction asymptotique horizontale. 

Si Ton fait croître e jusqu'à -f-oo, on parvienl au mouvemenl 
parabolique ordinaire dont l'hodographe est une droite verticale. 

Restent à examiner les valeurs négatives de e. Le changement 
de signe de e, et par conséquent de X, nous avertit que la pression 
est renversée, c'est-à-dire que le mobile est de l'autre côté de sa 
trajectoire. Pour bien voir comment les choses se passent, partons 
de la position pour laquelle 9 = o et soit v la vitesse correspon- 
dante. La formule (4) devient p='p s — — — 5 « Remplaçons X 
par -> e' étant la valeur absolue de e. Nous avons ainsi 

v = i; ù — Si e' est compris entre i et ao, l'hodographe 

e cos O — i r - J 

est une branche d'hyperbole tournant sa convexité vers le foyer. 
Les directions asymptotiques sont données par cosQ = — ,» d'où 



tangf) =\/e' 2 — i . La valeur (io) de#, dans laquelle il faut main- 
tenant changer e en — e* ', ne s'annule plus pour aucune valeur 
de to, autre que zéro, c'est-à-dire qu'il n'y a plus de point double 
réel sur l'axe de symétrie. 

A mesure que la valeur absolue de e' se rapproche de l'unité, 
les deux asymptotes de l'hodographe tendent à se confondre ; fina- 
lement, pour e l =i, l'hodographe se réduit à une demi-droite 
horizontale. En même temps la trajectoire du mobile a pour 
limite une droite horizontale sur laquelle celui-ci se trouve posé : 
pour une pareille droite il est clair que la pression exercée par le 
mobile est égale à son poids, ce qui correspond bien à l'hypo- 
thèse e' = i . 

Supposons enfin e' compris entre l'unité et zéro. L'équation (i) 

mise sous la forme — ™£-/cos9 ^ j montre que p est main- 
tenant négatif, et en particulier que pour le point de départ (8— o) 
la concavité de la courbe est tournée vers le haut. L'hodographe 



— 5G — 

esl d'ailleurs elliptique et l'on retrouve la forme de trajectoire 
déjà rencontrée pour les valeurs de e comprises entre zéro et 
l'unité avec cette seule différence que le point de départ esl à un 
sommet inférieur au lieu d'un sommet supérieur. 

Fig. i. Fig. 2. Fig. 3. 






Les trois figures ci-dessus résument toute la discussion. La 
figure i correspond à l'hodographe elliptique (X supérieur à i ou 
inférieur as — i). La figure 2 se rapporte à l'hodographe hyper- 
bolique avec valeur positive de 1(à << 1) et la figure 3 à l'hodo- 
graphe hyperbolique avec valeur négative de A(X >> — 1). Les petits 
disques hachurés indiquent de quel côté de la trajectoire circule 
le mobile pesant. 

INFLUENCE DE LA FORME DES ÉQUATIONS EN GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE; 

Par M. G.-A. Laisant. 

11 y a longtemps déjà j'ai publié, dans le Bulletin de la Société 
mathématique de France, une Communication intitulée : Sur la 
représentation analytique des figures et leur segmentation, 
où je faisais ressortir la possibilité de représenter à volonté une 
partie seulement d'une courbe donnée. Les remarques très brèves 
que je présente ci-après se rattachent un peu au même ordre 
d'idées, tout en étant différentes de celles que je viens de rap- 
peler. Elles reposent sur la limitation qu'on s'impose dans le 
champ de variation d'une coordonnée x, si dans l'équation de la 
ligure entre une fonction v(x) qui devient imaginaire lorsque x 
dépasse certaines valeurs limites. 

Je me bornerai, pour plus de brièveté, à des exemples simples. 

Soit y = sime ouj' — sin.r = o l'équation d'une sinusoïde. On 
peut aussi bien l'écrire x — arc sin^=o, et elle représente la 
courbe entière, tout comme la précédente, puisque y ne varie 
qu'entre — 1 et H- 1, mais qu'à chaque valeur de y correspondent 



une inimité de valeurs de X . De même, X sinv <>. <>u 

v — arc si n ./■ r : o représente toute la sinusoïde S, . Si un us écri- 
vons {y sin#) ( x • - s in y) = o, nona aurons l'équation de l'en- 
semble des <lcn\ sinusoïdes. Mais (^ — sina (j arc ?inx) = o 
représentera seulement la partie de la figure comprise entre les 
deux parallèles AD et A' D' à O^, puisque x ne peul varier ^ u «■ 





Fifi 


. i. 








.'/ 


(S,)\ 






D' 


B 


g/ 


E 










F 


(S) 


A' 







A 


.XV 


F' 










E' 


/G' 

l 


B' 


D 


• 



de — i à -f- i ; c'est-à-dire toute la sinusoïde Si et une partie seule- 
ment (F'O F) de la courbe S. De même (x — s\x\y)(x — arc sinjK) = o 
représente toute la sinusoïde S et l'arc G'OGdela courbe S,. 
Enfin (jy — arc sin^r) (x — arc siny) = o représente la partie com- 
prise dans le carré DED'E', c'est-à-dire une figure ayant quatre 
points d'arrêt. 

On reconnaîtrait de même que arc sin^r = arc smy est une 
équation qui représente un segment de droite, diagonale E'E «lu 
carré DED'E' dans la figure précédente. 

Je pourrais rappeler aussi l'exemple de la courbe ayant pour 
équation y — cos \J x\ elle a ou n'a pas un point d'arrêt sur Or. 
suivant qu'on se croit obligé de donner à x des valeurs exclush e- 
ment positives, ou qu'on s'autorise à faire varier x de — ooà-r- x . 

Enfin, j'ai entendu des mathématiciens fort éminents, à qui je 
posais la question, se demander si y = x ou y — (\/x)- sont deux 
équations qui représentent bien la même figure. 



— 58 — 

Tout ceci montre à quel point la forme des équations importe 
■en Géométrie analytique, et quelles précautions devraient s'im- 
poser dans l'enseignement, lorsqu'on opère des transformations 
de calcul. 

SUR UN HYPERBOLOGRAPHE A LIQUIDE; 
Par M. E. Estanave. 

Considérons une courbe C dont l'équation, rapportée à deux 
axes rectangulaires, esly = f(x) et une sécante AB, soient A et B 
deux points consécutifs d'intersection de la droite et de la 
courbe G. Cherchons l'enveloppe de la droite AB qui limite sur 
la courbe C une surface d'aire donnée. 

Tout d'abord, on peut remarquer que si l'aire ACB est con- 
stante le point de contact de AB et de son enveloppe sera au 
milieu de AB; il suffit pour s'en convaincre de considérer la po- 
sition infiniment voisine de la droite AB. 

Par suite, x ,y , X\,y\ étant les coordonnées de A et de B, 
les coordonnées d'un point de la courbe T, enveloppe de AB, 
seront 

. „ Xq —r- X\ 

il) A — j 

2 

. v ;Ko-;- r, f( r u ) -+■ f(.r, > 
(i) \ =' ou * 

On peut considérer l'aire constante S comprise entre la 
droite AB et la courbe G comme la différence entre l'aire du tra- 
pèze A«6B et celle de la courbe C, a, b étant les projections de A 
et B sur l'axe des x. On a, par suite, 

(3) ( . ri _. ro) /^i˱/L^)_ f Xi f(. T) dx = S. 

On obtiendra l'équation de la courbe V enveloppée par la 
droite AB en éliminant x et œ { entre les trois équations (i), (2) 
et (3). 

Nous examinerons en particulier le cas où la courbe C est du 
second degré. 

Si G est une conique, la courbe T est une conique homothé- 



— ;;ï) — 

tique. La courbe I esl donc un cercle, une ellipse, une parabole 
on une hyperbole] suivant que la courbe (î esl un cercle, une 
ellipse, une parabole, une hyperbole <>n même un système de 
deux droites constitué par les asymptotes de l'hyperbole. 

I ) 'après cela, on voit que la courbe ( ! n'est pas, en généi al, plus 
simple < | m* la combe F, sauf dans le cas <>ù la courbe ( ! esl foi mée 
par un système de deux droites. 

Considérons en particulier ce cas qui \.i nous conduire à l'hy- 
perbolographe, qui est le but de cette Communication. Le prin- 
cipe de cet appareil est, en effet, fondé sur une propriété bien 
connue de la tangente à l'hyperbole. 

Si l'on considère une branche d'hyperbole dont les asymploie» 
sont OA, OB, on sait que l'aire du triangle AOB, déterminée 
par la tangente AB sur les asymptotes, est constante quelle que 
soit la tangente AB à l'hyperbole considérée. 

Celte branche d'hyperbole peut donc être considérée comme 
l'enveloppe du troisième coté d'un triangle AOB d'aire con- 
stante. 

Si nous considérons (Jig. i) une cuve prismatique DOE, D'O'E' 




contenant un volume V de liquide, l'aire du triangle AOB dé- 
coupé par la surface libre AB, A'B' sur la face DOE restera con- 
stante lorsque l'on fera pivoter la cuve autour de L'arête 00' 
supposée horizontale, car 



AOB x 00' \ . 



Par suite, dans ce mouvement de pivotement autour de OO' la 
surface libre du liquide enveloppe un cylindre hyperbolique donl 



- 60 - 

les génératrices sont parallèles à 00'. Toute section normale 
à 00' sera une brandie d'hyperbole identique à celle qu'enve- 
loppe la droite AB. 

Gela posé, on peut déterminer les relations qui existent entre 
le volume V de liquide, l'angle aco au sommet de la cuve et les 
longueurs «, b des axes de l'hyperbole enveloppée par AB. 

En désignant par \ la longueur de l'arête 00', S la surface 
constante du triangle AOB, a et b les axes de l'hyperbole, 
l'on a 



tan £io = 



d'où l'on tire 



a 



4 



a = 2 



/ — 
y X tan; 



v/i ta " : 



(<>. 



Si nous voulons obtenir une hyperbole qui a pour axes non plus 
a et &, mais K«, K&, les formules précédentes nous montrent 
que w aura la même valeur et que le volume V de liquide à intro- 
duire dans la cuve sera 

V'=K*V. 

Donc, les volumes de liquide à introduire dans une même cuve 
pour obtenir deux hyperboles homothétiques sont entre eux 
comme le carré du rapport d'homothélie. 

Remarque. — La courbe dessinée par le liquide sur la section 
droite n'est pas à considérer dans son entier. Si, par exemple, 
pour fixer les idées, on considère une cuve prismatique à angle 

Fis. 1. 




droit, tous les points de la courbe dessinée (fig. 2) ne font pas 
partie de l'hyperbole équilatère. 



- fil 

En effet, Al> étanl la tangente à la courbe menée par !<• poinl l'>. 
point extrême de la course du liquide, le milieu de \T> lera un 
point extrême do l'hyperbole. Nous «levons limiter la courbe par 
deux parallèles aux asymptotes menées par les milieux M <-t S 
de OU et OA', les points \i et A' étant les positions extrêmes de la 
nappe liquide. 

On sait, d'autre part, que le rayon de courbure de l'hyper- 
bole xy = m 2 en des points d'abscisse x = rn, •>///, 3m, ... \ i 
très rapidement en grandissant et, par suite, la portion d'hyper- 
bole située après le point G d'abscisse \m se confond sensible- 
ment avec une parallèle à l'asymptote. La partie intéressante de 
la courbe est justement celle comprise entre les points G et U que 
dessine le liquide. 

Grâce aux résultats signalés par M. G. -A. Laisant dans un 
Mémoire (') sur la segmentation des figures planes où il indique 
le moyen de représenter, par une équation, un fragment d'une 
courbe à l'exclusion de toute autre partie, nous pouvons donner 
la représentation analytique de la portion GD de l'hyperbole des- 
sinée par le liquide. [I suffit de poser, avec M. Laisant, 

fa \ — sin/ / fo \s\nt 



lïj ' Jr = m \m> 

avec la relation ab = m 2 , ab étant les coordonnées du point G, 
ba celles du point D. 

On a encore, en éliminant le paramètre t, 

. La? — \jiti . L y — Lm 

arc sin -r—, ; — 4- arc sin -~~ — — - = o. 

Lt> — \ji)i \,b — Lm 

Dispositif expérimental. — Le dispositif que j'ai adopté se 
compose essentiellement d'une cuve prismatique triangulaire 
(DOE, D'O'E') (fig* 1) ayant au sommet l'angle des asymptotes 
de l'hyperbole à tracer. La cuve est mobile autour d'un axe 
horizontal parallèle à l'arête au sommet 00'. Son mouvement de 



(') Bulletin de la Société mathématique, t. XVIII, p. 1 ^3. 



— 62 — 

pivotement, qui doit être assez lent et continu, est obtenu à l'aide 
d'un mouvement d'horlogerie approprié. 

Pour fixer sur une surface plane les diverses positions de la sur- 
face du liquide de la cuve, j'ai pris, dans une première série d'ex- 
périences, des plaques de cuivre et, comme liquide, une dissolu- 
tion d'un sel de mercure. Le bichlorure ou l'azotate donnent des 
dépôts très nets de mercure sur le cuivre préalablement décapé, 
avec de l'émeri, par exemple. 

Dans une autre série d'expériences, j'ai pris des plaques de fer 
avec une dissolution de sulfate de cuivre. 

Les plaques ont la même forme que la cuve et viennent s'ap- 
puyer, parallèlement aux faces triangulaires de la cuve, sur les 
faces DOD'0',EOE'0'. Elles sont maintenues par des taquets 
placés en DD', EE' et 00'. Le liquide approprié étant introduit 
dans la cuve, on dispose la plaque et l'on fait pivoter lentement la 
cuve jusqu'à ce que la surface libre du liquide vienne dans le voi- 
sinage du bord EE' et ensuite du bord DD\ On retire alors la 
plaque sur laquelle se trouve dessinée la branche d'hyperbole. La 
courbe dessinée doit, comme je l'ai dit, être limitée par des paral- 
lèles aux asymptotes menées par les milieux de OD et de OE. 

Dans les expériences faites, j'ai utilisé des cuves de zinc verni, 
d'angle au sommet de 90° et 6o°, mais on pourrait se servir de 
cuves à angle variable, analogues au prisme à angle variable utilisé 
en Optique. On a ainsi à sa disposition deux variables co et V, ce qui 
permet de tracer des hyperboles d'axes donnés à l'avance a et b. 

Remarques. — Si l'on voulait avoir non plus sur une surface 
métallique, mais sur du papier les images de ces hyperboles, on 
pourrait prendre une plaque photographique qu'on a préalable- 
ment voilée en l'exposant à la lumière et la placer dans la cuve où 
l'on a mis un volume V d'un révélateur quelconque. Après fixa- 
tion du cliché, on pourra tirer sur papier des épreuves de l'hy- 
perbole tracée par le révélateur. 

On peut aussi remarquer qu'on peut prendre pour profil G des 
fragments de courbes simples dont le tracé est facile. Par exemple, 
si le profil C est constitué par une branche de parabole et la tan- 
gente au sommet, le contour T est une courbe du quatrième 
degré. 



- 63 — 

Flotteurs. — ■ En terminant, nous rattacherons le principe 
expérimental, qui nous ;i servi de |><>int «le départ, à la théorie des 
flotteurs. 

Si nous considérons, en effet, un solide pesant qui (lotte ;'■ la 
surface d'un liquide, la surface libre du liquide détache dans !<• 
solide, supposé homogène, un volume constant (le poids <l<- son 
égal volume de Liquide est égal au poids du corps). Les plans de 
flottaison qui découpent ainsi dans le corps des volumes <'l:;iii\ 
enveloppent une surface dite surface d'isocarène qui est, en 
général, une surface compliquée. Dans le cas d'un corps prisma- 
tique cette surface est simple. 

Si nous considérons, en effet, un corps de forme prisma- 
tique {fig* 2) DOE D'O'E', si on le fait flotter verticalement, la 
ligne de flottaison sera AB A'B\ La surface d'isocarène sera un 
cylindre hyperbolique qui est aussi le lieu des intersections des 
plans de flottaison. 

On peut imaginer qu'on passe d'une position à la position voi- 
sine en faisant tourner le corps d'un angle infiniment petit autour 
de cette génératrice. Pratiquement, on peut incliner le flotteur en 
déplaçant la charge : on aurait là un autre mode de génération de 
l'hyperbole, mais il paraît physiquement moins commode à réaliser 
que celui que nous avons adopté. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES, 



SÉANCE DU 6 JANVIER 1904. 



PRESIDENCE DE M. TOI Cil I.. 



La Société, réunie en Assemblée générale, procède au renou- 
vellement du Bureau et à l'élection du Conseil. 

Communication : 

M. Laisant : Sur V influence de la forme des équations en 
Géométrie analytique. 



— 64 — 

SÉANCE DU 20 JANVIER 1904. 

PRÉSIDENCE DE M. BOREL. 

Correspoîiclance : 

M. Pellet adresse une Note sur les Fonctions entières. 

Communications : 

M. Zervos : Sur le développement cV une fonction en série 
ordonnée suivant les puissances entières et positives d'une 
autre fonction. 

M. Borel : Observations sur la Communication précédente. 

M. Roche : Sur les développements en séries de polynômes. 



SÉANCE DU 4 FÉVRIER 1904. 

PRÉSIDENCE DE M. TOUCHE. 

Communications : 

M. Bricard : Sur les six rapports anharmoniques de quatre 
quantités. 

M. Grévv : Sur une équation fonctionnelle. 

M. Zervos : Sur la représentation des fonctions non uni- 
formes. 

M. Lecornu : Sur les roulements à billes. 



SÉANCE DU 20 FÉVRIER 1904. 

PRÉSIDENCE DE M. CARVALLO. 

Communications : 

M. RafîV : Sur les surfaces enveloppes de sphères. 

M. Bricard : Observations sur la Communication précédente, 

M. Zervos : Sur les équations algébriques. 



— <;:; — 



MÉMOIRES ET COMMUNICATIONS. 



REMARQUE SUR LES ZÉROS DES FONCTIONS ENTIÈRES; 

Par M . Michel Petrov n < a. 

Soil F(.s) une fonction entière d'un genre fini />. Désignons 
par M (/•) le maximum du module de V( :■ ) lorsque le module de 3 
esl égal à /', /• élant une variable réelle positive. 

On sait que, quel que soit le nombre réel et positif a, le produit 

M(r) e -ar."^ 

reste inférieur à un certain nombre fini N lorsque r varie de o à x . 

Je me propose d'indiquer comment la connaissance : 

i° D'une limite supérieure du nombre ]N correspondant à 
une valeur donnée de a; 

2° De la valeur que prend F(z) pour z = o ; 

3° Du genre p de cette fonction, 

Permet de calculer des limites inférieures des modules des 
zéros de F(^) et, d'une manière plus générale, des valeurs 
de 3 pour lesquelles F(z) prend une valeur C donnée à 
Vacance. 

Tout d'abord l'égalité 

(i) M(r)e- a ' 7 ' +, <\ 

entraîne, comme l'on sait, la suivante : en posant 

(a) V{z) = a Q -\- a v z -{- a-yZ'-h . . . 

on aura 

(3) l««l<w£ 

où c et |5 sont des constantes numériques ayant pour valeurs 

D'autre part, d'après un résultat que j'ai démontré dans un 

xxxii. 5 



m — 



travail antérieur (Bulletin de la Société mathématique de 
France, t. XXIX, igo'i, p. 3o3-3ia) : si Ton désigne par X le 
plus petit module des zéros de la série (2) et si l'on forme la 
fonction 



2 ,'2/1 



(5) "</•)= ^2 \a n 


on aura 

(6) >.>-^ 

quelle que soil la valeur de la variable réelle et positive /•. 

L'inégalité (6) subsistera manifestement si Ton substitue aux 
coefficients <7,, a 2 , «3,..- les quantités définies par le second 
membre de l'inégalité (3), de sorte qu'on peut prendre 

(■7) " (,, > = ^ + ^2<-^- ; 

1 

le second membre de (6) fournira une limite inférieure de À 
quelle que soit la valeur réelle et positive /'. Et en particulier en 

faisant r= w on arrive à la proposition suivante : 

r 

Une limite inférieure des modales des zéros de la fonc- 
tion F(z) est donnée par l'expression 

(8) 



où K désigne une limite supérieure de N; À /e module de F(o) ; 
a et b deux constantes numériques ayant pour valeurs 

a = [(7> + ï)e]p 6 = (7TT)' 
()(/) désignant la transcendante 

1 
Les constantes a ci b restent les mêmes pour toutes les fonc- 



— Ii7 — 

lions F (s) d'un même genre p el sonl faciles à calculer une l«>i- 
pour toutes. ( )n i rouvera ainsi : 

Pour /> = (», 

a = e = 2 ,71 8'1 ; // = 8 (2) r ,06 lg ; 
Pour p — 1 , 

,j = y/-2 e = 1 ,33 1 6 ; 6 =0(0 = 1 , 29 1 \ : 
Pour /> = 2, 

a = v^3« = 2,0128; 6 = 0(f> = i,5383; 

En remplaçant dans (8) A par | F(o) — CI celte expression 
fournit une limite inférieure des valeurs de ; pour lesquelles F(s) 
prend la valeur donnée G. 



SUR LES FONCTIONS REPRÉSENTÉES PAR UNE CLASSE ÉTENDUE 
D'INTÉGRALES DÉFINIES; 

Par M. Michel Petkovitch. 



I. — Généralités. 
1. Les intégrales de la forme 

. / R(*, ?)dt, 

où R est une fonction rationnelle en 3, à coefficients fonctions 
quelconques de t, sont susceptibles de représenter des fonctions 
analytiques arbitraires de la variable z. 

En effet, toute fonction analytique de z se laisse définir, et 
cela d'une infinité de manières, par des intégrales de la 
forme ( 1 ), qui la représentera dans telle ou telle partie du 
plan. 

Vinsi, la formule fondamentale de Cauchv 



11:1 . /. l — ; 



— G8 — 

ainsi que celles qui s'en déduisent par des dillércntiations, des 
changements de la variable ou du chemin d'intégration, etc., 
fournissent des expressions analytiques de la fonction F(z) sous 
la forme (i). 

On en déduit une infinité d'autres formules du même type en 
les appliquant à des fonctions assujetties à des conditions plus 
particulières. Telles sont, par exemple, les formules de Stieltjes ( ' ) 






[où co et ^ sont la partie réelle et le coefficient de i dans F(/j)], 
applicables à des classes étendues des fonctions; ou bien les for- 
mules, en nombre illimité, de la forme 



F(*)= f R(*,*>F(X-rfcVi 

*-" 00 

F<*) = f R(*,*)F(I -hpi)dt, 



valables, la première dans les cas où Ja fonction F(^) est holo- 
morphe pour les z à partie réelle plus grande que A, la seconde 
lorsque F(g) est holomorplie pour les z à coefficient de i plus 
grand que \x ( 2 ), etc. 

Une fonction F(c) étant donnée par son développement de 
Ta y 1 or 

¥(z) = A -}- A,(3 — a) -t- A 2 (~ — «) 2 4-. .., 

le coefficient K n se laisse mettre d'une infinité de manières sous la 
forme 

(2) A„= / \(t)[r(t)]"dt, 



(') Stieltjes, Sur le développement de logT(a) (Journ. de Math, pures et 
appl.f 1889, p. 4'<*5-444)* 

( 2 ) Petrovitch, Généralisation de certaines formules de Stieltjes (Rendi- 
conti del Cire, matem. di Valernio, t. XVII, 1903). 



— (il) — 

on soii> la forme <l une somme de termes (2)5 ceci fait, on aura 



,/ i ( Z —a)r{t) 



( )n connaît des solutions particulières du problème d'expri- 
mer \„ sous la forme (a) pour des cas très éten'dus. M. Le U<>\. 
par exemple, a indiqué la manière (le mettre \„ sous la forme 

A„= / M t)( ' dt 

• o 

toutes les lois que An est une fonction (le // régulière dans le do- 
maine de l'infini, ou encore si A„ est exprimable par une série 
procédant suivant des puissances positives quelconques de /t et, 
en particulier, si A„ est une fonction algébrique de n régulière à 
r i n fi ni ou n'ayant qu'un pôle ('). 

D'autres solutions sont fournies par celles du problème des 
moments traité récemment par MM. Stiell jes, Borel et Le Roy, et 
consistant à mettre une suite dénombrable de quantités A , A,, 
A 2 , • •■> sous la forme 



A»= f y(t)t"dt 



On peut, d'ailleurs, transformer ces formules en une infinité 
d'autres rentrant dans le type (2). Dans des cas particuliers, on 
aura des solutions diverses du même problème par de nom- 
breuses intégrales définies connues de la forme (2) (-). 

Certaines classes spéciales de fonctions F(~) se laissent expri- 
mer par une formule de la forme (1) par des procédés particuliers 
ne convenant qu'à de telles fonctions. C'est ainsi que les formules 

connues 

.1 

/ [-F(o)-f-*F'(* *)]<**= P(*), 



f. 



fit ~ 

1 -h (a — i)sin«* " 2v /â 



fournissent le moyen d'exprimer le logarithme, ou Tare lang. ou 



(') Annales delà Faculté des Sciences de Toulouse, 1900. 

Voir, par exemple, les formules «le ]«i page 77 de ce Mémoire. 



— 70 — 

bien la racine carrée d'une fonction rationnelle quelconque de z 
sous la forme dune intégrale portant sur une fonction ration- 
nelle de z, etc. 

2. LlemarquoDS maintenant qu une fois la fonction F (z) 
exprimée dune manière quelconque sous la forme (i), on 
saura l'exprimer d'une infinité de manières par une intégrale 
de la forme que nous avons ici en rue. 

En effet, il existe un nombre illimité de fonctions <!>(/, s), ra- 
tionnelles en t et jouissant de cette propriété que pour toute 
valeur de s, appartenant à une certaine partie du plan, on ait 



(3) f*U,z 



dt 



Ainsi, l'arc d'intégration L formant un contour fermé et P(/, c i, 
Q(£, s) étant deux polynômes en c à coefficients fonctions uni- 
formes en t, si les deux équations 

P = ac, Q = o, 

pour \z I < a (a étant un nombre réel et positif donné) n'ont pas 
de racines en / comprises à l'intérieur du contour L, on aura 



[ Vit, z] 
J L l^(f, z) 



I 



dt = o 



pour toute valeur de z à module inférieur à a. 

Si le chemin L coïncide avec l'intervalle (o,oo), on peut prendre 
pour <ï>(/\ s) la fonction 



A Z COS/ — Z 2 



1 — t- A- — 1 A Z COS / — Z' 1 

(où a est un nombre réel et positif quelconque); L'intégrale 



/ COS fit 



. dt 

étant nulle pour toute valeur positive de n. on aura 

j &(t,z)dt — o 

' 

pour tonte valeur de z à module inférieur à a. 



1 - 



De même, on >.\\[ ()u il \ ii une infinité de fonctions &{ t) louis- 
sant <le cciic propriété que, pour n = o, i , 2 , . . M on ait 



/ çp(j )/" rf* = o (*); 



on construira, à l'aide de telles fonctions, une Infinité <le fonc- 
tions <!>(/, z) satisfaisant à la condition (3), etc. 

De telles fonctions ( Im t. z) existent pour un chemin L quel- 
conque) <mi en ajoutant aulanl qu'on voudra à la fonction Gguranl 
sous le signe de l'intégrale (i), on aura des représentations ana- 
lytiques, en nombre illimité, de la fonction donnée ¥(:•) sous la 
forme de l'intégrale portant sur une fonction rationnelle en z. 

3. Les fonctions F(s), définies par des intégrales (i), ne sont 
donc pas des fonctions spéciales : toute fonction analytique est 
susceptible d'être exprimée d'une infinité de manières sous cette 
forme. 

De plus, à des fonctions F(^) compliquées, à des transcen- 
dantes irréductibles aux fonctions usuelles correspondent sou- 
vent les fonctions R(£, s) rationnelles en z à coefficients fonctions 
très simples. Tel est, par exemple, le cas de la fonction 



z e~ 



-i>r- 



(le chemin L étant l'intervalle o, ce) correspondant à la transcen- 
dante irréductible 



\J a -+- bu 

v 

ou bien le cas de la fonction 

e-t— er bt -\- ze- ht (\ — c~ af ), 
i i — ze~ at )t 

(L étant l'intervalle o, oc) correspondant à la transcendante 

I- i z) ="V log(a -+- bn)z". 

o 

(') Voir, par exemple, Bom.L. Leçons sur les séries divergentes, Chap. II 



7"> 



Des transcendantes pareilles se présentent, d'ailleurs, 
d elles-mêmes dans une foule de problèmes variés, directe- 
ment exprimées sous la forme que nous avons ici en vue. 

Ainsi l'intégrale de L'équation 

dx dy 



où f est une fonction rationnelle en z et quelconque en x, sera, 
lorsqu'on y fixe la valeur de x, une fonction de z qui s'exprime 
par des combinaisons simples de fonctions fournies par des qua- 
dratures et de certaines fonctions F(~) directement exprimées 
sous la forme (i). 

En y faisant, par exemple, ^ = 00, on aura la valeur asympto- 
lique de l'intégrale exprimée comme fonction du paramètre z. 
La valeur asymptotique, par exemple, de l'intégrale de l'équation 

(e***-zeï*>) ^ = o{y) (o < a < f), 
dans les cas où l'équation 

£ = *<*> 

est à l'intégrale uniforme, sera ou bien une fonction rationnelle 
de la transcendante 



ou bien rationnelle en e a0(c) , ou bien algébrique en sn[aô(s)], 
où #, le module de sn et les coefficients de ces fonctions ration- 
nelles ou algébriques étant constants. 

Etant donnée une équation algébrique du premier ordre 



(4) F^,/d 



dy 
dx 



à points critiques fixes et du genre zéro, l'évaluation de l'inté- 
grale / y dx ou, plus généralement, de 



• 1. 



(5) / R(x,j )dœ 



?:: 



i K étant rationnelle en r, quelconque en x\ conduil également 
aui transcendantes dont mous nous occupons ici. Car l'intégrale j' 
sera une combinaison rationnelle d'une certaine fonction 



Ci>l "h C, 

II — 



C <»', -+- tr 2 



fournie par L'intégration d'une certaine équation de Riccati, rat- 
tachée à L'équation ( {). L'intégrale (5) sera donc de la forme 



j. 



\* (.r, G) <V./\ 



où 1* est une certaine fonction rationnelle en (i à coefficients 

fonctions de x dépendant algébriquement de c,, p 2) it',, w 2 et des 
coefficients fonctions de l'équation différentielle (/j) • elle sera 
donc une fonction de la constante d'intégration C qui se présente 
directement sous la forme (i). 

Dans le cas, par exemple, de l'équation bien simple 



-j- — h xv- — *' 2 x, 
dx 



'intégrale 



a pour valeur 



fV 



a ) d.i 



c^2 



G" 



y /£ 



4. Supposons maintenant qu'on se donne à L'avance une inté- 
grale déterminée ( i), où les coefficients de la fonction rationnelle 
R, ainsi que le chemin L, soienl précisés. Il y aurait un intérêl 
manifeste à étudier les particularités de la fonction F| z) qu'elle 
représente directement sur l'expression analytique ainsi donnée, 
>;ins chercher à la ramener à des combinaisons explicites de fonc- 
tions connues. C'est à cet ordre d'idées que se rattache la pré- 
sente étude. Je m'y propose, en particulier, d'indiquer quelques 
relations existant entre certaines particularités des fonctions figu- 
rant comme coefficients dans la fonction rationnelle R et celles de 
la fonction f i - ) elle-même, correspondanl à la fonction R el le 
chemin «I intégration donnés. 



- 74 — 

Tout d'abord, le développement de L'intégrale en série ordonnée 

suivant les puissances de la variable z mel en évidence la possi- 
bilité d'exprimer la fonction F(s) comme combinaison simple de 
diverses puissances de z et de certaines fonctions 8(5) jouant, 
par rapport à F(s), le rôle d'une espèce d'élémenls simples. 
Les coefficients des séries 

0(3 ) = a -^ a 1 z -r- a 2 z- -]~ . . . 

ainsi obtenues et correspondant à ces éléments simples appa- 
raissent sous la forme 

a n = I A(/.)[r(t)\»dt, 

«A, 

où les fonctions À(/) et f'(t) dépendent algébriquement des coef- 
ficients de la fonction rationnelle R. 

La forme même de la dernière intégrale, déjà étudiée sous 
quelques rapports et dans certains cas plus particuliers, rend par- 
ticulièrement faciles diverses recherches concernant, par exemple, 
la manière dont a n varie avec n, ses limites supérieures ou infé- 
rieures, sa valeur approchée ou valeur asymptotique pour n très 
grand, la convergence des séries 8(5) et diverses autres particula- 
rités des fonctions 8(3) (zéros, singularités, valeurs asymp.lo tiques, 
mode de croissance, etc.). 

Les résultats récents sur les séries de Taylor et sur les fonctions 
représentées par des intégrales définies, comme par exemple ceux 
de MM. Hadamard et Le Roy, y trouveront un vaste champ d'ap- 
plications variées. Je me bornerai à en signaler quelques-unes les 
plus directes, n'ayant pour but que d'en faire ressortir la possi- 
bilité et l'intérêt d'une théorie plus complète des fonctions faisant 
l'objet de ce Mémoire. 

II. — Développement t:n séries oe Taylor. 
1. Considérons l'intégrale 
(6) F(*)= / R(t,*)dt, 

où K csl une fonction rationnelle de z à coefficients fonctions 



analytiques quelconques <lc t. Nous supposerons que ni l< - numé- 
rateur ni l< ¥ dénominateur de R ne contiennenl <!<■ facteurs de la 
forme (s — aY \<i étant constant), sans quoi on tirerait ces I" 
teurs en dehors de l'intégrale. La fonction R étant holomorphe 
pour les valeurs de z au voisinage de s — - o, on aura, pour z suffi 
samment petit, 

(7) H(/, z)= Ho-4- H, z \- H t z* + .... 

D'après le théorème bien connu sur les développements des 
fonctions rationnelles en séries de ïaylor, le coefficient général 
ll„ sera la somme d'un nombre limité de termes avant tous l;i 

forme 

(S. ?i(n, t)[ri(t)\"\ 

les fonctions f*i(t) ne dépendent que de // et s'obtiennent comme 
racines d'une certaine équation algébrique en /' 

(9) G(t, r) — 6, 

transformée en ; = - de l'équation obtenue en égalant à zéro le 

dénominateur de R(£, z)\ les fonctions P/(/fc, /) sont des poly- 
nômes en n à coefficients fonctions de t dépendant rationnelle- 
ment des coefficients des diverses puissances de ^ dans \\(t, z)] 
enfin, le degré du polynôme P, en // sera égal à A, — 1 , où A, désigne 
l'ordre de la racine correspondante r = ri(t) de l'équation algé- 
brique ^9). A chaque racine /' de (9) correspondra un terme (8 | 
dans l'expression de H w . 

Le coefficient H„ sera donc la somme d'un nombre limité de 

termes de la forme 

n k ki(t)[n(t)] n t 

où les fonctions Ai(t') et i'i(t) ne dépendent pas de // et dépendent 
algébriquement des coefficients de la fonction R| /. z 1. 

Par conséquent, en supposant que l'intégration de la série (7) 
soit légitime, on aura le résultat suivant : 

Le coefficient a n de la série 

(10) 1'" 1 z 1 = rt -- #i - -- «1 * 2 -+- • • • i 

correspondant à la fonction étudiée (fi), sera I" somme 'I un 



— 76 — 
nombre limité de termes 

(u) n k l(n), 

où A- est un entier positif , et 1(//) une fonction de n donnée 
par la formule 

(12) [(n) = / k(t)[r{t)Y dt. 

La détermination du coefficient a n se ramène donc au calcul 
des intégrales de la forme (12 ). 

Il arrive, toutefois, dans certains cas particuliers, que quelques- 
unes parmi les intégrales l(/fc), correspondant à la fonction donuéc 
F(z)j soient infinies ou indéterminées, quoique F(^) soit holo- 
morphe pour ; = o. De tels cas se présentent lorsque plusieurs 
intégrales I(n), multipliées par une même puissance de /?, sont 
infinies ou indéterminées quel que soit /*, cette discontinuité dis- 
paraissant dans leur somme. La détermination du coefficient a n 
se j'amène alors au calcul des intégrales de la forme 



03) I [Ai(0[/-i(0]*-+-MOlr,{0]* + ...| 



t djt } 



où le nombre de termes sous le signe f est limité. 

Ceci se présente, par exemple, dans le cas de la fonction 

(14) F (*) = / A— y 

à laquelle correspond le coefficient 

(i5) an = J 1 j-e-»*\dt; 

chacune des deux intégrales (1 5), prise séparément, est infinie; le 
coefficient a u est, cependant, fini et a pour valeur 

a n = Iog(/i + 2). 

2. Revenons aux intégrales (12) auxquelles se ramené, dans le 
cas général, le calcul des coefficients a n . 

D'abord, dans certains cas ces intégrales se laissenl exprimer 
sous la forme explicite comme fonctions de n. 



/ / 



Supposons, par exemple, que T. n< d'intégration forme un 
contour fermé qui entourera alors nécessairemenl <l«s singularités 
d'au moins une fonction \.(t) et r(t)\ \{n) sera la somme d'inté- 
grales prises le long des circonférences <le rayon infiniment pétil 
décrites autour de ces singularités. En particulier, chaque pôle 
«le \ | / 1 donnera, dans l'expression de I(/i),un terme de la forme 

nui — \). . A n — // )db" . 

où a el b sont des constantes indépendantes de n ei // un entier 
positif également indépendant de n. Chaque pôle de r(t ) foui uni 
un terme doni la valeur sera donnée par le résidu correspondant : 
eelui-ei peut représenter des fonctions infiniment variées de //. 
comme l'on s'assure, par exemple, en prenant 

r(*) = j, 

dans quel cas le résidu représentera le coefficient c n _ { de la série 

A ( t) = c -4- c t t -+- c 2 V 1 -+- 

Un grand nombre d'intégrales l(n) se caleulerait par des mé- 
thodes spéciales liées aux hypothèses faites sur les fonctions A (O, 
r(t) et le chemin d'inlégration L, ou à l'aide des formules con- 
nues du Calcul intégral. En voici quelques intégrales connues (If- 
cette espèce : 



e -at* e -nbi*d t = Yjz ' 

2 V a -t- bn 

e~ nt cosat dt = — > 



a- 



S" 

f 

(" r- cosaP dt = l/| »/»+/"' ^ 

»^o y 8 y a 2 H- iï- 

f 

f ( l - Ycctidt 

J \ a -h li) 



iï- 
— > 



, . dt a 

e~ nt s i ii « ^ — = arc tane - » 
t n 



>«-i 



2it 

e ac i.ii.3.. An — i)' 



\ 2 «-l /l(rt-t-l)...(2Al — i) 
1.2. 3. ..(Al — I) 



r x t**dt - I.3.5. ..(2/i — D 

f v /,_ J2 "* 2 2.4.6.. .2/1 



MO 1 






1 . 2 . 5 . . 1 n — 1 1 



— 78 — 

l'intégrale étant prise le long d'une circonférence décrite autour 
de l'origine), etc. 

3. Dans les cas où il est impossible d'exprimer I(/i) comme 
fonction explicite de /i, on peut en préciser des limites supé- 
rieures ou inférieures soit pour la valeur même de I(/l), soit pour 
son module; la forme même de ces intégrales rend particulière- 
ment faciles les recherches de cette espèce. 

Ainsi, le chemin d'intégration étant réel ainsi que les fonctions 
\.(f. ) et r(l), le théorème de la moyenne fournira soit des limites 
supérieures, soit des limites inférieures de \{n). Pour les inté- 
grales, par exemple, de la forme 

A(t)e ant dt (<x<o), 

on aurait 

M t ... . M 9 

— - < I ( n ) < — , 
n n 

M, et M 2 étant des constantes; pour 



il serait 



— I <\{n)< -J 



o u r 



on aurait 






1 1.2.3. ..(il — I) \2«/ ^ 1.2. 3. ..(» — !) \'W 

Lorsque le chemin d'intégration ou les fonctions A(7) et r(j) 
ne sont pas réels, en choisissant, par exemple, deux fonctions 
â(i) et u(t) de sorte qu'on ait constamment, le long de l'arc d'in- 
tégration, 

I r(*)|^l "(O, 
on aurait 



| J(»)l < / '•'.' » I " { I" *i 



s étant la longueur de Tare L. 



— TU — 



En particulier, on peul prendre comme intégrales de compa- 
raison celles où la loue Mon // ( / 1 se réduit à une constante. Soil M 

le minimum, ma.rimoru m du module de /*(/) le long des ans 

obtenus en déformant L de manière que l(/i) conserve la même 
valeur que le long de L. Toutes les lois que l'intégrale 

P= f\\(t)\ds 

esi une valeur finie, déterminée et différente de zéro, on aura 

|I(/i)| < PM«. 

Si le minimum maximorum n'existe pas, on prendrait pour M 
la plus grande valeur qu'acquiert la fonction r(t) \c long de L. 

En faisant des hypothèses sur les fonctions A(^) et /( / 1, et en 
prenant pour fonctions de comparaison des fonelions variées de /. 
on aura des intégrales de comparaison en nombre illimité. 

Considérons, par exemple, les intégrales de la forme 



l(«)= / A(*)[r(0]*«fc, 



où les fonctions A(l) et r(t) sont supposées réelles pour toute 
valeur réelle positive de t et satisfont à celte condition qu'on ait 
en valeur absolue 

k{t)<kt, r{t)à , h :■ 

/a* -h r- 

On aura alors en valeur absolue (pour /& >► a) 



r* tdt 

/ ■ "S 



I(/i)<A-A« / — , 



ou bien 



'2 \ a 



Signalons, en passant, un résultat plus général fourni par des 
considérations de ce genre. So\lf(z) nue fonction réelle pour Z 
réel et positif, liolomorphe pour toute valeur de c à partie réelle, 
positif et tendant vers zéro lorsque z croît indéfiniment avec un 

argument quelconque compris entre — - cl -• 



— 81) - 

La valeur absolue du coefficient A n (n^>i) de la série de 
Taylor 

/( z) = Ao-h Ai (s — a) ■+• A 2 (-s — a)*-+-. . . , 

o/> <7 esZ ///ie quantité réelle et positive quelconque, est infé- 
rieure à la valeur 

(•/i — i )Tza' 1 - 1 

N désignant la plus grande valeur absolue qu'acquiert le rapport 

^ pendant que ; varie par valeurs positives de z = o à z = ce, 

et ^(2) représentant le coefficient de / dans f(zi). 

En effet, comme je l'ai montré ailleurs ('), pour toute fonction 
f(z) satisfaisant aux conditions énumérées, on aura, en valeur 
absolue, 

Or, le rapport ' ~ > nul pour z = 00, fini pour £ = ce, et holo- 

morphe pour toute valeur positive de .5, présentera certainement 
un maximum N fini et déterminé, lorsque z varie de z = o à z = ce, 
de sorte qu'on aura en valeur absolue, pour les valeurs positives 
de t, 

ee qui conduit directement au résultat énoncé. 

4. Outre les méthodes de comparaison précédentes, on peut, 
grâce à la forme des intégrales I(ft), avoir des limites supérieures 
de l(/i) par bien d'autres procédés. 

Ainsi, lorsque le chemin L forme un contour fermé, on aurait, 
dans des cas étendus, des limites supérieures du module de l(n) 
par des procédés analogues à celui par lequel on détermine de 
telles limites pour les coefficients des fonctions entières en par- 
tant de leur expression sous la forme de l'intégrale de Cauehy. 

Supposons^ pour indiquer un autre procédé, que le chemin L 
se réduise à un intervalle limité ou illimité de valeurs réelles, les 



( ' ) Généralisation de certaines formules de Slieltjes {Rendiconti del Circolo 
maternât ico di Palernw, kjo3, p. 33 \ ). 



- 81 - 

fondions V-(f) el r(t) étant réelles, finies et continues entre les 
limites (I intégration. L inégalité de M. Scliwartz 



\.i> 



Idt 



/•,',/,|| /',:,/, 



valable pour Les fonctions o <*i <l réelles el intégrantes entre les 
limites de L'intégration, appliquée aux fonctions 



<p = A(*), ^ = [r(n i », 



conduit à L'inégalité 



I(») \v/Y(/i), 
où A est une constante indépendante de // avant pour valeur 



\ 



s/T, 



\</>|W/, 



el \ ( n ) étant une fonction de n donnée par 

Y(#i)= f[r(t)]**dt: 
Appliquée, par exemple, aux intégrales 

où a et /> sont des constantes positives et A(/ ) une fonction telle 
que L'intégrale 

i A ( t ) dt 

'■ — 00 

ail un sens, la dernière inégalité conduit à 



'(»><W '"" (J "î' ) r (4 " 

1 y i . ?.. 3 ...(■>// — 



— i) 




s el (3 étant indépendants de //. 

D'autres limites de I(/i) seraient fournies par le théorème connu 
d ? Ossiau Bonnet consistant en ce qlle, si p(#) csi une fonction 
positive el croissante dans l'intervalle (a, />), <>n aura 

/ f(x)y(x)dx :o(6) ^ f(x)dx 



— 82 — 
(avec a << \ <C 6), et si f(x) esl positive el décroissante, on aura 

/ f(x)<o(x)dx=(f(a) ! f(x)dx. 

Supposons, par exemple, que le chemin L, ainsi que les fonc- 
tions A(t) et /(/) figurant dans I(w), soient réels, et que, de plus, 
r(t) et ;•'( t) conservent des signes invariables pendant que t varie 
dans l'intervalle (a, b) [nous considérerons le signe de r(t) comme 
positif] et enfin que l'intégrale 



I \(t)dt 



reste finie, déterminée et différente de zéro pour toute valeur de £ 
et 7) comprise entre a et b. 

En appliquant le théorème de Bonnet aux fonctions 

/(0 = A(0, ?(*)= ['(')?, 
on aura 

I(#0 ==AB», 

où A et B sont des constantes ayant pour valeurs : 
Si r'(t)>o, 

A = / k(t)dt, B = r(a): 

si /■'(/) <o, 

A = / k(t)dt, B = r(6), 

d n 

\ et T, étant deux nombres compris entre a el b. 

Si donc N et M représentent une limite supérieure et une 
limite inférieure des intégrales A ainsi définies, on aura 

NB"< IU)<MB". 
Jll. — Décomposition k\ éléments simples. 
1. Le coefficien! b n de la série 



— x:\ — 

correspondant à la fonction I' i s } étudiée, sera, comme nous I .1 \ :<»n , 
remarqué, la somme <l un nombre limité de i< rmes de la forme 

où les /•( / ) ne dépendenl pas <!<• // «'i s obtiennent comme rai ines 
d'une certain^ équation algébrique en /• à coefficients fonctions 
de f\ IN/, n) sont des polvnomes en // à coefficients fonctions 
de / des degrés indépendants de //. 

Chaque polynôme I*' /, n 1 se Lusse mettre, el cela d'une seule 
manière, sous la forme 

P(/, n) = \ {) (t)-i n \,< t)-\- /un 1 ) W /)+... , 

où les A|(/) seront fondions de t définies par !<• système d'équa* 
tions linéaires 

P(t, 0) = A , 

P(f, i) = A„+A h 

P(/, 2) = Ap-KaAi-h-iÀ,, 

P(t, 3) — A q ±3A 1 -j-6A i ± 6A a , 



Par suite, le coefficient b„ se laisse exprimer sous la forme de 
la somme d'un nombre limité de termes de la forme 

n( n — 1 ) ( n — ?.). . .(n — k)\(n), 

où k ne dépend pas de /?, et oùI(/i) sera de la forme 

(ifi) I(»)= f ' Aih\rit)\»dt. 

Les fonctions A(t) et r(t) ne dépendent pas de n et dépendent 
algébriquement des fonctions de t figurant comme coefficients 
«les diverses puissances de ; dans R(£, z). 

La fonction étudiée F(z) s'exprime donc sous la forme de la 
somme d'un nombre Limité de termes de la forme 

ac X 

N n{n — 1). . .( n — k ) I ( n)z" = ** -— y I ( n 1 z" . 



d'où le théorème suivait, fondamental pour l'étude que nous nous 



>|( IhlIMIIIS 



- 84 — 
En désignant par 

Ii'(n), ï s (n), r,(/i), ... 

les diverses intégrales de la forme (16), rattachées à la fonc- 
tion considérée F (3), et par 

8,(*), o,(^), e 3 <^), ... 

/e.f diverses fonctions 



correspondant à ces intégrales, la fonction V(z) se /o«jg 
mettre sorts la forme d'une combinaison linéaire de termes 



On arriverait, comme on s'en rend bien compte, au même 
résultat en décomposant la fraction rationnelle R(/, s) en frac- 
tions simples, et en intégrant l'expression obtenue le long du 
chemin L. La décomposition précédente de F (3) n'est donc pas 
restreinte aux valeurs de z à l'intérieur du cercle de convergence 
de la série correspondante B(s), pourvu que, pour les valeurs 
de z hors de ce cercle, on considère 9 (s) comme définie par son 
expression 

J h \ — zr(t) 



qui la représente dans (ont le plan. 

2. Les fonctions 8(5) jouent le rôle d'une espèce d'éléments 
simples par rapport aux fonctions F(s). Ces éléments sont, 
d'ailleurs, infiniment variés et représentent, en général, des fonc- 
tions transcendantes de z. 

Ainsi, les fonctions F( z) correspondant aux fonctions 

A(0 = «*'i '•(/)= 7 



- sr> - 

el à l'arc L représentant un contour fermé entourant l'origine, 

son! des combinaisons Linéaires d'un nombre limité <l<- termes d<: 

la forme :- fi <■"'. 

Les fonctions F(s) correspondant aux fonctions \</> el rit) 

de lu forme 

\{t) = «"'", r(J) = e bti 

(a el b étant des constantes à partie réelle négative) et à l'arc L 
se réduisant au demi-axe réel, se réduisent à des combinaisons 
linéaires des puissances de 3, de la transcendante 



•<->-2z= 



y/rt H- &// 

et de ses dérivés par rapport à r. 

Lorsque les fonctions A(f) et /•(£) sont de la forme 

. . < sina* . . 

A(*)= — -i r(t) = e-t, 

l'are L se réduisant au demi-axe réel, le rôle d'élément simple est 
joué par la transcendante 



G(*)=2(arc'tang;0**, ••• 



3. Dans certains cas, les fonctions 0(v) se réduisent à des 
fonctions rationnelles de 3. Pour qu'il en soit ainsi, il faut et il 
suffit que l(n) soit polynôme en 

/*, a", b" , c", . . . , 

rt, 6, c, ..., et des degrés de ces polynômes étant indépendants 
de n. 

En mettant à part le cas évident où la fonction correspondante 
/i t) se réduit à une constante, il en sera ainsi, par exemple, toutes 
les fois que l'arc L forme un contour fermé entourant un 
nombre limité de pôles de A(*), et ci i intérieur duquel la 
fonction correspondante i\t)est holomorphe. Dans ce cas, l'in- 
tégrale \{n) sera la somme d'un nombre limité de termes de la 

forme 

n(rt — i). . .(n — h )a/>" . 



— 8() — 

où a, b soni des constances indépendantes de //, et h un entier 
également indépendant de#; la fonction ^(z) est donc ration- 
nelle. 



IV. — Convergence des séries 8(5). 

1. Par la réduction des fondions étudiées F(v) aux éléments 
simples, la question de la convergence des séries 

F(«) = a +fli2+a î -8 î + ,,. 
cnl ramenée à celle des séries 



S 



' pi, p S 



8(3) = I(o) -H 1(1)5+ I( *)*'* + ••-..< 

p 3 , . . . sont les rayons de convergence des séries 0,, 
9 2 , O.t, . . . rattachées à la fonction F(-s), le rayon de convergence R 
de la série F (s) sera le plus petit parmi les rayons p/. 

De même, si )>,, Ào^ X3, . . . sont des limites inférieures des p t -, 
la pins petite (rentre elles sera une limite inférieure du rayon K. 

Occupons-nous donc de la convergence des séries G(<s). 

D'abord, dans les cas où l'intégrale correspondante I(/i) se 
laisse exprimer sous la forme explicite comme fonction de (/*), le 
rayon de convergence p de 9(s) sera donné comme limite pour 
n '— oq de l'une ou l'autre des expressions 

\(n) 1 



1(^ + '\/\(n) 

dans lesquelles l'intégrale I(ft) peut aussi être remplacée par sa 
valeur asymptotique. 

Dans les cas où Ton ne sait calculer ni l(ii) ni sa valeur as\mp- 
totique, on peut, à l'aide des inégalités relatives à !(/*)> dé- 
terminer des limites inférieures du rayon p. 
\111si, si le long de lare L on a constamment 



la constante 



I r(t)\ <M, 

V = / \ \(t) i ds 

» 1. 

ayant un sens, nne limite in ferieure de p sera donnée par - - 



— 87 — 

Imaginons maintenant que l'on déforme l<- chemin d'inlégra- 
lion de manière que l'intégrale i(n) ne change pas de valeur. \ 
tout chemin correspondra une valeur M et, si jjt esl le plus petit 

parmi les M ainsi obtenus. - sera une limite inférieure de s. 

i n . 

Or, dans des cas généraux - représente, même la valeur 

exacte du rayon p. 

Il en scia, d'abord, ainsi toutes les lois que l'arc L se réduit à 
une portion (<7-, b), limitée ou illimitée, de l'axe réel, le long de 
laquelle les fonctions A(£) et r(t) sont réelles, finies et conti- 
nues, et l'intégrale / A.(t)dt finie et différente de zéro. 

Pour le faire voir, supposons d'abord que r(t) garde constam- 
ment un même signe dans l'intervalle (#, b) (nous considérerons 
ce signe comme positif) et que la dérivée r'(t) y soit positive-. 
D'après le théorème cité de Ossian Bonnet, on aura 

(17) I(/i) = AB« 

avec 

r .i> 
\= I X(t)dt, B=?r(6), «<£<£, 

d'où l'on conclut que 



r(b) 



Si maintenant la dérivée r'(t) était négative, on aurait encore 
l'égalité (17) avec 

A = / \(t)dt, B = /( a ), a < £ < b , 

'J a 

et le rapport de convergence sérail 



r(a) 



Si, enfin, r(t) et la dérivée r\t) changeaient de signe dans 
l'intervalle (a, b), on décomposerait cet intervalle en plusieurs 
autres où r(£), ainsi que /''(*), gardent des signes invariables. 
Chacun de ces intervalles partiels donnera dans l(n) un terme de 
la forme Ali"; la valeur asymplotique de !(/') coïncidera avec 



— 88 — 

celui de ces termes pour lequel B ==/*(£); a la plus grande valeur, 
de sorte qu'e,u désignant celle-ci par pi <»n aura l'égalité asyœp- 
totique 

et le rayon p aura pour valeur—» 

Voici maintenant un second cas général où Je rayon p a pour 
\aleur exacte — « Supposons qu'on puisse déformer le chemin d'in- 
tégration, réel ou imaginaire, de manière à le faire passer par un 
point a au Ire qu'une limite de l'intégrale et jouissant des pro- 
priétés suivantes : i° qu'on ail / y (a) = o; 2° que la plus grande 
valeur de /'(£) le long du nouveau chemin ait lieu en a; 3° que 
les (onctions A(£) et r(t) soient holomorphes au voisinage de oc. 
Dans ce cas, on aura encore 



o = 



r(«)| 



Ceci résulte directement du théorème de M. Darboux consistant 
en ce que, dans les conditions énumérées, l'égalité asymptotique 
de Laplace est valable et l'intégrale l(/i) se laisse mettre, pour les 
giandes valeurs de n, sous la forme 

\/'n 

où N est une constante indépendante de n, et 2 une fonction de /z 
tendant vers zéro lorsque n augmente indéfiniment. 

2. D'une manière générale, la question de convergence des 
fonctions 6(5) est étroitement liée à celle des valeurs asvmplo- 
liques des intégrales l(n) ou, ce qui revient au même, à celle des 
valeurs approchées des \(n) pour les grandes valeurs de //. 

Nous rappellerons quelques égalités asvmptoliques de cette 
espèce, connues ou faciles à démontrer, s'appliquanl directement 
à la question de convergence des fonctions 0(3). 

En premier lieu, L'égal i lé asymplôtique de Laplace 



I \< /)/•[( / |]« dt nu 



AH" 

7^ 



89 — 



(où \ el l> sopl «les coostantes, indépendantes de //j, applicable 
dans les conditions connues, précisées par M. Darboux <*> e( 
cilées dans le paragraphe précédent. 

MM. Flamme ( 2 ) el llamv | :l | se sont particulièrement occupés 



drs intégrales d<* la forme 



fk(t)t»dt, j A(o(j ) <"■ 



cl onl mis en évidence la manière dont leurs valeurs asymplo- 

liques dépendent de ta nature des singularités de la fonction A(/). 

M. Le lu)v(') s'est occupé des valeurs asymptotiques des inté- 



grales 



n)= f 



\(n) = / k(t)e' lt dt 



lorsque la fonction A(£) satisfait à certaines conditions assez 
larges. 

Un procédé simple, dû à M. Poincaré ( 5 ), permet de traiter le 
cas des intégrales \(n) de la forme 



/ k(t')e< nt dt, 



prises le long d'un chemin réel ou imaginaire de longueur finie; 
on arrive à l'égalité asymptotique 



ke an 

\(n) ~ 



où A et a ne dépendent pas de /?. 

Gîtons encore le cas où l'inlégrale !(/?) donnée est une fonction 
de n régulière dans le domaine de l'infini et, par suite, dévelop- 



( ' ) Mémoire Sur V approximation des fonctions de très grands nombres, etc. 
(Journ. de Math, pures et appl., 1878). 

(-') Recherches des expressions approchées, etc. (Thèse de doctoral, Paris, 
18*7). 

(') Sur le développement approché de la fonction perturbatrice, etc. 
| .Iniirii. de Math, pures, cl appl., l8a/|). 

(*) Valeurs asymplotiques de certaines séries, etc. (Bull, des Sciences 
math., n)<»o ). 

> Théorie analytique de ta propagation de la chaleur, Chu p. \\l. 



— 90 — 
pable en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de -, 

1 IL 

convergente pour les valeurs suffisamment grandes de n : on 
démontre aisément V égalité asjmptotique 

A étant une constante et p un entier positif ou nul, indépendants 

de n. Tel est, par exemple, le cas des intégrales 



s: 



A(t)e~' lt dt 



lorsque A(l) est holomorphe au voisinage de ^ = oet telle que, en 

posant 

\{t) = a -t-a 1 /-f-a 2 / 2 -+-..., 
la série 

Jrnmi 

converge pour les valeurs suffisamment petites de t [ce qui arrive, 
en particulier, toutes les fois que A(l) est une fonction entière du 
genre zéro]. 

3. Un cas particulièrement intéressant est celui où la fonction 
considérée 8(3) est une fonction entière de z. Pour qu'il en soit 
ainsi, il faut et il suffit que l'une ou l'autre des expressions 



Vuji), 



ï(n-hi) 



tende vers zéro lorsque n croît indéfiniment. La proposition sub- 
siste, d'ailleurs, si l'on substitue aux intégrales \-{n) leurs valeurs 
asymptotiqu'es, dont il a été question dans le paragraphe pré- 
cédent. 

Ainsi, la fonction 9(.s) correspondant à l'intégrale 



I ( n ) = ! e~ ati e int dt == 4 / - 



11- 
Vrî 



est une fonction entière de /? ; au contraire, la fonction ô(^) cor- 
respondant à l'intégrale 

I(/i) = / — ^—e-"' ( /f 

>'„ s/t 



- 91 — 
n'csi pas entière, la valeur Rsymptoiifjue de 1 1 n >. d'après une pro- 
position du paragraphe précédent, élanl égale à 

Dans les cas où l'on ae saurait exprimer sous la forme explicite 
m la valeur exacte l(//) ni sa valeur asymptotinue, ou peul pro- 
céder par comparaison, comme dans I étude de la convergence des 
séries 0< r- ). La règle intuitive suivante rendra souvenl des services 
à cel égard : 

SoieutX(l) et u(t) deux (onctions telles qu'à l'intégrale 

Y(n) = MX(0|| u(t) \" <ls 

•A, 

correspond la fonction entière 

Y(o)-h Y(i)s + Y(2)2 2 + .... 
Si le long du chemin L on a constamment 

|Aj(OI£|XïOIi 
|r(Ol^|i*(Oli 

la fonction B(^) correspondant à l'intégrale !(/*) sera également 
une fonction entière de z. 

En nous reportant à ce qui a été dit pour le rayon de conver- 
gence des séries 9(s), on trouverait aisément d'autres règles four- 
nissant des conditions suffisantes ou bien pour que 8(3) soit une 
fonction entière, ou bien pour qu'elle ne le soit pas. Elle ne le 
sera pas, par exemple, si, le chemin d'intégration élant réel, les 
fonctions A(/) et /'(*) sont réelles, finies et continues le long de 
ce chemin, l'intégrale 

\{t)dt 



.(. 



L 

avant un sens. 



Ou bien encore : si A(7) et r(t) satisfont aux conditions pour 
que f inégalité asjmptotique de LapJace soit applicable à l'inté- 
grale correspondante I(/i), etc. 

V . — Particularités niv erses des fonctions 0( 3). 
I. La forme même des expressions analytiques des (nue- 



<);-> 

lions 0(c), données soit sous la forme des sôrics 

(|8) 6(-8) = I(0) + I(l)>8 + I(2)^ + ... 

avec 

do) !(»)= / MOWO]**. 

soit comme intégrales 

/a / *\ 
1 — bm*» 

rend particulièrement facile l'étude de ces fondions, en niellant 
en évidence des relations existant entre leurs diverses particula- 
rités et celles des fonctions correspondantes A(£) et J*(t). 

La première expression analytique définit Q(s) à l'intérieur 
d'une certaine circonférence; la seconde en fournit le prolonge- 
ment analytique dans tout le plan. Chacune d'elles met en évi- 
dence certaines particularités des fonctions qu'elle définit. La 
première, par exemple, se prête directement à l'application des 
résultats récents de la théorie des séries de Taylor, relatifs aux 
relations existant entre la manière dont varie T(/i) avec n et celle 
dont croît B(^) avec z\ ou bien entre les particularités de ï(/i) et 
les singularités de 8(5), ses zéros, ses pôles, etc. La seconde ex- 
pression est souvent plus commode pour le calcul numérique des 
fonctions 8(5); elle rend possible l'étude des propriétés de ô(s) 
au delà du cercle de convergence de la série correspondante, etc. 
Les résultats récents relatifs à certaines intégrales de la forme (20), 
dus à M. Le Roy, offrent, par exemple, le moyen d'étudier les 
valeurs asymploliques des fonctions ô(s), la distribution de leurs 
singularités dans le plan des z, la manière dont se comporte &.(*) 
lorsque z approche du cercle de convergence de la série fo(.z) ou 
bien dune singularité, ou lorsque z tourne autour de celle-ci, etc. 

Nous n'indiquerons qu'à titre d'exemples quelques résultats de 
celte nature. 

2. Tout d'abord, les connaissances sur des limites supérieures 
ou inférieures du module de la fonction \(t) ou r(t) entraînent des 
connaissances sur les limites que ne saurait dépasser le module 
de la (onction correspondante f)( s) pour les valeurs données de z. 



— 93 — 

\insi, en désignant par M le plus grand module d<- r{ 1 1 l<- long 

de l'arc L ou bien d'un chemin équivalent, la /miction ration.' 

nelle 

P 



i — M z 

avec 

P= / | A( /) \ds 
• i. 

représentera une limite supérieure de [ G ( s ) | pour toutes les 
valeurs de z à module inférieur à ^- 

On aura des limites plus précises dans les cas où les limites su- 
périeures des modules de A(t) et r(t) sont fournies par des fonc- 
tions diverses de t. 

Ainsi, l'axe L se réduisant au demi-axe réel, si les fonctions \ 1 1) 
et r(t) sont réelles pour les valeurs réelles et positives de / et 
telles que pour les valeurs positives convenablement choisies de /. , 
It, a on ait en valeur absolue 

A(t)<kt, r(t)< h :, 
on aura en valeur absolue 

I (»)< (-) (»>a), 

n — 2 \ a ) 

de sorte que la Jonction 

I(o)-4-ï(i)*-+- l(i)z*-h kh*j5*log(i— — J 

représentera une limite supérieure de \$(z)\ pour toutes /es 
valeurs de z à module inférieur à ■?• 

Signalons, à ce propos, un résultat d'une portée plus générale, 
fourni par les mêmes considérations et conduisant à une inégalité 
intéressante relative aux accroissements finis d'une classe étendue 
de fonctions. 

Considérons une fonction f(z) réelle pour z réel et positif, 
holomorphe pour toute valeur de z à partie réelle positive el ten- 
dant vers zéro lorsque z croît indéfiniment dans une direction 
quelconque correspondant aux parties réelles positives. 



— 94 — 

Comme nous l'avons montre précédemment, à partir du rang 
n =z 2, les coefficients A„ du développement 

/( z i — A -4- A i (z — X ) ■+- A o ( z — À ) 2 -+- . . . 

sont, en valeurs absolues, inférieurs aux coefficients correspon- 
dants de la série 



ou 



B(s) = [ (2) {z — X)s 4- I ( 3 ) (z — À )=» -f- . . . , 

2 r x +(*) 

I ( n ) = - / - r// , 

TC */ l/(X 2 -+- ' 2 )" + 1 

<!/(/) désignant le coefficient de i dans J \ti) et X étant un nombre 
réel et positif quelconque. 

Or, comme Ton a, en vertu de ce qui précède, 

2N i 

I ( n )< — ■ s — - 

(N désignant la plus grande valeur absolue, finie et différente de 

zéro, qu acquiert le rapport J pendant que z varie par valeurs 

positives de z = o à z = oc), on aura en valeur absolue 

2 N . / ^ — X \ 
0, 5 ;<— log^i--^ y 

d'où, en faisant 

X = X, Z — X -\- Il , 

on tire le résultat suivant : 

Za valait* absolue de l'expression 
f(x + h)-f{x) 



h 
est inférieure à celle de V expression 



-/'(*) 



a N , / h 
— log i 

TC ° V X 



quelles que soient les quantités réelles et positives h et x pourvu 
qu'elles satisfassent à la condition — x < h < ./'. 

3. Lorsque la fonction 8(,z) esl entière, on peut, dans des cas 



— 93 

étendus, étudier la manière dont elle se comporte lorsque le mo- 
dule de ^ croîl indéli nimenl . 

Supposons, par exemple, qu on ait déterminé, par des procédés 
de M. Eïadamard, une fonction y</>) au plus égale, pour les 
valeurs entières de //. au module <!<• l'intégrale l(/i) et telle que lu 
fond ion 

tp ( n) = v 7 / (n) 

son une fonction réelle, positive, continue et croissante de //, 
devenant infinie pour // — co. En désignant para? le module de ; 
ei par ù(z) la fonction inverse de œ, d'après le théorème bien 
connu de M. Hadamard, la fonction 9(s) croîtra moins vêle que 
la fonction 

x z e J a , 

le nombre s étant positif , mais aussi petit qu 'on le veut. 
Ainsi, la fonction 6(s) correspondant à l'intégrale 



/oo 
g-at* e ntl dt = Ae-«»' 



(où a, A, a sont des constantes positives) croîtra moins vite que 
la fonction 



-(togjf) ! 



Dans des cas étendus, on saura même préciser la valeur asymp- 
lotique de la fonction 9(#), supposée entière, pour les grandes 
valeurs de z. Considérons, par exemple, le cas étudié par M. Le 
Roy (*) : supposons qu'en posant 

— logI(/i) = uj(ti), 

la fonction rn(n) satisfasse aux conditions suivantes : 

i° Cette fonction, ainsi que ses dérivées des deux premiers 
ordres sont réelles, positives et continues pour les valeurs posi- 
tives de n ; 

2.° gt(/i) et rs'(n) croissent jusqu'à l'infini tandis que gj"(/i) 
décroît jusqu'à zéro pour n = oc ; 



(') Valeurs asymptoliques de certaines séries {Bull, des Sciences mal h.. 
i ()<><>, p. :>J>>). 



— <)(> — 

3" Le produit /•*«!* (/i) représente une fonction positive et indé- 
finiment croissante avec n ; 

, nr ( n ) j • / • • 

4° Le rapport devient infini avec n . 

D'après un théorème dû à M. Le I\o\, lorsque la variable z 
croît indéfiniment dans la direction des z réels et positifs, la 
fonction correspondante §(z) tendra asymptotiquement vers la 
fonction 

Y21Z -, 

V/T7t"| // ) 

u désignant la racine réelle et positive de l'équation 

m' ( u ) = I og Z. 
Ainsi, dans le cas de 



on aura 



J ( n ) = e-" r 


(K/>< 


2), 


vs{n) = ///', 


■-fë: 


)""' 



de sorte que la valeur asymptotique de la fonction correspondante 

0(s) sera 

a(log\s/'eP( |0 s->\ 

a, p, kj h étant des constantes faciles à préciser. 

Dans les cas où la fonction 8(5) n'est pas entière, on connaîtra 
dans des cas étendus sa valeur asymptotique lorsque z approche 
d'un point du cercle de convergence de la série 9( 3). Tel est, par 
exemple, le cas de M. Le Ko y suivant : 

Supposons que, le rayon de convergence de h(z) étant égal à 
l'unité, l'intégrale correspondante I(/*) soit une fonction réelle, 
positive et constamment décroissante de n, tendant vers zéro 
lorsque n augmente indéfiniment. Soit F(/i) une fonction de // 
telle qu'on ait, pour n = 00, 

1 dF 

1 1 m — — = 1 . 

\ i n ) an 

D'après un théorème de M. Le Roy ('), là valeur asympto- 

(') Valeurs asymptotiques de certaines séries [Bull, des Sciences math., 
1900, p. ■>5o). 



— !)7 — 

tique <h' Oi 8 ) pour z voisin de i est de la forme 

CF(— '— j (C = const.). 

Ainsi, dans le cas où 

\(n) = / c-"<°- dt = -4/-Î 
• o 'i \ n 

la valeur asjmptotique de la fonction correspondante 0( s), pour z 

voisin de i, sera 

C 



y/i — Z 
Remarquons que la fonction F(n) coïncide avec l'intégrale 

y{n)dn, 



s 



o(/i) étant la valeur asymplotique de l(n) pour les grandes va- 
leurs de n 1 dont notis nous sommes précédemment occupé. 

Remarquons aussi qu'au cas précédent se ramène facilement 
celui où le rayon de convergence de ft(z) n'est pas égal à L'unité, 
ou bien celui où l(n) tend vers une limite finie différente de zéro. 

4. Certains résultats dus à M. Le Roy, concernant les singula- 
rités des fonctions représentées par les séries de Taylor et par 
certaines classes d'intégrales définies, s'appliquent avec la plus 
grande facilité aux fonctions qui nous occupent, et fournissent 
directement des connaissances sur les singularités de ces fonc- 
tions, la nature analytique de celles-ci, etc. 

Supposons, par exemple, que l'intégrale 



I(/i) = f X(t)[r{t)Y dt, 



correspondant à la fonction considérée 9(s), se laisse transformer 
en une autre de la forme 



I(zi) = / B(x)x" dx, 



la fonction B(#) n'étant assujettie qu'à la condition que L'inté- 

XXXII. 



98 - 



grale 

n 1 



dt 

•A) 

ait un sens. 



/' \\Ht)\ 

•A) 



La fonction correspondante 0(5) sera, holomorphe en tout 
point du plan, sauf peut-être pour z réel et plus grand que i. 
En particulier, si le cercle de convergence de la série 

8(*) = 1(o)-+-I(i)z-+-I(2)z2 + ... 

a l'unité pour rayon, il ne contient qu'un point singulier de 0(z) : 
c'est js = i. 

La portion (+i, + co) de l'axe réel est pour 0(s) une cou- 
pure. Si B(£) est holomorphe pour o >> t >> i , la coupure n'est 
pas essentielle, et O(^) n'a pas d'autres points singuliers que z = i 
et z = oo. 

La fonction 6(5) n'est pas uniforme, et le calcul du saut 
brusque subi par l'intégrale, quand on franchit la coupure, 
donne ses diverses déterminations. 

Plusieurs circonstances peuvent alors se présenter. Si B(£) est 
holomorphe dans tout le plan, sauf peut-être à l'origine, les pé- 
riodes de §(z), quand on tourne autour du point singulier t, 
sont données par l'expression 

ikizi / 1 



Dans le cas général (la coupure n'étant cependant pas essen- 
tielle) toutes les singularités sont possibles, suivant la nature de 
la fonction B(£), pour les déterminations de 8(5) autres que la 
détermination principale. 

Les procédés de M. Le Roy permettent de traiter aussi des cas 
beaucoup plus généraux; convenablement modifiés, ils sont, 
d'ailleurs, propres à s'appliquer, dans des cas très étendus, à des 
fonctions ft(z) correspondant aux coefficients l(/i) exprimés direc- 
tement sous la forme générale 



l(n)= /A(0[r(f)]»A. 



— <)9 - 

Ajoutons aussi que celle dernière expression perhiel d'étendre 
la manière dont se comporte la fonction l(/i pour / -/ . Or, 
des connaissances de cette nature on peut souvent tirer des ren- 
seignements sur ht distribution ( I <*s singularités de la fonction 
correspondante 0< z) dans le plan des z ('). 

5. Dans une Note antérieure ( 2 ), j'ai démontré la proposition 
suivante : si l'on désigne par \ le plus petit module des zéros de 
la série 

et si l'on forme la fonction 



" (, ' )= ^Ë k ''' |2/ ' 2 '" 



on aura 



\/u(z) 



(juelle qne soit la valeur de la variable réelle et positive /•, pourvu 
(jii'elle reste inférieure au rayon de convergence de la série (20). 
La proposition subsiste manifestement lorsqu'on substitue dans 
u(r) aux coefficients 

|«i| 2 , l« 2 | 2 , Kl 2 , ..., 

des nombres réels positifs quelconques qui leur sont supérieurs. 
Ceci fait qu'appliquée aux fonctions 0(3) exprimées sous la 
forme des séries (17), elle fournit des renseignements sur les 
limites inférieures des modules des zéros de ces fonctions ou, 
plus généralement, des valeurs de z pour lesquelles 0(3) prend 
une valeur donnée a. Il suffit pour cela de calculer la fonction 
u(r) correspondant à la fonction 0(3) donnée, après y avoir rem- 
placé le coefficient l(n) par l'une des limites supérieures de son 
module, choisie de manière que le calcul de u(z), ou au moins 
celui d'une de ses limites supérieures, soit possible. Les divers 
procédés indiqués précédemment conduisent à de telles limites 

(') Voir, par exemple, Dksaint, Comptes rendus de l'Académie des Sciences. 
t. CXXXII, 1901, p. iio2-iro/|. 

( 2 ) Bulletin de la Société mathém. de France, t. XXIX, igor, p. 3o3-3ia. 



— 100 



supérieures de |1(/?)|, et ce genre de calcul ne présente aucune 
espèce de difficultés. 

Envisageons, par exemple, les transcendantes 

J e' — z 
correspondant à 

f A(t)e~ nt dt, 
o 

et supposons que, pour t réel et positif, la fonction A(t) \Jt soit 
continue, réelle, positive et constamment inférieure à un certain 
nombre M. On aura 



a n <M f € -^dt = Ml/- 



et u(r) correspondant à la fonction 8(3) -j- a (où a est un nombre 
réel et positif quelconque) aura pour expression 

-(r) = i[«»-M-iog(.-»-a, 

de sorte qu'une limite inférieure p. des modules des valeurs de z 
pour lesquelles 6 (-5) prend la valeur donnée a, est fournie par la 
valeur de l'expression 

ar 



yjaï— M*irlog(i — r») 

et cela quelle que soit la valeur de /* comprise entre o et 1 . En 
prenant, en particulier, 

'' = v/ , -^= ' 795 --" 

une limite inférieure cherchée sera 

o , 795 a 

V / a 2 -HM 2 7: 

Indiquons encore un résultat plus général de celte espèce. 

Soit F (a?) une fonction entière d'un genre fini jj.. Désignons 
par M le maximum du module de F(z) lorsque le module de z est 
égal à r, /• étant une variable réelle positive. 



- 101 — 
On sait, que, quel que soit le nombre réel et positif oc, le produit 

M(r)e «'•'' " 

reste inférieur à un certain nombre fini N lorsque r varie <l<- o à », 
D'autre part, en posant 

l'expression de a A , sous la forme de l'intégrale 

"^d^jf^r- 1 (0"'"' 

conduit, comme l'on sait, à l'inégalité 

] «« |< N -£- , 
' n c/t 

où c et p sont des constantes numériques ayant pour valeurs 

i /ae 

c = i p = ( — 

je -t- i \ c 

Le rôle de la fonction u(r) est donc joué par la fonction 

r 2 r 2 Zd n inc ' 

i 

f . i • > i 

et, en j taisant /* = ■=, on arrive a la proposition suivante : 

£//ie limite inférieure des modules des zéros de la Jonction 
F (s) es£ donnée par r expression 

(21) 



-'j/, 



( - 



où K désigne une limite supérieure de N; A le module de F(o); 
a et 6 deux constantes numériques ayant poiw valeurs 



— 102 — 

b(t) désignant la transcendante 

00 

8(*)=Vrc-»<. 

i 

Les constantes a et b restent les mêmes pour toutes les fonc- 
tions F(g) d'un même. genre p et sont faciles à calculer une fois 
pour toutes. On trouvera ainsi : 



pour p — o 
pour p = i 
pour p = 2 



a = e =a, 71 83; b = 0(2) = 1 ,063g ; 
a = \Jie — 2, 33 16; b — 0( 1 ) = 1 ,2913 ; 
a = v/3ë = 2,0128; b = 0(|) = i,5383, .... 



En remplaçant dans (21) A par |F(o) — G |, cette expression 
fournit une limite inférieure des valeurs de z pour lesquelles F (z) 
prend la valeur donnée C. 

6. L'expression de 0(,s) 7 sous la forme de l'intégrale 

(•22) e(*)= f Mt) , dt 

J L i-zr(t-) 

se prête facilement au calcul numérique approché des valeurs que 
prend cette fonction pour des valeurs données de z. Elle met, en 
outre, mieux en évidence certaines particularités de la fonction 
que ne le ferait l'expression de 6 (z) sous la forme de la série de 
Taylor. 

Supposons, par exemple, que les limites de 1 intégrale, ainsi 
que les fonctions A(*)et J'(t) soient réelles et positives. L'expres- 
sion (22) montre tout d'abord que la fonction 8(3) (ou bien sa 
branche principale clans le cas oit elle n'est pas uniforme) 
aura des valeurs réelles et positives pour les z réels, positifs 

ou négatifs, niais plus petits que ^> M désignant la plus 

grande valeur de la fonction r(t) entre les limites de l'inté- 
grale. 

En posant 



= 5 



on aura 



OCs) = U+ rr,Y 



iii;i — 



avec 






[1 -{r(l)] 1 Hij«[r(0]« 



-jf A(l) ir 



IrCOP+VKOl 1 



c/*. 



Le produit v\ ( ^ ) /•( /) étant positif pour toutes les valeurs de/ 
comprises entre les limites de l'intégrale, la valeur V sera diffé- 
rente de zéro : la fonction Q(s) (sa branche principale) nèsau- 
rait donc avoir aucun zéro imaginaire. D'autre part, comme U 

ne saurait être nulle pour Ç << — » les zéros de 0(s) sont tous 

* i 
réels, positifs et plus grands que z-z > etc. 

Il serait aussi facile d'en tirer des renseignements sur la façon 
dont se comporte Q(z) Lorsque z croît indéfiniment par des valeurs 
positives ou négatives, ou bien lorsque z approche de la valeur 

-,ry> etc. C'est là, par exemple, que les méthodes de M. Le Roy 

trouveraient de vastes applications. 

Je me borne à signaler le vaste champ de recherches qu'offrent 
les fonctions F(s) données par l'expression analytique faisant 
l'objet de ce Mémoire. Une étude plus approfondie de leurs 
diverses particularités mériterait d'être faite ; on y rencontrera une 
foule de transcendantes nouvelles dont on saura étudier les pro- 
priétés et qui présenteront de l'intérêt. 



SUR LES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES LINÉAIRES RÉCIPROQUES 

DU SECOND ORDRE; 

Par M. Paul-J. Su char. 

I. Soient 

(i) .r, = <p(a?) 

une fonction de la variable xct 

(2) a?'=<Ka?i) 

la fonction inverse. Il existe des fonctions F(x), F| (X\ I de la 
variable x et de la variable x tJ qui jouissent île la propriété sui- 



vante : 



(3) 



- 104 - 
*i) -F(.>. 

1 /.T,=Ç(X) 



0,37 1 / -r,=ç( 

Les symboles ( — ) , (-r-î) sont les dérivées de 

F(x) et F< (#, ) prises par rapport à x et x iy et où l'on remplace 
ensuite x en fonction de x K et ^ 1 en fonction de x à l'aide de (i) 
et (2). Ces fonctions sont solutions de deux équations différen- 
tielles linéaires de second ordre. 
En effet, posons 

U; dx ~~ dx -M*>' 

la première relation de (3) nous donne, en dérivant par rapport 
a x Ky 



(/« 






et, si l'on remplace x K en fonction de x d'après (1). on a 

d 2 F 

On aura de même, en partant de la seconde des relations (3), 

^F, T 



àv\ /L<K*i)J 



F„ 



et les fonctions F (se) et F i (x i ) sont solutions de ces dernières 
équations. 

Nous dirons que ces équations sont réciproques. 

2. Il résulte de ce qui précède que, étant donnée une équa- 
tion différentielle linéaire du second ordre, on peut toujours la 
supposer ramenée à la forme 

on formera sa réciproque en faisant le changement de la variable 



— 105 — 
indépendante 

d'où 

^, = cp(.r) et a? = 4;(a? 1 ), 
et le changement de la fonction en posant 

dy 
yi== dx' 

L'équation réciproque sera alors 

d* yi i 



dx\ m(.ri)/ 1 ' 
La propriété qui caractérise ces équations est la suivante : 

La dérivée d'une solution d'une des équations considérée 
comme fonction de la variable indépendante de Vautre équa- 
tion est une solution de cette dernière. 

3. Considérons comme exemple l'équation 

d*y i 



x (Zxy 



y- 



La réciproque de cette équation s'obtient en posant 

dx x i 

~dr ~~ Ï* 

ax (3x)* 

d'où 

I T 

X\ - — — r -+- c et X — — ■. — , 

on aura donc 



d*y L= i 
dx\ (a?i — c)* 



7i< 



Remarquons qu'on peut supposer c = o, car cela revient à faire 
sur cette dernière équation un changement de la variable indé- 
pendante pour ramener le point x, = cà l'origine; il faudra alors 
faire aussi c = o dans la relation qui lie x à # ( , et l'équation réci- 
proque sera 

d% yy __ J_ v 

dx\ x\ J{ ' 



- 106 — 

Celle dernière équation est eelle de Spitzer (') el se ramène à 
des coefficients constants par le changement 

7i = sxi, Xl = }> 
on aura alors 

Donc les solutions de l'équation précédente sont 

i i 

X\e x * et x x e a » . 

Ces solutions étant linéairement indépendantes, on aura alors, 
d'après le n° 2, l'intégrale générale de l'équation donnée, à 
savoir : 

jK = a[i — ( 3 a? )*J «<»*>*-+- 6[n-(3a ? )ïJ c -(aar) , 1 
où a et b sont des constantes. 

4. Considérons comme second exemple l'équation j)lus gé- 
nérale 

(i) ^.=[(an-i)a?] ««-^, 

qui comprend, comme cas particulier, pour n = i , l'équation de 
Spitzer. 

Nous aurons 

( 2 ) { a?i = I — [(2/i — i).r]~2-^T 

2 /£ — I 

2/2—1 



a- = [— (2/1 + i)^] 2« + i 

2/1 — I 

et pour l'équation réciproque 

(3) ^ = [( 2n - l)a?i ]-ÎÏÏTi ri . 

Nous avons supposé, comme dans le premier exemple, la con- 
stante d'intégration nulle. 

Je me propose de montrer qu'il est possible de trouver une 

(') Spitzer, Vorlesungen ùber lineare differential Gleichungen, p. 98. 



- 107 -^ 

solution de oes équations lorsque n esl un nombre n'rl, et, s'il < i 
entier, L'intégrale générale s'exprimera par des fonctions élémen- 
taires. Remarquons, cependant, que L'exemple considéré rentre 
dans Le type général 

<•/- y 

là - " x "- r ' 

ci qui, par un changement convenable de la variable et de la fonc- 
tion, se ramène à L'équation de Bessel 

et l'équation proposée pourra alors s'intégrer à l'aide des fonc- 
tions de Bessel. La méthode que je suivrai me permet d'obtenir 
directement une solution, ou bien l'intégrale générale, sans qu'il 
soit nécessaire de recourir à l'équation de Bessel, ce qui me per- 
mettra d'ailleurs d'en déduire ensuite l'intégrale générale de 
l'équation de Bessel et reconnaître qu'elle s'exprimera à l'aide 
des fonctions élémentaires, si la constante k est de la forme 



k 

où n est un nombre entier. 



ÏTl 



5. L'équation 

dx 2 



Un 



= [(l/l — I ) x] 1n-\ y 



se réduit pour n = ià l'équation de Spitzer 

<Py _ i 
dx l x'* 
et qui a pour solutions 

1 _1 

x e x et xe x '; 
la fonction 

( 2 - 1 
y = x\e x — e x 

que l'on peut encore écrire 



,-t-i 



7= I e x dz, 
est encore une solution de cette dernière équation. Il v a donc 



- 108 



lieu de chercher si, tout au moins pour n positif, l'équation (i) 
n'a pas une solution de la forme 

(4) y=l u{z, n)e zv{ > x >' l) dz, 

où u(z, n) est une fonclion de z et du paramètre n et qui est telle 
que, pour toutes les valeurs de z comprises entre — i et -4- i, l'in- 
tégrale (4) ait un sens; quant aux limites, elle est supposée finie 

ou infinie, mais, dans ce dernier cas, elle sera infinie comme r 

' i — z* 

et d'un ordre inférieur à l'unité; enfin pour n = i elle sera égale 
à i . La fonction v(x, n) est supposée continue par rapport à x, 

avant une dérivée et se réduisant à — pour n = i. Ces conditions 

Ou 

sont suffisantes pour retrouver les fonctions u(z, n) et v(x, n), de 
manière que la fonction (4) soit une solution de (i). 
Nous aurons, en dérivant (4) par rapport à x, 

-f-=) u(z, n)zv'(x,n)e z ^ x > n) dz 



(5) 
et 



d'y 



= f u(z i n)z*e'*(a:,n)e z, ' ix > n] 



dz 



dx* 

u(z, n)zv"(x, n)e zv[x > n) dz; 



or 



L 



/ u(z, n),sV 2 (a?, n)e zv[x > n) dz 
'J— î 

= — f u(z, n)(i — zî)v'*(x, n )e zv[x > Tl} dz 

-h / u(z, n)v' z (x, n)e zv[x > n) dz, 

ou encore, en intégrant la première intégrale par parties et remar- 
quant que la partie intégrée est nulle aux limites, ou aura fina- 
lement 

$T- r' 4-[u{z,n)^-z*)] V ^ n K z ^ dz 
dx*- J_ t dz 1 K ' /K n e(07, n) 

+ / u(z, n)zv"{x, n)e z ^ x ^ n) dz 
-f- / u{z 1 n)v' i (x i n)e z ^ x > ai dz. 



— 100 — 

Si nous portons ces expressions dans (i), nous aurons une iden- 
tité si la fonction u(z,n) satisfaite la relation 

(6) -y- [ u(* f n) (l — z 2 )] — ïkz u(z, ri), 

où k esl an nombre qui dépend de /i; et, comme L'équation (i) 
est indépendante de -j—i on trouve en ayant égard à (5) que la 
fonction v(x f n) doit satisfaire à la relation 

, v'~(x, II) ... . 

(7) aA — -+^,« =°; 

enfin, on doit en outre avoir 

(8) (>'*(#, /l) = \{in — \)x] *n-l. 

La relation (6) nous donne 

w(*, /i) = (i— s*)-*- 1 , 

à un facteur constant près qu'on peut supposer égal à i et, comme 
la fonction doit se réduire à i pour n= i, la constante k sera 
donc égale à — n. La relation (7) nous donne, en remarquant que 

la fonction v(x, n) doit se réduire à - pour n = 1 7 



p(:r, /i) = J(2/i — i)r| 2n-i ? 

et cette dernière fonction vérifie, comme on le voit, la rela- 
tion (8). 

Nous aurons donc une solution de (1) pour n réel et positif de 
la forme 

/+! t_ 

( I _52)«-1 C Z|(2«-1)^! **- l dz. 

11 est facile de trouver une solution de la même équation pour/? 
négatif. Remarquons que, si dans (1) nous changeons n en — /*, 
on obtient une équation qui ne diffère de l'équation réciproque (3) 
que par le changement de x { en x. On aura donc une solution de 
l'équation (1) pour n négatif si l'on connaît une solution de 1 
pour n positif. L'équation (3) étant la réciproque de (1), il résulte, 



- 110 - 



d'après ce qui précède, que la dérivée d'une solution de (i) con- 
sidérée comme fonction de x s à l'aide de (2) sera une solution 

de (3). 

Nous aurons alors 



ou encore, en intégrant par parties et remarquant que la partie 
intégrée est nulle aux limites, on aura 

in J_ x 

Il suffit alors de supprimer l'indice de x dans cetle dernière 
fonction pour avoir une solution de l'équation (1) pour 11 négatif. 
Il faut remarquer cependant que n doit être pris positivement 
dans celte dernière fonction. 

6. Remarquons que le coefficient de l'équation (1) se présente 

sous forme illusoire si /*==-, tandis que l'équation (3) se pré- 
sente sous la forme 

d l y _ 1 

dx\ ix x' 

on trouvera alors la vraie valeur de (1) en cherchant la réciproque 
de cette dernière équation. On trouve ainsi 

d 2 y 

et il suffit alors, pour avoir une solution de cette dernière équation, 
de remplacer dans la solution trouvée pour (1) 

1 
Iim \{'in — [)# I -2 "- 1 = v/âe- r , 

r . 1 • 

et laire n= -: on trouve ainsi 
1 

r +i -- - 

y = / (1 — **) *eKz**dz 

pour solution de celte dernière équation. 



— 111 



7. Il nous reste à litraver L'intégrale générale de 1 1 1 el | ; > | pour 
toutes les valeurs entières de // . 

Nous nous bornerons à déterminer l'intégrale générale de (i), 
ear l'intégrale générale de (3) sera aussi connue dès que la pre- 
mière le sera, puisque celte dernière équation est la réciproque 
de la première. 

Si, dans La fonction (9), nous supposons n cutn-r et en inté- 
granl par parties, on trouve les deux fonctions linéairement indé- 
pendantes, à su voir : 



y = ( 2 n — 1 ) x \ C i 



a 



1 



| ( 2 n — 1 ) x | " " - ' 



et 



y =z ('111 — 1 ) x 



l>o 



|(2/i — o^i 2 "- 1 

6l 



K 



a ' 1 -' 1 1 e K2«-l)x| "•- 

•in — \)x\ ïn - x \ 



+■ 



| (2/i — 1) a? l 2 "- 1 
6 2 



6«-i 



| (27i — i)^! 2 »- 1 

où les coefficients a el b satisfont aux relations 



n — 1 

| (2/1 — 1) a?! 2 "" 3 



; 



e -|i2«-l)|a: 



(12) 



2 A "- 1 A- 

«*-! = (— l) /c - -r-T-rrï 



&À-1 






A- = 1, 2. . . ., n 



ào 



et qui sont des solutions de (1). 

Si, dans l'équation (1), nous faisons le changement de la variable 
et de la fonction, en posant 

y = zx 2 , t = ax- *", a = 2 A- y/6 , & == — ( — 2 k) k , 

2 A - = — (2/1 — 1), 

cette équation se transforme en l'équation de Bessel 



Û? 2 ,G I (fc 

77T 2 " + 1 dt 



t* 



o. 



Si nous supposons n un entier pair, on aura, d'après uni. 



— 112 — 
pour solutions de cette équation de Bcssel. 



i 

(?. n - 
'i = 



t 2 



I 

(-xn — 1)2 

-2= — i^ï- COS 
t 2 



tn — 1)2 ( / 2ft-i \| „ / "-=1 1 

lw _ t jCOgf*H 7 ttJ [a — «2 ' 2 + ...-+-(— I) 2 ««-2^J 

-sin (* + 2 ^ ~ ! n J ^a, /_ a 3/3_ f ..._ 4 _(_,^~l~" art _ 1< «-iJ ( 

(t-+- 9fl ~ l tc j [ai^ — a 3 t* + ... + (— j)~^~a n - l t'i- i \ 

H- sin (t-t- - ^-— - 7i j [a — <z 2 ' 2 + - • •+ (— i) 2 «/i-2^" _2 J(, 

où les constantes a sont données par (12). 

8. Nous avons vu, au n° J , qu'on peut toujours transformer une 
équation linéaire et homogène de second ordre en une autre qui 
lui est réciproque et nous avons trouvé qu'à l'équation 

correspond la réciproque 

dïy x 1 

dx\ mi^f 1 ' 

Il peut se faire que la fonction f{x) soit telle que, en faisant 
sur elle la substitution x = ^(x\ ), on ait 

alors l'équation réciproque prend la forme 

elle ne diffère de l'équation donnée que par le changement de x 
en x { eldey enj h et la transformation donnée transforme l'équa- 
tion en elle-même; en d'autres termes, l'équation proposée est en 
même temps sa réciproque. 

On reconnaît une certaine analogie avec le travail de M. Ap- 
pell : Sur des équations différentielles linéaires transformables 
en elles-mêmes par un changement de fonction et de variable 
(Acta malJiematica, t. XV). 



- u:i — 

La différence qui existe esl <|u<' !<• changemenl <le [a fonctiop 
csi su ppos«î linéaire par i\l. Appell, tandis que ce changement, 

(Tapirs notre n" ti, n'est pas linéaire. Il nous reste encore à mon 

tier qu'il existe des fonctions f(x) ayant La propriété indiquée dans 
ce même numéro. En effet, d'après le n° 1, où nous avons posé 

Xi = ©(a?) et x — <b{x x ) 

pour la fonction inverse et 

il résulte 

cty(.r, ) __ i 



et, connue y['|/(.r,)j doit être égale à /(.r,), on aura alors 

d'b(xi) 



Oxi 



=/(*i); 



donc les deux fonctions <?(x) el^(x t ) ne doivent différer que par 
le changement de x en x { . Donc la fonction j\x) cherchée est la 
dérivée d'une fonction qui a pour inverse la même fonction. 
Considérons alors l'équation 

et supposons f(x) remplissant cette dernière condition, cette 

équation sera alors transformable en elle-même par le changement 

de la variable et de la fonction indiquée au n° 2; elle aura alors 

pour solution la dérivée d'une solution de la même équation, sur 

laquelle on fera la substitution x = o(x). Un exemple nous est 

donné par l'équation 

d'y 



dx* 



r> 



où <p(#) — x et, par conséquent, f{x) = i ; cette équation étant 
en même temps sa réciproque, il s'ensuit qu'elle aura pour solu- 
tion la dérivée d'une solution, ce que l'on sait d'ailleurs. 
Il en est de même de l'équation 



d' 2 y i 
dx~ï r= x~ l} '' 



xxxn. 



- 1 1 i - 

où 

u(x) = et f(x) = —; 

./' x 2 

or 

14- y/5 

est une solution de cette équation; on vérifie, en effet, que la 
dérivée de cette solution prise par rapport à x, où l'on remplacera 

ensuite # par » est aussi une solution de la même équation. 

D'une manière plus générale, considérons la fonction 



(d(x) = (l — x" l ) m , 

où m est un nombre quelconque; supposons-nous donnée en 
outre une des déterminations de cette fonction, on aura alors 
pour f(x) 

1 - m 
f(X) = — X» 1 -* (I — X m ) m , 

et pour l'équation qui est transformable en elle-même 

rit * ~~ in 

— -£ = — ar»t-i(i— x m ) m y. 

La dérivée d'une solution de cette équation, où l'on remplacera x 
i 
par (i — x m ) m , sera une autre solution de la même équation. On 

peut aussi généraliser la dernière expression de <p(#) en rempla- 
çant x par une certaine fonction u(x), dont l'inverse est v(x). 
On prendra alors pour <p(#) l'expression 

i 

v(x) = v S r — [M(a?)] m |"», 

et la dérivée de cette fonction par rapport à x sera la fonc- 
tion f{x). On pourra alors former l'équation différentielle qui est 
en même temps sa réciproque. 

11 résulte de ce qui précède qu'il existe des fonctions F(x), 
telles que, en prenant la dérivée et en faisant sur x la substitution 
x = ©< x ), on aura 

F'[f(*)] = F(4P), 

cl, si y(#) a pour inverse la même fonction, F(x) sera solution 



— 115 - 



(rime équation différentielle linéaire du second ordre ayanl pour 
réciproque la même équation* On trouve ainsi comme exemples 
simples les fonctions 

tf(x) = s'\nx ■+■ COSd 



i i s :, 



Ji— i 



F ( \r ) = x 2 ■+- (— ï) » 



s/" 



1 y':. 
iC 2 



où s(.r) = — x pour la première fonetion et ©(#) = pour la 

seconde. 

9. Nous allons terminer par une dernière remarque en étendant 
les mêmes considérations aux équations différentielles simultanées 
linéaires et du second ordre. 

Nous nous bornerons à deux équations que nous supposerons 
de la forme 

(0 



cVz 
dœ* 



=/(^)(ïy -+-**). 



où a, ji, y, o sont des constantes dont le déterminant 



A = 



a ? 
Y ° 



est supposé différent de zéro. Si nous répétons le même raison- 
nement qu'au n° 1 en posant 



dxi 
dx 



=f(x), a7,= cp(a?), d'où a?=4»(a?i)j 



dy 



*>i — 






on transformera le système donné en un autre qui lui est réci- 
proque et de la forme 

/ d>y 
(2) 



d x 2\ ï 



(*ri + Mi)> 



On vérifie de la même manière que, si y es. u(.v) : 5 = P| 



— 116 - 

sont des solutions de (i), les dérivées u'(x), v'(.r) considérée^ 
comme fonctions de x x sont solutions de (2); et réciproquement, 
si y K = U\ (#,), z t = ç t (x t ) sont solutions de (a), les dérivées 
u\(x s ), v\[x s ) considérées comme fonctions de x sont solutions 

de(i). ^ 

(Considérons comme exemple le système 

le système réciproque est 



^ (307, )3 

(TJKi-Ho^i). 



1 (3*0* 

Si l'on sait intégrer un de ces systèmes, on saura intégrer l'autre 
aussi. 

Remarquons que, si dans le premier système on fait le change- 
ment des fonctions et de la variable en posant 

1 

y — uXj Z=VX, x=-t 

on obtiendra le système à coefficients constants 

dïv 



SUR CERTAINS GROUPES DE MATHIEU : 
Par M. de Skguïek. 

1. On trouvera dans le Journal de M. Jordan (1902, p. idûJ 
la démonstration du théorème suivant : 

Les conditions nécessaires et suffisantes pour Veoùstence 



d'un groupe Gt t | i fois transitif entre les symboles i, ..., 

n, cr,, . . . , ? r , où \ est le groupe fixant t , 9^ F Je groupe 

fixant i = <J , T i' • • • 1 °o *on/ qu'il existe des substitutions 

d'ordre •>., s fl = (a-,,). . .< 7,, a)(ovi 1, 7/,)(t/, +i ). . .(t,). . . , telles 
que 

ItJ = i, -V//./-V, .//m si /-.si a' s x a", 

stast = a,. | \,.s7-M ) 8 = //i , « S) -V-t-A ■)'' = /y/. 

( A . = i , . . . , t ; i = 1, ...,/ — 1 ; / = 1 , . . . , t - 2 ; A: = 2, ...,/— y' ; 
1 = 2, ...,/; /parcourt les générateurs «le F, a ceu\ de A qui sont 
hors de F; r un système de restes ^d 1 de A mod F; a', a", a t sont 
dans A hors de F; fhrfiufjk (,ans F )> 

e£ ces équations jointes à celles de À définissent G t . 

î2. Prenons pour A le groupe \(z, iz), (z, 1 — &)|, 2 parcourant 
un corps de Galois C w = C d'ordre p m =r. (p premier, n >> 2) 
dont i est racine primitive. Posons (5, iz) = a, (£, 1 — .3) = 6 et 
cherchons à adjoindre à A une s 2 ( 1 ) c=(ooo). . . lelle que A soil 
le diviseur fixant un symbole dans |A f cJ=G.. On devra avoir 
cac = a*, a 2 =i. Si a = 1 , comme a = (i°, /*, j 2 , . . .), il faut 



ta 



7T— 1 

2 



que c = (000) (i 2 , i x+ ?) avec «• r+2 P= &■*, 2 p = oi — 1 , ou c== (ooe) 
et G contiendrait (oco), ce qui ne se peut, la classe étant iï — 1 . 
Soit donc a = — 1 . Alors c = (000) (i-*, iP - -*) est de la forme (/ 'Z~ { ) 
et la condition (cb)* = 1 donne /• = 1 . Donc G coïncide avec le 

g r w{ic'-i)-C=5j (r~ — ^)' ^ es paramètres a, p, y, S parcourant 
C(ao — Py ^ o), ^ parcourant C et oc ( 2 ). On voit immédiate- 
ment par le même procédé que J^ne peut être le diviseur fixant 
un symbole dans un ^ TC+2 . Les équations de 4^ s'ohtiennent en 
adjoignant à celles de [a, b\ c 2 = (cbY = (ca)' 2 = 1 . 

Le diviseur fixant un symbole dans un gS£î_u transitif étant 
métacyclique, il résulte de ce qui précède que le seul g%ïp\-i 
transitif est ^(2,/?). 

3. Prenons maintenant pour A le g« (w _i) (tc impair) engendré 



(') .le me servirai des mêmes notations que dans le Mémoire cite. 
( : ) Cf. Miller, Comptes rendus de /'Académie des Sciences, I CXXXVÎ, 
• r io ; >. |>- '<ii- 



- IIS 



par a=(«2s).= (V», /"-', . ..,**-»)(/,/>, . .., i*-«) elle g£abélien 
j)rincipal B formé des substitutions 6p== (z -+- p), jâ parcourant (1 
(je poserai b< = b\ si ~=p, bp= bï). A est défini (') par 



■rc — i 



n ==6J=i, bhbk= b/cbhf a * b à a = br-/t, h, h parcourant ï, 
ï, ...,«'"-' (si iP=S7- , a pf f» J ^o^n;;'-'^). Cherchons à ad- 
joindre à À une s 2 c=(ooo)... I elle que, dans (, — ,A,r . 
A soit le groupe fixant ce. 

Par les mêmes raisonnements que dans le Mémoire cité ( 2 ) où 
l'on changera en indices les exposants de b, on trouve que 
c = (r^ - '), r étant un carré ou un non-carré suivant que 7c = i 
ou = 3 mod 4, c'est-à-dire que (/ = t)(2, tc), sauf que, si t: = -, 
§ peut encore être le g* 08 composé ; et Von obtient ainsi les 
équations de V). 

{9(2,7:) ne peut être le diviseur fixant un symbole o- dans 
un g %+2 . Soit en effet d la s 2 à adjoindre à 13 pour engendrer ce 
g u+2 et supposons d'abord ic'= i mod 4- On voit, comme dans la 
recherche précédente, que d= (?zc)(z, V z ^~ { ) {z ^°)> Ç' z = r' f *= I*P' 
ou ç^ = s' = j 217 ' selon que v est carré ou non. On a c = (rz*~*), 
*/c = (tooo) (s, r\'~* z) (z ^â o), et (dc) s , qui fixe o, doit être 
dans j«!,ce qui exige /'== s'. De plus <i doit être permutable à A, 

donc à B, seul g u de A; or cb^c = ( t — — >) n'est pas de la 

forme (s -+- k). Si - = 3 mod 4, on a de suite r J = s' . 

yiw contraire, le g H iùt , composé est le diviseur fixant un sym- 
bole dans un ^J 5I2 trois fois transitif; on le verra bientôt dans 
un théorème plus général. 

4. Tout gi 7 , (/7 «_, ) X qui a plus d'un g^ en a ^? -f- ï . Si donc X 
est simple, il est représentable en gP +i = t)(2, /?). 

Si /; = a</ -1— ï (q premier), X est encore représentable en g^" 1 "' 
[donc isomorphe à / D( 2, p) ou au g* )!8 composé] sauf s'il a ung ? 

(') Cf., toc. cit. f p. 264. 

( 2 ) Je reprendrai seulement ici un point de détail. Si a = — ï et si c échange 
lescvclesdea(donti: =3 3 mod 4), c = (000) (î** /' : ?^'-- Jc j = (z, rz~ l ) (r = r? +1 ). 

Or cbc = (oc, r, -, -, • ••, — r), et cb*c devant être de la forme b x cb x b_ t a>b t , 

où t est arbitraire, il faut, pour t = /•, que l'on ait x = x'= r, c6c = b r ccO b r : 
le second membre devant fixer o. r/ doit être égal à — r, ce qui exige que l'on 
dit ic = 3 mod '| : ;ilor< y ^e trouve déterminé. 



- 119 - 

normal Q dont chaque élément < ,k >i permutable à chaque e». Dans 
ce <;«"> d'exception, \ [ Q esl représentable <mi g^ • •>. fois transitif 
de classe/?, et /? 4-i = a w . Or, pour que a w — i =/> el 2 W "" < — i 7 
soient premiers, il Paul que eu el <•> — 1 le soient; donc y '>. 
Mais alors, X.|Q ayant un g 8 abélien normal, \ a un g s#l abé- 
lien V. Si Y n'a qu'un g 8 A, il est le produit direct de Q |>;n \. 
et X est le produit direct de O par un g ;iC de Mathieu. Si Y a 3gg, 
ils ont un gj non cyclique commun A, caractéristique dans ^ , donc 
normal dans \,et AQ est le produit direct de ùk = \b i c\ pnr 
Q = \d\. Y est défini par les équations de A, Q jointes à r/- 1 . 
db = bd, dc = cd, dad = a 2 . D'ailleurs X-j-àQ, d'ordre 1 \< n'a 
qu'un g 7 auquel répond dans X un £7.12 contenant un seul g 7 
S = |*|. Ainsi .çr/ = r/.v, dsd = s~* , et (en prenant au besoin M 
pour />, <x/ pour c) sb = bs, se = es. 

Pour le cas 7: 7^ Pi j e prouverai seulement que XD (2, 3 2 ) ça*/ 
/e 5e;// ^3co simple, le théorème précédent fournissant une dé- 
monstration plus simple que celle donnée par M. Cole ( , ). Un 
g 3G0 simple G a 10 ou 4° g 9 . Supposons-en 4°- Gomme 4° est 
p?= 1 mod 9, les g 9 ne sont pas premiers entre eux deux à deux. 
Soit \a\ un g 3 divisant deux g 9 . Il en divisera v = 1 mod 3 et le 
groupe A des éléments permutables à \a\ est d'ordre kvg. 
G, n'étant pas représentable en moins de six symboles, n'a aucun 
diviseur d'indice < 6. Donc v — 4, k = 1 . Gonsidérons G comme 
représenté en g 10 relativement à A. «, n'entrant que dans 4 gu 
qui sont ceux de A, ne divise aucun conjugué de A et est par suite 
de degré 9. A| j a \ est un g, 2 ayant 4 g'3 (il est donc tétraédral ) et 
un g 4 non cyclique. Donc A a un g\ 2 B >> j a \ qui est abélien ou 
contient 3 g 4 non cycliques ayant un e 2 normal dansB. Gela étant, 
B ne peut avoir 3 systèmes d'intransitivité de degré 3; il 
devrait donc en avoir 1 de degré 6 et 1 de degré 3 et serait 
impair, ce qui ne se peut, G étant simple. Donc G a 10 g 9 . 
Gonsidérons G comme représenté en g 10 relativement aug 3C A 
formé des éléments permutables au g 9 B. B, étant premier à tous 
ses conjugués (le raisonnement fait dans Je cas précédent le 
montre), est de classe 9 et, par suite, transitif. B n'est pas cyclique. 
car le groupe des substitutions permutables à B dans le champ 

(») A. /.. t. XV. 1893, p. 3o : . 



— 1-20 — 

de 1-5 serait d'ordre 5/f non divisible par 36. Donc À = BG, G étant 
un gj( du groupe linéaire à 2 variables mod/?, et, comme G est 
simple, donc pair, G est cyclique. Des lors le g' deux fois tran- 
sitif où A. est le g 9 fixant un symbole est XD{t.\ 3 2 ). 

5. Ghercbons à construire un g TC ( W s_i) (iï impair >> 3) G dont un 
groupe facteur soit ©(2, tc). Le groupe des isomorphismes i de X3 
est S t), («-), (^ y, )| en sorte que I | XD est un groupe abélien engen- 
dré par deux générateurs indépendants d'ordres respectifs 2 et m. 
XD est donc unique de son type dans I, car si I contenait un 
groupe X)' je. XD et isomorphe à t), il contiendrait XDXD' et 1 | XD n'au- 
rait pas le type indiqué. Il résulte dès lors d'un théorème de 
M. Holder (M. A., t. XL VI, p. 33 1) que, si m est pair, I a exac- 
tement trois g^( U î_ 1) distincts non isomorphes qui sont -£(2,7:), 

j ©,(«*")} = £, [©, \izP , )\ = J^. Si m est impair, I n'a qu'un 
g7T(7i 5 -«) qui est 4^(2, ic). G n'a pas d'autre type si sa seule suite 
de composition est G, XD, 1. 

Supposons que G admette la suite G, D, 1 (D= \d\, d 2 =i) 
je supposerai les exposants de d réduits à o ou à 1). /*, k, fi par- 
courant les mêmes valeurs que précédemment et j'$=y étant 
défini par P#*=x, G aura pour équations 

Tt — I 

« 2 = r/«, &}=<0ft, c*=dy, d*-=i, bT c x b k b k =b k dVM, 
a— l b/ t a = bph d? 1 ', c~ l ac — a~ x d^, c- l bad f} ?c = b~ % *.cgy?b -y- , 

T T 

da = ad, db/ t = &/, t/, rfc = £ rf. 

En prenant bhdïh pour 6a, on peut supposer (^' bhbk et a - ' 6^a 
étant alors, comme bh, d'ordre/?) que o^= ^aa = <?A = °* 

.Si y=o, o/i a nécessairement 0=0. Gela est clair si tt = 3 mod4, 
car, a et a' 1 d n'étant pas alors du même ordre, on ne peut avoir 
C~ { ac — a~ { d. Soit donc 7ï = 1 mod 4 : De, dans la représentation 
de G | D donnée au n°3, sera représenté par (rz~*), r étant un carré. 

La transformée de (rz~ l ) parw>= ( ir * * "*",' ) où c' J r — fi 2 = — îir 

est (r^ - ') (* 2 s)) qui correspond ici à Dca de G | D. w étant dans 
Xl)(2, 7î), on voit que De et Dca sont conjugués dans G | D. Donc 
c est conjugué de ca ou de cad dans G, et, dans les deux cas. 
(ea)*=i. 



\1\ 

Si Y=iû — r, en posant, ca :c', on obtient c' a i,d l (zc' a *d % 
r »6prfW = /y_ ( , x ,c'^' +l />,, x ', el Ton ;. bien ^/ ,H //.. de 

? r 

sorte qu'en changeanl x on ix on est ramené au i sas impossible 

v — o, = 1. Donc = 0. ( )n aura 

et, j)iiis(jiic hpd^? cl hpj - (/ {) ï' ' sont du même ordre, il faut que 
Sq=9a/-». Mais alors, changeant c en rrA, on aura, pour (3 carré, 



bac = b viCafl 



P ^ 

Soit d'abord 7t = 3mod4. On pcul toujours, en prenant au 

besoin ad pour a, supposer a= o. La formule préeédcnle donne 
alors c K b _ x »c = dft b$ca~ r ?bfi. Donc on n'aura que deux types : 

~T 

l'un répondant à y = o est le produit direct de 0(2, tc) par I), 
l'autre répondant à v = i coïncide avec Je groupe U(ïâ,it) des 
substitutions linéaires homogènes à deux variables de détermi- 
nant i. Ce groupe U n'est pas un produit direct et l'on en a ainsi 
les équations tc = 3 mod f\. 

Soit 7î = i mod 4- Prenons x carré; y sera pair pour [i carré et 
impair pour (3 non carré. En prenant donc acfli pour a, on aura, 
quelque soit [j, c~ h bac = &_ x «caP6_ x! . On peut donc supposer 

~F m T 
9^=:o. Or, dans la représentation de G|D en g 71 " 1 "' deux fois 

i 
transitif du n° 3, De = (rz~ l ), qui fixe les deux symboles ± r 2 , est 

une sf -1 . Comme ( ,D#| est le diviseur fixant o, ce, toutes les sj _l 



sont conjuguées de D« * . 

1Z - 1 TC — 1 

Donc, dans G, c est conjuguée de a '* ou de a * d et, ces 
deux éléments étant d'ordre 2 a_H , il faut que v=8 = a. On a 
donc encore deux types : l'un, répondant à v= a = o, est produit 
direct de t)(2, tc) par D; l'autre, répondant à y = a = î , est U(>, k) 
dont on a ainsi les équations pour?: = i mod \. 

(). Prenons maintenant pour le groupe A du n° I le g^ engen- 
dré par a = (fis) {yq = tz — r) et par le même gj B que précé- 
demment. \ rst défini par les équations de B jointes à a^=i, 
a~~* b/,a =i /'c/t. (cherchons ;'< adjoindre â \ une s-j c=(ooc)... 



~ 122 — 

telle que, dans Çj = | \, r' n A soit le diviseur fixant ce. On aura 
cac — «*, a- = i . 

Soit d'abord a = i. 6"/ alors q est pair, A contient une 

seule s 2 rt' 2 (ixant o el do, en sorte que (j a ^ic(7C+ i) s* -1 conte- 
nant {tî(îî'- — i) cycles binaires. Or soient c et c' deux substitu- 
tions ayant le cycle (ooo); ce' sera dans \a\, soit c'==ca x ; et 
inversement ca x a le cycle (ooo). Chaque cycle binaire figurant 
ainsi dans q substitutions de (/, les substitutions de (j présentent 
J-w(«-r-i)^ cycles binaires. Donc ^(Tr + i)^ est ^~t^(tJ 2 — i) 
et q = tz — i ou J (tc — i), ce qu'on a reconnu impossible. 

Soit donc q impair. Alors, c, ne pouvant transformer en lui- 
même aucun cycle de a (la classe est tt — i), les échange deux à 
deux et est de degré tu-Hi. D'ailleurs c doit être paire, sans quoi 
les substitutions paires de (j formeraient un diviseur (j' dont le 
p. g. c. d. avec A serait d'indice i dans A, tandis que A est 
pair et divise (,'. Donc 5(^ + 1) est pair et 7i = 3mod4. Ici 
encore toute substitution de (J ayant le cycle (000) est de la 
forme ca x , et parmi elles c est la seule s 2 [c = (ca x ) < ? étant de 
degré 7:+ 1, il en est de même de ca x ]. Donc, Ç étant deux fois 
transitif, toutes ses s 2 sont conjuguées et au nombre de 7: [il y 
a ^«(it + i) cycles binaires possibles, et chaque s 2 en a 4(it-r-i)]. 
Donc c, par exemple, est normale dans un g( W+ ij^ G'. D'ailleurs, Çj a 
Tt a — isjjdu type de b fixant un seul symbole, ^(it-f-i)^ — l ) s q ri 
(q 1 divisant q) conjuguées de a x (a x ^é\) fixant deux symboles, 
j7t(ic+ 1) (q — 1) s^t 1 conjuguées de ca x . Les tc + 1 substitutions 
restantes qui sont les s 2 doivent être contenues dans G' et de même 
dans ebaque conjugué de C' . Donc les s 2 sont permutables entre 
elles et forment avec l'unité un g n+i G = j c , . . . , c n _ K j (c = c) 
normal dans (j (c'est le p. p. c. m. de e (u+<) ).Donc tc + i est de la 
forme 1" . Le procédé de démonstration précédent est emprunté à 
Frobenius (S. A. B., 1902, p. 364), qui s'en est servi pour Je 
cas r: = p. 

Je dis maintenant que Tz = p. Soit en effet v l'exposant auquel 
appartient 2 moâp. On aura n = /rv el, 2 Av — 1 étant divisible 
par 2 V — 1 , 2 V — 1 a la forme />!* et /> m = S* | J)/?^. Soit  =/>*/, 
r=pPs (/, s premiers à y>) : pour /•</?*, (£)/> /!X est divisible 
par p r \>+*~p ( voir Jordan. Traite, p. 127) qui est >/;! x+y - si/- 



- 1-2.1 — 

est >i; pour /• p*, />"■' es* >//!'♦"'■ si >c > o. Donc L'';< J >/'"' 
et, par suite, />'" est congru à />t j -' fv -/nmd//!'- l " /H . Donc /. i, 

v=//, jjl =-- /// . Dr plus, m est impair, s;ms quoi />'" -i 
sciait e q mod8. Enfin m = i , sans quoi /> H- i , divisant p w + i, 
sérail de la forme 2 n '(n'<n) el 2 appartiendrait ;• l'exposant //. 

Donc 7i = /> = 2* — 1 . Donc n est premier et q divise 2 n " x — 1 . 
Ces conditions sont suffisantes. En effet, S étant normal dans 
Ç = Ae, A divise le groupe linéaire L(/i, 2) à /> variables mod2 
qui est d'ordre ¥Lpq (K premier à />) ; donc, B= [6| étant un % p 
quelconque de L et a une s v d'ordre impair permutable à B('), 
on peut prendre \a r b\ pour A, et, une fois A choisi, (j n'a qu'une 
détermination qui est A©. Les équations de g s'obtiennent en 
adjoignant à celles de j 3, b \ = j b, c \ sous la (orme donnée (avec 
d'autres notations) au n° 3 ou sous la forme donnée dans le 
Mémoire déjà cité ( 2 ) [j étant une racine primitive du corps 
galoisien C 2 » d'ordre 2 n et t parcourant C 2 ", on peut écrire 

à'={jt) = 0\J^ t )i^='U 9 fJ fs ^ c = (i — 0] les équations 
of==i, a i ba=b* ( , cic = cet (d'où a~ K c x a = ca x {< en posant 
<? x = b~ x cb x ). 

On va voir que q = 1 ou n, en sorte que, 5/ l'on fait abstrac- 
tion du cas q = 1 , (j es£ complètement déterminé pour tous les 
nombres premiers de la forme 2 n — 1 . Comme q = n divise 
i n ~ K — 1, on retrouve ce résultat que, si q — ^(p — 1), on 
a /? = 7 . 

Représentons désormais (j par les symboles de C 2 », A= |a, &! 
fixant o, \a\ fixant o, 1 et cherchons à adjoindre à Cj une s 2 , 
d = (t, ot) = (i)(ooo). . ., telle que, dans j (j, d\ = 3e, g soit le 
diviseur fixant 00. Il faudra que dbd = b~* , da = ad (dad doit 
transformer <f6<^ en db^d) et que (cef) 3 soit dans |aj. La première 
condition donne ot =jo(jt) (t ^ o), d'où, en multipliant les 
équations répondant à f = i, 7, . .., /*=Ç, ©Ç = /i^ -1 moda 
(/* = /""' <p 1). La troisième, en écrivant que (erf) 3 fixe o et 1 , donne' 



(') La toujours hors de B des éléments 7^1 permutables à B, et il y en a 
d'ordre impair, sans quoi \(p — 1) étant impair, L serait impair et aurait un 
diviseur normal d'indice 2, tandis que ses facteurs de composition sont /> 
et (U, 1). 

(-) Journal de Mathématiques, 1902, p. a63. 



- [M - 

h ~\ et devicnl (cd)' s = 1. La deuxième donne »(y' Y *) = 'f (/*)'', 
d'où h 1 -1 = i qui esl une identité si <y = i et qui redonne h = i 
(puisque A 2 " -1 = Z^ = i) si 7 > i . Les substitutions b, c, o? sont 
les générateurs de ^_(2, 2 /1 ) = '0(2, 2 n ) dont elles vérifient les 
équations, et, comme les équations de 3C s'obtiennent en adjoi- 
gnant à celles de \b, c,d\ ai = i , a~ l ba—b (1 , ca = ac 9 da = ad, 
3C contient normalement J\ Or .1C divise le groupe J des isomor- 
phismes de J^qui est d'ordre 2 IÏ (2 2/Ï — \)n et n est premier. Donc 
q = i ow /* e£ 3C = J^oit J. 

*Soi7 maintenant a = — i. On a certainement une solution 
pour (J en prenant c = (/•>s"" 1 ), car on obtient alors, comme au n° 3 
(voir le Mémoire cité), cbpc = b r ca?b r (iïy$ 2 — — r) , et ces 

P F 

équations jointes à celles de A définissent (/. (j est toujours d'in- 
dice y dans 41(2, tt). Si donc y est impair, y— 1 » sans c I utH ' e 
p. g. c. d. de Çj, 0(2, 7t) serait d'indice y dans t), et y, qui divise 
tc — 1 , devrait être égal à tc -|- i ou à « (ou à 6 si tc= 9; mais 6 ne 

divise pas 8). Si y est pair (donc t impair), C] est d'indice - dans 
/ 0( 2, 7r) et l'on voit de même que y = 2. 

Les résultats précédents complètent et étendent au cas où m 
est >- 1 les résultats partiels obtenus par M. Frobenius (loc. cit.) 
pour m = 1. On en déduit aisément aussi une nouvelle démon- 
stration du théorème suivant, établi parle même géomètre à l'aide 
de la théorie des caractères : 

Un g p pqi{+fJ) G ayant exactement 1 -\- p g p est nécessairement 
un des groupes £.(2, 5), 0(2, 5), 0(2, 7), t)(a, 11). 

En effet, le p. p. c. m. M d'ordre pq' (1 4- p) des g p de G est 
simple ('). Il est donc représentable en g/ ,+ * et coïncide avec 
t)(a, p). Donc q'= {(p -i)oiijO-i et de même q. Si donc G 
est jéL-XD et n'est pas le produit direct de t) par un g 2 , il coïncide 
avec ^(2,/?). MaistD(2,/>) n'est représentable en g/' que pour 
/? = 5, 7, 11 et ^(2, p) ne l'est que pour/? = 5, ce qui démontre 
le théorème. 



(') Miller, /'. L. M. S., t. XXXI, 1899, p. 14s. 



- 128 - 

SUR LES SÉRIES A TERMES CONTINUS ET TOUS DE MÊME SIGNE 

Par M. IUm. Baire. 

1. Je me propose <l<* démontrer le théorème suivant, qui, à 
cause de la simplicité de son énoneé, me paraît présenter un cer- 
tain intérêt. 

La condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction 
soit représentable par une série dont les termes sont des fonc- 
tions continues et sont, à partir d'un certain rang, tous de 
même signe, est qiî elle soit semi-continue, supérieurement dans 
le cas des termes négatifs, inférieurement dans le cas des 
termes positifs ( ' ). 

Je me bornerai, pour simplifier, au cas d'une seule variable, et 
j'étudierai le cas où les termes de la série finissent par être tous 
négatifs (ou nuls). En réunissant au besoin en un seul terme un 
certain nombre de termes au commencement de la série, on peut 
supposer que tous les termes sont négatifs ou nuls à partir du 
second. Cela étant, si f v est la somme des v premiers termes, la 
suite de fonctions continues fi,f 2 i . . . , fy, ... ne va jamais en 
croissant, c'est-à-dire qu'on a, quel que soit x, 

/,(»)i/,(a?)^...^/v(*)l.. .>/(*), 

y étant la somme de la série. 

2. Le fait que la condition de l'énoncé est nécessaire est un cas 
particulier du théorème suivant : 

Si une suite de fonctions semi-continues supérieurement f { . 
y 2 j • • • » fr> • •• cl une limite f avec la condition cjuon ait, 
quels que soient x et v, 

/v(*) £/(*), 

f est aussi semi-continue supérieurement. 

(') f(x) est dite semi-continue supérieurement si, quel que soit x et quel 
que soit t > o, pour toutes les valeurs d'un certain intervalle (a? — a, X -+- a). 
on a 

/(.z)</(.r n ) + 3. 



- 126 - 
En effet, soit X une valeur de ./:, cl soil î > <>. Comme un a 

li"»/v(^o) =/(#o), 
v <» 

on peut trouver/? entier tel que 

//.(*o)</(*o) + 6. 

Comme/;, est semi-continue supérieurement, on a, quand x est 
dans un certain intervalle (,r — a, ^r + a), 

//>'(#) <//>(*o)~*-« 
et, par suite, 

/(a?) S/p(«) <//>(. ^o) H- s </<#o) + 2*. 

La condition 

/(«?)</(*•) H- « 

exprime que y est semi-continue supérieurement. 

Les conditions de cet énoncé sont évidemment vérifiées dans le 
cas où les / v sont continues et ne vont pas en croissant, ce qui 
démontre que la condition du théorème du § 1 est nécessaire. 

3. Reste à démontrer la réciproque. Soit/ une fonction semi- 
continue supérieurement. J'ai donné, dans une Note parue dans 
ce Bulletin en 1900 (Nouvelle démonstration d'un théorème sur 
les fonctions discontinues, § 1 et § 4), un moyen de former sim- 
plement une suite de fonctions continues tendant vers /. Je 
reprends l'exposé de cette méthode dans le cas d'une variable. 

Soit /définie dans l'intervalle (o, 1). Je définis/ comme il 

suit : pour chaque nombre de la forme —(a entier), / v est égale 



au maximum de /dans l'intervalle (-^-> ~~^v~)" Dans l'intervalle 
qui a pour extrémités deux nombres consécutifs de cette forme, 
/ varie linéairement. 

La suite de fonctions continues y,, /o, ... ,/v, ... tend vers/. 
Car, soit x une valeur de x, et soit e > o; /étant semi-continue 
supérieurement, il y a un intervalle (x — h, x -\- h) dans lequel 

on a 

/(a?) </(*«)«-£. 



— 127 - 
v étanl donné, soit se l'entier tel que 



S a -H i 

— ' SCn C, — — 



/v(#o) r>l compris entre /y ( — ) et ./v(— v - )> ( |"' SOM ' respecti- 

ve ment égaux aux maxima de/dans les intervalles I v ? — J» 

| J?L, g ~*~ 2 j ; ces intervalles, qui contiennent tous deux ./„, sont, 

dès que v dépasse une certaine valeur, contenus en enlier dans 
(x Q — //, x -+■ h). A partir de ce moment, les maxima en question 
sont compris entre f(x ) et J\x ) -h e ; il en est donc de même 
pour/ v (# ). 

Ainsi l'on a, quel que soit »r, 

Iim/ v (a7)=/(a?) 

V « 

et de plus, quel que soit v, 

Mais je dis qu'on a, en outre, 

/v(*)£/v+i(*)- 

Pour que cette inégalité soit démontrée pour toutes les valeurs 
de x, il suffit, si l'on tient compte de ce fait que f^ et f y+i sont 

linéaires dans tout intervalle (~ri i ~~v+T ) («entier), de la vérifier 
lorsque x est de la forme -^j- 

Plaçons-nous dans ce cas, qui se subdivise en deux : 

« a S 

i° a est pair =2,3; #== — = ^. 

fv{x) est égal au maximum de/ dans l'intervalle ( £— — > — — ) 

/a — 2 a -h i \ 

qui est contenu dans le précédent. 
On a doue bien 

/v+t(*)£/v(a?). 



1-28 — 

oc •>. 3 -h i 



2° a. est impair = 2 Ji + i ; a? si_ ^ +1 ^ v+1 

fv(%) est égal à la demi- somme des nombres f y ( ^ ) et 

/v ( T )■> respectivement égaux aux maxima de /dans les in ter- 

yi + i (#) est égal au maximum de/dans l'intervalle 



y. — i a -i— i 
oV+l .,v-+-l 



ou j J-, 1- j qui est contenu dans chacun des deux précédents. 

Donc f vi . { (x) est inférieur ou égal aux nombres fv\^) et 
y'v ( ) et aussi à leur demi-somme f v (x), ce qui vérifie la 

condition indiquée. 

Il est ainsi établi qu'une fonction semi-continue supérieurement 
peut être considérée comme la limite d'une suite de fonctions 
continues allant en décroissant, ou encore comme la somme d'une 
série de fonctions continues à termes tous négatifs à partir du 
second. De même une fonction semi-continue inférieurement est 
la somme d'une série à termes continus et tous positifs à partir 
du second. 

Ces résultats s'étendent au cas de n variables, en utilisant les 
méthodes indiquées aux g 1 et 4 de la INote citée, et introduisant 
dans les démonstrations qui précèdent des modifications évidentes. 

On a ainsi un procédé de représentation qui est spécial aux 
fonctions semi-continues. 



LES SIX ÉQUATIONS DISTINCTES DU TRIANGLE 
EN MÉTRIQUE ANINVOLUTIVE; 

Par M. G. FowTEivr. 

1. Les principes de la .Métrique aninvolutive ont été exposés en 
1892 dans un Ouvrage ayant pour titre : Lï hyper espace ; un 
résumé de ces principes a paru dans ce Bulletin, t. XXVI, p. 176, 
en ce qui concerne l'espace ordinaire. 

En se bornant à la Géométrie plane, les éléments métriques 
que considère la Métrique aninvolutive sont relatifs à deux coni- 
ques F et f doublement tangentes. Etant donnés deux points A 



L29 



et lï, la droite AB coupe la conique F eu deux points F', F", et, si 
l'on désigne par 11 le rapport anharmonique (A, H, F', F*), on 
appelle pseudo-distance des deux points \ el B la quantité 



AB = -. lo-K; 



le pseudo-angle de deux droites a et [3 se définit d'une manière 
corrélative, en considérant cette fois la conique cp. Si l'on suppose 
(jne F et cp sont deux ellipses imaginaires, dont les équations oui 
des coefficients réels, les quantités R cl p sont des imaginaires 
de module 1, et l'on a, par exemple, avec AR réel, 



cosAB-H t sin Ai* = e iAU = /K, 

1 

7s 



cos AB — i sin AB = e~ lAB = , 



ou 

tsinAB cos A H 



B — 1 R 



V/H 



On définit alors pour chaque droite un paramètre spécial T, 
pour chaque point un paramètre spécial 9, et l'on pose par 
exemple 

sinAB 

° (A ' B) =lhTT' 

(A]B) = sm(T-ÂB) ; ri.(TH-ÂI) 

sin 1 sin 1 

d'où il suit que l'on a 

<t s (A,B) = i- y (A,B)xy(B,A); 
on pose encore 

, (A ' B) -aTÂ7Bj' ; (B ' A) = 7[b7â7' 

les deux cr étant de signes contraires. On définit de même les 
quantités o-(a, p), .... 

( Le caractère essentiel de la Métrique aninvolutive est de consi- 
dérer les figures en position. La Métrique de Cavlcv el Klein n'est 

XXXII. r, 



130 - 

qu'une transformation homographique de la Métrique de Lobat- 
chefsky, et le fait que le^ éléments métriques des figures dépendent 
de leur position disparaît par réduction à la Métrique aneucli- 
dienne ; une réduction analogue n ;i pas lieu par la Métrique anin- 
volulive, fondée sur la considération de (feus coniques F et ^. 
L'existence d'un paramètre spécial T pour chaque droite, d'un 
paramètre spécial pour chaque point, fait d'ailleurs du plan dans 
lequel on opère un être géométrique non homogène. En Métrique 

ordinaire, tous les paramètres ont la valeur commune -; les 9 

sont alors des sinus de pseudo-distances ou de pseudo-angles, 

les y sont des cosinus, les - sont des colançenles. 

2. Il existe une simple infinité de figures ayant les mêmes élé- 
ments métriques relativement aux deux coniques F et <p; une 
transformation homographique permet en effet de réduire ces deux 
coniques à un système de deux cercles concentriques. Voyons 
quelles sont les conséquences de ce fait pour un triangle. 

Soit un triangle ABC, dont les côtés sont portés par les axes a, 
[j, y; les éléments métriques fondamentaux sont au nombre de 
douze : trois pseudo-distances, trois pseudo-angles, trois para- 
mètres T, trois paramètres 0; ou encore : six comoments tels que 
y(B, C), y(G, B), auxquels se rattachent trois quantités cr(B,C), 
et, d'autre part, six comoments tels que y(P,y), Y 1 */*?*' • ••• 
Comme un triangle dépend de six paramètres, il suit de ce qu'on 
a vu plus haut (pie cinq éléments métriques d'un triangle suffisent 
à déterminer tous les autres; il existe donc sept relations dis- 
tinctes entre les douze éléments fondamentaux d'un triangle. Je ne 
puis démontrer ici (pie Tune de ces relations contient une constante 
remarquable, que Ton doit regarder comme étant le paramètre 
spécial du plan dans lequel on opère; cette relation est d'une 
forme assez compliquée quand on la considère comme ayant lieu 
entre les six paramètres relatifs au triangle et la constante du 
plan; je n'ai pas essayé de l'écrire avec les y et la constante. 
Je la laisserai entièrement de coté, et je donnerai quatre 
groupes équivalents de six relations entre les douze élé- 
ments y. 

En écrivant pour chaque groupe une seule des six relations qui 



— 131 — 
le composent , on a «I abord 

I I . -i B, C) ' y< B, \ » v< A, C)— -• B, A ,7i \ 

(in y(P,y) Y(P, *) XY(«iY) 7I M)°< *.ï) Y(C, ' ; 

comme extension de la formule de Trigonométrie sphérique 

SITkb cola — si n G cot A = cos£ cos 

où l'on considère les éléments a, A, 6, G (avec les angles exté 
rieurs), on a encore 



(III) *(C,A)i<C, B) -(ffP,a)i(P,Y) = y(G,.A)Y(p 

(IV) *(À,C)ï(B > C)-»-c(«,p)i(Y l P) =Y( ^,C)y(«,P)- 



On a aussi 

,\ | ?(B. G) = ' (,: -l_| __ g(A,B) 

*(P,Y) " »Ui a ) "' ff (*> P)' 

les trois rapports étant de même signe par hypothèse. 

3. Nous adopterons ici les notations suivantes : 

< cr(B, G) = a, i y< B, G I = a\ t Y , G, B I - a', 

' <r(C, A) = 6, • y(C,A) = £', | V ( A, C)= //', 

( s(Â,B) =c, ! y< V, B) =c', f 7 ( B,A i = <■", 

( »(?, Y) = A, j T (p,Y) =A', / y(y. P)= : v - 

J »(Yi a ) = |} - ) T(Ti a) = B '> T( a ; Y) = B ", 

( 7<a, p.) =G, ( y(a, p) - G', ' -;i 3. a) = C 

on a donc 

f « 2 =i — a'a # , A2= r— A' A". 

) 62 = J —vb\ ' B2 = [ — irr>\ 

C 2 = i_ c ' c " : / es = i — G'G", 

et, par hypothèse, les Irois rapports T , -.. -, sont (h' même signe. 



- \n — 

On a alors les quatre groupes de formules 



(I) 



(II) 



(III) 



(i ) a" = b' c — bc A', 

(2) //' = c'a' — caB', 

(3) c" =ab' —abC, 

I (i) A"= B'C — BCa, 

! (2) B"= C'A'- CA//, 

( (3) C" = A'B'— ABc', 



(0 



r/" A' 

a A 



6" 



B' 



B 



c'A". 



(3) «- -h B^ = — cf'B", 

(0 b- + c-^ =-b-c\ 

a A 



(IV) (2) C 



b ' ^ B " >a« 



(3) a--±-B %- = -a"B', 

C Li 



(l') a' = b"c" — bc\", 
(2) b' = c"a" — c«B", 
(3'j c' =a"b" —abC; 

(1') A/ = B"C"-BC«", 

(2') B'= C"A"-CA//, 
(3') G' = A"B"— ABc"; 

(2') a--C- =-a"C, 

r' C." 

(3') b - 4-A~ = — 6"A'; 
c C 

(Y) c^^B^'=-c'B", 
(2') fl^n-C^-a'C, 

(3') frfL^A^ =-6' A", 
c G 



On passe des formules de gauche à celles de droite en permu- 
tant par exemple b et c, B et C, et échangeant les accents (' ) et ("); 
le groupe (III) est son propre corrélatif, les formules (1) et (1') se 
correspondant. 



On a encore 












(V) *=* = 

A B 


c 
= G 


abc \/\ 

v/3 "" ABC 


~7ï 


en posant 


1 c' 


b" 




t 


C' B" 


= 


c" 1 


a' 


* = 


C" 


1 A 




b' a" 


1 




B' 


A' 1 



et en disposant des signes des deux radicaux ; ces formules sont 
analogues aux formules de Trigonométrie euclidienne 



a 


b c 
sin B sin G 


abc 
2S 


® 


iS 


sin A 


sin A... 


(i) 



133 



I. Pour établir l'équivalence des groupes <!<• formules (I) ci (II), 
monirons par exemple que l<;s formules (I) donnent les for- 
mules (II). En vertu des formules (1), Le déterminant adjoint au 

déterminant o est 

a* abC acB" 

baC" b* bcA' 

ca\V cb\" i 

La considération des trois mineurs relatifs aux éléments "-', 
6 a i C* donne d'abord l'égalité des quatre premiers rapports (V) ; 
le mineur relatif à l'élément bck! donne ensuite 



a*bc(B'G— A")=«'xo 



ou 



B'C— A*=a'X — x ^4 =«'xBG. 
ac ab 

On peut encore faire la démonstration en se limitant aux trois 
premiers des rapports (V). Les formules (i) et (i'), (2) et (2') du 
groupe (I) donnent 



ou 



c 2 (>2 A' A"— a*B'B") = (a' a"— b'b"){\ — c'e") = (b*—a*)c* 



«232- £ 2 A2; 



les trois premiers rapports (V) sont donc égaux, étant donnée 
l'hypothèse faite sur les signes. Si l'on élimine alors c' entre les 
formules (1) et (3') du groupe (I), on a 



ou 

ou encore 



bck'- b' (a" b" - ab C" ) — a" = — b' abC" — a" b\ 

cX' = — ab'C"—a"b, 

GA' = — A&'C" — a"B; 

l'élimination de c" entre (1') et (3) donne de même 

CB" = — Ba"C'-b'X: 

si l'on élimine b' entre ces deux formules, ce qui se fait en les 
ajoutant après avoir multiplié la seconde par — C", on obtient 

G( A'- B"G") =— à'B(\ — C'C") = - a'BC 2 , 

ce qui donne la formule (i') du groupe (H). Ce dernier calcul n'est 



- 134 — 

que l'extension d'un calcul bien connu de Trigonométrie sphé- 
rique. ( Cf. par exemple lîriot cl Bouquet. ) 

5". Pour passer du groupe (I) au groupe (III), reprenons la 

formule 

c A - ab'i V — a" b, 

fournie par l'élimination de d entre (i) et (3') de ( I) ; si Ton divise 
par a, et si Ton remplace - par -^' on obtient la première des for- 
mules ( III '). 

Inversement, pour passer du groupe (III) au groupe (I), éli- 
minons C" entre les formules (i) et (3') du groupe (111) écrites 
ainsi : 

" ^ k i iw' „• / " \ ' r" . 

— a — — — A — L , — c — — \ — — G 

a V c G 

» 

si l'on ajoute ces formules, après avoir multiplié la première 
par --■> la seconde par — //, on obtient 



h \ 


l> 


- tt« " 


- -b'c' = —k'b* 


a C 


c 



• •i. c 

ou, en multipliant par - -, 

-■ — a" — b' c' = — A' bc ; 
a G 

ce sera la première formule du groupe (I), si l'on peut rem- 

c G 

placer - par — • Il resterait donc à déduire des formules (III) l'éga- 
lité des trois premiers rapports (V); je n'ai pas réussi à faire ce 
calcul d'une manière simple. 

Si l'équivalence des groupes (III) et (IV) était établie directe- 
ment, on déduirait facilement de l'ensemble de ces deux groupes 
les égalités en question. En divisant par C la formule (i) du 

groupe (III) et la formule (a') du groupe (IV), et en éliminant -> 
on a facilement 

A 13 G 



ou 



, /,_ A' C"\ . / „ l> G"\ 



— 138 — 

les formules ( 3') du croupe (IN) cl (3) du groupe (I\ donnenl 

alors 

bc' , ac' ii I) 

K- h' till — 

C\ ci: \ 13 



SUR LES TÉTRAÈDRES INSCRITS ET CIRCONSCRITS A DES QUADRIQUES; 

Par M. (î. Humueht. 

1. On se propose, dans ce travail, d'examiner s'il existe un 
théorème analogue à celui de Poncelel pour les tétraèdres inscrits 
à une quadrique par leurs sommets et circonscrits à une ou deux 
autres par leurs faces. 

2. Tout d'abord ou reconnaît aisément qu'il \ a toujours une 
infinité quadruple de tétraèdres inscrits à une quadrique, \. el 
circonscrits à une autre, B, choisie au hasard; et ce résultat con- 
corde avec celui que donne a priori la comparaison du nombre des 
paramètres avec celui des équations. 

Mais en ce cas le tétraèdre ne se ferme pas toujours, c'est-à-dire 
que, si l'on se donne au hasard trois faces d'un tétraèdre, pourvu 
qu'elles touchent B et que leur point commun soit sur A, la qua- 
trième face, qui est évidemment déterminée, ne louche pas néces- 
sairement B. Pour qu'il en soit ainsi, c'est-à-dire pour que le 
tétraèdre se ferme toujours, il est évidemment nécessaire et suf- 
fisant que les tétraèdres inscrits à A et circonscrits à B soient en 
nombre cinq fois infini. D'ailleurs ils ne peuvent, en aucun cas, 
être en nombre six fois infini. 

Dès lors, pour généraliser le théorème de Poncelet, il faudra 
rechercher à quelles conditions les tétraèdres inscrits à A et cir- 
conscrits à B formeront une série quinluplement infinie. 

Avant d'énoncer le théorème qui donne la solution de ce pro- 
blème, nous établirons un lemme préliminaire : 

3. Lemme L — Soient A et B deux surfaces du second ordre 
quadritan gentes ; désignons par m un point quelconque de \. 
par C le cône de sommet m circonscrit à B, par 11 un plan 
quelconque tangent à B : je dis (pic \\ coupe A et C suivant 
deux coniques telles qiCon puisse inscrire à la première un 
triangle circonscrit à la seconde. 



— 136 — 

Soient en effet {Jig. i) ajâyS le quadrilatère qui est la perspec- 
live sur le plan II, à partir du point/??, du quadrilatère gauche que 
forment dans l'espace les quatre génératrices communes à A et 
à B; le plan II coupe les quatre faces de ce quadrilatère gauche 
suivant les droites pq, qr, ?\ç, .9/?, qui forment évidemment un 
quadrilatère inscrit au quadrilatère ajjyo ('). 

Gela posé, observons que le cône C (de sommet m) coupe II 
suivant une conique, qui louche les côtés du quadrilatère a^vS et 

Fig. i. 




les deux droites pr e\ qs; car : i° les côtés de afiyo sont la per- 
spective sur n, à partir de /??, de quatre génératrices de la qua- 
drique B à laquelle C est circonscrit; 2° les droites/??' et qs sont 
les deux génératrices suivant lesquelles le plan II coupe la qua- 
drique B à laquelle il est tangent. 

D'un autre côté, la quadrique A coupe II suivant une conique qui 
passe parles points /?, </, ?*, s, et aussi par le point de rencontre 
de a(3 avec ov : car une des génératrices de la quadrique A issues 
du point ??? s'appuie sur les deux génératrices qui ont pour per- 
spective, à partir de ce point, les droites apetoy; elle coupe donc 
le plan II au point d'intersection de ces deux droites. 

Dès lors, le triangle dont les côtés sont ajâ, pr et oy est inscrit 
à la conique section de A par II; et il est circonscrit à la conique 
section de G par II, ce qui établit le lemme. 

4. Théorème I. — Etant données deux surfaces du second 
ordre, A et B, quadritan gentes , il existe un infinité quintuple 



(') Il est clair, de plus, que les droites /></ et sr se coupent sur la diagonale ay, 
et les droites ps et qr sur la diagonale fJ8 ; mais cette remarque nous sera 
inutile. 






- 137 - 

de tétraèdres inscrits à l'une par leurs sommets et circonscrits 
à Vautre par leurs faces* 

Sous une nuire forme : 

De quelque façon qu'on commence et qu'on poursuive la 
construction d'un tétraèdre, inscrit à A et circonscrit à B, la 
construction aboutira toujours. 

Réciproquement, cette propriété n'appartient à deux <pia- 
driques que si elles sont quadritangentes. 

5. Démontrons d'abord la proposition directe. 

En vertu du lemme I et du théorème de Poncelet, il existe une 
infinité simple de triangles dans le plan II, inscrits à la section 
de A et circonscrits a la section de C par ce plan; sous une autre 
forme, il existe une infinité simple de trièdres circonscrits au 
cône G et dont les arêtes s'appuient sur la conique section de \ 
par II. Observons maintenant cpie les faces de ces trièdres touchent 
la quadrique B, à laquelle le cône G est circonscrit à partir de m : 
nous pouvons dire, en considérant le tétraèdre formé par un des 
trièdres et par le plan II, qu'il y a une infinité simple de tétraèdres 
inscrits à A et circonscrits à B, ayant pour sommet un point quel- 
conque, m, de A et pour face opposée un plan tangent quel- 
conque, II, de B; donc une infinité quintuple de tétraèdres 
inscrits à A et circonscrits à B. 

De quelque façon qu'on choisisse trois faces d'un tétraèdre, 
pourvu, bien entendu, qu'elles touchent B et quelles se coupenl 
sur A (en un point m), le tétraèdre pourra s'achever : car, d'après 
ce qui précède, il y a une triple infinité de tétraèdres inscrits à \ 
et circonscrits à B ayant m pour sommet, c'est-à-dire qu'on peut 
choisir arbitrairement les trois faces qui passent par /??, pourvu 
qu'elles touchent B; ces trois faces se coupent deux à deux suivant 
trois arêtes, lesquelles rencontrent de nouveau A en des points 
//>,, m 2 , //j ; ,, et le plan de ces trois points est nécessairement tan- 
cent à B. 

6. Corollaire I. — De même, si />?,, m%, m x sont trois points 
quelconques de A situés dans un même plan tangent de B, les 

XXXII. (). 



— 138 — 

nouveaux plans tangents menés à B par les trois droites m\ //? 2 . 
///, /« 3 , m 2 m 3 se coupent en un point situé sur A. 

7. Gokollaike II. — Soit m un point d 'une quadrique A; les 
arêtes d'un trièdre quelconque de sommet m coupent de nou- 
veau A en m { , m. 2 , m\ : toute quadrique, B, tangente aux trois 
faces du trièdre et quadritangente à A, touche le plan des 
trois points m i7 m 2 -, m^. 

8. Cela posé, pour démontrer la réciproque de notre théorème 
général, établissons un second lemme. 

9. Lemme II. — Soit toujours m un point de la quadrique A; 
désignons par G un cône quadrique quelconque de sommet m : 
je dis qu'il existe une quadrique, B, inscrite à G et quadri- 
t an ce nie à A. 

En effet, a- étant la biquadratique (de genre zéro) commune à G 
et à A, on sait qu'il y a quatre génératrices de A(pi, f> 2 ,Pz,p*) lan_ 
gentes à <r, respectivement en des points cr. { , a 2 , a n , a,, lesquels sont 
situés dans un même plan D (*): les quatre génératrices/?/ forment 
un quadrilatère gauche. Soit 8 la conique section de G par II : il 
existe une quadrique, B, passant par les quatre génératrices/?/ et 
par un point, a, choisi arbitrairement sur 6 ; celte quadrique est 
quadritangente à A, puisqu'elle en contient quatre génératrices, 
je dis qu'elle est circonscrite à C. En effet, i" elle contient la 
conique 9, puisqu'elle en contient cinq points, a,, ou, a 3 , a 4 et a; 
•2° son intersection avec le cône G touche évidemment les généra- 
trices /?<, p2->p.ii P*, aux points a,, a 2 , a 3 , a 4 , ce qui exige, puis- 
qu'elle comprend déjà la conique 9, qu'elle se compose de cette 
conique comptée deux fois. c. q. f. d. 

10. Supposons maintenant qu'il existe une inimité triple de 
tétraèdres inscrits à A et circonscrits à une quadrique B', ayant 
pour un de leurs sommets un point m de A. Je dis que B' est qua- 
dritangente à A. 

En effet, soit C le cône de sommet m circonscrit à B'; en vertu 

(') On vérifie ce résultat sans difficulté en partant de la représentation de 
la quadrique A sur "un plan, à l'aide de projetantes issues de m. 



- 139 - 

de L'hypothèse, trois plans tangents quelconques «le G déterminent 
un trièdre dont les arêtes percenl dé nouveau A en ///,, ///_,. ///,, el 
le plan m,, y?i s , ///,,, (jm dépend évidemmenl de deux paramètres 
an moins, enveloppe la quadruple IV. J)'im autre côté, en vertu 
du théorème direct et du lemme II, ce plan enveloppe une qûa- 
drique 15 inscrite au cône C et quadri tangente à À; B' coïncide 
donc avec B, ce c| i j i établit la proposition, et la réciproque cher- 
chée. 

11. Corollaire I. — C étant un cône quadrique dont le 
sommet m est sur une quadrique A, il n'existe qu'une sur/ace 
du second ordre quadritangente à h. et inscrite à C. 

12. Corollaire II. — Soient A et D deux quadriques quel- 
conques. Considérons les tétraèdres inscrits à A et circonscrits à I ) 
dont un sommet est le point m de A, et soit C le cône de sommet m 
circonscrit à D. 

En vertu de ce qui précède, les faces des tétraèdres considérés 
qui sont opposées au sommet ni touchent la quadrique B qui est 
inscrite à C et quadri tangente à A; par hypothèse elles touchent 
aussi la quadrique D. Or les quadriques B et D sont inscrites toutes 
deux au cône C; leurs plans tangents communs forment donc deux 
séries : ceux de la première enveloppent le cône C et ceux de la 
seconde un autre cône 2, dont je désigne le sommet par {/,. En 
d'autres termes : 

Les tétraèdres inscrits à une quadrique A, circonscrits à 
une quadrique D prise au hasard, et dont un sommet est un 
point m de A, forment évidemment un système doublement 
infini ; les faces opposées au sommet m sont en nombre simple- 
ment infini, et passent toutes par un point fixe jj.. 

Réciproquement, tout plan passant par u. et tangent à D appar- 
tient, comme face, à une infinité simple des tétraèdres considéré^. 

13. Cherchons maintenant une extension analogue du théorème 
de Poncelet pour les tétraèdres inscrits à une quadrique et dont les 
faces touchent chacune deux autres quadriques : il nous sera plus 
commode d'étudier le problème réciproque, à savoir celui des 
tétraèdres inscrits à une hiquadraliqùe gauche el dont les faces 



— 140 — 

louchent une quadrique. A priori, il n'y a, en général, qu'un 
nombre limité de tels tétraèdres; et, en aucun cas, il ne peut en 
exister une triple infinité. Le cas intéressant et donc celui où les 
tétraèdres considérés seraient en nombre doublement infini ; et 
voici, à ce sujet, le théorème fondamental que nous compléterons 
plus loin par une étude géométrique détaillée. 

14. Théorème. — Pour qu il existe une infinité double de 
tétraèdres inscrits à une biquadratique gauche, w, et circon- 
scrits à une quadrique, B, il suffit et il faut que huit généra- 
trices de la quadrique soient des cordes de la biquadratique . 

Démontrons d'abord que la condition est suffisante. 

15. En vertu de l'hypothèse, les huit points oj 4 , o) 2 , . . . , w 8 où 
la biquadratique to coupe B sont, deux à deux, sur huit généra- 
trices de B, comme l'indique la figure schématique suivante (fig. a) . 

Fis:, i. 




Il en résulte que la quadrique A menée par to et la corde w 1 w 2 
contiendra les cordes (jl> 3 (o 4 et w 5 to 6 qui s'appuient sur to< <o 2 , et 
aussi la corde io 7 co 8 qui s'appuie sur to 3 to 4 : cette quadrique A, 
contenant ainsi quatre génératrices de B, lui sera quadri tan- 



gente, 



De même la quadrique A', menée par to et la corde to, to 8 , sera 
quadritangente à B, de sorte que la biquadratique tù sera l'inter- 
section de deux quadriques, A et A', quadritangentes à B. 

Cela posé, soit II un plan tangent quelconque de B, coupant w 
aux points a,, a 2 , a 3 , a 4 : menons par les droites a, a 2 , a,a 3 , a 2 a :{ 
les trois plans, autres que II, qui louchent B : ces plans, en vertu 
d'un corollaire précédent (n°6) se coupent à la fois sur A et sur A', 
c'est-à-dire sur co. Désignons par ol\ leur poiut d'intersection : le 
tétraèdre otia 2 a 3 a^ est inscrit à co et circonscrit à B, et, comme le 



— 141 — 

plan x<a a aa c st un plan taBgent quelconque, II, de B, on obtient 
ainsi une infinité double de pareils tétraèdres. c. q. f. n. 

16. Étudions de plus près ces tétraèdres. D'abord, en groupant 
trois à (mis les périodes a, , a 2 , a 3 , a 4 , on obtient, par- la méthode 
précédente, quatre nouveaux points, a' 4 , a a , a' p a', ( , de la biquadra- 
lique (o, et les quatre tétraèdres a/aya^aj (les indices i,j 9 k, l 
étant différents) sont inscrits à fa) et circonscrits à B. 

Dès lors les plans a/otya*, a/aya^, a,aya/, a/aya'j , sont tangents à B : 
comme il ne passe que deux tels plans par la droite a/ay, et que 
l'un d'eux est, par hypothèse, le plan des quatre points a/, ay, a*, a/, 
on en conclut que les quatre points a/, ay, a^, a t sont dans un 
même plan, tangent à B. 

Soient maintenant a, et aj- les arguments elliptiques, sur la 
biquadra tique to, des points a/ et a! n la représentation paramé- 
trique étant supposée telle que les arguments de quatre points 
de to, situés dans un même plan, aient une somme nulle. On aura 
entre les a; et a' f - les sept relations 

ai H- aj +^+a/=o, B/ ■+■ a y -f- a'/, -f- o^ = o, 

/, y, A", /étant différents et désignantes chiffres i, 2, 3, 4 dans un 
ordre quelconque. On en déduit sans difficulté les relations 

a' -h %'j -+- a' A . -h a, = o, 2 ( a',- — a/ ) = 0, 

et, par suite, 

ai= a/-hta a , 

i.) a étant une des trois demi-périodes des fonctions elliptiques 
introduites. 

Donc le point aj est fixe lorsque le point a; est donné, et le 
tétraèdre a/a'-a^a'j est aussi circonscrit à B. Ainsi : 

Si une biquadratique to admet pour cordes huit génératrices 
d'une quadrique B, il existe une double infinité de tétraèdres 
inscrits à to et circonscrits à B. Parmi ces tétraèdres, il en est 
une infinité simple qui ont pour sommet un point, a, de w, et 
les faces opposées au sommet cf. passent toutes par un même 
point, a', de la biquadratique : les points a et. a' sont conjugués 
dans une des trois involutions linéaires qui tran forment la 
biquadratique en elle-même. 



- 142 - 

Les faces d'un quelconque des tétraèdres coupent respecti- 
vement la biquadratique en un nouveau point : les quatre 
points ainsi obtenus sont encore les sommets dun second 
tétraèdre circonscrit à B; et, réciproquement, le premier 
tétraèdre se déduit du second par la même construction. 

Les huit sommets et les huit faces des deux tétraèdres peuvent 
se grouper quatre à quatre de trois nouvelles manières pour 
former deux tétraèdres analogues. 

17. Passons maintenant à la proposition réciproque, en suppo- 
sant qu'il y ait une double infinité de tétraèdres inscrits à une 
biquadratique to et circonscrits à une quadrique B, et cherchons 
la relation qui doit exister entre B et to. 

Tout d'abord, en vertu de l'hypothèse, un plan quelconque II, 
tangent à B, sera face d'un ou de plusieurs des tétraèdres, et l'un 
de ceux-ci aura pour sommets trois des points a,, a 2 , a 3 , a 4 , com- 
muns à II et à to. Or je dis qu'aucune distinction n'est possible 
entre ces quatre points, c'est-à-dire que l'équation du quatrième 
ordre qui donne les points d'intersection de oj avec un plan quel- 
conque, II, tangent à la quadrique B, ne peut se décomposer 
rationnellement en deux équations d'ordre inférieur. 

Car, si elle se décomposait en deux équations du second ordre, à 
chaque plan II correspondraient rationnellement deux des points, 
a, et a 2 , où II coupe to. A chacun des plans, II, menés par a, tan- 
gentiellement à B correspondrait donc un seul point, a 2 , de to ; 
or les pians II considérés enveloppant un cône unicursal et to étant 
de genre un, la correspondance n'est possible que si a 2 est fixe 
quand a, est donné. En ce cas, tout plan tangent à B mené par a, 
passerait par ou, ce qui exige que B contienne la droite a, ou, et, 
comme a, est un point quelconque de to, il faut que B passe par la 
biquadratique w, cas à écarter comme sans intérêt. 

Le même raisonnement prouverait que l'équation du quatrième 
ordre ne peut se décomposer rationnellement en deux équations, 
respectivement du premier et du troisième ordre. 

Il résulte de là que, si a,, ou, a 3 , a 4 sont les quatre points com- 
muns à to et à un plan quelconque, II, tangent à B, il v aura quatre 
tétraèdres, inscrits à to et circonscrits à B, ayant pour une de 
leurs faces le plan II, et que leurs trois sommets dans cette face 



— li:; 



Seront respect i\ einenl 



«1 



'■■i- 



Xi. 



''\ 



Soienl alors y.\, a' a!,, a les quatrièmes sommets respectifs «le 
ces tétraèdres; <>n reconnaît, comme au n° 16, 'pion a entre les 
arguments elliptiques «les points considérés les relations 



qui, jointes à 



<*i 



(X S - r- 2 3 H- 01; = O, 



donnent toutes les propriétés géométriques trouvées plus haut 
(n° 16). 

Cela posé, soit jïJ, l'un des huit points communs à w et à la qua- 
drique B ; désignons par d { et d\ les deux génératrices de 13 qui 
passent par [ïi, : je dis que ce sont des cordes de o>. 

En effet, un plan quelconque mené par d K est un plan, fi', tan- 
gent à B; et, si Jj 2 , p 8 , (3 /( sont ses nouveaux points d'intersection 
avec aï, il existe, en vertu des propriétés générales des tétraèdres 
étudiés, un tétraèdre, inscrit à w et circonscrit à B, admettant pour 
trois de ses sommets ^, , {$ 3 et (3 /( . Les deux faces, autres que H', 




qui passent par j3,, étant tangentes à B et distinctes de la face II', 
passent nécessairement par la génératrice d\, qui dès lois contient 
le quatrième sommet, p' 2 . La droite d\ est donc une corde de oj, et 
il en est de même de d K : de plus, en vertu de ce qui précède, si 
$•> est le second point de rencontre de d t avec to, le second point 
de rencontre de d\ avec co sera le point [$ 2 , tel que 



pi 



3 2 H- 10; 



H résulte de là sans difficulté que les huit points de rencontre 
de co avec B sont situés deux à deux sur huit génératrices de B 
comme L'indique le schéma ci-dessus {fig. 3). 



- 1*4 — 

Par suite, huit génératrices de B sont des cordes de 6>, ou 
encore (n° 15) on peut faire passer par w deux quadriques, A 
et A', quadritangentes à B. 

Ce résultat est précisément la proposition qu'il s'agissait d'éta- 
blir sur la liaison entre w et B. c. q. f. d. 

Transformons maintenant les propositions précédentes par 
polaires réciproques, nous obtenons ce qui suit : 

18. Théorème. — Soient A, A' et B trois quadriques. II n'y a 
en général qu'an nombre limité de tétraèdres inscrits à B par 
leurs sommets et dont les faces touchent à la fois A et A'; en 
aucun cas il ne peut exister un nombre triplement infini de 
tels tétraèdres. 

Pour que les tétraèdres considérés soient en nombre double- 
ment infini, il faut et il suffit que, parmi les quadriques du 
faisceau tangentiel déterminé par A et A', il y en ait deux qui 
soient quadritangentes à B. 

En ce cas, chaque point, rn, de B est le sommet de quatre 
tétraèdres de la famille; trois quelconques des quatre plans 
menés par m tange nt ie lie ment à A et à A' sont trois faces d'un 
même tétraèdre. 

Soit T un quelconque des tétraèdres considérés; par chacun 
de ses sommets passe un nouveau plan touchant à la fois A 
et A' : les quatre plans ainsi déterminés forment un tétraèdre, 
T', de la famille. Le tétraèdre T se déduit de T' par la même 
construction. 

Les huit faces et les huit sommets de T et de T' peuvent se 
grouper de trois autres manières pour former deux tétraèdres 
analogues. 

19. On peut compléter ces résultats parla proposition suivante, 
moins intéressante que la précédente, et qu'on établirait par des 
considérations de même nature. 

Pour qu'il existe une série simplement infinie de tétraèdres 
inscrits à la quadrique B et circonscrits à la fois aux quadriques A 
et A', il suffit que, parmi les quadriques du faisceau tangentiel 
déterminé par A et A', il y en ait une qui soit quadritangenle 






— uri — 

à B. Le lien des sommets de ces tétraèdres est une biquadratique 
tracée sur B. 

Il existe alors une seconde série de tétraèdres inscrits à B et 

circonscrits à A. et à A', dont les sommets décrivent, sur I), une 
seconde biquadratique. 

Les faces d\m tétraèdre quelconque de la première série et 
celles d'un tétraèdre quelconque de la seconde forment un sys- 
tème de huit plans, tangents à une double infinité de quadruples. 

Tout plan tangent à la fois à A et à A' est face d'un tétraèdre 
de chaque série. 



COMPTES RENDUS DES SÉANCES. 



SÉANCE DU 2 MARS 1904. 



PRESIDENCE DE M. CARVALLO. 



Communications : 

M. Félix Lucas : Sur les dérivées modulaires des polynômes. 
M. G. Fontené : Les six équations distinctes du triangle en 
métrique aninvolutive* 



SÉANCE DU 16 MARS 1904. 

PRÉSIDENCE DE M. CARVALLO. 



Communications : 

M. Suchar : Sur les mouvements réciproques. 

M. de Polignac : Sur la recherche du facteur intégrant. 

M. Lévy : Sur une construction de statique graphique. 



u<; — 



SÉANCE DU 13 AVRIL 1904. 

PRÉSIDENCE DE M. CAttVALLO. 

Élections : 

Sont élus membres de la Société à la majorité des membres 
présents : 

MM. Sundman, présenté par MM. Painlevé et Borel ; 

Gurtiss, » J. Tannery et Hadamard ; 

Bcrnstein, » Picard et Ëstanave ; 

Metzler, » Picard et Perotl. 

Communications : 

M. Bernstein : Sur les équations différentielles du second 
ordre. 

M. d'Ocagne : Sur la résolution nomographique des 
triangles sphériques. 

MM. Àndoyer, Garvallo et Lévy : Observations à ce sujet. 

M. Humbert : Sur une extension du théorème de Poncelet ci- 
res p ace. 

M. Suchar : Sur V équilibre d' un JiL 



SÉANCE DU 27 AVRIL 1904. 



PRESIDENCE DE M. CMWALLO. 



Communication : 

M. Bricard : Sur une propriété des parties entières des 
racines carrées. 



SÉANCE DC I MAI 1904. 



PI\KSIDIîNCIî l)i: M. i:\iiv\i,i,ii. 



( 'omniunicalions : 

M. P\;ifl\ : Sur un théorème de Minding relatif aux équa- 
tions différentielles du premier ordre, 

M. Bricard : Sur certaines identités arithmétiques. 



SÉANCIï DU 18 MAI 100 4. 



PRESIDENCE DK M. CARVALLO. 



Communications : 

M. Zervos : Démonstration de l 'impossibilité d 'une certaine 

identité entre fonctions entières. 

M. Touche : Sur le vol par orbes. 

M. Carvallo fait hommage à la Société d'un travail intitulé : 
Conférence sur les notions de calcul géométrique utilisées en 
Mécanique et en Physique. 

M. Touche : Sur la théorie des vecteurs. 



SÉANCE DU 1" JUIN 1004. 



présidence ni: m. carvallo. 



Communications : 

M. Lecornu : Sur la déviation des projectiles. 

M. Bioche : Sur une réciproque d'un théorème d'Halphen 



— 148 - 

relativement à des propriétés des courbes gauches du qua- 
trième ordre comportant un cas d'exception. 

M. Félix Lucas : Sur les dérivés modulaires des polynômes; 
identités qui en résultent. 



SÉANCE DU 15 JUIN 1904. 



PRESIDENCE DE M. CARVALLO. 



M. P. Boutroux, présenté par MM. Poincaré et Borel, est élu 
membre de la Société à l'unanimité des membres présents. 

Communications : 

M. Remoundos : Sur les fonctions entières de genre fini. 
M. Raffy : Sur les surfaces isothermiques. 



— Ii> 



MÉM01KES ET COMMUNICATIONS. 



REMARQUE SUR L'INTÉGRATION DE CERTAINES ÉQUATIONS 
AUX DÉRIVÉES PARTIELLES DU SECOND ORDRE; 



Par M. J. Claihi 



N. 



Pour intégrer par la méthode de M. Darboux une équation aux 
dérivées partielles du second ordre à deux variables indépendantes, 
il faut chercher si les deux systèmes de caractéristiques (C) et (r), 
(pie nous supposons distincts, possèdent des invariants. M. Goursat 
a étudié (') les équations qui définissent ces invariants et il a 
obtenu des résultats importants; ceux de ces résultats qui sont 
relatifs aux invariants du second ordre peuvent être énoncés ainsi : 

S* il existe un invariant du premier ordre pour le système (C) 
de caractéristiques, il y a au plus un invariant du second ordre 
pour le même système ; 

Si l'équation donnée est une équation de Monge-Ampère, il 
y a au plus un invariant du second ordre pour chaque sys- 
tème de caractéristiques . 

Dire qu'il n'y a qu'un invariant du second ordre signifie qu'il 
est toujours possible d'exprimer tous les invariants de cet ordre 
en fonction de l'un d'entre eux et des invariants du premier ordre. 

Ces deux théorèmes sont des cas particuliers de la proposition 
suivante : 

Si le système (C) se compose de caractéristiques du premier 
ordre, ce système possède au plus un invariant du second ordre. 

Soit 

(i) r-i-f(x,y,z,p, q, s, t) = o 

une équation de l'espèce indiquée; soient en outre m et p. les 



(') Leçons sur les équations aux dérivées partielles du second ordre, t. II, 
Cb. VII. Les notations dont je me sers sont les mêmes que celles qui onl été 
employées par M. Goursat dans cet Ouvrage 

XXXII. 10 



- 150 — 

racines de L'équation caractéristique 

OS 01 

la racine m correspondant an système (C) de caractéristiques, 
c'est-à-dire au système composé de caractéristiques du premier 
ordre. L'éqnalion (i) peut être regardée comme le résultat de 
l'élimination de m entre les équations 

[ /• + ms+5'(a?,7,z,/),y,m) = o, 
{ s H- mt '-h k(x,y, z,p,q, m) = o; 

autrement dit l'on a 

m étant une fonction de x, y, £,/>, q-, s, C définie par la seconde 
équation (a). 

Pour trouver tous les invariants du second ordre du système (C), 
il faut intégrer les équations 

do do 

do do , x do do 

, do /(*/ df àf àf\à<? 

en remplaçant />?s — /et 5 -f- mt par leurs valeurs, cette dernière 
équation devient 

ào do . do . , oo 

, à'f /àf àf àf à/\ à* 

Supposons qu'il existe une intégrale u(x y y, s, /?, </, 5, /) et 

prenons comme variables x,y, z,p, q, M, t\ une fonclion o de 3r, 

y, z % /?, </, 5, t devient une fonction $> des nouvelles variables; 

on a 

do _ d<I> d<t> du 

dx dx du dx 
et Von peut substituer dans celte égalité y, z, />, q, t h x, tandis 



- 151 
que l'on a 

ds du Os 



En remplaçant par leurs expressions les dérivées de s dans les 
équations qui définissent les invariants ci en remarquant que u 
satisfait à ces équations il vient 

h m h ( p -h mq) — - 

dx dy r J àz 

— #0>r,f>/ , ><7> m ) — — k{œ,y,z,p,q,m) ~ =o; 

£ ne figure dans les coefficients que par l'intermédiaire de m ; 
d'ailleurs, /?i et m étant deux fonctions indépendantes de 5 et t, 
t figure effectivement dans ces coefficients. 

Toute intégrale de ce système satisfait également aux équations 



<9<ï> d«î> àg d<P dk à<l> 

dz dm dp < 

à 2 g à<t> à 2 k d<t> 



dy dz dru dp dm dq 



dm' 2 dp dm 2 dq 



= o. 



D'après cette dernière équation, si la fonction 4> existe on devra 
avoir entre g et k une relation de la forme 

(3) a^+ pÀ' + v + om = o, 

a, £}, y, ù désignant des fonctions de .r, y, z f /?, q. 

Admettons qu'il en soit ainsi, <ï> est une fonction de x,y, ^,/>, 
q ) u définie par les trois équations 

Une intégrale de ce système d'équations est une intégrale <lu 



- 152 — 
système suivant d'équations aux différentielles totales 

dz — p dx — q dy = o, 
<xdp -+- p dq — y dx — ody = o ; 

or une intégrale de ce système est une intégrale des équations 

dz — p dx — q dy = o, 

dp + g(x,y,z,p, q, -£\dx = o, 

dq ■+■ k l x, y, z, p, q, -^ J dx = o, 

qui définissent le système (C) de caractéristiques du premier 
ordre, comme on le vérifie immédiatement en multipliant les deux 
membres des deux dernières équations respectivement par a et p 
et en ajoutant, à condition de tenir compte de (3). 

Le théorème est donc démontré : 4> ne peut être qu'une fonc- 
tion de u et des invariants du premier ordre du système (C). 

Nous n'avons pas restreint la généralité en supposant l'équation (i) 
remplacée par le système (2) : il n'y aurait, si la chose était 
impossible, qu'à effectuer au préalable une transformation de 
contact convenable pour substituer à l'équation donnée une 
équation équivalente à un système tel que (2). 



SÉPARATION ANALYTIQUE D'UN SYSTEME DE RAYONS INCIDENTS 

ET RÉFLÉCHIS (suite); 

Par M. M. de Mojvtchelil. 

Dans un article précédent (' ), nous avons considéré le réseau 
des courbes génératrices d'une surface de translation, d'ailleurs 
quelconque ; et nous avons vu comment les quatre plans isotropes, 
tangents en un même point, aux deux courbes du réseau qui s'y 
rencontrent, déterminent par leurs intersections quatre con- 
gruences de droites normales à autant de familles de surfaces. Ces 
congruences, avons-nous dit, se répartissent en deux couples 
formant chacun un système de rayons incidents et réfléchis analy- 



( ' ) T. XXXI, fascicule 4» P- ^33. 



- 153 - 



liquemenl séparable. Nous avons montré comment celle propriété* 
apparlienl encore aux nappes des enveloppes de sphères dont le 
centre décrit ta surface dirimantc, ces nappes élant d'ailleurs 
formées par les quatre familles de surfaces normales ;mx con- 



gruences. 



Nous nous proposons aujourd'hui (Je déterminer sur une surface 

absolument quelconque une catégorie de réseaux jouissant <lr 
propriétés analogues au réseau des courbes génératrices d'une 
surface de translation. 

11 serait aisé, comme nous le montrerons dans la suite, de 
déterminer les réseaux que nous avons en vue, sans passer par 
l'intermédiaire des surfaces de translation. Toutefois, deux motifs 
nous engagent à les faire iutervenir. 

Nous y gagnerons d'abord de pouvoir mettre en relief une cor- 
respondance intéressante, qui relie une surface arbitrairement 
donnée à un ensemble de surfaces de translation dépendant de 
deux paramètres. 

Cette façon de procéder nous permettra encore de définir une 
catégorie, d'ailleurs illimitée, de formules qui, établies dans l'hypo- 
thèse d'une surface de translation, s'étendent au cas de surfaces 
quelconques. 

Surfaces de translation. — Avant d'aborder l'objet propre de 
ce travail, nous allons rappeler brièvement et compléter quelques 
résultats que nous avons exposés ailleurs concernant les surfaces 
de translation (< ). 

Nous avons défini les coordonnées de ces surfaces au moyen du 
système suivant ( 2 ) : 

y= J — G'"4+ — - — D -+- / — —J-Gî^at-h — -— i D' n 

x = i I - C du -+- i — ; — D — i / - — î- G , du x — t — - — 1 D . , 

J 4 4 J 4 4 

*= f-C"'du + -D' + f^C'Idut + ^D'.. 

J i- i- J 2 2 l 

D', G w représentent ici les dérivées premières et troisièmes de 



( l ) Thèse (Je doctorat. 
( 2 ) Ibicl.. p. 55, 



- 15/* - 

deux fonctions arbitraires de la variable U\ D' p C" les dérivées 
correspondantes de la variable u { . On vérifie, en outre, (jue les 
fonctions D, D { représentent les longueurs des aies des deux 
courbes, lieux des extrémités du segment dont le point milieu 
décrit la surface de translation. 

L'interprétation géométrique du système (i) peut être formulée 
comme il suit : 

Sur les tangentes à deux courbes minima quelconques pre- 
nons deux points eux aussi quelconques; le milieu du segment 
qui relie les deux points décrira la surf ace de translation dont 
les coordonnées sont dé finies par les relations précédentes. 

Interpréter les formules du système (i), comme nous venons de 
le faire, revient à considérer les surfaces de translation comme le 
lieu d'un point du plan tangent à une surface minima quelconque. 
Gela équivaut à appliquer le mode de construction de Ribau- 
cour à ces surfaces. La surface minima est ici la surlace de réfé- 
rence. 

Poursuivant nos investigations, considérons le point du plan 
tangent à la surface de référence qui engendre la surface de trans- 
lation précédemment déOnie et, par ce point, menons une parallèle 
à la normale de la surface minima. Nous obtenons ainsi une con- 
gruence de droites normale à une famille de surfaces. Ces sur- 
faces, que nous avons appelées ailleurs surfaces S ('), donnent 
la solution de l'équation 



du 2 du] 



= o. 



£, w, u t désignant les coordonnées d'O. Bonnet. Nous avons 
montré que la surface de translation correspondante en constituait 
la développée moyenne ponctuelle. 11 suit de là que la surface 
minima est l'enveloppe d'un plan perpendiculaire au segment 
focal de S et le coupant en son milieu. De là, nous tirons cette 
conséquence : 

Si V on associe à une surface minima quelconque une des 

(') Thèse de doetomt. 



- t:;;> - 

surfaces de translation, lieu du point du plan tangent à 
celle-là, précédemment défini, ces deux surfaces seront les 
développées moyennes tangeniielles et ponctuelles de la famille 

de surfaces E normales à la congruence des droites menées 
par chaque point de la surface de translation parallèlement 
aux normales de la surface minima. 

Le segment foeal de la famille de surfaces S est donné, à une 
constante près, par la relation 

(a) p= 

La surface S correspondante a pour équation 

(3) Ç = aG|-httiC- ' + " M ' (C' + G;+D+Di). 

Il suffira de supprimer les fonctions D et D, dans cette équa- 
tion pour obtenir celle de la surface minima développée tangen- 
tielle de S. 

Il resterait à indiquer comment, des surfaces trouvées, on 
déduit les deux systèmes de rayons incidents et réfléchis normaux 
à quatre familles de surfaces 3 dont font partie celles que nous 
avons déterminées. Nous renvoyons, pour ces développements, à 
l'article précédemment cité. 

Extension des formules (i) à des surfaces quelconques. — 
Exprimer les coordonnées d'une surface de translation au moyen 
du système (i) revient à la considérer comme la développée 
moyenne (*) d'une surface S définie par l'équation (3), Ç, ti, U\ 
désignant toujours les coordonnées d'O. Bonnet. 

Etendons ce mode de représentation à une surface quelconque. 
Soient donc x, y, z les coordonnées d'une surface développée 
moyenne d'une seconde surface définie par une fonction £ deu, l£<. 
Nous désignerons par la lettre ç cette surface. 



(') Par développée moyenne nous entendrons toujours la développée moyenne 

ponctuelle. 



— 136 — 

p désignant le segment, focal de £, on trouve 

* = i [(„ + »,) *£--£ -Al, 

2 L ^ w t/"i ^" oll\ J 

2 [ wm aw, cm (iM| J 

(4 ) / 

3 = - \(uili—l)- ; U~ — tf, — 2- -f- M 

2 L ou 0u 1 OU OLli 



p = 



- MWi + I -: f U-^ — U X yi -+-M . 



C'est ce système (4) qui, <ia/?s le cas des surfaces de transla- 
tion, se confond avec le système (i). 

Or nous allons définir quatre nouvelles fonctions, que nous 
désignerons, comme les précédentes, parles lettres C, D, G,, D, 
et qui entraîneront l'identification des sylcmcs (i) et (4) quelles 
que soient les sur/aces de coordonnées *r, y, z. 

Il est évident que, dans le cas général, les nouvelles fonctions 
dépendent chacune des deux variables u } u { . Du reste, il suffit, 
pour les obtenir, d'écrire que les deux systèmes de valeurs des 
expressions de .r, y, z, p, définies par les équations (i) et (2) 
d'une part et (4) de l'autre, sont identiques. 

Cette identification conduit aux relations 

G = - (1 + uu { )~ «M, 

2 L OUi J 

(5) / C,= - {(i-huui)^- -ai{], 

'2 L OU J 

d =D 1= -i r( I+aKl) _^_- a |i- Ml ^L+^. 

\ 2 L OU OLl\ OU OU x 

De ce système on déduit l'identité 

(6) ^=m,G + mC, . (^ h- l-D+D, . 

2 \ou Oui ) 

Ainsi donc y sous le bénéfice du système (5), V équation d'' une 
surface quelconque Ç prend la forme de l'équation (3) que 
vérifient les surfaces S. 

11 ne serait pas sans intérêt de prendre pour point de départ 
celle équation de la surface Ç et d'en déduire [toujours en tenant 



- un — 

compte « 1 1 1 système (5)] les éléments géométriques qui s'y rat- 
tachent : développée moyenne, etc. Sans entreprendre celte étude 
en détail^ nous signalerons les résultats suivants : 

Les dérivées 5j -t^-* -, — r— de la fonction ç définie par 

ou Oui OuOui J -' ' 

V é(ln<ttion (()) peuvent s'obtenir en opérant comme si C, I) 
étaient des fonctions de u seulement; C 4 , D, des /onctions 
de u { seulement. 

Z,« même remarque s'applique aux dérivées - — > — -» — - — — > 

7 ir 1 f) u n u'[ Oll"OU\ 

, „ , , où l'on suppose n>2, avec cette restriction que les 

OU" OU l l ~ l 

expressions trouvées doivent être multipliées par le facteur 2. 
Il suit de là que toute expression où figurent les seules qiian- 

tiles m, Wi, ç, -r^-j -r- 1 -* - — r~ prend la même forme, ou on y rcni- 
' 7 ' du Oui uudux l * 

place Ç et ses dérivées par les expressions déduites de l'équa- 
tion (3) particulières aux surfaces S ou par celles que l'on déduit 
de l'équation (6) qui convient à toutes les surfaces. 

La même remarque s'applique, au facteur près 2", à toute 

à" £ 
expression homogène et de deçré n en -r— -> •••• 

Nous avons ainsi défini la catégorie illimitée de formules dont 
nous avons parlé au début qui, établies dans l'hypothèse des sur- 
faces S ou, ce qui revient au même, des surfaces de translation, 
leurs développées moyennes, conviennent à des surfaces quel- 
conques. 

Gomme application des remarques précédentes, considérons les 
coordonnées de la développée moyenne d'une surface S, définie 
par le système (1) où C, D, d , D, sont fonctions respectives dune 
seule variable. Le système (4) montre que les expressions des 
coordonnées de la développée moyenne d'une surface quelconque 
ne contiennent que les seules quantités u, u i} .... Nous pouvons 
donc affirmer sans calcul que le système (1), où l'on considère les 
fonctions C, D, . . . comme définies par le système (5), donnera 
les coordonnées de la développée moyenne d'une surface quel- 
conque. 

Les lignes de courbure de ; nous fourniront une autre applica- 
tion de notre proposition. 



— 158 - 
Ces lignes sont définies par l'équation 

!Li du* ==^ du], 
du* Ou] l ' 

i , à*l 2 \ 

équation homogène en -r—-, -— r • 
* ° ou 2 ouf 

D'ailleurs, dans le cas des surfaces S, cette équation prend la 
forme 

4 2 ^ +(I+BKl) w + ¥)r î ; 

Cette équation sera donc celle des lignes de courbure d'une sur- 
face quelconque; C, D, C t , D< et leurs dérivées désignent alors 
les fonctions définies par le système (5). 

Nous venons de voir comment, C, D, C { , D, désignant les fonc- 
tions à deux variables, les formules du système (i) représentent 
les coordonnées d'une surface quelconque. Or, de ces formules, 
on peut en déduire de beaucoup plus simples. 

On vérifie en eflet que, si dans l'un quelconque des seconds 
membres du système (i) on groupe d'une part les termes en C, D, 
de l'autre les termes en C,, D,, ces deux groupes représentent 
des valeurs égales. Il suit de là que les quantités x,y, £, p peuvent 
s'exprimer au moyen d'un seul de ces groupes à la condition de le 
multiplier par 2. 

Ainsi donc les coordonnées d'une surface et le segment focal p 
correspondant pourront èlre exprimées par le système 

i — u 2 /0 2 C 0D\ OC 

X= - -pi +,-+«- G , 

2 \ OU 2 OU J OU 

,ri + B«/a»c od\ oc n i 

y = l\ -7-7 -+" T- ) ~ U 1 h C i 

J 2 \ OU 1 OU ) Ou 



2 C 0D\ OC 
u ( — - -f- — 



(7) 

):■-„/_ 

Ou 2 Ou J Ou 
p=-D. 

On déduirait le second système de celui-ci en changeant C, D 
en C, , D< et i en — i. 

Ces formules sont celles que nous avons établies ailleurs ('), 



(') Bulletin delà Soc. math , t. XXXI, fascicule 4, p. »35 



- l.VJ — 

dans le but d'obtenir des expressions rationnelles et Bans signe de 
quadrature des coordonnées et de l'arc d'une courbe. 

Ici, seulement, les deux systèmes définissent deux familles de 

courbes de paramètres U\ et u qui engendrent chacun la même sur- 
face. Nous reviendrons sur le réseau de ces COUrbeS. 

Les coordonnées de la développée moyenne tangent! elle de ç se 
déduisent de celles de la développée moyenne ponctuelle de la 
façon la plus simple. 

On passe de cette seconde surface à la première par un 
simple changement de signe devant les termes en D', \)\ <jui 
figurent dans les formules du système (i). 

Nous supposons toujours les fonctions C, D, C,, D, définies 
par le système (5). 

Enveloppes et enveloppées. — Rappelons les surfaces définies 
respectivement par les équations 



D(u, u x ) 



Dy(U, aO , 



I£ = u l C(u, u^ -h uGi(u> u^ 
i -h uui T dC( u, iii) dCi(u,Ui) 
2 ÔU ÛUy 

IÇ = U\ G (u, oti) -+- uCi (a, Ui) 

Les fonctions G, D, C,, D, qui figurent dans la première équa- 
tion sont celles que définit le système (5). Les fonctions qui 
rentrent dans l'expression de Ç se déduisent des précédentes par le 
changement de u K en a, dans C, D, de u en a dans C 4 , D,, 
a, a, désignant des paramètres quelconques. 

L'équation (8) définit une surface quelconque, dont la déve- 
loppée moyenne ponctuelle est représentée parle système (7). 

L'équation (g) définit un ensemble de surfaces E à deux para- 
mètres qui auront pour développées moyennes des surfaces de 
translation. 

Avant d'étudier les rapports qui existent soit entre les surfaces £ 
et les surfaces Ç, soit entre leurs développées moyennes, nous 
devons déterminer la nature de ces surfaces. 

La surface ç et sa développée moyenne sont absolument quel- 



- 160 - 

conques. La surface définie par la fonction Ç est une surface S et 
sa développée moyenne une surface de translation. Mais cette der- 
nière surface n'est pas la plus générale de cette catégorie. Nous 
devons donc préciser sa nature. 

Pour y arriver nous pourrons procéder comme il suit : 

Supposons l'une des familles des courbes lieux des extrémités 
du segment mobile, dont le milieu décrit la surface de translation, 
définie par le système (7), où C, D désignent des fonctions quel- 
conques de la variable u et d'un paramètre arbitraire a { . Supposons 
la seconde famille définie par un système analogue que nous appel- 
lerons le système (7/ et qu'on déduira du précédent en chan- 
geant G, M, a,, i en C,, m», a, — i. 

Assujettissons maintenant deux courbes quelconques de famille 
différente à se rencontrer. Ecrivant seulement la première équa- 
tion de condition, nous aurons 



(10) 



1 — w2 ["d 2 CO,ai) dD(M,a,)1 dC(w,a,) „, 

i — 1 — 11 _| l_J i _t- u — • — C(w. ai) 

2 L àu - du \ du v , w 

:r~ 1 ' 3 "^ w i j ^il M ii a )- 

2 e)wf dai o«i 



Nous allons imposer à ces courbes une nouvelle condition et 
exiger que toutes celles d'une même famille rencontrent chaque 
courbe de l'autre tangentiellement à une famille de plans isotropes 
parallèles. Si nous remarquons que les variables w, u { désignent 
deux paramètres directeurs de plans isotropes tangents aux courbes 
de chaque famille, nous nous rendons compte aisément que, au 
point de rencontre de deux courbes, u sera fonction de a seule- 
ment et u { de a, . On peut d'ailleurs, sans restreindre la généralité 
du problème, supposer qu'on a précisément en ce point u = a, 
M, = a,. 

Mais, alors, le système (10) sera vérifié pour u = a, u { = a, 
ou, ce qui revient au même, pour a — u, a, = U\. Dès lors, les 
trois relations (10) expriment trois conditions auxquelles doivent 
satisfaire les fonctions C(m, m,), D(«, u { ), . . . définies parle sys- 
tème (5). Cela résulte de ce fait que les coordonnées des surfaces 
définies par ces fonctions doivent pouvoir être représentées indif- 
féremment par les systèmes (7) ou (7)'. 

D'ailleurs, le système (5) montre que, entre les fonctions 



— 161 - 

C(w,//j), ..., il ne saurail y avoir plus de trois relation! dis- 

linctes. Ainsi donc, les conditions que nous nous sommes imiio- 
posées nous ont conduit à déterminer précisément les quatre fonc- 
tions (], 1), ... définies par le système (5), c'est-à-dire les quatre 
fonctions qui figurent dans l'expression de ç donnée par la rela- 
tion (8). D'ailleurs, les fonctions C(m, a, ), ... sont Lien déduites 
des fonctions précédentes par le changement de u { en a, dans la 
première, de u en a dans la seconde. Ce sont donc bien les fonc- 
tions qui figurent dans l'expression de Ç définie par L'équation (û). 
Nous pourrons donc maintenant exprimer comme il suit le carac- 
tère des surfaces, développées moyennes des surfaces Ç. 

U ensemble des surfaces de translation, développées moyennes 
des surfaces Ç, s'obtient en prenant pour courbes lieux des 
extrémités du segment mobile, deux familles de courbes telles 
que toutes celles d'une même famille rencontrent chaque 
courbe de Vautre tangentiellement à une famille de plans 
isotropes parallèles. 

Nous allons étudier maintenant quelques-unes des relations qui 
existent entre les surfaces Ç et Ç, ou encore entre leurs dévelop- 
pées moyennes. 

Si l'on forme les dérivées de \ et Ç au moyen des relations (8) 
et (9), on vérifie que, pour les points des deux surfaces définis 
par les relations 



u = a, m, = a,, 



on a 



EL i?? 3. ^L d ^ d% *> 

du du dui dii\ dudu^ dudu t 



à n ^ d n ^ d' l \ d n ^ 

d~û7 l "" du' 1 ' du'l ~~ oui* 

^(B+i)t ^(«-»-i)r ()(n+i)î ^(«H-nr 

— = 2 j — = 2 • 

du' 1 oui àu n du { du[ l du du" du 

Nous supposons n^2. 

De ces relations nous déduisons la conclusion suivante : 

Une expression en ç, -t-> ■—-» -; — r— ne change pas de valeur 
r ' du du r du duy ° l 

quand on y remplace ces quantités par les quantités corres- 

d Y 
pondantes Ç, -— > • • • et qu'on y fait a = m, a, = u { . 



— 1(>2 — 

Par celte substitution une expression homogène en — Jj> ■ • • 
de degré p se trouve divisée par iP . 

Tirons quelques conséquences de ces propositions. 
Les coordonnées de la surface \ sont fonctions des seules quan- 
tités Us u { . Ç, -t^j —t ° (M. D'ailleurs, les coordonnées de £ 

(/W (Jlli OU OU\ 

se déduisent des premières parla substitution de la fonction Ç à la 
fonction Ç. Nous en concluons que les points correspondants des 
deux surfaces se confondent. D'autre part, les variables w, U\ défi- 
nissent la direction commune des normales à ces mêmes surfaces; 
elles sont donc tangentes au point considéré. 

Ainsi donc la surface \ est V enveloppe de la surface Ç. 

Considérons maintenant les développées moyennes. 

Pour le même motif que tout à l'heure, les points correspon- 
dants sont confondus. 

Il est facile de prouver qu'ici encore les deux surfaces sont tan- 
gentes en ces points. En effet, on vérifie que les différentielles dx, 
dy, dz de ces surfaces sont des fonctions linéaires des seules déri- 
vées — -t • • •> -t— l> • • •• Elles sont donc proportionnelles. Les deux 
du 2 ou\ L l 

surfaces ont donc leurs normales confondues aux points corres- 
pondants. 

Ainsi donc la développée moyenne de £ est V enveloppe de 
V ensemble des surfaces de translation, développées moyennes 
deÇ. 

La même remarque s'applique aux lignes de courbure dont les 
équations sont homogènes en — > — - • 

Par conséquent, les lignes de courbure de £ sont les enve- 
loppes des lignes de courbure de Ç. 

Faisons encore une application des résultats précédents. 

On vérifie que l'élément linéaire d'une développée moyenne 



( ' ) Voir Darboux, Théorie de surfaces, t. I, p. 246. 



- 163 — 
quelconque est définie par la relation 

,„> (/jS = (/pM .^J £!,,,, ,/,,,. 

p désignant toujours le segment focal de ç et avant sa différentielle 
définie par la relation 

•4-- (i-h uu x ) —u——\du l . 

2 L au du\ ùu\ J 

On voit par là que ds 2 est homogène et du second degré 

en ^4» •••• Si donc nous désignons par dS 2 l'élément linéaire 

du 1 ° r 

relatif à la développée moyenne de Ç, on aura la relation 

ds* — 4 (/S 2 

au point où l'enveloppe touche l'enveloppée. 

Cette relation nous permet d'énoncer la proposition suivante : 
Supposons qu'on ait réussi par un procédé quelconque à déter- 
miner deux ensembles de surfaces de translation à deux para- 
mètres, définies comme précédemment et telles que, aux points de 
contact avec leurs enveloppes, leur élément linéaire ait la même 
valeur : ces enveloppes seront applicables. 

Remarquons, en terminant, que les courbes lieux des extré- 
mités du segment mobile dont le point milieu décrit les sur- 
faces de translation, développées moyennes de Ç, décrivent 
V enveloppe de ces mêmes surfaces. 

Cela résulte de ce fait que deux courbes quelconques de famille 
différente se rencontrent. 

Réseaux (tz, u { ). — Nous désignerons ainsi la catégorie de 
réseaux dont nous avons parlé au début et qui, tracés sur une 
surface quelconque, jouissent de propriétés analogues au réseau 
des courbes génératrices d'une surface de translation. 

Pour nous rendre compte de cette analogie, remarquons que ce 
dernier réseau peut être considéré comme formé de deux famille- 



— l()i — 

de courbes telles que toutes les courbes d'une même famille ren- 
contrent chacune des courbes de l'autre tangcntiellement à une 
famille de droites parallèles. D'après la définition même des sur- 
faces de translation, de pareils réseaux ne se rencontrent que sur 
ces surfaces. Mais nous pouvons élargir la définition donnée en 
substituant à la famille des droites parallèles tangentes aux courbes 
d'une même famille une famille de plans parallèles tangents à ces 
mêmes courbes. Prenons par exemple des plans isotropes. Dès 
lors, la définition précédente caractérisera les réseaux composés de 
deux familles de courbes telles que toutes les courbes d'une même 
famille rencontrent chaque courbe de l'autre tangenticllement à 
une famille de plans isotropes parallèles. Cette définition com- 
prendra encore, comme cas particulier, le réseau des courbes 
génératrices d'une surface de translation, mais, dans le cas géné- 
ral, elle caractérisera une catégorie de réseaux susceptibles d'être 
tracés sur une surface quelconque. 

Tels sont les réseaux (w, u { ) dont nous nous proposons d'in- 
diquer sommairement quelques propriétés. 

Nous remarquerons d'abord que, sur une surface donnée, ils 
forment une catégorie caractérisée par deux fonctions arbitraires. 

En effet, considérons la surface proposée comme la développée 
moyenne d'une surface £. Cette surface pourra être considérée 
comme définie par le système (4). Or, si l'on porte les valeurs #, 
y, z ainsi déterminées dans l'équation de cette même surface 

F(2",7> *) = o, 
on obtiendra une équation aux dérivées partielles de la forme 

f d*l d\ dl , \ 

* a a » -r ' a~~ > «•• ", "I ) = °> 

\OUOUi OU OUi } 

dont Tintégraie générale \ renferme deux fonctions arbitraires. 

D'ailleurs, chacune des valeurs de \ donnera un réseau (w, u { ). 
En effet, les deux familles de ces réseaux (on s'en rend compte 
aisément) sont données séparément par les systèmes (7) et (7)' où 
l'on fait respectivement u { = const., u = const. Or, à chaque va- 
leur de £ correspond, en vertu des relations (5), un système de 
valeurs des fonctions C, D, C n D,. La proposition est ainsi dé- 
montrée. 



163 — 



L'élément linéaire de la surface étant donné par la relation (in. 
on \<>ii que, |><>nr toutes les courbes du réseau, on aura 



ds*= dp*. 



Cette relation entraîne la propriété suivante : 

Les arcs des courbes de tout réseau (m, //,) sont, à une 

constante près, égaux au segment focal de la surface ç, qui 
admet la proposée pour développée moyenne. 

Celte propriété du réseau (u, ii\) tracé sur la développée 
moyenne de £ le rapproche des réseaux des deux nappes de la 
surface des centres correspondant au réseau des lignes de cour- 
hure de cette même surface ç. On sait qu'au réseau de ces lignes 
correspond, sur chaque nappe de la développée, une famille de 
courbes dont les arcs, en chaque point, sont égaux à la distance de 
ces points à la surface £. C'est bien la propriété que nous venons 
de constater pour les courbes du réseau (?/, u t ). Si nous dési- 
gnons par R, R' les rayons de courbure de £, les longueurs res- 
pectives des arcs de courbe considérées seront R, R' pour les 

nappes de la développée, — pour la développée moyenne. 

Indiquons encore les propriétés suivantes : 

Les paramètres des courbes du réseau (u, U\) sont ceux des 
génératrices rectilignes de la sphère de rayon i sur laquelle 
on effectue la représentation sphérique de \. 

Les réseaux {u, u t ) sont les seuls dont les coordonnées et les 
arcs des courbes qui les composent puissent s 1 exprimer ration- 
nellement et sans signe de quadrature en fonction des quan- 
tités w, u K , \et des dérivées de \, quelles que soient les surfaces 
proposées. 

Cette propriété résulte de ce fait que les coordonnées de ces 
courbes sont définies par les systèmes (7) ou (7)', où D, D, re- 
présentent les arcs de courbes. 

Pour tout autre réseau, les arcs de courbes sont définis par la 
relation 

ds = l/rfp*+ ^, --4 du du u 

y i <)u 2 0u\ 

XXXII. I 1 



— 166 — 

où l'on a 

du du\ 7^ o, 

expression qui ne saurait être rationnelle quelle que soit la fonc- 
tion \ ('). 

On voit, par ce que nous venons de dire, quelles relations 
étroites établit le réseau précédemment défini entre une surface 
donnée quelconque et un ensemble à deux paramètres de surfaces 
de translation. 

Pour mieux nous rendre compte de ces relations, considé- 
rons le système géométrique formé de V ensemble des surfaces ^ 
précédemment défini, des surfaces de translation leurs déve- 
loppées moyennes, des deux familles de développables de cha- 
cune des surfaces Ç. Des remarques précédentes on déduit 
aisément que V enveloppe de ce système ci deux paramètres 
constitue un système de même nature dont chaque élément est 
V enveloppe de V élément correspondant dans le premier sys- 
tème. 

Pour obtenir les équations du système enveloppe, il suffit 
défaire a = u, a, = u { dans les équations du système enveloppé. 

Les deux plans isotropes de chaque courbe du réseau sont 
analytiquement séparables. 

Les quatre plans isotropes tangents en un même point de la 
surface, aux deux courbes d'un réseau (m, m,) qui s'y ren- 
contrent, forment quatre congruences de droites, divisées en 
deux couples de rayons incidents et réfléchis. Ces deux couples 
sont formés de congruences analytiquement séparables. Les 
congruences de l'un des systèmes sont normales ci deux familles 
de surfaces dont V une admet la surface dirimante pour déve- 
loppée moyenne. 

Cette dernière propriété, que nous avons exposée dans l'hypo- 
thèse des surfaces de translation ( 2 ), va faire l'objet d'un para- 
graphe spécial. 

( 1 ) Nous ne considérons pas le cas où l'on a -?— = -r—s = o. Cette équation définit 
1 Ou- ou\ 

les surfaces de Monge, dont la développée moyenne, sur laquelle est supposé 

iracé le réseau, se réduit à iftic courbe. 

( 2 ) Rull. de In Soc. math., t. XXI, fasc. 4, p. i^-. 



— 167 — 

Systèmes de rayons et nappes d'enveloppes analytiquentent 
séparât les, — Nous avons établi ailleurs ( ' ) une, série de lot-mules 
relatives aux quatre plans isotropes, langents à deux courbes eu 
leurs points <le rencontre. Or, les calculs effectués alors se ré* 
duisenl à de simples opérations d'algèbre ci de dérivalion portant 
sur les quantités définies par les systèmes (7) et (y)' qui déter- 
minent les deux courbes. Nous supposions alors le système (7) 
indépendant de u { et le système (7)' indépendant de u. Du reste, 
les dérivées en u t ne figurant pas dans le premier système, et les 
dérivées en u ne figurant pas dans le second, les quantités j/, 
et u y jouent respectivement le rôle de simples paramètres sans 
influence sur la nature des précédents calculs. 

Nous en concluons que toutes les formules établies alors peuvent 
être transcrites ici sans modification, et qu'elles s'appliquent 
exactement au réseau (m, u x ) défini par les systèmes (7) et (7)'. 
En d'autres termes, nous pouvons appliquer au cas d'une surface 
quelconque toute une série de formules établies pour les seules 
surfaces de translation. Ici seulement, les fonctions G, D, C ( , D» 
ne seront plus les fonctions d'une seule variable qui figurent dans 
le système (1), mais plutôt les fonctions à deux variables que dé- 
finit le système (5). 

D'après cela, les quatre équations des plans tangents au point 
de rencontre de deux courbes du réseau (u, u t ) seront données 
par le système 

(1— -u*)X-hi(i-hu*)Y-+-iuZ +2C =0, 

, (1 — p 2 )X-+-i(r-4-p2 )Y-+-2pZ +2G =0, 
(12) { 

j (1 — u\ )X — 1(1 -4- u\ )Y -4- 'iU[Z -h 2C t = o, 

( (i-p*)X- t(i-+-* ; î)Y-f-2P 1 Z -t-2Gi= o, 

où v et G représentent des fonctions de m, u k définies par les rela- 
tions 

dD 

Ou 
V = u -+- 



d»G d i \) 
(1 3 ) « — T -h -— - 

Ou* Ou 2 



v-u \ dC /d*C âD\-\ 

a Ou \0u- Ou / J 



(') Ibid., p. ^47 et suivantes. 



(M) 



— 168 — 

On obtient les relations de c,, G, en affectant d'indices les 
lettres qui figurent dans les formules précédentes. 

Les deux premières équations du système (12) sont celles des 
deux plans isotropes tangents aux courbes de paramètre u f , les 
deux dernières se rapportent aux courbes de paramètre u. 

Le système (i3), rapproché du système (5) qui définit les fonc- 
tions C, D, Cj, D,, montre que les quatre équations des plans 
isotropes sont rationnelles en «, u { , ç et les dérivées de ç. 

Ainsi donc, les deux plans isotropes, tangents en un même 
point d'une courbe quelconque du réseau (u, u { ), sont analy- 
tique me ni se par cibles. 

Les quatre congruences formées des intersections de ces plans 
isotropes sont données par le système 

K — x Y— y Z — z 

u -\- ii\ i(u-i — u) uu\ — i 

et par les trois autres systèmes qu'on déduit de celui-ci en rem- 
plaçant d'abord u par p», puis w, par p l? et enfin simultanément 
u, Ui par *>, vv 

Nous renvoyons, pour les calculs, à l'article précédemment 
indiqué. 

Il nous reste à examiner lesquelles de ces congruences sont nor- 
males à des familles de surface. Or, nous aurons, dans les cas des 
surfaces de translation, 

( u -f- U\ ) dx 4- i( ii\ — u ) dz -f- ( uu\ — \) dz 



l + tt«l 




(c+i/ 1 )("/î'- i -i(i/| — v ) dy -h ( c, u - 


- 1) dz 


1+«1 V 




(u -f- v\ ) dx -f- i(Pi — u) dy -h (v t u- 


-x)dz 


1 -f- UV 1 




(v ■+- V\ ) dx H- /((', — V ) dy -f- (ce, — 


1 ) dz 



— ^ du 
Ou 


-h 


— dui = 

ÔUy 


= dp, 


tdu 
ou 


4. 


OUi 




tlc/u 
ou 


— 


â ? 1 

OUi 





. - 1 - du -+- -~— du\ 

VV\ \ÔU OUi 

désigne toujours le segment focal de c. 

Hien que ces formules soient de même forme que celles relatives 
aux surfaces de translation, elles ne doivent pas être interprétées 
de la même manière. Dans le cas des surfaces de translation, p est 
la somme de deux fonctions respectives de u et de u t . 11 suit de là 






— 169 — 

que les quatre seconds membres du système précédent sonl au- 
1,1 nt de différentielles exactes. D'où nous (lésions conclure que les 
quatre congruences étaient normales à autant de familles «le sur- 
faces. 

Dans le cas général, il n'en est pins ainsi. ^Des formules précé- 
dentes, seules la première et la dernière jouissent de la propriété 
indiquée. 

Nous avons donc ici deux systèmes d<> rayons incidents et 
réfléchis analytique ment séparables, mais dont Vun seulement 

se compose de congruences normales à deux familles de sur- 
faces. 

D'après ce que nous venons de voir, la détermination : des 
plans isotropes tangents aux courbes génératrices d'une surface de 
translation; des congruences de droites intersections de ces plans, 
et, par suite, des systèmes de rayons incidents et réfléchis formés 
avec ces convergences, dépendent de calculs qui s'appliquent 
sans restriction au cas de surfaces quelconques. Pour les adapter 
au cas général, il nous a suffi de substituer dans les formules les 
fonctions C, D, etc., définies par le système (5) aux fonctions 
d'une seule variable désignées par les mêmes lettres. 

C'est seulement quand nous avons voulu considérer les surfaces 
normales aux congruences de droites que nous avons vu se mani- 
fester une différence dans les résultats. Au lieu de quatre familles 
de surfaces normales aux congruences, nous n'en avons trouvé 
que deux. 

Nous constatons une seconde différence. Dans le cas des sur- 
faces S, les deux nappes de l'enveloppe de la sphère mobile 
admettent la surface dirimante pour développée moyenne. Dans 
le cas général, une seule de ces nappes jouit de cette propriété. 
On en peut conclure que les surfaces £ donnent la solution com- 
plète du problème suivant : 

Déterminer les surfaces telles que la congru enec de leurs 
normales se réfléchisse sur la développée moyenne ponc- 
tuelle, normalement à une famille de surfaces admet tout au 
même titre la surface dirimante. 

Du reste, comme nous allons le voir, les coordonnées des deux 



— 170 — 

nappes s'expriment rationnellement, en fonction de u, u { , ; et des 

dérivées de £. 

JYous pouvons donc affirmer ici encore que les deux nappes 
de l' enveloppe de la sphère mobile dont le centre décrit la 
surface dirimante sont analytiquement se par cibles. 

Série de systèmes de rayons analytiquement séparables. — 
Nous allons maintenant, comme nous l'avons annoncé au début, 
prendre une méthode plus directe qui nous fera retrouver, en les 
complétant, les résultats précédents. Nous montrerons, en parti- 
culier, comment des normales à une surface quelconque on peut 
déduire une série illimitée de systèmes de rayons incidents et ré- 
fléchis dont les équations s'expriment toutes rationnellement en 
fonction des coordonnées u, u A , £ relatives à la surface donnée 
et des dérivées de q. 

Soit donnée une surface quelconque définie par le système (4), 
que nous écrirons sous la forme suivante : 



(16) 



x— ly = Ul s—p, 
(i5) i x ■+■ i y = us — g, 

\ z = Y(uui—i)s — up — Kigr-f-l-). 

Nous désignons par p, q, r, s, t les dérivées premières et se- 
condes de £ par rapport aux variables m, U\. 

Calculons les quatre paramètres directeurs des plans isotropes 
tangents aux courbes de paramètres u, u x tracées sur la surface. 

Si nous désignons par w et w K deux quantités absolument quel- 
conques, nous vérifions les deux identités 

/ ( t — wp 2 ) dx ■+■ i ( i -h w- ) dy -+- 2 w dz 

\ w — a f / ds \ ds ~\ , 1 -f- WU\ I ds ds \ , 

= -T~ ["'{''- " 1 Ô7,.) - Tu\ du+ ~ -—-{ u ^-'-' v -oû l ) du " 

( 1 — w \ ) dx — i ( 1 -h w \ ) dy -+- 2 W\ dz 
1 -+- inv x 



2 



/ ds ds\ , «>!— m, f / ds \ ds "1 , 

ur r — «'! -— )du-\ «M l — u 3— — t~ \diti, 

\ du ou 2 \ àuyj 0U\\ 



Supposons maintenant que les différentielles dx, dy, dz se 
rapportent aux courbes de paramètre u K dans la première des re- 
lations (16) et aux courbes de paramètre u dans la seconde. Sup- 
posons encore que les quantités w, w { désignent les paramètres 






— 171 



directeurs respectifs des plans isotropes tangents à ces courbes. 

( )n aura alors 



[ / «x àx ., .. ày àz 

•i ( I — tv 2 ) --- -1-/(1 -I- (V 2 ) ~ H- 1 w -— 
du du du 






I ~"' 



On I du 



[o àx ., „ , ()y àz I 

f>W! ^Mi 0U\ | 



, r / ds \ ds I 
= («», — «,) wA t — u--) — —-\=o. 

\ Ou x J au\ | 

On obtient donc les quatre systèmes 

EL 

du . 

w = v = — , i iv = u, Os 

Os l — 

r — ui — I ^c \ au 

( IV = M, | dtf ] _1I_ I W = V = 



àu x { as 



w l —v l — — , [ Oui \ w l = u x , 

Os 

t — u—— 

au\ 

qui définissent les directions des quatre congruences formées par 
les intersections des quatre plans isotropes. 

Pour que ces congrnences soient normales à une famille de 
surfaces, il faut que l'expression 

(w -(- «'j ) dx -+- i( W\ — w) dy -H ( ww x — i ) dz 
I -+- ww\ 

soit une différentielle exacte. 
Or, on trouve 

( (v -h iv x ) dx ■+- i( iv x — w) dv -\- ( ww\ — i) dz 

I -f- WW\ 

(,„ - „) (», * - r - ,„, |f.) + (, + »„,,) [(«, *L - ,-) ... + £] ^ 

'2(1 -H W KV j j 

[ ^^)|^^7:-" / ) u '«- f -^:l 



ds ùs 

- (w x — u v ) [u- t — w 

Oll Olly 



(I+Jfiiv) M- t ) W x -\ 

^ IV àu x J du t J 



'2(l-{- WW X ) 

Pour 

iv = u . ir, = ?/ t . 



— 172 — 
il vient 

( u — U\ ) dx +j'((/| — u ) dy — ( uu\ — n dz 
N as , as 

(l-f-MMi)- M/* (i-t-UUi)-z U\t 

du . àUi , . 

= du ■+■ au x = '/:. 



p désignant toujours le segment focal de ç, segment défini par la 
relation 

(17) p = i [(UUt-h l)i — up — u x q — ;]. 

Prenons 

w = P, Wl = Plj 

p, y, avant les valeurs définies plus haut. 
Il vient 

v (v-+-v*)£ix-+-i(vi — v)dy-\-(vt>i — i)dz u — v as . u { — v^ds 

/ 1 g ) j = — — au -i- — = — (t: 

1 -t- Wi iv ou 'ii'i oui 

On obtient donc encore ici une différentielle exacte. D'ailleurs, 
le calcul montre qu'il n'en sera pas ainsi pour les deux autres 
conçruences. Ces résultats sont conformes à ceux que nous 
avons trouvés, en établissant les formules (i4)- 

Il nous reste à déterminer les équations de la surface normale à 
la seconde congruence qui forme avec ; les deux nappes de l'en- 
veloppe de la sphère mobile. 

Soient X, Y, Z les coordonnées de cette surface, x, y, z dési- 
gnant toujours les coordonnées de la surface dirimante définie 
par le système ( 1 5) ■ et p le segment focal de c ; il viendra, en 
tenant compte de (18), 

' v , * + 9 \ 
A = X Q , 



I — PPi 
V* — 9 



('9) \ Y =/•-*-* , ' cv Pi 

1 — Cl, 

Z -z 1 Wi "' p 
1 -t- 9V\ 

Cela posé, imaginons le plan tangent à la surface cherchée 
défini par la relation 

120I 1 V — \'i)\ — l('P| — Y — (p^i — I |Z — ;o= o. 



17.1 — 



ç désignai! I une fonction de e, e, qu'il s 'agil de déterminer. 
Portant dans l'équal i«>n (20) les valeurs des quantités \ . \ , / 
définies par le système (•<)), et tenant compte des valeurs des 
quantités .>\r, s, p, on obtient le système 



£ = — ( 1 -h e, u ) ( 1 -4- V u , ) s ■+- v ( 1 -+- v x u )p -+- Vi ( 1 ■+■ v u , | y — vv x ç, 



P = 



(ai) 



»'i = 



- K, 



dû 



/ — // 



ds 



qui détermine les coordonnées de la seconde nappe en fonction 
de m, m ( , ; et des dérivées de ç. D'ailleurs, ces expressions sont 
toutes trois rationnelles par rapport à u, u {y ç et ses dérivées. 
Nous pouvons donc énoncer la proposition suivante : 

Une surface quelconque étant donnée, le système formé des 
rayons normaux à cette surface et des rayons réfléchis par la 
développée moyenne sont analy tiquement séparables. Il en est 
de même des surfaces normales à ces congruences qui forment 
les deux nappes de V enveloppe de la sphère mobile dont le 
centre décrit la surface diri mante. 

Nous avons pris pour point de départ la surface ç et nous en 
avons déduit la surface £ normale aux rayons réfléchis sur la dé- 
veloppée moyenne de la première. Cette surface £ est d'ailleurs 
l'enveloppe d'un plan défini par l'équation 

(p-h Pi) a? -f- JCfi - ~ v )y -*-( w i — 1)* -*-{•= o. 

Si nous opérons sur cette équation comme nous avons fait sur 
celle qui définit z, nous en déduirons la développée moyenne 
de ; , puis la congruence des rayons réfléchis une seconde foi-. 
sur la nouvelle développée et ainsi de suite indéfiniment. D'ail- 
leurs, les éléments de ces congruences de rayons réfléchis, ainsi 
que de leurs surfaces dirimantes et des surfaces qui leur sonl nor- 
males seront toutes définies par des expressions rationnelles des 



— 174 - 

coordonnées w, u if ç de la surface primitive el des dérivées de ç. 

Nous allons établir les formules qui permettent de déduire les 
uns des autres ces divers systèmes de rayons. Nous allons modifier 
légèrement Jcs notations précédentes. Nous désignerons par ;/, p 
les variables relatives à la première surface £, par u t , v if u 2 , ^27 • • -, 
u n , v n celles relatives aux surfaces successives Ç n ç 2 , • • ••> S« que 
nous déduirons de la première ç. 

Nous aurons donc, pour coordonnées de la surface ç, normale 
aux rayons réfléchis sur la développée moyenne de ç, 

ds 



du 



Ui = 



ds 
r — v — 
(22) / du 



ds 
dv 



v x = 



Os 

t — u ,- 

dv 



D'où 



, Ml \2 / dMogr ^s 

dii\— r / — \ /' — — T — rfw H- -7 — r- rtP ) > 

d« 

/ / »'i W ^ 2 - ç / <>*log* 

[ 05 I \du dv dudv 



àv J 



Si Ton considère «<, <;, comme des fonctions de u, v détermi- 
nées par les relations précédentes, la première des équations du 
système (22) définit la surface qui, associée à ç, donne les deux 
nappes de l'enveloppe de la sphère mobile dont le centre décrit la 
développée moyenne de la proposée. Si, au contraire, nous con- 
sidérons w, v comme des paramètres indépendants de u if ^, nous 
avons l'équation de la sphère mobile elle-même. 

Calculons les dérivées premières et secondes de £,. Mais, aupa- 
ravant, remarquons que, en vertu du système (22), 

d*-s 



/ âs\ Ou , . ( ds\ dv du d 

(i-+-v l a)[r—i>r r )—- = ( 1 -h vu , ) [t — u — ) - — = — 

\ du dv t \ dv du x d(u x v x 



du dv 

) 
(){ uv 






- 178 - 
Celle relation établie, nous trouvons 

Pi-, (i i- uv t )(/; — vt) ■+■ v\ {yq — \), 

>/l— (1-f- »'//, )(</ IIS) ! //,( up — ; ). 

^.s- \ d« i i i-| // Os iitt 



r, — (i -i r, // i /• — v 



: — ~ ' 



Ou/ Oit ! //, du ou | 



v / <fr \ ^ (; I -4- <v/ , Os Ov 

; \ Ov / 0v x v x dv dvi 

d*s 

rt ----- 
au Ov 

Désignons par a? H j,, c, les coordonnées de la développée 
moyenne de £,, par p, le segment focal de cette môme surface, 
l'osons encore 

d*s 
rt-—;- 

. Ou Ov 

à(u\V\) 
0(uv) 
Il viendra 

Xi — l)\ — V\ .9j — p x — VS — p ■+- V~k y 

X\ -4- iyx = UiSi — q l z= us — q -f- wX, 

-i = - («î^i— 5 i— "i/>i— ^i<7i~+- El 

= - (mp — l)s — <£/> — ('^ -4- ç H ■ >, 



Pi = " 
1 



1 \t \ , t\ uv " 4 " r 



La développée moyenne de £,, nouvelle surface dirimante des 
rayons une première fois réfléchis par la développée moyenne de ç, 
étant ainsi déterminée, il nous reste à déterminer les paramètres 
directeurs u 2 , ^2 des rayons réfléchis une seconde fois. Dans ce but, 
nous considérerons les plans isotropes tangents aux courbes de 
paramètres u { , v { tracées sur la développée moyenne de ;,. Nous 
aurons les relations 

(r — u\) dx\ -+- i(i H- u\ ) dy\ -+- 2 112 dz { = o, 
(1 — vj) dx x — i{\ -f- v\ ) dy\ -i- ■>. v-i dz x = o. 



- 170 - 

Nous trouverions quatre systèmes de valeurs, comme précédem- 
ment, et nous serions amenés à poursuivre les calculs de la 
manière indiquée plus haut. 

Nous pouvons donc résumer les résultais précédents dans la 
proposition suivante : 

Une surface quelconque étant définie au moyen des coordon- 
nées u, v, \ d'O. Bonnet, on pourra exprimer, au moyen de 
fonctions rationnelles de u, v , \ et des dérivées de ç, la con- 
gruence des normales réfléchies sur la développée moyenne; la 
surface £, normale aux rayons réfléchis et formant avec \ les 
deux nappes de l'enveloppe dhine sphère dont le centre dé- 
crit la surface dirimante; la congruence des rayons réfléchis 
sur la développée moyenne de\ K \ la surface \ 2 normale à ces 
rayons, et ainsi de suite indéfiniment. 

Surfaces particulières. — Dans le cas général, la suite des 
congruences réfléchies sur les développées moyennes successives 
est illimitée. Nous nous proposons de déterminer les surfaces spé- 
ciales pour lesquelles il n'en est pas ainsi. 

Reprenons les formules du système (23). Si nous les considé- 
rons comme définissant la développée moyenne et le segment focal 
de la surface £« + i, nous aurons le système 

X n+i — iy H +l = %n— iyn -H ^nVn = X — iy H- X f> -+- Xi t> i -+- . . . -h X„ P„, 

x n +\ -+- ijr n +i = x n -+- iy n -\- X„ u„= x ■+- iy -+■ X u ■+- l x u^ H-. . . -f- X„ u n . 
%n-hl — &n-T~ A rt — -h Z -+- A - \-.,,-t-A n 

pn-hl = — pn-+- A n ■= =t p -4- A ■ h. . .4- À» ■ 



■i 



r n t n 



du n ()V„ 

Or, dans l'hvpollièse actuelle, on devra avoir 

relations qui ne seront vérifiées qu'à la condition d'avoir 

l n = o, 



— 177 

c'est-à-dire 



d*8 n 

= o. 



ou,, av n 

Vous retrouvons les surfaces H qui admettenl pour développée 
moyenne les surfaces de translation. 
\insi donc : 

La suite des cortgruences de rayons réfléchis déduite de la 
congruence des normales à une surface donnée rencontrant la 
développée moyenne aura une limite toutes les fois qiûon sera 
amené à trouver une surface de translation par l'une des sur- 
faces dii'i mantes. 

Nous plaçant à un point de vue un peu différent, nous pouvons 
encore formuler cette proposition : 

Les suif aces de translation, à l'exclusion de toutes les autres, 
jouent le rôle de surfaces dirimantes à l'égard d'un système 
de rayons incidents et réfléchis respectivement normaux à deux 
familles de surfaces, qui admettent celles-ci pour développées 
moyennes. 

Cherchons une seconde catégorie de surfaces : celles dont les 
deux familles de développantes se conservent après réflexion sur la 
développée moyenne. 

On a pour équation des rayons de courbure de la surface pro- 
posée 

(24) rdu?—tdv*=o. 

Après réflexion, les rayons seront normaux à la surface ç ( dont 
l'équation des lignes de courbure pourra s'écrire 

F\ du\ — t x dv\ = o. 

Or cette équation, transformée au moyen des formules du sys- 
tème (22), devient 

O 2 loer , „ o* \o«t , . 
r — — 2- du 2 — t — — P- dv*- — o. 
ou ov ou ov 

Rapprochant celle équation de l'équation (24)5 on voit qu'il 



- 178 — 
faut avoir 

*'°s(t) 

Ou Ov 

Si l'on désigne par U, V deux fonctions arbitraires, l'une de u, 
l'autre de p, l'équation précédente pourra s'écrire 

(25) V;- = U/, 

équation du second degré qui se ramène à l'équation à invariants 
égaux de La pi ace. 

L'équation (25) définit donc les surfaces dont les deux 
familles de développables se conservent après réflexion sur la 
développée moyenne. 

APPLICATION. 

Nous allons prendre pour point de départ la surface définie par 

l'équation 

Ê = 2FF„ 

où F, F ( désignent deux fonctions respectives de u et de u K , et en 
déduire, d'après la méthode exposée, les divers éléments géomé- 
triques qui constituent le système d'enveloppes et d'enveloppées 
précédemment défini. 

Equations du système. — Formons d'abord les fonctions 
C(u, u t ), D(m, U\ ), . . . définies par les systèmes (5) et (i3). 

11 vient 

l G (u, Ui ) = [ u( u x F; — F.t.) -h Fi ] F, 

\ D(w, wi)= — («F- F) (i^F; — F t ) — F'FJ. 

y F' 
(2f>) { V = 1J , 

p_ m r OC N /d*C dD\1 



G= C + 



Les autres formules se déduisent des précédentes en affectant 
d'un indice les lettres qui y figurent. 

Désignons par A, A/, A,, A', ce que deviennent les fondions F, 



- 17!) 

F', F { , F', quand on y fail 

u — a, // , - a , . 

Il vienl 

C(«,a,) =[ M (a 1 Ai-A 1 )-hAJ]F, 

l)(^,a 1 )--(^F'-F)(,a 1 A' 1 -A 1 ) A',F', 

J v = - — 7-7- = const.. 

/ À!— a, Ai 

G = o. 

On trouvera les autres relations par le procédé indiqué tout à 
L'heure. 

Ces dernières formules montrent que, dans le cas particulier 
qui nous occupe, les paramètres directeurs relatifs aux rayons 
réfléchis se réduisent à des constantes. 

D'où nous concluons que la congruence des rayons réfléchis se 
compose de droites parallèles, et la seconde nappe de l'enveloppe 
de la sphère, dont le centre décrit la surface dirimante, a un plan 
perpendiculaire à ces droites. 

Pour obtenir les coordonnées de la surface dirimante, il nous 
suffirait de porter les expressions trouvées pour les fonctions 
C(m, a,), ... et leurs dérivées dans les équations des systèmes (-) 
et (7)'. Toutefois, nous obtiendrons des formules plus simples en 
effectuant un changement de variables. 

Nous poserons donc 

F= - r , F 1= —I— y, 



«Pi— *>l<Pl 



U = '— 7- , U = : ? , 



ç, o, désignant deux fonctions quelconques: celle-là de v, celle-ci 
de c^, nouvelles variables substituées aux variables u, u K ; 'J, a', 



désignant les dérivées de ces fonctions. 



Des deux relations précédentes on déduit le système 



fl~ M Yl 



?i=F=^' 



IL 

cp! — Pj o', F — « F 



.1 

u = '— -9 c, = — — 






F' = l» 

'fi 

«F'— F 7=---, Pi «pi — Ç4= -pi 



— 180 - 

Les autres formules se déduisent des précédentes par la permu- 
tation des indices. 

Gela posé, désignons par [3, [j, ce que deviennent les variables c, 
ç { pour u = a, ?/ ^ = a ^ . Le système précédent nous permettra de 
calculer C(w, a, ), ... en fonction des nouvelles variables et, par 
suite, de calculer les coordonnées des surfaces de translation à 
deux paramètres, développées moyennes des surfaces S, ainsi que 
l'équation de ces surfaces. 

Désignons par x,y, z les coordonnées des surfaces de transla- 
tion, par p le segment des surfaces E. 

Il vient 

_• Pi * 

P 



X -+- 1} - = — 



| 28 | 



?i(Pi) c p(^; 7(P)?i(«'i) 
I — p f p l-pp, 



a«pi(pi)«p(p) 2«p(P)?i 

i-h PiP I-h 8('i 



2<pi(pi)«p(^) 2«p(P)'fi(fi) 

Cherchons maintenant l'enveloppe de ces dernières surfaces. 
Nous avons dit qu'on obtient les coordonnées de cette enveloppe 
et le segment focal correspondant, en faisant a= u, a, — m, (ce 
qui revient ici à faire (3 = v, (3, = (>< ) dans les formules correspon- 
dantes de l'enveloppée. Faisant donc P = f>, p 1 = r l dansle système 
précédent, il viendra 

v -+- t'i 
X — 



«FlOTiO'i) 



(29) 



IV 1 — I 



o(p)<pi(t'i ) 



cp(r)o 1 (p 1 ) 



Les développées moyennes enveloppes et enveloppées étant ainsi 
déterminées, cherchons les surfaces enveloppes et enveloppées qui 
admettent ces développées moyennes. 

Pour obtenir les surfaces enveloppées qui sont ici des surfaces S, 



— 181 — 

il suffît de porter les expressions C(w, oti), . . . définies parle lys 
lèrae (27) dans L'équation (9). 

Il vient 

ç = | A, +-(«,— a >) A 'i |F-h[A-t-(K — a) V|t,. 

Nous reconnaissons les surfaces H définies par L'équation aui 

dérivées partielles 



= o. 



du* àu'l 



Pour obtenir l'enveloppe de ces surfaces, nous devons faire 
ol=u, v. { = it t dans l'équation de Ç. Nous trouvons Immédia- 
tement 

Ç = 2FF 1 , 

qui est notre équation du point de départ. 

Les lignes de courbure de Ç sont données par l'équation 

[A 1 + (w, — a,)A' 1 ]F"û?^=[A + (a — a),V J ï< ',' ^]. 

Pour obtenir les lignes de courbure de ç enveloppes des lignes 

de courbure de Ç, nous devons faire encore ici a = m, a, = */, et 

nous trouvons 

F 1 F"rf« 2 = FF5[c?»f. 

Nous venons de voir comment, la surface ç= 2 FF, étant donnée, 
on en déduit les divers éléments des systèmes géométriques que 
nous avons étudiés. 11 nous reste à étudier séparément les surfaces 
qui en font partie. 

Surfaces de translation. — Désignons comme précédemment 
par x y y, z les coordonnées de ces surfaces, coordonnées définies 
par le système (28); par p le segment focal correspondant; par \, 
Y, Z; X<, Y,, Z, les coordonnées respectives des courbes, lieux 
des extrémités du segment dont le point milieu décrit la surface. 

Du système (28) on tire les relations 

(i-pî)X — *'(i-HP?)YH-2p,Z = o, 
(i~ps)X-t-jf(i-t-p2)Y H-apZ =0. 

Nous déduisons de ces équations que les courbes, lieux des 
extrémités du segment mobile, sont deux courbes quelconques, 
tracées dans deux plans isotropes. 

XXXII . I I 



- -182 



Nous avons montré (') que ces surfaces étaient toutes définies 
en coordonnées cartésiennes par l'équation 

~dx* + dy* 

Les coordonnées des surfaces de translation définies par (28) 
vérifient les relations 

(,-H> g -.(f^p 1 )jr.f. a p l SH- y (p )?l (p t ) =0> 

cp 1 ([i 1 )c ? (p / ) 

Si nous remarquons que t>, t^ sont des fonctions respectives 
de zt| et de u, nous nous rendons compte aisément que les équa- 
tions précédentes définissent deux familles de plans isotropes cou- 
pant les surfaces de translation, suivant le réseau (m, u { ) des 
courbes génératrices. 

Nous en concluons que le réseau (u, u t ), formé par les 
courbes génératrices des surfaces de translation considérées, 
se compose de courbes planes, intersections de la surface par 
deux familles de plans isotropes parallèles. 

Si nous considérons maintenant le système de rayons inci- 
dents et réfléchis qui admettent ces surfaces de translation pour 
surfaces dirimantes, nous voyons que l'une des congruences 
est formée de rayons parallèles. 

Pour s'en assurer, il suffit de se rappeler que les quantités p, 
r, ( 2 ) sont ici des constantes. 

Considérons le système des deux rayons incidents et réfléchis 
qui se rencontrent en un point de la surface dirimante. Ces 
rayons, nous l'avons vu, sonl les intersections de plans isotropes 
tangents en un même point, à deux courbes du réseau (w, m,). Or 
l'un de ces rayons sera déterminé par l'intersection des deux plans 
isotropes qui contiennent les deux courbes passant par le point 
d'incidence. L'autre rayon sera formé par l'intersection de deux 



(') Thèse de doctorat. 

('-) Nous parlons ici des quantités f, v { définies par le système (-27) et non de 
celles que nous avons désignées ailleurs par les mêmes lettres. 



- 183 — 

.Milles plans isotropes tangcnl s aux deux courbes Bans les con- 
tenir. 

()n (l( ; (liiii de là un mode de construction des rayons non paral- 
lèles : 

Soit donnée une surface de translation définie par le 
tente (28) et, sur cette surface, un point arbitraire. Pour obtenir 
la direction des rayons incidents et réfléchis passant par ce 

point, on pourra procéder comme il suit. On déterminera les 
plans des deux courbes génératrices passant par ce point . 
L intersection de ces plans donnera le rayon incident. En 
déterminant les deux autres plans isotropes tangents aux 
mêmes courbes, on obtiendra le rayon réfléchi qui sera formé 
par leur intersection. 

Nous venons d'étudier la nature d'une surface de translation 
définie par le système (28). Il nous reste à caractériser la variation 
de ces surfaces quand varient les paramètres a, a,. Il suffit de 
répéter ici ce que nous avons dit du cas général en remarquant 
que les deux familles de plans isotropes dont nous parlions alors 
se composent actuellement de plans parallèles contenant les courbes 
correspondantes. Nous pouvons donc formuler la proposition 
suivante : 

Soient données deux courbes variables assujetties à se. ren- 
contrer constamment , tandis que les plans isotropes qui les 
contiennent se déplacent parallèlement à eux-mêmes, le point 
de rencontre de ces courbes décrira l'enveloppe des surfaces de 
translation, lieux du milieu du segment qui les relie. 

Ces surfaces de translation seront celles que définit le sys- 
tème (28). 

Enveloppes des surfaces de translation. — Nous avons vu 
(pie les coordonnées de ces surfaces sont définies par le sys- 
tème (29), qu'on obtient en faisant u = a, u s =.cu { dans le sys- 
tème (28). 

On lire du système (29) 

(3o) p t — 3.1 + ^*+ **. 

Nous voyons par cette équation que le segmeol focal de la 6ur- 



— 18i — 

face ç, dont la surface de coordonnées x,y, Z esl la développée 
moyenne, est égal au rayon vecteur de celle-ci. 
D'où nous tirons cette conclusion : 

Si Von assujettit le centre d'une sphère passant par un point 
fixe à décrire la surface de translation définie par le sys- 
tème(2(j), l'enveloppe de cette sphère admettra la surface lieu 
de son centre pour développée moyenne. 

La relation (3o) caractérise l'ensemble des surfaces, pour les- 
quelles le système (29) esl vérifié. 

En effet, ç désignant une surface quelconque, p son segment 
focal, x, y, z les coordonnées de la développée moyenne, on a 
l'identité 

t * _1 _-i- — ni — n* — v* _ z%. 



x 1 - — y 



s Ou Oui Ou 0u t 
La relation (3o) est donc équivalente à l'équation 

, d*$ 0\ d\ 



= o, 



Ou 0u\ Ou Oui 

dont la fonction 

£ = aFF, 

donne la solution générale. 

Du système (29) on déduit les relations 

(1 — v*-)x -h 1(1 -+- V 2 )f -h 1VZ = o, 
(1 — v\ )x -h i(i -+- v\)y -\--iv x z— o. 

Si l'on se rappelle que p, v { sont deux fonctions respectives 
de Ui et de u, on en conclut que les deux familles de plans iso- 
tropes définies par le système précédent découpent la surface 
définie parle système (29) suivant un réseau (*/, //,). 

Ainsi donc le réseau (m, u { ) relatif à la surface considérée 
est formé de l'ensemble des courbes planes tracées dans les 
deux familles de plans isotropes passant par un point fixe. 

Considérons maintenant le système des rayons incidents et 
réfléchis relatifs à la surface proposée. 

Ces congruences de rayons étant respectivement normales aux 






- 18;> - 

deux nappes de lit sphère passant par un point lixe. l'une de ces 
congruences passera par ce point.. 

Ainsi (lon<- la congruence des normales à la surface \ a II, 
se réfléchit suivant des directions convergentes* 

D'après Ce que nous venons de dire, on voit comment, d un 
système à deux paramètres de rayons réfléchis dans des direc- 
tions parallèles, on déduit immédiatement un système de 
rayons réfléchis dans des directions convergentes. Les divers 
éléments géométriques du premier système ont pour enveloppes 
respectives les éléments correspondants du second, et Von ob- 
tiendra les équations de ceux ci en égalant les paramètres 
arbitraires aux variables dans les équations de ceux-là. 

Pour 

i i 

on trouve 

x=y =zz = p. 

Si l'on remarque que le centre de convergence des rayons n'est 
autre que l'origine, on sera amené à conclure que les normales de 
la surface \ convergent après réflexion sur la développée moyenne 
en un point commun à £ et à la surface dirimante. 



SUR LES DÉRIVÉES MODULAIRES DES POLYNOMES; 

Par M. Félix Lucas. 

Soit 

(i) /ts)r= Ao-sP-h AtzP-i -+-... -+-A P ,;-rA ; , 

un polynôme de degré /?, à coefficients réels ou imaginaires. 
Formons l'expression 

(a) \ x f { z)=pf(z)-(;-*)f\z): 

c'est un polynôme du degré (p — i) en z et du premier degré en a, 
que nous appellerons la dérivée modulaire l module x) défi : , 
En opérant m fois de suite celle sorle de dérivation, non- ob- 



— 186 — 
tiendrons la m umr dérivée modulaire 

= /// 

(3) £/{M) = (- o«p«2(- '^F F e (^- a ) e / (6 ^; 

= 

e'esl un polynôme du degré (/> — m) en 2 et du degré m 
en a. On peut considérer ce polynôme comme la somme de 

(p — m -f- î) [m -+- i) termes et écrire 

h=p— m h = m 
(4) lxf(z) = (— I)'"P,„ ^ ^bhtkZP-n-koL'n-k. 

h = A ; = 

Proposons-nous de déterminer la valeur du coefficient Ôa,*. 
A cet effet, commençons par développer le second membre 
de (3), suivant les puissances décroissantes de z, en posant 



(5) | A?/W = (-i)»P m (B ^ 



"'-f-B^-'"- 1 -H. . . 

H-B A ^-'»-A-+-...-hB / ,_ m „ 1 i4-Bp_ m ) 



chacun des coefficients B désignant un polynôme en a. du degré m. 
JNous voyons immédiatement cpie 

(6) (- i)* P m P P - m - h B h = [ Dr'"-' 1 Af /(s)]^o, 

D étant le symbole de la dérivation ordinaire. 
Or on a identiquement 

^z^f^) = (p-i)f(z)-(z-a)f"(z)^\ x D z J\z); 

d'où, plus généralement, 

(7) D£A?/(*) = A? D'Jf(z) = egfto(*); 

on peut donc transposer les signes D et A. 

Appliquant cette observation à la formule (6), nous trouvons 

(8) {-l) m P m ?p-m-hB h =[ti?fP->n-M(z)l z = . 

Comme flP~ m " h ) (z) est un polynôme du degré (m-}- h), nous 
avons 

(9) \ > £fp->n-M(z) = (- i )>»V, n V (- i)»CÀ4A-8 ^(.--a/J/z-m-^O^-), 

6=o 



- 187 - 
et . par conséquent , 

1 [Af/O "' M(*)] z o 
) 8 m 

j c— i)~p»2("" i),6c '^ 1 ,j i' () 7 ' ,|/f/ ' '" ,,i,rtz '^ "• 

Nous pouvons, dans la formule (S), remplacer B k par- bh h en 
réduisant le second membre au lerme en x m h ; or ce terme est, 

(1 "après la formule (io), celui qui correspond à = m. — /. , c'esl- 
à-di re 

(-l) m PmCfU kJr !—*>"-*k b + k Pp h k . 

I rn-k 

Par conséquent, 

(il) P/n-A Pp m h bfi,k = I* /> h k^h+k^h+k- 

On a identiquement 

t 

Pp-h-k 



nni—k 

— y*p-h-k- 



* m h ' /> -m— h * m—k* p'—m—h 

Donc, en dernière analyse, 

(12) à htk =C™r,t k C% +k A h+ k. 
La formule (4) devient, par suite, 

/( — /> — m h — m 

(13) Af/(i) = (—l)» P m ^ 2 CJE£*CJUà M **#' ™-A a m-A:. 

// = A = 

L'ensemble des termes du second membre pour lesquels la 
somme II ■+- k reste constante, de manière que l'on ait 

(i4) h-*-k = q, 

est le polynôme du degré y? — </, en a et a, 

/< = /> - m 

i \\»i\> A NT C'ii i'i <l C'i-li ~l> "i fiam+h—q 

\ l ) l m lV <i / < yjp—q ^->,i t*** -*■ '■ 

(Il faut remarquer que la limite inférieure de A doit être q — m au 
lieu de zéro si />/ — (/ est négatif, et que la limite supérieure de h 



— 188 — 

doit cire q au lieu (Je p — m si q est le plus petit de ces deux 
nombres.) 

Par conséquent : 

Le coefficient de chaque terme du degré p — q dans une dé- 
rivée modulaire de degré quelconque est égal au coefficient du 
terme du même degré dans f(z) multiplié par un facteur 
simplement numérique. 

Si le terme du degré (/> — q) manque dans f(z), le polynôme 
du même degré manque dans toutes ses dérivées modulaires. 

Reportons-nous à la formule (3) et faisons a = z; tous les 
termes du second membre s'annuleront, à l'exception de celui qui 
correspond à = o; par conséquent, 

(i5) [>?/(*)]«=,= (~i)»P»Cf-*/(j); 

le coefficient de zP~'t est donc 

(-i)»P m C{-»A ç . 

D'autre part, en faisant a = z dans le polynôme du degré p — q, 
en a et z, indiqué plus haut, nous trouvons pour coefficient 

de zP~<i 

h — p — m 
k=0 

Egalant ces valeurs d'un même coefficient, nous obtenons cette 
formule (peu connue, bien qu'elle ne soit pas nouvelle) 



> — «/ 



(16) 2 c ';' + ]'- qc t h = c r"i 

A = o 

dans laquelle il faut regarder comme nulle la valeur de tout coeffi- 
cient G dont l'indice supérieur serait négatif. 

Nous allons maintenant indiquer une propriété remarquable 
des dérivées modulaires. 

A cet effet, reprenons la formule (i3) en l'écrivant sous la 
forme 



(— l) m f m 



2 ^C'// f_,Cf t+/t \ /t ^zP '^n^,-f y 



— 189 — 

Le second membre oe change pas si l'on permute /> m él m- 
z et se. I *;» r conséquent, 

(-1) W P,« " (-M'' m P p m' 

Soit, sous une forme plus simple, la formule remarquable 

(17) (-i>''IV mb*A*)= ? m M- m f{*). 

Remplaçons dans le second membre A'.' - '" f{ oc ) par le second 
membre de l'équation (.'>), dans lequel nous permuterons Z et g, 
/// et/; — m. Nous obtiendrons pour A'â'f(z) l'expression nou- 
velle 

(18) a?/co = (-i)"»p„ 2 (-o°c;f_o^(a-z)V^ (a) . 



.3, 



SUR LES DÉRIVÉES MODULAIRES DES POLYNOMES; 
Par M. Félix Lucas. 

Dans une précédente Communication, nous avons donné le nom 
de dérivée modulaire (module a) du polynôme /(-), du degré/?, 
à la fonction 

(1) W(*) =/>/(*)-(*- *)/'(*), 

et nous avons étudié les dérivations modulaires successives faites 

avec conservation du module. 

Nous allons étudier aujourd'hui les dérivations modulaires suc- 
cessives faites avec changement du module. 

On a identiquement 

(2) j *p ww = Ai iP /<*) '=p(p - o/(*) -4> -1) | + ( ( :~ 1 1] j/W 

cette fonction étant symétrique relativement à a et [j, on voit que 
l'on peut intervertir l'ordre des dérivations. 
On a ensuite 

f (z — a)) 

| AÎ.p iY /(*) = />(/> -')(>- 2)/( 3 )-{ I >-x)(p- 2) + ( - - 3 » [/< 3 | 

' [ H- ( z - y ) J 



KM) 



La loi de formation csl simple; le résultat des dérivations suc- 
cessives pour une série de m modules a, B, y, . . . , A est 



(4) ASp x /(*) = ^(-i/ J Ap?So/^U); 

dans celte formule Sq désigne la somme des produits à des ni 
binômes (z — a), (z — [ii), . . ., (z — X); Apl% désigne le nombre 
des arrangements de (p — 0) objets (m — 0) à (m — 8). Gonven- 
tionncllement S =i. 
Nous pouvons poser 

(5) (z-oc)(z-$)...(z-ï) = w(z); 

tïï(^) sera un polynôme du degré m dont le terme du degré le 
plus élevé a pour coefficient l'unité. Nous écrirons alors symboli- 
quement 

(6) Cp.«..x/W=^>/0i) 

pour désigner le résultat des m dérivations modulaires succes- 
sives faites avec les ni racines de l'équation bj(z) = o. 
On a identiquement 

S/n— ! = *** \ z )'i 

pour obtenir S TO _ 2 , nous remarquons que cette somme des pro- 
duits (n — 2) à (n ■ — 2) des m binômes (z — a), (z — [3), . . . , 

/ *\ \ • n(n — 1 ) , . ir / \ • 1 

(z — Â) contient termes, tandis que **$(:;) contient deux 

fois ce nombre de termes; par conséquent 

S/«-2 = ■ — tb"(z): 
1 . 2 



on trouve ensuite 

1 



5 «•(*'), 



1.2.3 

et généralement 

(7) S =S // ,_ (m „0)= ï 7-^-^" i - 0, («), 

en désignant, suivant l'usage, par P m _e la factorielle 

1.2.3. . .(m — 8). 






— 191 — 
Avec «es notations nouvelles, la forirtule | î | devient 

m 



( ]'" jj désignant le nombre des combinaisons de {/> - 8) objets 
(/n —8) à (m— 8). 

Il est intéressant de considérer le cas où &(z) esi du même 
degré que^-s), c'est-à-dire le cas où m est égal à /y. La formule 
précédente devient alors 

(9) ^)A^) = ^ i (- O ij ^^(z)fHz). 

Nous avons, d'ailleurs, par la formule (7), dans laquelle nous 
remplaçons m par^p, 

(10) BJP-Ô(*) = P/,-oSo. 

De même, en admettant que le polynôme f(z) ait l'unité pour 
coefficient de son terme du plus haut degré et en désignant 
par T^e la somme des produits (p — G) à (p — 8) des p facteurs 
binômes de ce polynôme, on a 

(11) /<>(*) = P ô T p _* 

La formule (g) peut, par conséquent, s'écrire sous la forme 

(12) A ( ^ ) /(^) = 2(- I ) 0l VoT > oSoT„-( J . 

= o 

Gomme chaque dérivation modulaire abaisse d'une unité le 
degré du polynôme /(s), le second membre de cette formule (la) 
doit être du degré zéro] en d'autres termes, ce second membre 
doit se réduire à une constante. Par conséquent, les coefficients 
de toutes les puissances de z doivent être identiquement nuls. 

Pour déterminer ces coefficients, désignons par 

les sommes de^ produits 1 à 1, 2 à 2 /> à /> des f> racines de 



- 192 — 
L'équation gj(s) = o, et, de même, par 

fi, / 2 , . . . , i n 

les sommes de produits analogues pour les racines de l'équa- 
tion f{z) = o, Nous aurons alors 

(i3) 1 L P 1>ip - l) J 

I L /> pip — J 

et, par suite, 

/ o — \ 

\P P 



(.4) s t /; _ =gJ!g;; ° ro(o — o o ^-o (»— e)(/>— e— o î 

1 -h — 5o H Si ty H ; r ti Z 

I ip(p-i) p p p(p — J 

[ -I- 

En portant cette valeur de SoT^dans la formule (12) et expri- 
mant ensuite que les coefficients des diverses puissances de z sont 
nuls, nous obtiendrons les équations 

^(-i)* AjAg-°=o, 



/'- 2 , 



6 = 
9=, 



\ 0=0 
2(-o fJ o 2 A?,A;r°=o, 



0=0 



que nous pouvons réunir dans l'équation générale 



•=/> 



(16) 2<- 1 ) 8 B" , AjAf- e =o l 



= 



l'exposant /;? désignant n'importe lequel des nombres entiers o, 1, 
2, . .., (/> — 1). 

Divisons Je premier membre de celle équation par la con- 
stante P /; et posons pour simplifier les écritures 

v° V'- 

(17) <-o -^- =^; 






— m — 

nous aurons, pour chacune «les valeurs de m . l'en ua (ion 

'» p 
(18) Yi)"'./i, - o. 

8 .» 

La valeur de &o <%s| l'unité; les autres valeurs de x 
(18') a?t, a? 2j ..., arç, •••, a- P 

doivent vérifier le système d'équations Linéaires 



('9) 



x x -t- rr 2 -t- 



#0 



0;ro-h...-f- />a?p = o, 



x { -+- 2P- 1 3" 2 +...-+- 0^a7QH-. . .-{-pP-iatp = o. 



Nous pouvons obtenir une démonstration nouvelle de la for- 
mule (16) en regardant #,, ^25 • • •» x p comme des inconnues et 
résolvant ce système d'équations. 

Le dénominateur commun est 



1 1 
1 i 

1 2 J 



1 2P- 1 . . . O/'- 1 
Le numérateur de x est 



1 

P 
P* 

n8-l 



= PlP 2 ...Pn_,. 



(-O^P, 



I I 

1 1 

I 2 5 



I I 

(6 — i) (6 — 2) 
(6 — 1)2 (0 — s) 2 



1 

P 
P* 



1 -ip-~ ... (0 — 1)/'~ 2 (6 — 2)/ ; - 2 ... pi>- 
La valeur de .r est, par conséquent, 



PePp-e 



-V -V 



**=<-'> e p^=(-<> 6 ^ 



comme dans la formule (17). L'équation (16) est donc ainsi dé- 
montrée. 

Gela posé, revenons à la formule (12), qui détermine la dérivée 



— 194 — 

modulaire 

Afo>/(*). 

Le second membre de cette formule.' se réduit à son terme con- 
stant, (jtic Ton obtient en faisant z = <>] on trouve, par con- 
séquent. 

(20) A(' nT) /(^) = (-i)/^(-i)0lV0l > 0^0^/,-0- 

= o 

Il est intéressant d'examiner le cas où le polynôme ™(z) ne dif- 
fère pas de /(&)• Nous obtenons ainsi la p ieme dérivée modulaire 
de /(s) relativement à ses /; racines 

(21) Af/,/(J) = (-!)" ]£ (-i)9Pp-ePe«6^ 0, 

= o 

£ w désignant la somme des produits m km des p racines âef(z). 
Dans le cas particulier où 

f(js) = zp— i, 

la dérivée modulaire prise relativement à toutes les racines p iem « a 
de l'unité se réduit à zéro si p est impair et à — 2 si p est pair. 
Dans le cas particulier où 

/(*) = (*-«*)*, 

la dérivée modulaire considérée est toujours nulle, car on a 

0=,, 

= o 

Ce dernier exemple concerne les dérivées modulaires sans chan- 
gement de module dont nous avons parlé dans notre précédente 
Communication. Voici une remarque nouvelle au sujet de ces 
dérivées. 

Posons 

(22 1 — = 01 ~ 1. 

I z — %)P 



193 



f{z) désignanl un polynôme du degré je?. ( )n a identiquemenl 

I ' ; > . 1Î/(J)=s(— I)«(J a)/">| '■?'< z)-\-(z — 7i ? "i s)], 



el généralement 



I !>m,\ f'( - ) "H- 6, Wf j ( 2 — a ) Cp " | Z , -4- . 

, , i i A^/l 3 ) = (- i)/»( 5 - a)/'+» H- -h 6 OT|/| ( 2 

I H- 



H- &m,//i< 3 ' 



/// i ,■' m - - 



{*) 



les 6m,A désignant des coefficients numériques. La loi <lc forma- 
tion de ces nombres est représentée par la formule 

('25) b m .h= (m -+- h — i)£,»-i,A-t-6/rt-i,A , ; 

on a d'ailleurs 



b m ,x = P, 



et 



m , m 



On peut former ainsi avec ces nombres le triangle suivant : 
12 3 A 5 G 



I 










2 


I 








G 


6 


I 






24 


36 


12 


I 




1 20 


2/JO 


I20 


20 


1 


720 


1K00 


1 200 


3oo 


3o 1 



h 



/n 



Un nombre quelconque de ce triangle est égal au produit du 
nombre placé au-dessus de lui par la somme des rangs de la ligne 
et de la colonne de ce terme, augmenté du nombre qui précède 



celui-ci dans la même ligne. 



C'est une loi de formation beaucoup moins simple que celle des 
nombres du triangle arithmétique de Pascal. 



— 196 — 

SUR LA RÉSOLUTION NOMOGRAPHIQUE GÉNÉRALE 
DES TRIANGLES SPHÉRIQUES; 

Par M. Maurice d' Oc Ig n e. 

Nous avons naguère fait remarquer (*) que tous les cas de réso- 
lution des triangles sphériques (désignés par ABC) pouvaient se 
ramener à l'usage de la formule unique 

cos t = cosa cose -+- sin u sine cosT, 

où /, «, v sont remplacés soit par les diverses permutations de «, 
&, c (T prenant l'une des valeurs A, B, C), soit par les diverses 
permutations de w — A, ~ — B, rç — G (T prenant l'une des va- 
leurs tc — a, 7i — 6, 7C — c). Si donc la formule précédente est 
traduite par un nomogramme sur lequel on puisse prendre à 
volonté pour inconnue l'une des quatre variables t, m, v, T, ce 
nomogramme unique pourra servir à la résolution des triangles 
sphériques [dans tous les cas possibles. Un tel nomogramme 
nous a été fourni par la méthode des points alignés ( 2 ). L'équa- 
tion ci-dessus mise sous la forme 



— I COS t 1 

i — cosT i 

sin usine — i coswcose sin u sin e -h i 



exprime L'alignement des trois points 



(0 

(T) 

(u, v) 



X = — I , 

X — I , 

sin u sine — i 



a: = 



sin u sin e 



i 



y = COS/, 
y = _ C osT, 

COS M COS V 

y = 



sin a sine — i 



ce dernier point étant fourni par la rencontre des deux ellipses 



(') Bulletin astronomique, t. XI, 1894, p. 5. 

( 2 ) Voir la Note citée du Bulletin astronomique cl notre Traite' de Nomo- 
<* rapide (p. 329). On trouver;! là tous les détails relatifs à la construction du 
nomogramme, ainsi que l'indication de la règle précise qui permet de discerner 
parmi les points communs aux ellipses (u) et (e) celui qui doit être pris sur 
l'alignement. 



— 11)7 — 

correspondant aux cotes w = // «-i w p dans !«• système unique 



(l H 






l.r) 

Slll il 






I '>\ 



tnscril dans le quadrilatère formé par les quatre droites 



y=±i 



y — 



Cette solution est évidemment, au point de vue théorique, la 
plus satisfaisante. Mais, pratiquement, on lui préférera, lorsque 
le choix sera possible, celle que nous avions fait connaître précé- 
demment^) en vue d'un problème particulier (celui de la dis- 
tance sphérique de deux, points de la mappemonde, définis par 
leurs coordonnées géographiques). On obtient celle autre solu- 
tion en mettant, ainsi que l'a proposé M. Gollignon, L'équation 
ci-dessus sous la forme 

2 cos£ = (i-t- cosT) cos(w — v) -+- (i — cosT) cos(u -+• v). 

Si on l'écrit 



— I cos(m + 1») I 

i cos(« — e) i 

cosT cost i 



= o, 



on voit qu'elle exprime l'alignement des points 



(> H- v ) 

(u — v) 

(*,T) 



X = — I , 
X = I, 

x = cosT, 



y — cos( u, -+- e), 
y = cos(^ — e), 

Y = COS£. 



Ces formules définissent l'abaque ici représenté (fig* i) (à un- 
échelle réduite pour se plier aux nécessités du format) dont la con- 
struction est des plus simples : il s'obtient en joignant deux à deui 
par des parallèles à Ox et à Oy les points d'égale division d'un 
cercle ayant son centre à l'origine. Son emploi résulte de l'énoncé: 
la droite joignant le point (u, -\- e) au point (u — <) passe par 

(') Aomograptiie, 1891, p. 8'|, et Traité de .\omographi<'. p. $27. Une erreur 
s'est glissée à cet endroit, provenant d'une confusion entre les latitudes X et V de 
la première formule du n° 123 et les colatitudes correspondantes. Toutes les 
valeurs de \ et X' données à la page 32g dois eut donc être remplacées par leur» 
compléments. 

xxxn. i3 



— 198 — 
le point de rencontre de la parallèle (t) à Ox et rie la paral- 
lèle (T) à Oy. 

Il est inutile d'insister sur la simplicité de construction de cet 
abaque comparé au précédent. Son infériorité tient à ce que u et c 
n'y entrant pas directement, mais seulement dans les graduations 
( MH _ r ) et (// — <■), ni l'une ni l'autre de ces variables n'y peut 
être prise pour inconnue. L'abaque ne peut fournir que la valeur 
de t ou de T; par suite, il ne peut servir directement à la résolu- 
es- *■ 

Echelle de? 7 



30 

"*0 



Q) 
V 



à GO 

4 

JL> 90 



= V 



u 



150 

160 

170 
180 































= 


_ 


— +— 






" 




T 


■ a 




































! 










i 


















































t 




< ; 




























































































































































































































































































































































































































































: 


, 
















































































































































































































































































































































































































f ! 


















































1 








































































































































































































T 














































































































































l 






k 


;=tw; 






- S 







































r ',t 



VJ 



0) 
10 -o 



80 



100 



150 

160 
170 
130 



lion d'un triangle sphérique que si les données comprennent trois 
éléments de même espèce (les trois côtés ou les trois angles) ou 
trois éléments consécutifs (deux côtés et l'angle compris ou deux 
angles et le côté contigu). Les cas où les données comprennent 
deux éléments de même espèce et l'élément opposé à l'un d'eux 
échappent à l'usage de cet abaque. 

Or, telle est sa simplicité, que nous avons cherché s'il n'y aurait 
pas moyen, à l'aide de quelque artifice, de le faire encore servir en 
pareil cas. 



— 199 — 

Nous avons, en effet, fail connaître dernièrement un tel pro 
cédé (') sur lequel nous allons revenir ici avec plus de détail. 

Ce procédé repose sur la considération de ce que nous propo 
serons d'appeler les triangles annexes du triangle sphérique 
cn\ isagé. 

Si A/B'C est le triangle supplémentaire de ABC, nous appelons 
éléments homologues de ces deux triangles ceux qui, ;'i l'accen 
tuation près, sont désignés par les mêmes lettres. Par exemple, le 
sommet A est l'homologue de A', le côté \\\ L'homologue 
de A' B', .... Ceci posé, tout triangle annexe du triangle V.BC 
sera un triangle formé par deux éléments de même espèce 
de ABCe* l'homologue de Vun d'eux dans A'B'C. En associant 
ainsi deux à deux les sommets de ABC, on obtient six triangles 
annexes, et de même six autres au moyen des cotés ( 2 ). 

La considération de trois de ces triangles annexes permet, dans 
chaque cas, d'obtenir trois angles auxiliaires déterminables par 
l'abaque ci-dessus et qui ramènent la résolution du triangle ;i un 
cas où l'on connaît, trois éléments consécutifs, par conséquent à 
un de ceux où l'emploi de l'abaque fournit immédiatement la 
solution. 

Soient donnés, par exemple, pour rendre les idées plus claires, 
les côtés BC = a, CA — 6 et L'angle A {fig* a). Considérons le 
triangle annexe formé par les côtés AB et AC de l'angle donné 
avec l'homologue A ; B' de celui de ces côtés dont la grandeur n'esl 
pas connue. Pour cela, prolongeons les grands cercles A.C et AB 
jusqu'en leurs rencontres C, et B, avec le grand cercle A T> . I), iu- 
le triangle AB, C ( l'angle A est égal à l'angle A de ABC, le côté A( I, 

à - — 6, l'angle C, à -» puisque C est le pôle de VB'. Donc, en 
prenant 

t = ic — B u u = - \, p=-, T =~- h, 

on aura, par l'abaque, la valeur de B,. 



(') Comptes rendus du m janvier 1904, p- 70. 

( : ) Il y a douze manières de donner dans un triangle deux cléments de même 
espèce el l'élément de l'autre espèce opposé à l'un d'eux, d'où, par permutation, 
l'emploi, dans les conditions indiquées ici sur un exemple particulier, des douze 
triangles anm x< - 



— 200 - 

Considérons maintenant les deux triangles annexes formés 
chacun par les deux extrémités d'un des cotés donnés et l'homo- 
logue de celle de ces extrémités qui est opposée au côté inconnu, 
c'est-à-dire les triangles ACC et BCC. Dans chacun d'eux on 
connaît les trois côtés, attendu que leur côté commun CC est 
égal à l'angle B, qui vient d'être obtenu comme joignant les pôles 




des deux grands cercles AB et A'B' qui comprennent cet angle, et 
qu'on a, en outre, 

CA = 6, GB = a, C'A = CB 

Donc, en prenant successivement 



7T 
— » 
2 



et 



t = 



T. 



u = a 



a , 



p = B,, 



o = B„ 



T = ACC. 



T = BCC. 



on aura, par l'abaque, les valeurs des angles ACC et BCC dont la 
différence est précisément l'angle C du triangle ABC. Dès lors, 
connaissant dans celui-ci les côtés CA, CB et l'angle C compris, on 
est ramené à un cas que l'abaque permet de résoudre complè- 
tement. 



- 201 — 

Nous avons supposé l'angle B inconnu obtus. Si II <-si le poinl 
où le grand cercle GC rencontre A.B, le point l'> tombe entre \ 
et H, et l'on a bien 

<\ \U](Y— ACC. 

Mais il y a une seconde solution correspondant à l'hypothèse 
de B aigu. Dans ce cas, la disposition est celle que définit le 
point B J l'angle B CC a bien la même valeur que l'angle BCC, 
mais on a alors 

C = 2ir — (ACC'+BoCC). 

En pratique, on a généralement le moyen de savoir d'avance si 
l'angle en B est aigu ou obtus, et, par suite, de décider laquelle de 
ces deux solutions il convient d'adopter. 

Remarquons en terminant que la solution générale ci-dessus, 
qu'il était important de mettre en évidence au point de vue théo- 
rique, ne supprime pas l'intérêt que peuvent offrir des abaques 
visant tel ou tel problème particulier réductible à une résolution 
de triangle sphérique. 

Quand nous disons que l'abaque général résout tous les cas, 
nous entendons par là qu'il permet, pour n'importe quel cas, 
d'obtenir, dans un certain ordre, les trois éléments inconnus. Or, 
dans la plupart des problèmes d'application, on n'a besoin que 
d'un seul de ces trois éléments et, si ce n'est pas le premier de 
ceux que donnerait l'abaque général, il y a intérêt à construire un 
abaque particulier qui le donne directement. Nous avons déjà, 
pour notre part, fait connaître un certain nombre de tels abaques. 
Nous tenons à signaler aujourd'hui celui que, toujours par appli- 
cation de la méthode des points alignés, vient de construire M. le 
lieutenant de vaisseau Perret pour le calcul de l'azimut en mer. 
Le tableau ainsi obtenu, de quelques décimètres carrés, renferme 
des solutions beaucoup plus étendues que les volumineuses Tables 
employées pour cet objet jusqu'à ce jour, et dont la meilleure, 
celle de Décante, ne comprend pas moins de sepl \ olumes, i<»ut 
en ne convenant qu'aux astres compris entre [8° et H- {8° de 
déclinaison. 

M. Perret est d'ailleurs Fauteur de nombreuses applications de 
la Nomographie à l'Astronomie pratique, parmi lesquelles celles 
qui visenl la prédiction dr- occultations el la préparation des 



— 202 — 

observations à L'astrolabe à prisme méritent aussi une mention 
spéciale. 

Addendum. 



Depuis la communication de celle Noie, M. G. Pcsci, Profes- 
seur à l'Académie navale de Livourne, après avoir pris connais- 
sance de noire Note des Comptes rendus, nous a adressé une 
autre solution du même problème que nous tenons à joindre à la 
nôtre. 

Soient D le point diamétralement opposé au sommet G sur la 
sphère et C1JD le grand cercle orthogonal à AB. Le pôle G de AB 




iz-b\ 



f f-A XCV: ) 



\ f-A' 



D 



/ v / 



se trouve sur CD et les grands cercles C'A et G'B sont orthogo- 
naux sur AB. 

Dans rhvpothèse de B <^ -> appelons m et n les segments dé- 
terminés par le grand cercle GHD sur AB, a el v les angles qu'il 
fait avec G A et CB. 

Dans le triangle DAC on connaît trois éléments consécutifs, 

savoir l'angle en A, égal à - — A, et les deux côtés qui le com- 
prennent, AD = tc — b, AC'= -• L'abaque permet alors de cal- 
culer les trois autres éléments du triangle, savoir : le côté CD, 
l'angle en G' égal à t. — m (d'où m) et l'angle en D égal à u. 



— 2o:i — 

CD venant d'être calculé, on connafl les trois côtés du Iri 
angle DBG'. L'abaque permet alors d'en calculer les trois angles, 

savoir ' B | d où 1>), it — n ( d où n ) ci v. 

( )n a enfin 

AB = m -\r n el < '■ :jx + v. 

Si 15 est obtus il faut prendre 

AB — m — «, C = [Ji — v. 



SUR LES DÉPLACEMENTS D'UNE FIGURE INVARIABLE DANS LESQUELS 

LES DIFFÉRENTS POINTS DE LA FIGURE DÉCRIVENT 

DES COURBES SPHÉRIQUES; 

Par M. Lucien Lévy. 

I. On doit à M. Darboux un beau théorème sur le mouvement 
dune figure dont tous les points décrivent des lignes planes ( '). 
M. Mannhcim a en oulrc démontré que tous les points d'une 
droite décrivent des lignes sphériques dont les centres sont 
dans un même plan si quatre points de la droite jouisse ni 
de cette propriété. Le lieu des centres des sphères qui con- 
tiennent les lignes sphériques est une conique (Principes <!<• 
Géométrie cinématique, p. 180). lien résulte immédiatement 
cpie, dans le cas général, si tous les points d'une droite décrivent 
des lignes sphériques, le lieu des centres des sphères est nue cu- 
bique gauche, puisque ce lieu ne peut pas être coupé par un plan 
en quatre points sans en faire entièrement partie. 

Duporcq [Journal de mathématiques pures, 1 898) a donné un 
élégant lliéorème sur le mouvement d'une droite : s 7 il existe sur 
une droite cinq points qui, pour cinq positions déterminées de 
la droite, soient situés sur cinq sphères, les cinq positions d y un 
sixième point quelconque de la droite seront sur une même 
sphère. 

(') Comptes rendus, 1881. Voir aussi Kœnigs, Leçons de Cinématique, 
Noir II! il.' M. Darboux, p. 353. M. Mannheim s'esl attaché .m mouvement 
inverse de celui dont il s'agit, d'une figure dont les plans passent /><'/■ 
ooints fixes el en a fail ane étude élégante | t'/i/iii/>< - et dcveloppemt 
Gt ométrie cinématique . p. ; 



— 20-4 - 

Enfin, M. Raoul Bricard [Journal de mathématiques pures, 
1898) a déterminé Ions les déplacements dans lesquels tons les 
points d'un plan décrivent des lignes sphériques dont les centres 
sont dans un même plan. 

La présente Note a seulement pour objet de retrouver par le 
calcul quelques-uns des résultats précédents et d'étendre le pro- 
cédé à quelques théorèmes que nous croyons nouveaux. 

2. Désignons par JC 0J y , z , x K ,y K * z K , # 2 > •• • les coordonnées 
des points M , M,, ... de la figure mobile; par oc , (3 , y , a,, (3,, 
y,, a 2 , . . . celles des centres C , Gj, ... des sphères sur les- 
quelles restent les points correspondants, par R , R M ... les 
rayons de ces sphères. Enfin, lorsque les points M , M,, ... 
seront sur une même droite (D), nous désignerons par a, b, clés 

cosinus directeurs de cette droite, et par p; la distance i\l lM/, de 
sorte qu'on aura 

po= o, 
[ Xi=. xq ■+■ a pi, 

\ Z{ = z h- cp/, 

avec a- + b 2 + c' 2 = 1 . 

On a aussi, dans tous les cas, 

(2) (^o-a ) 2 H-(jKo-Po)' 2 +(^o-To) 2 =Rg, 

(3) (a?/- <*,)«+ '<jr t - (3;) 2 + (*i- ï0 2 = R / > 

et, dans le cas où tous les points M/ sont en ligne droite, 

(4) (x -+-a?i— a t -)2+(j Ko -f-^p / _ i 6,-)2 + (^ +cp / — V /) 2 = R 2 - 
Soit O l'origine des coordonnées : posons 

(5) Ô^ = <*?=<x?H-p? + 7?. 
L'équation (4) devient 

^oH-ro + -5 + p 2 + ^ 2 

-2[a/(a? + ap,-) -1- M^o+ &P*) + Y*(*o-+- cp/)] 

-h- 2 p/ ( «.r -h 0y h- c z ) = H/ ■ 



— 205 — 

En retranchant L'équation (a) de L'équation (6), on obtient La 
nouvelle égalité 

j — a(aa < 4-6p i +cY/)p/4-pJ-f-rfJ — rfj RJ h o, 

(|iic nous écrirons 

| 2ap*(a? — «i)H-2 6p/(^o— P*)-4-acp/(* — Y/) 

(o) \ 

( = IJ -+- a[(a/— .a )a? -h(P/— £0)70 + (y/— lf*)*o]i 
en posant, pour abréger, 

(9) *? = R?-RS^pJ-d?-f-<Q. 

Nous sommes maintenant en mesure d'établir un certain nombre 
de théorèmes. 

3. Théorème de M. Mawnheim. — Supposons que quatre 
points de la droite (D), ceux qui correspondent à( = o, 1,2, 3, 
soient sur des sphères dont les centres sont dans un même plan, 
que nous prendrons pour plan desyz. On aura 

70= Yi=ï*=Ï3=°- 

On peut même, pour simplifier l'écriture, supposer a = o, (3 = o. 
L'égalité (8) est une identité pour i = o. Nous déduisons donc 
de (8) trois égalités qui sont vérifiées, par hypothèse : 

l 2api(a? — a i) + aôpiO'o— Pi) + 2Cpi* = l\ H-2(a 1 a- + r'i/o), 

(10) \ 2ap î (a? — a 2 )-h..., 
( 2ap 8 (a?o— «») + 

Considérons maintenant un cinquième point M 4 de la droite, 
i = 4. On tire des formules (1) 

i ^0 = xw — «pi, 



*0 = ** — C ?4 

et aussi 



-7v +*l =^o+7o -*-*o -*-p?-4-ap*(aa? -*-*Ko-t- c *o) 



206 



ou, en tenant compte de l'équation ( 2 ). 



(12) 



*l+.r?H-*ï 



1:, 



p| 4- 2 p 4 ( cixq -4- by 4- cz ) . 



Portons les valeurs de # , Vo, ^ tirées de (11) dans les seconds 
membres de (10); ces égalités peuvent s'écrire 

2p l (av -hby -hcz )—zzipia—2$ipib = ^4-2^^4+2 ^4— 2f t (oai-^-6 [i, ), 



ou 

/ 2pi(«a? + 6/0 4- c^o) -i-2(p 4 — pi)a,a 4- 2(p fc — pOjiiô 

, o\ I = 'l -+- aotjL^^-f- a Si^*, 

(10) < 

i 2 p 2 ( «^0 "H £/o 4- OS ) 4- . . . , 

! 2p 3 ( )+.... 

En éliminant a, 6 et ax + ^j' H-c^ entre les équations (12) et 
(i3), nous obtenons le lieu du point M 4 

l\ +2^07*4- 2^74 2p! 2(p 4 — p!)a, 2 ( p 4 — p, ) (3, 

/| -h 2a 2 .r 4 -f- 2P274 20, 2(p4— p 2 )a 2 2(p 4 — p 2 )(i 2 

Il 4-2a 3 a74 4-2p 3 74 2p 3 2(p4— p 3 )a 3 2(p4— p 3 )Pa 

qui peut s'écrire, en développant suivant les éléments de la pre- 
mière colonne, 



o == 



*l + yl+*l 



i\x k — 2 7} y k 4- X = o. 



Le lieu est donc une sphère ayant son centre C 4 dans le plan des xy. 

On calculerait aisément ç, t\ d'où résulterait, par l'élimination 

de p i7 la conique lieu du point G 4 . Nous ne donneronspas ce calcul. 

4. Autre théorème. — Si cinq points cV une droite décrivent 
des lignes sphériques, tous les points de la droite décrivent des 
lignes sphériques. 

Le mode de démonstration est tout à fait le même. Nous pou- 
vons encore supposer a = p = y = oj mais les quatre centres 
C t , C 2 , G 3 , C 4 sont quelconques. 

L'équation (8) s'écrit ici 



04) 



2 p* [( Xq — at ) a 4- (yo — p,- ) b 4- ( s Q — 7, ) c] 
= /,■ ■+- 2(a l a7 .4- P«Jo4- 7,^ ) 



— °2()7 — 
el celle équalion en vaul quatre en faîsanl / i, '. I . \. 

Considérons mainlenanl un sixième poinl M , (i : des for- 

mules ( i ), on ( ire 

(i5) i^o — 7» /; 



»0 «5" ■ 

el aussi 

(16) a?J-+- t y|-f-*J=RJ-t-pi-4-2pi(aa? H fy'o H- os ). 

Portons les valeurs de x , y Q , z tirées de (i5) dans les seconds 
membres des quatre équations (i4)i ° n obtient quatre nouvelles 
équations qui peuvent s'écrire 



(•:) 



2 OC/ ( p 5 — p/) Cl -f- 2 (3/ ( p S -- p j)Ô H- 2 Y/( p 6 — p* ) C 

= /?-+- 2(a/07 5 -+- ^•7&H-Yi'»5)-i-2p/(«a ? o-+-^^oH-c-zo)- 



En éliminant r/, &, c et ax Q -\- by -\- cz entre ces quatre équa- 
tions et l'équation (16), on trouve enfin 

■'■-,+ Ji + -1 — R — ?5 2 ?5 ° 

/?-+- 2(a 1 ^+ Si^s-i" Yl-o) 2Pi 2a!(p 5 — pO 2p,(p 8 — p,) -27,(05— ?1 ) 

Cette équation développée et ordonnée s'écrit 

#1 -+-76 -+-*! — 2^a?g— 2Tf)/ 6 — 2^ 8 H-X = o, 

ce qui montre que le lieu du point quelconque ~S1 S est sur une 
sphère, et le théorème est démontré. 

Le calcul des coordonnées ç, r n Ç du centre de celle sphère se 
fait sans difficulté; il est seulement un peu long et nous nous bor- 
nerons à transcrire le résultat. Il est de la forme 

( ( t *.pl + v,p.+ «,)p 1 | 

^P5+ :^; 4-vp 5 -hin 



= o, 



Xp| -h [ip| -h vp 5 -HT0 



— 208 — 

Ces équations définissent une cubique gauche, comme c'était 
prévu. 

5. Corollaire. — En éliminant a, 6, c entre les quatre équa- 
tions (i4)> on obtient une équation du second degré en x Q , y , z . 
Cette équation jointe à 

montre que le point M et, puisque ce point n'a rien de spécial, 
tous les points de la droite (D) décrivent des biquadratiques sphé- 
riques (Duporcq). 

6. La même méthode fournit des théorèmes sur le nombre de 
points qui suffisent à assurer le mouvement sur des lignes sphé- 
riques de tous les points d'une figure quelconque, plane ou non. 
En voici quelques-uns. 

Théorème. — Si treize points arbitraires d'un solide dé- 
crivent des lignes spliériques, il en sera de même de tous les 
points du solide. 

Un point mobile quelconque M; peut être représenté par les 
formules suivantes : 



/ xt= r 4- api-+- dp 
(19) j yi—yo-h bpi+b'p 

\ z t — z 



Cpi-\- c p 



a Pi» 

V'p"n 
C"p"n 



dans lesquelles a, b, c, a\ b\ c', a", b" ', c" sont les cosinus di- 
recteurs des arêtes d'un trièdre trirectangle mobile. L'interpré- 
tation géométrique de ces formules est évidente. Par le point M 
menons trois droites dont les cosinus directeurs soient respecti- 
vement a, b ; c; a', b\ c' ; a", b" ', c" et prenons-les pour nouveaux 
axes de coordonnées. Les constantes 0;, p'-, 0" représenteront les 
coordonnées du point mobile M f rapportées à ces axes mobiles. 
Les formules (19) sont des formules de transformation de coor- 
données. 

Convenons enfin de désigner par le signe S la somme de trois 
termes déduits de l'un d'eux par la substitution des lettres jf, y, s 
à x, ou «, 6, c à a ou a, p, y à a, .... En élevant les équa- 



— 209 — 
lions (19) au carré, el ajoutant, on obtient l'identité 

(7.0) S*J=Sr}H-pJ-- ? y-\--j.s ltf?l ,ï ? \ ttp))** 

Si le point M„ reste sur une sphère ayant son centre â l'origine, 

On aura 
d'où 

(21) Sa?J=Rg + pJ-4-p; î -f.p7-f-2S(ap/H-a'pi-ha ff p';) a r 

et, si le point M, est aussi sur une sphère, on aura nécessairement 

( 22 ) S (api h- dç'i -4- «" pj ) #0 = «/*< ■+■ ?/>"/ + Y' *< ■+■ P/» 

a/, p,-, v,-, /?; étant des constantes dont les trois premières sont les 
coordonnées du centre a de la sphère sur laquelle reste le point IVf,\ 
Remplaçons dans (22) x^y^ zt par leurs valeurs tirées de (19) et 
ordonnons par rapport aux constantes 04, p], pj; il vient 

, „ N ( p i 'S(rtro) + p'S(a'.ro)+p-S(a"3'o) 
(•23) \ 

( = S(a^o) -+- PiS(aa/)-HpJS(a'a l -)-HpJS(a*a l -)-+-/? l -. 

Cela posé, considérons un point quelconque M ayant pour 
coordonnées #, y, z par rapport aux axes fixes et p, p ; , a" par rap- 
port au trièdre mobile, de sorte que 



." ." 



x = x -{-ap-+-ap -+- a p 

(24) { y=y +bo-+-b'p'+b"p\ 
( z = z -hcp + c'p' -t- c"p'' 

et 

(25) Sx* = R2+p2+p'2_ i -p»2_ ) _ 2i0 S(a.r )-+-2p'S(«'a7o) + 2p"S(«"j'o). 

Entre les égalités (24), (20) et les douze qu'on déduira de (a3)en 
donnant ai douze valeurs distinctes, on pourra éliminer les quinze 
inconnues *r , jr , z 01 «, b, c, a', b\ c 7 , a", b" , c", S(ax ), S(a'x ), 
S(«".r ) qui y figurent au premier degré. Il en résultera une 
relation de la forme 

(2G) x 2 -h y- -\- z 2 — -î^x — ïr t y — 2Ç-8 -+■ X = o, 

(jui exprime que le point M reste sur une sphère si M„ el les 
douze points M; restent sur des sphères. 



- no — 

7. Supposons p'j et p" nuls; tout ce qui renferme Jes lettres a\ 
b u \ c" et S(a ,f &o) disparaît et il suffit de donner à i dans les for- 
mules (23) huit valeurs différentes pour avoir ce nouveau théorème : 
Si neuf points d'un plan décrivent des lignes sphériques, il en 
est de même de tous les points de ce plan. 

8. Enfin si l'on supposait de plus p'- et p' nuls, on retomberait 
sur le théorème du n" 3. 

9. Les raisonnements précédents ne prouvent pas qu'on ne 
puisse pas se contenter d'assujettir moins de neuf points d'un 
plan ou moins de treize points d'un solide à décrire des lignes 
sphériques, tous les points du plan ou du solide décrivant en con- 
séquence des lignes sphériques. Soit, en effet, Mopp'p" le trièdre 
mobile. Dès qu'on aura assujetti cinq points de M p et un point 
de M p' à décrire des lignes sphériques le mouvement sera 
entièrement déterminé ; tous les autres points du système décriront 
des courbes déterminées et l'on n'a aucune indication sur le 
nombre de ces courbes qu'il faut assujettir à être sphériques pour 
entraîner la sphéricité des autres. 11 y a cependant des pré- 
somptions : si M p' était indépendante de M p, il faudrait bien 
asujettir cinq points de M p à être sur des sphères, ce qui, avec les 
cinq points de M„ p parmi lesquels on peut compter ]V1 , fait bien 
neuf points. On ferait le même raisonnement pour les points 
de Mop", ce qui semble donner treize points pour la possibilité 
d'un mouvement satisfaisant d'une figure solide. 

10. D'ailleurs la possibilité même du mouvement reste à établir; 
c'est bien ce qu'a fait M. Bricard dans le Mémoire dont nous avons 
déjà parlé en montrant que si les centres des sphères sont assu- 
jettis à être dans deux plans rectangulaires, tandis que les points 
qui décrivent les lignes sphériques sont eux-mêmes dans deux 
plans rectangulaires, aucun point attaché aux deux plans mobiles 
ne peut décrire de ligne sphérique en dehors de ceux situés dans 
ces plans. 

11. Cas particuliers. — Le nombre des conditions diminue si 
les centres ont certaines positions particulières. Sans parler du 
cas évident où toutes les sphères sont concentriques, nous citerons 



— su — 

par exemple l<' cas signalé par M. tVfannhefm «les sphères ayant 
leurs centres dans un même plan el où il su f fil qu'une droite ait 
quatre points satisfaisants pour que i<»un ses points décrivent des 
lignes sphériques. 

Paranalogie avec le raisounemenl du n° 1). on peut prévoir que 
tous les points d un plan resteront sur des sphères ayant leurs 
>centres dans un même plan dès que sept points du plan mo- 
bile jouissent de cette propriété, ("est ce qu'il est facile «le vé- 
rifier. 

Prenons en effet pour plan fixe le plan des xy\ dans les équa- 
tions des pages 9 et 10, il faudra faire y,==o, cl les seconds 
membres des équations (>.) ) ne contiendront plus comme inconnues 
(pie ^t'o, )' , a, fr, a'\ b\ parce ([ue P/= o. Gomme de plus p" = O, 
il n'3 aura en dehors des inconnues précédentes que S(ax ( 
S(a'jc ) et enfin z Q qui ne figure que dans la troisième équation (2$), 
el dont par conséquent il n'y a pas à tenir compte. Pour pouvoir 
éliminer les huit inconnues, il n'y a donc à joindre à l'équation (s5) 
et aux deux premières équations (24) que six équations (>•>). En 
d'autres termes, en comptant le point M , il suffit de supposer que 
sept points du plan mobile décrivent des lignes sphériques. Là 
non-utilisation de la troisième équation (24) prouve que, dans 
L'équation (26), on aura 



C = o, 



c'est-à-dire que les centres des sphères sur lesquelles restent les 
points du plan mobile sont bien dans le plan fixe. 



NOTE DE GÉOMÉTRIE VECTORIELLE SUR LES SYSTÈMES ORTHOGONAUX; 

Par M. E. Gejvty. 

1. L'objet principal de cette Note est de montrer avec quelle 
simplicité les procédés de la géométrie vectorielle conduisent à 
l'équation différentiel le du troisième ordre dont dépend la recherche 
des familles de Lame, c'est-à-dire des familles de surfaces qui 
peuvent faire partie d'un système triple orthogonal. Mais, avanl 
d'aborder cette question, nous allons donner quelques indical ions 
sur certaines notations différentielles dont nous aurons à faire 
usage el sur les formules principales qui s'\ rapportent. 



— 212 — 

Nous emploierons, dans ee qui va suivre, les notations de 
M. Gibbs, savoir : a, [i, y.. . étant des vecteurs, a. (3 désignera Sa[j, 
c'est-à-dire le produit projecùf des vecteurs a et [ÏJ , et ax [j 
désignera Va fi, c'est-à-dire le moment orienté de ces deux vec- 
teurs. On aura ainsi a, [i, a x fi... désignant les longueurs ou 
modules des vecteurs a, [3, a x p..., 

a.p = a p cos (a,P); 



a x p — a (3 sin (a, (3). 

Enfin la notation aj3y désignera l'un ou l'autre des trois scalaires 

égaux 

«.(Pxy), P-(ïXa), Y.(axP). 

2. Soit ii une fonction scalaire de p et p.</p la différentiel le de 
cette fraction. Pour rappeler l'origine du vecteur u, nous pose- 
rons 

et, par suite, 

du = dp Su. 

Si l'on remplace dans cette équation dp par dl\ \ étant un 
orienteur quelconque, constant ou fonction de p, on aura 

du , _ 

c'est ce que nous appellerons dérivée de la fonction u prise sui- 
vant la direction A. 

3. Soit de même a- un vecteur fonction de p ; on aura 

du = cp d p , 

ydp étant une fonction vectorielle linéaire de la différentielle 
dp qui, en général, n'est pas conjuguée à elle-même, et 

d<s «, 

■ =. Cû À 

sera la dérivée de cr prise suivant la direction ),. 

Si de plus a, 3 et y sont trois orienteurs rectangulaires quel- 
conques, nous poserons 

Aj = a x epa -l- (3 X cp[i h- y X <py ~ s ( a x ? a )î 
Da = ot.ooc -f-o.o[3 -+- y«<PY = 2(a.®a). 



- 213 — 
( )n s.hi d'ailleurs que, si 10 esl un vecteur quelconque, on a 

CpU) Cp'ûJ A 7 U), 

»' désignant, comme d'usage, La conjuguée <l<: la fonction », et 
que L'expression 1)t est égale au coefficient \l_. de L'équation sym- 
bolique 

Cp.-t . - [\l 2? -2 -h i\I,Cp — M = 0, 

à laquelle satisfait la fond ion a. 

Dans le cas où m esl une fonction conjuguée à elle-même, on a 

A? = o. 

C'est ce qui a lieu lorsque, a étant le V d'une fonction sca- 
laire a, l'expression a. dp est une différentielle exacte. 

Dans le cas plus général où cette expression n'est pas une diffé- 
rentielle exacte, mais peut le devenir lorsqu'on La multiplie par 
un certain facteur, on a, ainsi que Ta démontré Hamillon, 

(i) 1.17=0] 

c'est la condition d'intégrabililé de l'équation 

7. dp = o. 
4. Soit maintenant 

(2) dol=<i>{l,dp), 

A étant un vecteur qu on suppose constant clans la dérivation. 
( ï>(A,Jp) sera une fonction vectorielle linéaire tout à la fois par rap- 
port à À et par rapport à dp. Nous allons montrer que, clans cette 
fonction, A et dp sont interchangeables, c'est-à-dire qu'on a 

<1> (À, dp) == <1> (dp, X). 

Soient, en effet, d et o deux symboles de différenliation complète- 
ment indépendants. 

Si dans l'équation (2) nous remplaçons A par 8o, il vient 

dm 8p — <1> ( 8p, dp). 
Mais 

dj 8p = «'/op = 8 rftf = 8a c/s : 

donc 

8œ rfp = «i» 1 8p, rfp 1. 

XXXII. 1 1 



— ±u — 
ou, en remplaçant dû par a, 

(3) ocpX ==<!>( op, X), 

et la proposition est démontrée. 

Comme conséquence, si gX est conjuguée à elle-même par rap- 
port à X, la (onction <I> (X, dp), qui jouit évidemment de la même 
propriété, est aussi conjuguée à elle-même par rapport à dp. 

5. Voici quelques applications. 
Soit le vecteur ui\ on aura 

d (ua) = Vu .doc -r m '^ dp ; 

d'où 

A ( Ma) = Va X a + m lu , 

(4) D (aa) = ïa.VMa.!7+ w2(a.{pa) = <;.Vtt+ m Dï. 

Soit encore le scalaire a*. t. 

Si 

dz = § dp, 

on aura 

d ( <j . t ) = t . cp dp + a . dp = ( o't -h O'a ) . dp ; 
d'où 

Vj.t = cp'x -4- 8' a. 

Si l'on a identiquement 

c'est-à-dire si a- et t sont deux vecteurs rectangulaires, on aura 
aussi identiquement 

(5) (p'x + 6'tr = o. 

Considérons enfin le vecteur o- x t. On aura 

d ( a X x) = cp dp X x 4- a x dp 
et, par suite, 

A(or x t) = 2[a x (epax x)] — 2[a x (Ox X a)], 

D (s x x) = £Ôôa~ — SaëôÊx. 
Or 

2 [ a x (epa x x)] = cpx — Djt, 

S [a X (Oa X a)] = 6<x — Dtj, 

Saoax = x. A-. 
ïxOacr = (T.Ax. 



- 218 - 

I )inic on a 

(6) i(îxt) cpt — 8c? — Dffx -+- Dw, 

(7) I) (t X t) A7.7 — A7.7. 

I );iiis le cas où t et t sont de un vecteurs rectangulaires, l'cxpri -- 
sion de A (o* x t) peut se mettre sous une nuire forme qui nous 
sera très utile plus lard. 

On a, en effet, dans ee cas (5) 

tf': + ()'(i- ; 
on peut donc écrire 

A (a X t) = cp— cp')x-t-(6 — 8')ff — 2Ôff — Dax-h 1)77, 

ou 

(8) i(axx) = A3Xx + A:xa-2f)7- Dsx -+- D77. 
On obtient de même la formule 

(9) A (a x t) = 2cp8 — Aff X t — At X a — Dj7 4- D77. 

6. Arrivons maintenant à la question que nous avons en vue et 
considérons les familles de surfaces qu'on obtient en égalant à des 
constantes trois fonctions scalaires données //, U\ et it 2 de p. 
Soient d'ailleurs 

du = 'J . û?p, <Ym 1 = -j 1 . c?p, c/// 2 = u 2 . ofo , 

et 

Les fonctions co, o, et ©.> de t/o seront conjuguées à elles-mêmes. 
de sorte qu'on aura 

(10) Au = A'j! = Auj = o. 

Ceci posé, si deux surfaces quelconques appartenant à deux 
familles différentes se coupent partout à angle droit, on aura iden- 
tiquement 

(11) u j . u* = o ; j . u = o « • l u . u 1 = o ; 

d'où 

Jj — 'Jo X 'J. 

L'équation 

•jS do = o. 



— 216 — 

qui ne diffère de 

u ! . df = o 

que par un l'acteur scalaire, est donc intégrable, et l'on a, par 

suite, 

(u 2 x u).A(u 2 x °) = o» 
ou 

Oj .A (U! X u) = O. 

Mais la formule (8) devient ici 

A ( 'j 2 X u ) = i cp'j-2 — Do 2 u -h Du'j 3) 
et l'équation qui précède se réduit à 

(l2) Uj . Cp'J 2 = o. 

Sous cette forme, elle montre qu'au point p, u, et Uo, qui sont 
des vecteurs situés dans le plan tangent de la surface de para- 
mètre u, sont deux directions conjuguées, et comme ces deux 
directions sont rectangulaires, ce sont celles des lignes de cour- 
bure de cette surface. 

On a donc la propriété suivante, qui est due, comme on sait, à 
Dupin : 

Les sur/aces appartenant à deux familles différentes d'un 
s ystème triple orthogonal se coupent mutuellement suivant 
leurs lignes de courbure. 

7. Il en résulte qu'on obtiendra les conditions qui expriment 
qu'une famille de surfaces fait partie d'un système triple ortho- 
gonal, en écrivant que les lignes de courbure des surfaces qui la 
constituent sont normales respectivement à deux familles de sur- 
faces, c'est-à-dire qu'on a, u, et u 2 étant des vecteurs de modules 
quelconques tangents aux lignes de courbure, 

(i3) , j 1 .Au 1 = o; j 2 .Au 2 = o. 

Il est facile de voir, d'ailleurs, que ces deux conditions se rédui- 
sent à une seule. 

Le vecteur u, ne diffère, en effet, de u 2 x u que par un facteur 
scalaire, de sorte que la première condition (i3) peut être rem- 



- -217 — 

placée |>ar la sui\ anlc : 

>\ . A i > . / i 

Or on a (S) 

A('j 2 x 'j)= A-j 2 x 'j — •>. <fv% == Duju I » 

et, (mi tenant compte de la relation (12), la condition qui précède 

de vie ni 

UU] A'J 2 = o, 

on 

Uj.Auj — o. 

On est conduit ainsi à la proposition suivante, qui comprend el 
complète celle de Dupin : 

La condition nécessaire et suffisante pour que deux familles 

de surfaces se coupant à angle droit fassent partie d'un sys- 
tème triple orthogonal, c'est-à-dire pour qu'il existe une troi- 
sième famille de surfaces coupant les premières à angle droit, 
est que les signes d' intersection de deux surfaces de familles 
différentes soient lignes de courbure pour les surfaces de Vune 
des deux familles. 

Ces lignes d'intersection ne peuvent pas d'ailleurs être lignes 
de courbure pour les surfaces de l'une des deux familles sans 
être aussi lignes de courbure pour les surfaces de Tan tic famille. 

8. L'une ou l'antre des conditions (i3) nous conduirait, ainsi 
que nous le montrerons plus loin, à l'équation différentielle des 
familles de Lamé. Mais nous pouvons obtenir aussi cette équation 
par le procédé suivant, qui est pins simple et plus élégant. 

Reprenons la condition 

04) u 1 .©u â = o. 

Si M est le point où la normale au point p à la surface de para- 
mètre u rencontre la surface de paramètre u x du, les surfaces de 
paramètre U K et u-> passeront en M et leurs normales en ce point 
devront être tangentes aux lignes de courbure de la surface de 
paramètre u-\-du. On obtiendra la condition pour qu il en soil 
ainsi en prenant la dérivée do l'équation (i i ) suivanl le vecteur v. 



— 218 - 
ce qui donne 

ou, en tenant compte des identité* 

<pi'J H- OU, = O, Çp 2 U -T-Cp'J 2 = O, 

et posant 

(l r >) Oi.(V — 2Ç») = O. 

Si maintenant on élimine u, cl i> 2 entre les équations (i i), (i4) 
et (io), on aura une relation qui ne contiendra plus que la fonc- 
tion u et ses dérivées jusqu'au 3° ordre; ce sera donc l'équation 
différentielle définissant les familles de surfaces qui peuvent faire 
partie d'un système triple orthogonal. 

Il suffit d'ailleurs, pour faire cette élimination, d'écrire la con- 
dition bien connue qui exprime que le plan 

u.Tjy = o 
coupe les quadriques 

ny.cpnj = i, iz.(W — 2cp 2 )nj = i, 

suivant deux coniques coaxiales. 11 vient ainsi 

O. [o 7) — epo x (W — 2 o 2 )uj = o 
ou 



( I 6 ) U O . T) UCp'J^F'J -t- 2 ucp'jco 2 u = o , 

où l'on a posé, a, [j et y étant trois orienteurs rectangulaires quel- 
conques, 

r t = 2[oa x( x F — 2<p*)a] = 2(oa x Va) = 2(a x Mpa) . 

La relation vectorielle 

V) = 

exprime, ainsi qu'il est facile de le voir, que les deux fonctions 
conjuguées à elles-mêmes z> et W ont les mêmes directions princi- 
pales. 

î). Dans le cas particulier où les directions principales a, (3 cl y 



— 21!) — 
de la fond ion p son! Ii\<s, on ;i 



< r < > f 



tpX = *ia.Xa >■>.>> s, : .//. 

M'/ U.V*|0t.X* 4-U.V*iP.Xp I ;.V.S;7 ./■; 

On a alors Y) = o cl, si Ton pose 



l'équation (if>) devient 



&. . 



.u = 6, 



Y • J = c . 



V'7) 



a6c 



1 

*2 



V.s 



S 3 



U.V* 3 — S% 



\).\S\ — 25 j 

Cherchons, par exemple, une solution de La forint 

M = X + Y + Z, 

où X, Y et Z sont des fonctions de a. p, (à.p et y. p respectivement, 

On aura 

u = X'a-h Y'P-f-Z'Y, 

rfu = cp rfp = X"s . dp a H- Y"§. rfp P -+- Z% . dp y, 



d'où 



« = X', 6 = Y', 

s, = X", Si = Y", 
•j.Vs, = X'X"\ !>.V5 2 = Y'Y 



et l'équation (17) devient 



X'Y'Z' 



1 
X" 



1 
Y" 



c = Z', 

j.V.93 = zz 



I 

z 



XX '"- X** Y Y '" — Y"2 ZT-Z'î 

ce qui est conforme à un résultai obtenu par Bouquet. 

10. L'équation (1 5) peut évidemment se mettre sous ta forme 

(18) dp.(W — 2<p*)8p = o 

où '/ et sont des symboles de dérivation relatifs à des déplace- 
ments suivant les lignes de courbure de la surface I u ). Si il ail- 
leurs uous désignons par p du la distance des surfaces de para- 



— 2°20 - 

mètres // el // x f/u, on aura 

i 

? = -- 
*j 

Si nous différentions cette équation j)our un déplacement dp 

snivanl une dos lignes de courbure de la surface de paramètre //, 

il vient 

— dp = jp* u . du = p 9 dp . o'j = tu . dp , 

en posant 

(o = p' A o'j : 

et l'on aura 

(19) du) = ty dp =/> 3 (W -+- o-)dp — i p 5 epo . dp cpy ; 

d'où 

(20) op. M" dp = p z op.(<\> -+- cp 2 ) dp — 3/> 3 ©'j.ôpcpo.op. 

Or les vecteurs -j x o do et u X o ôp sont respectivement paral- 
lèles à r/p et op : donc on a 

(u x C5 rfp ) . ( -j x © Sp) = o, 
d'où 

u dp . o 2 op = u . o dp u . cp op. 

En tenant compte de cette relation, l'équation (20) devient 

dp.ty op = p 3 dp.( x V — 2© 2 ) 8p, 

de sorte que ['équation (18) peut s'écrire sous la forme 

dp .<l>dp = o, 

où la fonction ty définie par l'équation (19) est conjuguée à elle- 
même. 

L'équation (16) d'une famille de Lamé peut donc elle-même 
être remplacée par la suivante : 



(21) u e.u — licpoœu = o, 

où 

£ = 2(<paxij/a) = 2(ax »Vfa >. 

11. Dans tout ce qui précède, nous avons supposé que l'équa- 
tion de la famille de surfaces de paramètre u était résolue par rap- 
port à u, Considérons maintenant le cas où celte équation est de 



— 221 - 

la forme 

/( p, u) = o 

(>i oe peul pas rire résolue par rapport à u. 
Si nous différent] on s cette équation, il vient 

U.rfûH — dit = O, 

1 Ou 
et la quantité (|uc nous avons désignée par/? aura pour valeur 

du 

p =- -=-• 

11 est évident d'ailleurs que tous les résultats du Paragraphe qui 
précède subsisteront en partant de cette valeur de p et en laissant // 
constant dans les dérivations. 

12. L'équation (21) est vérifiée pour p = constante, c'est-à-dire 
quand la famille de paramètre u est composée de surfaces paral- 
lèles. 

Toutes les solutions de l'équation 

—2 
(22) p = a p -f- 2X.p -f- b, 

où les scalaires a et b et le vecteur \ sont des fonctions de u f ap- 
partiennent également à l'équation (21) et feront par suite con- 
naître des familles de Lamé. 

On a, en effet, u restant constant, 

dp = 2 ( a p . dp -+- \.dp), 
d'où 

to = 2(ap-4-X) 
et 

du) = <l dp = ia dp ; 

en sorte que l'équation 

dp.ty op = o 
se réduit à 

do. 00 = o, 

et elle est toujours vérifiée par les directions rectangulaires do 
et op. 

Les familles de sphères et de plans rentrent clans ce cas par- 



— ±±1 — 

ticulier et peuvent dès lors faire partie d'un système triple ortho- 
gonal. 

En effet, une famille quelconque de sphères a une équation de 
la forme 



p_ a — R2 
a et R élanl des fonctions de u, et l'on a 



•j = p — a, u = p — a = R, 

a'.( p — a) 



P= — 



R 



a' étant la dérivée du vecteur a par rapport à u\ cl celte équation 
est bien une forme particulière de l'équation (22). 

13. Nous allons enfin montrer comment on peut obtenir l'équa- 
tion (16) en exprimant que les lignes de courbure des surfaces de 
la famille considérée sont normales respectivement à deux familles 
de surfaces. Mais, auparavant, nous ferons quelques remarques 
sur l'orienteur normal d'une surface et ses différentielles. 

14. Désignons par v l'orienteur de la normale, et soit 

cb) = <l> dp. 
On a, puisque v est un orienteur, 

v . ch = ( ) 
OU 

y. 4* d"j = dp.'Vv = : 

et, comme <7p est un vecteur quelconque, on a identiquement 

<|/v = o. 

On voit donc que la fonction à appliquée à un vecteur quel- 
conque l'amène dans le plan tangent et que l'équation vecto- 
rielle 

777 x <lm = 

n'a (pie deux racines distinctes pour lesquelles d/cj est différent de 
zéro. 

Si s et s, sont les deux orienteurs qui satisfont à cette équation, 



on aura 

<|/j = se, t|/e, - .s, , 

\ pi \, étant les racines de Inéquation 

La fonction <L satisfait d'ailleurs à l'équation symbolique 

i|>(^ 2 — m<L^ -\- m^) = o, 

qui, pour un vecteur situé dans le plan tangent, se réduil à 

On voit immédiatement que s cl £, salisfont également à L'équa- 
tion des lignes de courbure de la surface (u) 



v ctt dp = o ou vj» dp dp = o ; 

ce sont donc les orien leurs des lignes de courbure de la surface (tt) 
au point p. 

Les orienteurs v, s et £, déterminent ainsi un système de trois 
directions rectangulaires. 

D'autre part, la relation 

(<b — <y ) v = ^ v x v 

se réduit, dans le cas actuel, à 

^v = Av X V. 

L'équation y.da = o étant d'ailleurs intégrable, on a 

v . Av = o 
et, par suite, 

Av = v X ilv. 

Si donc on pose 

<|»v = rX, Avc=ru,, 

X et u. étant des orienteurs, on aura un second système d'orien- 
teurs rectangulaires A, u, et v dont on aperçoit immédiatement la 
signification géométrique : v est l'orienteur de la tangente, À celui 
de la normale principale et a celui delà binormalë des trajectoires 
ortbogonales de la famille de surfaces considérée, cl r esl la cour- 
bure de la trajectoire qui passe au point p. 



- 224 - 
Si, de plus, /-, est la torsion do celle courbe, on aura 

-, - étant un symbole de dérival ion suivant la normale à la sur- 

dn J 

face //, c'est-à-dire suivant la tangente à la trajectoire ortho- 
gonale. 

L'équation 

montre enfin qu'on a 

X x »iA -+- ;j. x cptji — o. 

15. Revenons maintenant à la question que nous avons en vue. 
Nous avons montré précédemment que, si u, et 'J 2 sont des vec- 
teurs de modules quelconques tangents aux lignes de courbure de 
la surface ?/, la condition qui exprime que les lignes de courbure de 
toutes les surfaces de la famille sont, pour chaque système, ortho- 
gonales à une famille de surfaces, est indifféremment 

u 1 .A , Ji = o ou u. 2 .A'j 2 =o. 

Il est clair dès lors qu'on peut mettre cette condition sous la 
forme 

(7.^ bis) '->! . Au.j -+- o 2 . A'j 2 = o. 

Or on obtiendra deux vecteurs dirigés suivant les lignes de 
courbure de la surface v en opérant avec «L — s et avec 'it — v, sur 
un vecteur quelconque du plan tangent; par exemple, sur le vec- 
teur ijl. L'équation (24 bis) peut donc s'écrire 

(^/fJL — 5Ji).A(^p. — S [JL )-+-(<]> {A — 5ifx).A(^{JL — StU) = O, 

ou, en développant et remarquant que s + .v, =s m 2 et SS\ =ffi t , 



(*5) 



( -+- (m| ;x — •2?)i l [i — m-i'^n). Aij. — ;j.'|;j. Vm 2 = o. 



Nous allons calculer séparément chacun des trois termes du pre- 
mier membre de cette équation. 

Posons 

c/A v = dp et d'x = y <7; : 



- ±Zi - 

nOUS aurons 

<b\ [x. _ M'( |X, rfp ) i- '!>/ rfp. 

( )n aura donc, en cmplo\ anl, selon le cas, Puo ou l'autre des 

deui systèmes d'orieQteurs rectangulaires que nous avons signalés 
clans le paragraphe qui précède, 

d\ V 

A<»fji= S[ax+(f*, «)]+-2X x^// = ^— + 2(X x •!,//,. 

Mais, clans l'expression 2(X X <WX), nous pouvons négliger les 
ternies A X 'V/A et u. X ^'/[^, qui sont diriges suivant la normale, 
ainsi qu'on le reconnaît en les projetant avec ), et avec ;x, et qui 
n'influent pas dès lors sur le résultat que nous avons en vue. 

On a donc 



cfAv n . du 

ou enfin 

A^;x = 0;x -+- /'iV X <|»X 4- 



Le premier terme de l'équation (20) peut donc s'écrire 

(2^;ji — //i 2 [x).(0;x -+- r 4 v x ^X)> 
ou encore, en remarquant que 



/)ii = Sv^X'^x = v<|»X<l>|x, 
('ityu — m 2 jJt- ) . jjl -h 2 //il /'i — //l 2 ''l A.^X. 

Pour calculer le second terme de l'équation (a5), nous allons 
chercher les composantes du vecteur Ajji suivant les directions X 



et l/.. 



On 



X.Ajx = [XV A;x = — ; x.(y— y )v=— (x.^- -f- v.yjx = v.y-x 



G? JX rfv 

' /7//> l ' dm 



De même 



. , , . dx , du 

^A l x = X.( x - X )v = X.^-v. X X=., 1 -v. 5J 

= rt+ ix. -^ = /-,-*- jx.<|/X = n-t- X.»Wx, 



car ('l — t|/) ;x = Av X U = o, 



— 220 — 
Donc 

A[J. = — [JL . ^i\xk -t- /'i -+- X . 'J> [J. ) [X -H . . . . 

En tenant compte de celle expression de A-x, le deuxième terme 
de l'équation (26) se ramène immédiatement à la forme 

m\ i\ -+- m\ X .^|J- — 2 niy /'! — 2 ni\ X-^jx — m 2 r\ |J-.'^[Ji. 
Enfin le troisième terme de l'équation (26) est égal à 

En réunissant tous ces résultats, l'équation (20) devient 

(•2b) (2 i^fji — m 2 fi. ) . 0|jl -t- ( m\ — 2 nii h j— I a . ojj. = 0. 

On peut simplifier l'écriture en remarquant que 

otyv = W(v, rfp) + ^rfp; 



d'où 



Dd» v = Sa.^Ffv, a) -+- 2a.<V 2 a = mf — ?,?ni H =— 



L'équation (26) peut donc s'écrire 

(•27) (2^;j. — »*2 t a )«0[Ji. •+- D'\> vX .^{x = o. 

On donnera une autre forme à cette équation en introduisant la 
fonction conjuguée 9' à l'aide de la relation 

(0 — 0'),a = A 2 v x fx, 

où l'on a posé A(Av) = A-'v. 

Il vient en effet, en tenant compte de cette relation, 



(ityl-i — m 2 ;x) . 0;x = ( 2 ^;x — m-2 \J- ) . 0' ;x + •>. <v\nx A 2 v 



= ( 2 <\>[x — /n 2 \i ) 9' [X -t- -2 ( v X X ) 6;j. A 2 v 
= ( 2 6[Ji — /n, [jl ) 8' [J. — 2 ( X . ^;jl ) ( v . A 2 v ). 
Or on a (n" 9) 

A 2 v = A(v X <|>v) = 2<|>v — Av X <|>V — A6v X v — Dv 6v H- D6v v. 

d'où 

v.A 2 v = Av -h D6 v. 



— 227 - 

( )\\ a donc cnlin 

En tenant compte de ce résultat, l'équation (27) devient 

, 28) I 'Jt+fX - m t fx)6'(i — (aAv Di|iv }X.<|/fi 

On obtient enfin une dernière (orme de l'équation cherchée en 
additionnant les équations (27) et (28), ce qui donne 

— 2 

(2^[i — m 2 ;j. ) . ( -+- 0' ) [i. — 2 Av (|/v . 6 Av = o, 
OU 

( 29 ) Av . ( -T- 0' ) ( 2 6 Av — m t Av ) — 2 Av " t|tv . ^ Av = o. 

16. Il est intéressant de montrer que l'équation que nous ve- 
nons d'obtenir est identique à l'équation (16). 

On a 

v =/?u, 

dp = — p 3 u.cp rfp, 

rfv = 4* dp =/?(cp dp — />* rfp .«po o ) 5= p(y dp — dp . cpv v ), 

d'où 

<1;V = p ( C5V <» . Cpv V ) , 

m 2 = 2 a. t|;a = _/?(M 2 — v .cpv), 

en désignant par des lettres majuscules les invariants de la fonc- 
tion o, 

Av =vxi)/V=/>VX.çv= f> 3 'J X cp'-) 
et, par suite, 

v . Av = o, Av . cpv = 

et 



et enfin 



Av = /> 2 v X cpv , 
'l Av = p cp Av 



dp = g? Av = /> 3 ( 9 c?p x epu -f- u X cp 2 <ip ■+- o x l F rfo ) — >/ r ' ^P • ? ,J J x 7 J 
= p 2 ( cp c?p X cpv -t- v x cp 2 t/p -t- v l F û?p — 3 û?p . cpv v x cpv ) . 

Or l'équation (29) peut s'écrire 

( 3o ) Av . 0'i/ Av -h <b Av . Av — m, Av . Av — Av " ipv . i|« Av = o . 

et les formules qui précèdent permettent d'obtenir par des calcul 



- 228 - 

très simples, pour les quatre termes du premier membre de eette 
équation, les valeurs suivantes : 

Av. Od, Av = ^[(v.cp 2 v _ 2 M 2 v.cpv -+- M|— Mi-— 3vX'fV 2 ) Av.ç 2 v 

-h Av . cp X V cpv — v . cpv vcpvcp l I ; v J , 

>}< Av.O Av = /^[(M t — M 2 v.cpv -hv.ç*v)Av.cp*v-Hv.<p*v Av.Tv — Av.W<p*v 

-f- M o ( Av . W cpv — v . cpv v cpv l F v )] , 
Wj Av . Av = /?* ( INI 2 — v . cpv ) [( M 2 — 2 v . cp v ) Av . o 9 - v -+- Av V cpv — v . cpv A v . H'v J , 



Av <^v . ^ Av = /? 4 v x cpv Av . cp 2 v. 
En réunissant tous ces résultats, l'équation (3o) devient 

/ 3l x l Av"(-2 Av.cp2 v -AvWv) 

f -+- /? 2 ( v . cpv Av cp W v H- Av . W cp 2 v — Av . cp W cpv — v . cpv Av X Y cpv ) = o. 

Or on a 

v.cpv(Av.v*Fv — Av.*Fcpv)-f- Av.Wcp 2 v — Av.cp*Fcpv 

= Av. (XFcp — cp^F)cpv— v.cpv Av.(W<p — çW)v 
= Av ïjcpv — Av t,v = [( Av X 7) ) -4- v ] .( cpv x v ) 

2 

t Av 

— ( Av X t] ) . (v x Av ) = r, . v . 

P P 

Donc enfin l'équation (3i) peut s'écrire 

p v . irj — Av . W v -t- 2 Av . cp 2 v = o 

et, sous cette forme, on reconnaît immédiatement qu'elle est iden- 
tique à l'équation (16). 



— ±2 l .) 



MÉMOIRES ET IlOMMUMCATIONS. 



UNE PROPRIÉTÉ CARACTÉRISTIQUE DES FONCTIONS DE CLASSE 1; 
Par M. IIi.jn w i Lebesgi e. 

On sait que l'on appelle fonction de classe I toute fonction 
discontinue qui est la limite d'une suite convergente de fonctions 
de classe 0, c'est-à-dire tic fondions continues. M. Baire (*) a fail 
connaître une propriété caractéristique de ces fonctions, nous la 
retrouverons plus loin comme conséquence de celle qui va nous 
occuper. 

J'ai déjà énoncé celle propriété dans une Note récemment pa- 
rue ( 2 ) en me limitant aux fonctions d'une seule variable; la mé- 
thode que j'emploie ici s'applique dans tous les cas, mais, pour 
simplifier le langage, je raisonnerai toujours comme s'il n'v avait 
(pie deux variables x et y. 

1. — Pour qu'une fonction f soit de classe ou 1, il faut et 
il suffit que, quel que soit £ > o, le domaine où f est définie 
puisse être considéré comme la somme d'une infinité dénom- 
brable d'ensembles fermés sur chacun desquels f est continue 
à moins de z près ; ou encore sur chacun desquels f est d'oscil- 
lation inférieure à s. 

Je précise d'abord le sens qu'il faut donner à ces deux énoncés 
et je démontre leur équivalence. 

Par la somme d'ensembles composants j'enlends l'ensemble 
des points appartenant à l'un au moins des ensembles composants, 
(pie ces ensembles aient ou non des points communs. 

(*) Thèse Sur les fonctions de variables réelles (Annali di Matematica, 
1899, et ce Bulletin, t. XXVIII). 

( 2 ) Démonstration d'un théorème de M. Baire. Note II des Leçons sur les 
fonctions de variables réelles et leur représentation pur des séries de poly<- 
nomes, de M. Emile Borel; Taris, Gauthier- Villars, 1904. 

Les questions dont je m'ocrupe ici sont traitées d'une manière différente et 
comme 1 a> particuliers dans un Mémoire Sur les fonctions représentables ana- 
lytiquement, qui paraîtra prochainement dans le Journal de Mathématiques 
de M. Jordan. 

xxxn. 1 5 



- 230 - 

/sera dite continue, à moins de e près, sur l'ensemble ferme E, 
s'il existe une fonction continue o partout définie et telle que 
\f — ep | soit toujours inférieure ù £ pour les points de E. Divisons 
le plan en carrés assez petits pour que, dans chacun d'eux, l'oscil- 
lation de o soit au plus égale à vj; il y a une infinité dénombrable 
de ces carrés. Soient C un des carrés et e l'ensemble des points 
de E intérieurs à G ou situés sur la frontière de C, e est un en- 
semble fermé et, sur e, l'oscillation de j est inférieure à e -+- v\ ; 
d'ailleurs E est la somme de l'infinité dénombrable des e. Si donc 
le domaine où f est définie est la somme d'une infinité dénom- 
brable d'ensembles tels que E, il est la somme d'une infinité dé- 
nombrable d'ensembles e et, si e est quelconque, e +t| est aussi 
pelit que l'on veut; cela montre l'identité des deux énoncés indi- 
qués. Je vais démontrer le second. 

Soit f la limite de la suite convergente de fonctions conti- 
nues^, , f 2 , .... Divisons l'intervalle ( — ce, -f- ce) en une infinité 
dénombrable d'intervalles à l'aide des points de divisions 

..., m^2, m- u m , m u m u ..., 
distants deux à deux de moins de -• Le domaine où /est définie 

'2 J 

est la somme de l'infinité dénombrable des ensembles 

E(m/</< m i+i ) } 

formés des points en lesquels est vérifiée l'inégalité écrite entre 
parenthèses. Dans chacun des ensembles E(//?/</ <C m 1+2) l'os- 
cillation de f est inférieure à e, il suffira donc de montrer qu'un 
tel ensemble est la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles 
fermés pour avoir prouvé que la condition énoncée est néces- 
saire. 

Or E(tw/< i / , < nn+2) cst ' a somme des ensembles E //<; , (n et p 
entiers) pour lesquels on a, quel que soit c/^p-, 

1 <r r <r l 

n ' * 11 

Par définition même E„ ^, est l'ensemble des points communs à 
la fois à tous les ensembles E//W/H ~/ç. tfl/ +2 U pour les- 
quels on a q p; tous ces ensembles étant fermés, E„ ^ p est fermé. 



- 231 - 

Pour démontrer que la condition esl suffisante, supposons 
qu'elle soit remplie par la fonction/. Mois le domaine où f esl 
définie est la somme des ensembles fermés 

(S,) EJ, El, EJ, ..., 

sur chacun desquels l'oscillation de / est inférieure à i. Ce do- 
maine est aussi La somme des ensembles fermés 

sur chacun desquels l'oscillation de/ est inférieure à • 

Remplaçons C p par les ensembles C p q formés des points com- 
muns à C p et El, ensembles qui ont C p pour somme. 

En opérant ainsi sur chaque C p et en rangeant les ensem- 
bles C p q dans un ordre quelconque nous remplacerons la suile 
des C p par la suite des ensembles fermés 

(S.) Ef, El, El, .... 

En opérant d'une manière analogue, on fait correspondre à 
chaque entier m une suite d'ensembles fermés 

( S "> V m K m F'" 

dont la somme est le domaine considéré, sur chacun desquels /est 

continue à — près et qui sont tous contenus dans l'un au moins 

m l l 

des ensembles de la suite correspondant à m — i. A chaque en- 
semble EÇ est attaché une constante KÇ qui diffère de /de moins 

de — sur Eg. 

ip f 

Pour former le m ieme terme f m d'une suite de fonctions conti- 
nues tendant vers/, je divise le plan des xy en carrés de coté — 

par des parallèles aux axes de coordonnées. Soit A le sommet d'un 
de ces carrés; les quatre carrés avant A pour sommet forment un 
carré a. SoitE/ le premier des ensembles de (S t ) ayant des points 
contenus dansa, c'est-à-dire intérieurs à la frontière de a ou sur 
cette frontière. Soit E£ le premier des ensembles de (S a * qui est 
contenu dans E^ et dont certains points sont contenus dans a : soit 
E;[ le premier des ensembles de ( S ;t ) qui est contenu dans l. J el 



— 232 — 

dont certains points sont dans a. En continuant on arrive à la dé- 
finition d'un ensemble Ef 1 ; en A je prends f m = K.™. 

f m sera maintenant complètement déterminée par la condition 
d'être linéaire en x et en y (c'esl-à dire d'être représcnlable par 
une expression de la forme kxy -f- Bx -f- Cy + D, où A, B, C, D 

sont des constantes) dans chacun des carrés de côté — con- 

' m 

sidérés. 

Il reste à vérifier que/,,, tend vers /. 

Soient M un point, E£ t le premier ensemble de (S,) contenant M, 
EJ le premier ensemble de (S 2 ) contenu dans E^ et contenant M, 
E£ 3 sera le premier des ensembles de (S 3 ) contenu dans E£ a et con- 
tenant T\r , et ainsi de suite. Soit q un entier assez grand pour 

que M soit distant de plus de - — des points de l'ensemble fermé C 

somme des ensembles E], E 2 , . . ., E^^, des ensembles E£ con- 
tenus dans E^ ( et d'indice inférieur pins pelit que a 2 , des en- 
sembles EjJ contenus dans E£ 2 et d'indice inférieur plus petit 
que a 3 , etc., des ensembles E," contenus dans E™"^ et d'indice 
inférieur plus pelit que a m . Etudions maintenant/ / ,(M) pour/?>gr 
et />>/>?. 

La définition de/ /; (M) dépend, comme on l'a vu, de la considé- 
ration de certains carrés de côté -> savoir les carrés de la p xeme di- 

P 
vision du plan en carrés qui ont au moins un sommet en commun 

avec un carré de celle division contenant M. Tous ces carrés sont 

intérieurs au cercle de centre M et de rayon - — '> donc extérieurs 

P 

à C, par suite aux sommets du ou des carrés contenant M. f p est 

égale à la constante K>! relative à un ensemble E{! contenu 
dans E"' . 

Soit P un point de E/!, on a 

I Kj-r k& I i I U-/m I + 1 K..-A P)J < ^ + ^ < ~ 

Donc aux sommets du ou des carrés contenant M, f p drffère 
de K™ de — au plus et, par suite, il en est de même en M. De là 

a,„ m i 7 1 

nous lirons 

|/(M)-/ / ,(M)|^l/(M)~KS l M |-+-|/p(M) 






m < - 

1 ' ^ m 



— 2;i;t — 

et. puisque rn esl quelconque, il esl bien démontré que la suite 
des fp converge \ ers /'. 

Le théorème précédent permel dans bien des cas, on le conçoit, 
de reconnaître qu'une fonction donnée esl de classe I : j<- donnerai 

Seulement trois exemples de son emploi. 

Soi i f une fonction n'ayant qu'une infinité dénombrable de 
points (le discontinuité. Soit E l'ensemble fermé dénombrable 
des points en lesquels l'oscillation de y est au moins égale à t. 
E est la somme de l'infinité dénombrable de ses points, sur chacun 
desquels^est d'oscillation nulle. Soit maintenant un point dn com- 
plémentaire de E; il est intérieur à un carré dans lequel l'oscilla- 
tion de y est inférieure à s et le complémentaire de Eesl la somme 
d'une infinité dénombrable de tels carrés. Donc les conditions du 
théorème I sont remplies ; f est de classe i. 

Soity une fonction semi-continue supérieurement. ]\1. Baire dé- 
signe ainsi une fonction f telle que, cpiel que soitP,/(P) soit au 
moins égal à la plus grande des limites de /(M), quand M tend 
vers P. De là résulte immédiatement cpie l'ensemble E(a^/) des 
points où f est au inoins égale à a est fermé ; car si P est un point 
limite de cet ensemble la plus grande des limites de/*(M), quand M 
tend vers P, est au moins a, donc y (P) est au moins égal à a. 

Ceci posé, je divise l'intervalle ( — oc, -h oc) en une infinité dé- 
nombrable d'intervalles partiels de longueur au plus égale à £. 
Soit («, b) l'un d'eux; le domaine oùf est définie est la somme 
de l'infinité dénombrable des ensembles tels cpie E(aJ/<6), 
formé des points en lesquels est vérifiée l'inégalité entre paren- 
thèses. Sur chacun de ces ensembles, l'oscillation de y est au plus 
égale à e, or E(« !:/*<< b) s'obtient en retranchant de l'ensemble 
fermé YL(a^f) les points de l'ensemble fermé E(b^f). 

^( a if < b) est, par suite, la somme de l'infinité dénombrable 
des ensembles fermés tels que E„, formé des points de El a /*), 

distants de- au moins des points de E(65/). D'après le théo- 
rème ï, ,/est de la classe ou 1 ( ' ). 

Pour appliquer le théorème I au cas précédent il a fallu démon- 



(') Au sujet de ces fonctions et <le leur représentation, voir Baire, Thèse, p. > 
à 12 et p. 64, et ce Bulletin, t. WVIll et XXXII. 



- 234 - 

trer <[iie certains ensembles étaient sommes d'infinités dénombra- 
hles d'ensembles fermés; c'est toujours à celte question que l'on 
peut ramener l'application du théorème 1. D'après la démonstra- 
tion de la première partie de ce théorème, en effet, si /est de la 
classe 1, E(« << f < b) est, quels que soient a et b, somme d'une 
infinité dénombrable d'ensembles fermés; réciproquement, si cela 
a lieu, les ensembles E(/?i/< /< nii +2 ) de la démonstration étant 
sommes d'infinités dénombrables d'ensembles fermés, le do- 
maine où f est définie est, quel que soit £ > o, la somme d'une 
infinité dénombrable d'ensembles fermés sur chacun desquels f 
est d'oscillation inférieure à e, c'est-à-dire que f est de classe 
ou 1. 

J'applique la méthode qui résulte de là pour démonlrer qu'une 
fonction f(x, y) continue en x et en y est de classe ou 1 ( ' ). 

Je considère l'ensemble E(#<</«< b) comme la somme des 

ensembles JLl a -\ <T f <C b ) correspondant aux valeurs 

\ P Pi l 

entières de p. L'ensemble YL(a H <C/<C b ) est tel que, si M 

est un de ses points, il existe un segment (a, p) contenant M, à 
son intérieur, parallèle à l'axe des x et dont tous les points, extré- 
mités non comprises, font partie de l'ensemble. Considérons l'en- 
semble E„ 5/7 des points M de ElaH <^ f ' < b j qui sont 

compris dans un segment (a, 8) tel que (a, M) et ([3, M) soient 
tous deux de longueur supérieure à - (/i entier). Soient A un point 

limite de E„ 5/J et M,, M 2 , ... des points de E„ 5/ , tendant vers A. 
S'ils sont tous, à partir d'un certain indice, sur la parallèle à l'axe 
des x passant par A, f étant continue en x, A fait évidemment 
partie de 

■(•->s/s*-i). 

Sinon les intervalles (a,,|3,), (a 2 , $ 2 ) ... correspondant aux 
points M,, M 2 , ... rencontrent tous, à partir d'un certain rang/, 
la parallèle à l'axe des y menée par A en des points v £ -, Y* + i, . .. 



(') J'ai déjà démontré celte proposilion d'une autre manière dans le Bulletin 
des Sciences mathématiques de i 



qui tendent vers A. ( les points -■ font partie de 



\ p p 

donCj puisque f est continue en r, A fait partie de 

E (a + - f b — - 
\ P P 

Ainsi, clans tons les cas, l'ensemble fermé (E/i^+E^ ), 
E' désignant le dérivé de E //j7 ,, f ; »"t partie de E(r*<</< b)\ i i 
dernier ensemble est la somme de l'infinité dénombrante des 
ensembles tels que (E^-f- E^_), le théorème est démontré. 

11 n'y a pas dans ce qui précède de procédé général et régulier 
pour reconnaître si une fonction est ou non de classe I ; un tel 
procédé est d'ailleurs impossible à donner si l'on ne suppose, sur 
les fonctions que l'on considère, rien d'autre que ceci : elles sont 
données. Cependant, comme on l'a vu par les exemples, à condi- 
tion d'employer des raisonnements différents suivant les cas, le 
théorème I peut être utile parce qu'il montre l'identité de deux 
problèmes; la solution de l'un de ces problèmes s'aperçoit parfois 
plus aisément que celle de l'autre. C'est un intérêt du même genre 
que présente la proposition suivante : 

II. Pour qu'un ensemble donné E puisse être considéré 
comme l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction, 
il faut et il suffit qu'il soit la somme d'une infinité dénom- 
brable cV ensembles fermés. 

La condition est nécessaire. L'ensemble des points de disconti- 
nuité de /est en effet la somme des ensembles fermés E«, E M étant 
formé des points en lesquels l'oscillation de /est au moins égale 



a - 
n 



La condition est suffisante. SoitE somme des ensembles fermés 

E,,E 2 , Par / je désigne une fonction nulle aux points ne 

faisant pas partie de E et qui, aux points de E, est définie comme 
il suit. Soit M un point de E; ne faisant pas partie de 

Ei-+-E a -+-...H- E,-!, 

si M est intérieur à tout un domaine faisant partie de E^ on prendra 



— 136 — 

en M f égale à - on o suivant que toutes les coordonnées de M 
seront rationnelles ou non; si M n'est pas intérieur à un lel 
domaine on prendra /"= -• On vérifie facilement que/' est con- 
tinue pour tous les points ne faisant pas partie de E, et discon- 
tinue pour tous les points de E, l'oscillation de f en un point 

de E/, n'appartenant pas à E» -f- E 2 -f-. . Y+E/_ l5 étant égale à -• 

Cette proposition va nous permettre d'utiliser un résultat de 
M. Volterra. 

On sait que f est dite ponctuellement discontinue dans le 
domaine A si, dans tout domaine D intérieur à A, il y a des points 
de continuité de f. Si cela est, dans tout domaine D on en peut 
trouver un autre D' dans lequel y est d'oscillation inférieure à £ 
choisi arbitrairement positif; cela est évident puisqu'il suffit de 
prendre D' assez petit et entourant un point de continuité. La 
réciproque est vraie, en effet, si, dans D, on peut trouver D, où 
l'oscillation de f est inférieure à i, si, dansD,, on peut trouver D 2 
où l'oscillation de f est inférieure à i, si, dans D 2 , on peut 
trouver D 3 où l'oscillation de f est inférieure à 4 { , etc.; à Tinté- 
rieur de tous ces domaines on peut trouver un point M qui est 
intérieur à D, en M f est continue. 

Supposons maintenant que nous ayons une infinité dénom- 
brable/^, f 2 , ... de fonctions ponctuellement discontinues dans A; 
alors on peut reprendre le raisonnement précédent en assujettis- 
sant Dp à être intérieur à D /; _, et de plus tel que, dans D^, les 
oscillations de fiifz-, •••> f P soient respectivement inférieures 

à — 3 * • ••> i. Alors, au point M, intérieur à tous les D„, 

p p — i r ■ ï ^ 7 

toutes les fonctions f p sont continues. C'est la proposition de 

M. Volterra ('). 

Concluons de là, avec M. Volterra, que si E et E, sont deux 

ensembles partout denses dans A, c'est-à-dire admettant l'un et 

l'autre A pour ensemble dérivé, et n'ayant aucun point commun, 

ils ne peuvent être l'un et l'autre ensemble de points de disconti- 



(') En réalité M. Volterra (Giornale de Rattaglini, 1S81) ne s'occupait que 
d'un nombre fini de fonctions; c'est M. Baire, en utilisant la notion d'ensemble 
de première catégorie, qui s'est occupé du cas général. 



- 837 — 

nuilés pour deux fondions ft\ .A ; car ces deui fondions seraient 
ponctuellement discontinues dans A el n \ auraient cependanl 
pas de poinl <!<■ <-*>iit îiiitii*'- en commun. Par suite, si l'un de ces 
deux ensembles pëul être obtenu coin n m- ensemble E a <^ cp < b i 
pour une fonction cp de classe J, il n'en esl certainemenl pas de 
même pour l'autre. 

Considérons par exemple une fonction y et supposons qu'elle 
soit supérieure à o pour les valeurs irrationnelles de la variable i 
et pour celles-là seulement. Alors L'ensemble E(o</ , <*4-* ; 
est partout dense ainsi que son complémentaire; celui-ci esl 
d'ailleurs la somme de l'infinité dénombrable des ensembles 
fermés définis chacun par une égalité de la forme x = constante 
rationnelle, par suite E(o <Cj <C -h ») n'est pas la somme d'une 
infinité dénombrable d'ensembles fermés, f n'est donc ni de 
classe ni de classe 1. 

La proposition de M. Vollerra nous permet donc d'utiliser le 
théorème I pour démontrer que certaines fonctions ne sont pas de 
classe 1. Cette proposition esl généralisable de plusieurs ma- 
nières; en utilisant ces généralisations, on reconnaîtra qu'il y a un 
rapport étroit entre le théorème de M. Vol terra et la condition 
nécessaire pour qu'une fonction soit de classe 1 qu'a fait connaître 
M. Baire. 

Soit/une fonction de classe 1. Reprenons les nombres ////qui 
ont servi pour la démonstration de la première partie de I. Le do- 
maine A où f est définie est la somme de l'infinité dénombrable 
des ensembles E(/?î/</<Wi + 2); d'ailleurs, on peut définir les 
fonctions ©^ de manière que l'ensemble des points de discon- 
tinuité de <pi soit E.(/n/</<m/ + 2). Toutes ces fonctions ne 
peuvent être ponctuellement discontinues dans D, intérieur à A. 
sans quoi elles auraient un point de continuité en commun, point 
qui n'appartiendrait à aucun des E(/n/ <Cf<C Mi+a)- Cela revient 
à dire qu'il existe un certain domaine D', intérieur à D, et faisant 
tout entier partie de l'un des E(mï<Cf<i /w /+2 ); en d'autres 
termes, dans D', f est d'oscillation inférieure à e. Puisque £ esl 
quelconque, on conclut de là que /est ponctuellement discontinue 
dans A. 

Pour aller plus loin, remarquons : 

i° Que la partie commune à un ensemble parfait £ et à un en- 



— 238 — 

semble E, somme d'ensembles fermés E,, E 2 , ..., est la somme des 
ensembles fermés parties communes à C dune part et à E, , E 2 , . . . 
d'au Ire part ; 

2° Que le raisonnement du théorème II légèrement modifié 
prouve que la condition nécessaire et suffisante pour qu'un en- 
semble E, formé de points d'un ensemble parfaite, soit l'ensemble 
des points de discontinuité d'une fonction f définie seulement 
sur C est qu'il soit la somme d'une infinité dénombrable d'en- 
sembles fermés; 

3° Que le théorème de M. Vol terra peut être démontré pour 
les fonctions définies sur un ensemble parfait C et ponctuellement 
discontinues sur £, c'est-à-dire ayant des points de continuité dans 
tout domaine contenant, à son intérieur, des points de C. 

Dès lors, on peut, dans le raisonnement précédent, remplacer 
le domaine A par un ensemble parfait C contenu dans A et les en- 
sembles JL(mi<Cf <C nu+'i) pat" leurs parties communes avec C. 
On voit ainsi qu'une fonction de classe 1 est ponctuellement 
discontinue sur tout ensemble parfait. C'est la condition néces- 
saire donnée par M. Baire. 

La méthode, très détournée, qui nous y a conduits montre 
que, théoriquement du moins, la remarque de M. Volterra, jointe 
au théorème I, permet, tout aussi bien que l'énoncé de M. Baire, 
de reconnaître qu'une fonction donnée est de classe 1. Mais cet 
énoncé est pratiquement plus simple à employer dans la plupart 
des cas à cause de l'habitude que nous avons d'étudier la conti- 
nuité ou la discontinuité d'une fonction en un point. 

On sait que la condition nécessaire de M. Baire est aussi suffi- 
sante en sorte que : 

III. Pour qu'une fonction soit de classe ou 1, il f (tut et il 
suffît qu'elle soit ponctuellement discontinue sur tout en- 
semble p ai fait. 

C'est ce que je vais démontrer. 

Il a été démontré que la condition est nécessaire, je vais dé- 
montrer qu'elle est suffisante, c'est-à-dire que, si f n'est pas de 
classe ou 1, il existe un ensemble parfait sur lequel y est totale- 
ment discontinue. 

Puisque/" n'est pas de classe 1, on peut trouver une valeur po- 



— 239 - 

siti\ c : telle <juc !<• domaine A où /"esl définie ne soil pas la somme 
d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés sur chacun des 
quels/ 1 est d'oscillation inférieure à t. 

On peul alors distinguer entre les points <l<- A. Les uns, les 
points a } ne peuvent être intérieurs à un domaine I), si petil 
qu'il soit, sans (jnc D jouisse de la même propriété que A; les 
autres, les points />, sont intérieurs à des domaines o assez petits 
pour être sommes d'infinités dénombrables d'ensembles fermés sur 
lesquels /est d'oscillation inférieure à e. 

Si M est un point b, tous les points du 8 correspondant sont 
aussi des points b\ par suite, l'ensemble A des points a, s'il en 
existe, est fermé. Montrons que A existe. 

Si A ne contenait aucun point a, tous ces points étant b seraient 
intérieurs à des 8; d'après un théorème de M. Borel, on doit con- 
clure de là que A serait la somme d'un nombre fini de 8 et, par 
suite, la somme de l'ensemble dénombrable des ensembles fermés, 
en lesquels se décomposaient ces 8, et pour chacun desquels/ est 
d'oscillation inférieure à e; cela est contraire à l'hypothèse. 

Montrons même qu'il y a plus d'un point a. S'il n'y avait qu'un 
tel point, le point M, on déduirait du théorème de M. Borel que A, 
moins M, serait la somme d'une infinité dénombrable de 8, donc 
aussi comme précédemment d'ensembles fermés où /est d'oscilla- 
tion inférieure à s. Mais M est lui-même un ensemble fermé d'os- 
cillation inférieure à s pour /, donc M ne serait pas un point a, 
mais un point b et l'on pourrait prendre A pour 8 correspondant. 

Concluons de là que l'ensemble A, qui existe certainement, ne 
contient aucun point isolé, car, si M était un tel point, à condition 
de prendre autour de M un domaine D assez petit, M serait le 
seul point a de D. 

Donc, V ensemble A est parfait. 

Je disque, sur A, l'oscillation de /est, en tout point, au moins 
égale à s. Supposons, en effet, qu'il n'en soit pas ainsi pour le 
point INI de A. En prenant le domaine D, contenant M, assez petit, 
/ sera d'oscillation inférieure à £ sur l'ensemble parfait a, partie 
commune à D et A. 

L'ensemble des points de D ne faisant pas partie de a est la 
somme d'une infinité dénombrable de domaines, par exemple des 
carrés dont les sommets ont des coordonnées rationnelles et qui 



— 2*0 - 

ne contiennent pas de points de a. Chacun de ces carrés est la 
somme d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés sur les- 
quels f est d'oscillation inférieure à e, donc il en est de même de 
leur somme. Et, si l'on ajoute a à ces ensembles, on voit que D 
est aussi la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés 
d'oscillation inférieure à s pour y. Ceci est impossible puisque D 
contient des points a, par su'\le f est discontinue sur A en tout 
point de l'ensemble parfait A. 

La démonstration qui précède (') montre que le théorème! 
peut être utilement employé pour l'étude des fonctions déclasse 1. 
Voici deux théorèmes auxquels il conduit facilement; 

IV. Une série uniformément convergente de fonctions de 
classe ou 1 a pour somme une fonction de classe ou 1. 

En effet, supposons que la somme f n des n premiers termes 
diffère de sa limite f de moins de s ; le domaine où /"est définie 
est la somme d'une infinité dénombrable d'ensembles fermés sur 
chacun desquels f n est d'oscillation inférieure à e, puisque y,, est 
de classe ou 1. Or, sur un tel ensemble fermé,/" est d'oscilla- 
tion 3 £ au plus ; donc /"est de classe ou 1 ( 2 ). 

Ce théorème, qu'il est aisé de prouver directement, aurait pu 
nous servir à simplifier la démonstration de I. 

V. Pour cj lé une fonction soit de classe 1 dans un domaine, 
il faut et il suffit qiéelle soit de classe ou 1 sur toutes les 
courbes du domaine et effectivement de classe 1 sur l' une des 
courbes. 

On sait que, dans le cas de deux variables x,y, par exemple, 
une courbe est définie par les équations 

(G) *=/(0i r =•*(*), 

où f et g sont définies et continues dans un intervalle fini. Une 

(') Celle démonstration ne diffère que par la forme de celle que j'ai donnée 
dans la Note du Livre de M. Borel ; comme elle, elle n'utiiise pas la notion de 
nombre transfini. Dans la Noie <lu Livre de M. Borel, la preuve que la con- 
dition énoncée est nécessaire est exposée d'une manière beaucoup plus directe 
et rapide. 

(-) On voit que le raisonnement suppose seulement la convergence uniforme 
simj)le de la série considérée. 



- 241 — 

cburbe peu! remplir un domaine el il existe une infinité de courbes 
remplissant chacune toul le domaine donné A quel qu'il soit. 

Si <!>(./■, y) es! une fonction donnée, par convention, \>' dis 
qu'elle esl de classe I ou sur la courbe définie plus haut si 
la Ponction composée de t $[/(*),£•(/)] = ©(*) esl de classe 

ou I . 

Je snppose que la courbe C soir contenue dans le domaine A 
où <I> esl définie. Alors, à tout point a de o correspond, parles 
formules de définition de C, un point A de A, à un point \ de C 
correspond un point îhi moins a de ô. A un ensemble e de points 
de o, nous faisons ainsi correspondre un ensemble K de points 
de A et à un ensemble E de points de G nous faisons correspondre 
l'ensemble e s de tous les points de o correspondant à ceux de E. 
Je dis (jue, si e (ou E) sont fermés, E (ou e { ) le sont aussi. 

Supposons e fermé et soit D\L un point limite de E. Soient M,, 
M 2 , . . . des points de E tendant vers Oïl et soit m/ l'un des points 
correspondant à M/. Les ni[ ont au moins un point limite m 
dont le correspondant M est, puisque f et g sont continues, le 
point limite de M 4 , M 2 , .... Ees points M et D\l coïncident donc, 
et, puisque m fait partie de e, 0)1 fait partie de E. 

Supposons E fermé et soit ni un point limite des points ///,, 
nu, ••• de e K . A ces points correspondent M et M,, M 2î ...; 
d'ailleurs, M est évidemment point limite de M,, M 2 , ..., donc 
fait partie de E, ni fait partie de e. 

Si <!>(#, jk) est de classe 0, il en est de même de v(t). Car 
si ®(m) n'était pas la limite de o (/??/), m { - tendant vers /?*, 
4>(M) = v(m) ne serait pas la limite de $(M { *) = o(/n/), bien 
que M| ■ lende vers M ; cela est impossible. Supposons maintenant 
que <ï> soit telle que o soit continue sur toute courbe C et choisis- 
sons pour C une courbe remplissant tout le domaine. Si <ï> n'était 
pas continue, on pourrait trouver une suite de points M, tendant 
vers un point limite M et de manière que ^>(M/) ait une limite 
déterminée différente de <Ï>(M). Soient E l'ensemble fermé formé 
des M< et de M, e, l'ensemble correspondant, ni un de ses points 
limites; ni correspond à M. e { étant fermé el & continue, op esl 
continue sur e K en ni ; or cela est impossible puisque cpi m) = $(M) 
et que ^p(nii)==$(Mj) a une limite déterminée différente de ts ni). 
Il v a là une contradiction qui montre que, pour qu une loin Mon 



— Viïl — 

soit continue dans un domaine, il faut et il suffit qu'elle soil con- 
tinue sur toute courbe de ce domaine. 

Si <b(x,y) est de classe 1, A est la somme d'une infinité dé- 
nombrable d'ensembles fermés E, sur chacun desquels 3> est d'os- 
cillation inférieure à e. A E correspondant l'ensemble fermé e i7 
o a sur e K même oscillation que <I> sur E et o est la somme des e, ; 
donc © est de classe ou I . 

Si, quelle que soit G, © est de classe ou 1, prenons pour G 
une courbe remplissant A et supposons que, sur G, cp soit de 
classe 1 (le cas où o serait de classe a été étudié). Alors 8 est la 
somme d'ensembles fermés e en nombre fini ou dénombrable et 
sur chacun desquels cp est d'oscillation inférieure à s, A est alors 
la somme des ensembles fermés E correspondant aux e, donc <ï> est 
de classe ou 1 et l'on sait déjà que <I> ne peut être de classe 0. 

Cela démontre le théorème V; c'est ce théorème qui m'a per- 
mis, dans une Note des Comptes rendus de mars 1899, d'étendre 
au cas général le théorème III démontré tout d'abord par M. Baire 
pour les fonctions d'une variable seulement. 



RÉSOLUTION D'UN PROBLÈME AUX LIMITES POUR LES ÉQUATIONS 
LINÉAIRES DU TYPE HYPERBOLIQUE; 

Par M. Hadamard. 

1. Soit l'équation linéaire aux dérivées partielles, à deux va- 
riables indépendantes 

. . d 2 z dz , dz 

(1) - — j- H- a \- b hC3 = 0, 

ùxôy ox à y 

dont nous voulons déterminer une solution par des données aux 
limites relatives à une certaine ligne L. 

Celle-ci peut se comporter, par rapport aux caractéristiques, 
de trois façons différentes : 

I. Chacune des coordonnées x et y varie, sur L, toujours 
dans le même sens : autrement dit, L n'admet aucune tangente 
(sinon tangente d'inflexion) parallèle aux axes, et, si elle présente 
un point anguleux A, les deux arcs AB, AC issus de ce point sont 



- 243 - 

situés dans deux angles opposés par !<■ soromel formés par les 
caractéristiques qui pause ut en \. 

I>;insccc;i\ les données propres à déterminei la solution -<>ni 
celles «le Caucby, c'est-à-dire les valeurs <!<• z et <l<- ses dérivées 
premières; el la méthode par laquelle <m calcule effectivement la 
solution ainsi déterminée est celle de Riemann. 

11. La ligne L présente un point anguleux A (ou un point pour 
lequel la tangente est parallèle à l'un des axes) ici que, <!< :s quatre 
angles formés par les caractéristiques qui passent en \, ceui qui 

contiennent les arcs AB, AC de L sont adjacents. 

Dans ce cas, on devra (') choisir, a priori, les données de 
Cauchy sur l'un des arcs, AB par exemple, et la valeur de z seul 
sur l'autre arc. 

Le problème ainsi posé se ramène d'ailleurs (moyennant ce 
qu'on sait sur le cas 1) à un autre, pour lequel M. Picard ( 2 ) a 
démontré l'existence de la solution, celui dans lequel on se donne 
les valeurs sur deux lignes, l'une caractéristique, l'autre quel- 
conque, se coupant à angle aigu. 

Pour résoudre l'un ou l'autre de ces problèmes et calculer la 
valeur de z en un point quelconque O, ainsi que nous l'avons fait 
dans un précédent article (•'*), il ne suffit plus de considérer la 
fonction u de Riemann. Celle qu'il convient d'introduire, et que 
nous avons appelée U dans l'article en question, coïncide avec u 
dans une partie du plan, mais en est distincte dans une autre, 
séparée de la première par une certaine caractéristique (' ) dépen- 
dant du point O et suivant laquelle la discontinuité qui existe 
entre ces deux fonctions est proportionnelle à l'exponentielle 



/** 



, soit 

/ b ,ix 

J p 



(2) U(0, M) = u — m>e l 

P étant le point où la caractéristique en question coupe lare \(< 



(') Voir un Mémoire précédent : Sur l'intégrale résiduelle (ce Bulletin, 
1 XXVIII, 1900, p. 89 et suiv.). 

( 2 ) In Darboux, Leçons sur la théorie des surfaces, t. IV, Note 1. 

( 3 ) Sur un problème mixte aux dérivées partielles (ce Bulletin, 1 \\l. 

( 4 ) PU, figure 1 de l'article qui vient d'être cité 



- Ul - 

(et qui n'est d'ailleurs autre que celui où cet arc est coupé par la 
caractéristique de l'autre système issue du point O). 

U est défini par cette condition et celle de s'annuler sur AP. 

III. Enfin, lorsque les deux arcs AH, AG sont situés dans un 
seul et même angle formé par les caractérisliques issues de A, 
M. Goursat a montré (') que la fonction z est déterminée lorsqu'on 
donne des valeurs (sans aucune dérivée) sur AH et sur AG. 

Quoique la question n'offre plus le même intérêt que pour les 
problèmes I et II, en raison de la signification physique de ceux-ci, 
on est conduit à chercher, pour le problème ainsi posé, une solu- 
tion effective, par le moyen d'intégrales définies, analogue à celles 
qui sont acquises pour les précédents. 

2. Si le problème TT 1 n'a pas une origine physique, nous allons 
voir qu'il dérive néanmoins, comme cas limite, dune catégorie de 
questions qui, au contraire, sont introduites naturellement par 
les applications. 

Nous avons d'ailleurs fait allusion à celle-ci incidemment (-), 
dans l'article cité : c'est celle à laquelle appartient le problème de 
la propagation de l'électricité dans un câble limité dans les deux 
sens. 

Il s'agit encore, dans ce cas, de déterminer une solution d'une 
équation de la forme (i). La ligne L présente, cette fois, la dispo- 
sition représentée par la figure i. Elle se compose de deux arcs 
(3B, yC le long desquels le coefficient angulaire de la tangente 
garde un signe invariable, le même pour les deux (nous suppo- 
serons que ce signe est +), reliés par un troisième arc Sv constam- 
ment incliné en sens contraire (par conséquent avec —-■ <Co) qui 



dx 

les laisse tous deux d'un même côté. Autrement dit, elle offre deux 
points anguleux de l'espèce IL 

Les données sont celles de Gauchv sur 3 V « les valeurs de z sur 
[jH et yG. La fonction cherchée s'obtient par une combinaison 
des méthodes qui conviennent aux cas I et IL Menons, en effet, 



( ' ) Comptes rendus, S juin igo3 ; Annales Far. de Toulouse, :>" série. Tome VI, 
p. ii7-i' ( |- 

(-) Sur un problème mixte aux dérivées //art/elles, q° 6, note. 



248 



par [ j j e 
tion se 
respecl 



i y les caractéristiques Vj, <m yy'j (donl le poinl <l intei 
r;i désigné par e) jusqu'à rencontre en ^ f , y 1 avi I )B 
ivement (,A,A'- i)î puis, par (3, el -;, , les caractéristiques 



Fil 




% ?2i V'V-' f l"' coupent jjB, yC en (3 2 , v 2 , cl ainsi de suite. Nous 
divisons ainsi Taire ^ comprise entre nos trois arcs de courbe en 
une série de régions, les unes médianes, I, II, ... (fig- i), qui 
sont des rectangles (sauf la première), les autres latérales, i, 2, ...; 
1', 2', ..., qui sont des triangles mixtilignes limités chacun par 
deux segments de caractéristiques et un arc de ligne [jB ou yC. 

Dans la région I (triangle mixtiligne j^'v), on est dans le cas I 
et z se détermine par la méthode de Riemann ; moyennant quoi, 
on le calcule dans les régions i, 1' par la résolution du pro- 
blème II ('); dans la région II, de nouveau par la méthode de Rie- 
mann (■); dans 1rs régions 2, 2' par la résolution du problème 11 ; 
et ainsi de suite. 

Les caractéristiques qui séparent les unes des autres nos diffé- 
rentes régions correspondent, physiquement, aux ondes et a leurs 
réflexions successives aux limites (limites représentées par les 
lignes j I), yC). 



(') Pour abréger le discours, nous ne distinguons pas entre le problème It el 
le problème équivalent de M. Picard, auquel non-; avons fait allnsion loul .1 
l'heure; ni, de même, entre le problème de Cauchv et la détermination de l'in- 
connue par ses valeurs sur deux caractéristiques (Darboux, Leçons sur la théorie 
des surfaces, i. Il, n" 359), tous deux justiciables de la méthode de Riemann. I><: 
rui'iiir encore, dans le problème actuel (problème NI), l'arc y; peul se réduii 
un'segmenl de caractéristique sur lequel z seul sera donné. 



— 246 — 

»î. Nous présenterons ce calcul sous une forme différente, en 
parlant, non des extrémités [j et y, mais cl 1 1 point quelconque O 
où nous nous proposons de calculer z. 

Par ce point menons les deux caractéristiques 01*, OQ. En 
supposant (comme il est représenté sur les figures i et 2) : 

Pis. 1. 




i° Que -p- est, comme nous l'avons déjà admis, toujours posi- 
tif sur fJB ou sur yC; 

â° Que x el y vont lotis deux en croissant de p en B et aussi de 
v en C ; 

3° (hic le point [j a une abscisse plus petite et une ordonnée 
plus grande que le point y, ces deux caractéristiques devront être 
menées, l'une 01* parallèlement à l'axe des x et dans le sens des x 
décroissants, l'autre OQ parallèlement à l'axe des y et dans le sens 
des y décroissants : la première jusqu'en son point d'intersection P 
avec [3B, la seconde jusqu'en son point d'intersection Q avec yC. 

De même, par le point P menons la caractéristique PP, paral- 
lèle à OQ jusqu'à sa rencontre en P, avec yC, et la caractéris- 
tique QQ ( parallèle à 01*, jusqu'à sa rencontre en Q, avec t 3B, le 
point d'intersection de PP,, QQi étant désigné par O,. Par les 
points P<, Q,, nous mènerons les caractéristiques P) IV Q1Q1», 
qui se coupent en 2 et rencontrent en P 2 , Q^ les arcs £}B,yC, etc. 

Nous considérerons alors : 

i° La fonction u de liicmann relative au point O (solution de 



±\ï - 



I c(iii, il ion donnée par rapport au poinl ( ) cl de I équation adjointe, 
par rapporl à un second poinl M i : 

•>." La fonction ri|, égalemenl solution de L'équation adjointe 



r 

°. I> ,<l «SooIp <nr l>l>. :', // _ // ,.-'l 



f.,. 



(|in est nulle sur pïf el égale, sur ri ,, ;i //. — /f v c' 

Cette double condition définit // ( dans l'espace compris entre 
l'are pP, la droite PP, et la parallèle ffi à PP, menée par le 
point p. 

')" La fonction e,, solution de L'équation adjointe, qui csl nulle 

-M 

sur yQ et égale à // - VL^ë" sur QQ|. 

Cette double condition la définit dans l'espace compris entre 
Y Q, QQi et la parallèle.' yy' à QQi menée par y. 

î" La fonction iv, = u< -f- e, — //. 

Puis, de même, les (onctions //.,, y 2 <pn se déduisent de n , à 
l'aide des droites P, P 2 , Q|Q 2 , comme «<, ^, se déduisent de m à 
L'aide des droites PP<, QQ< (ce qui définit w 2 dans Tain.' comprise 
entre y'y, yP { et P, P 2 , p 2 dans Taire comprise entre r t'[j, fiQ, el 
*v*i Q2)j et la fonction w. 2 = il 2 -h v 2 — o - , . 

Les fonctions « 3 , c 3 se déduiront de ((■> comme it>, e 2 de ir, (à 
laide des caractéristiques P2PJ, Q2Q3) et Ion aura 

u>s= u :i -+- c 3 — »\>, 
el ainsi de suite. 

Enfin notre fonction U sera égale à u dans le rectangle OPO, Q, 
à //, dans le triangle mixliligne P0,(), , à r, dans Le triangle Q( ), I?, , 
à w { dans le rectangle OJ^O^Q,, à a> dans le triangle P|0 2 Q 2 , 
à v.> dans le triangle Q|0 2 P 2 , etc. 

On voit que U s'annule sur les deux lignes (3B, yC et que, 
d'autre part, il est discontinu sur chacune des lignes P/P, + ,, 

ilxl.r 

QiQi+i, La discontinuité étant proportionnelle à e* pour celles 

qui sont parallèles à Taxe des a?, cl à e pour celles qui sont 

parallèles à l'axe des y. I,a valeur de celle discontinuité ne subil 
d'ailleurs aucune variation brusque lorsque la ligne correspond. mie 
c>l traversée (en un point /+( ) par une autre de système opposé. 
On voit aussi que les fondions W 2 / + j, P 2 < s annulent sur pB, les 
fonction'- u 2l . r 2 /j.| sur vC. 



248 — 



I. Posons 



(3) 



"/— u>i-i= (— O' 1 ' 9i, 



la fonction <r , qui intervienl flans la définition de o f , étant prise 



égale a //. 



Si, dans la relation que nous venons d'écrire, nous remplaçons 
Wi_\ par sa valeur, elle devient 

et, comme ?// et j>/. , sont Ions deux nuls sur un même arc de [3B 
ou de rC (suivant la parité de i ), on a, sur cet arc, 

(4) ?*= ?i-i» 

pendant que, sur la caractéristique P/_, P/, ©j est proportionnel à 

e ou à c l , le (acteur de proportionnalité étant tel que la 

relation (4) soit vérifiée au point P/_|. 
De même, en posant 



(3') 



vt— w,-i = (- 1)'" +1 ty, 



on aura, sur un are de BB ou de vG, 



(4') 



<W= <W-i> 



pendant que, sur Q/_i Q/, '-!>/; sera égal à une exponentielle de la 
forme précédemment indiquée ayant la valeur '^_, au point Q/_ t . 

Ces conditions définissent les fonctions 9j indépendamment 
des J/|, et inversement. 

Comme on a, d'autre part, en vertu de la définition de 07, 



(-') 



' + 1 »••= 7/.- 



///— ir,_i = uv— 17, 



la différence \v L — (V/_, est égale à ( — i)' +l (-®i-r- 4*i)i ^ e sorte 



(ju on a 



(5) 



(T/ =3 M -+- Cp! — Cp 2 -f~. 

— i — «4^ 1 — 4*2 -+- - 

U i = « ~ '0| — Ç a -+- . 

■+■ 'h — 4»*-k 

17' — " — t" © 1 — ' 2 — i - • 



-h - ' 



?/» 



¥/-!, 



rz es 



fi 1 



f'i 



— "2i!> - 

en un mol 

(6) lu M. 0) l -: // q, tp,-H...i y, : 'fi +1 • •• t*i 

où / ci /.' ( <|ni difTèrenl entre eux au plus <l • uni lé | spnl resp< i 

livement les nombres de lignes P/, , P^ et Qj i Qa qu'il faul traver- 
ser pour aller de ( ) en M . 
( )n peul encore écrire 

(7) U 11 'l> M'. 

où 

( <l> — tp, h cp 2 -l- : : ©/, 

(S) 

V = <li -d/ t + ...dnl it . 

f*>. La fonction U ainsi définie est celle qui donne la solu- 
tion du problème précédemment posé. Il suffit d'appliquer à 
celle fonction et à la fonction 3 la formule fondamentale dans 
Taire OP^QO. 

L'arc |jv coupe toujours deux (exactement) des lignes P/P/ + ij 
Q1Q/+1 : soient I son point d'intersection avec un are P t P/ +( , 
k son point d'intersection avec un arc Q/,Q/ 1+ | (A- étant égal à 
i — 1, à/ouài+i); on aura 

i h 

gQ = ^( *>h « )P;. +2 ' Wh ' Z > 0*' + Ô ( _ ' } ' { ?/ + ' S j ' 

A = o //' =0 

1 . w . , i /' dV , 1 / <:/l . 

\ 4- - (— 1 )* • ( ^a + 1 * )k~ - z-T- ds - - z-r- ds 

-+■ I I - I U -= 2 — r- ) c/s -h U ^ 1 (0 ^/.r — a <lv 1 . 

Jp LA <t> ,h ) - J 

où s désigne, comme dans l'article : Sur un problème mixte aux 
dérivées partielles, l'arc de contour et v la conormale à ce con- 
tour, définie comme dans l'article en question (M. 

r) bis. En substituant à l'arc Bv, comme limite de Taire d'inlé- 



(') Cette formule est relative à la disposition de figure admise dans le texte, 
c'est-à-dire suppose que UP est parallèle à l'axe des X et <><,> à l'axe des .1 . I ».oi- 
le cas contraire, il faudrait changer les signes des termes intégraux. 



— 230 — 

g ratio n, deux caractéristiques menées (dans !<• sens des ./ el desy 
croissants, cctlc fois) pur un second poinl O', on reconnaîtra, 
absolument comme nous l'avons fait pour le problème II, dans 
l'article cité ('), que noire fonction U ne change pas quand on 
permute les deux points dont elle dépend, en même temps (pie 
l'équation donnée avec son adjointe. 

U, considéré comme fonction du point O, satisfait donc à l'équa- 
tion donnée. Il a la l'orme ty t Vi OU Wi suivant que, considéré 
comme fonction de O', il avait la forme c/, m ou 07. 

(). La situation de l'arc (3v par rapport aux lignes de disconti- 
nuité de U est, de même, liée très simplement à la position du 
point O dans l'une ou l'autre des régions énumérées au n° 2. Les 
deux caractéristiques P 4 -P,- +l , Q*Q* + i rencontrées par fiy sont 
parallèles entre elles si O est dans une des régions latérales, per- 
pendiculaires s'il est dans une des régions médianes. 

Dans ce dernier cas, il est vrai (où Ar=i), deux dispositions 
sont possibles; l'arc py pouvant laisser le point 0/ +l en deçà (c'est- 
à-dire du même côté que O) ou au delà; et cette disposition 
dépend d'autre chose que des régions précédemment énumérées. 
Il pourrait sembler, au premier abord, qu'elle intervient d'une 
façon essentielle dans la solution, si l'on se bornait à définir U 
comme nous l'avons fait au n° 3. Les résultats du n" i et la for- 
mule (9) montrent qu'il n'en est rien, Jes termes introduits res- 
pectivement par les deux séries de discontinuités étant totalement 
indépendants les uns des autres. 

7. De la solution qui vient d'être développée on passe très sim- 
plement à celle du problème de M. Goursat pour la figure formée 
par les deux arcs AB, AC, situés dans un même angle formé par 
les caractéristiques issues de A. Il suffit de supposer que l'on 
prenne sur AB, AG respectivement deux points £}, y, qu'on les 
joigne par un chemin quelconque (incliné, par rapport aux carac- 
téristiques, comme nous lavons supposé dans ce qui précède ), 
puis que cet arc pv devienne infiniment petit, ses deux extrémités 
tendant simultanément vers le poinl A. Dans ces conditions, les 

(') Sur au problème mixte aux dérivés partielles t n° 5. 



281 - 

jioinis P,, <), seront évidemment en nombre infini ainsi que les 
fonctions o/, y/ el les sommes qui figurent dans la formule 
seront Lransformées en séries. 

S. Il reste à savoir commenl les louchons I . 1 , l . h k se compor 
teronl à la limite. Nous remonterons, pour cela, à la formation 
de ces fonctions par la méthode d'approximation employée par 
M. Picard pour résoudre le problème don l nous avons parlé plus 
haut . 

Eu appelant PP, etPpdeux lignes, l'une caractéristique, l'autre 
quelconque ( • ), se coupant à angle aigu, et sur lesquelles on donne 
les valeurs de l'inconnue z (concordantes en P), celle méthode 
consiste, on le sait, à déterminer tout d'abord, par ces données 

<)'- z 
aux limites, une solution z Q de l'équation 



dx (>y 



o, c es 



t-à-d 



ire 



une quantité de la forme X + Y(où X ne dépend que de X et ^ 
de y). 

Supposons, comme nous l'avons fait, que PP, soil parallèle à 
l'axe des y : alors Y sera la valeur donnée z au point m', projec- 
tion du point considéré M(.r,y) sur PP,. Quant à X, on l'ob- 
tiendra en menant par M une parallèle à PP ( , jusqu'à rencontre 
en ni , {Jig- 3) avec PJ3, et projetant à son tour le point m { en m\ 



\\ + . 3. 




sur PP|. X est alors la différence (nulle en P) des valeurs de 
en m { et m\ . 



(') M. Picard prend, pour équation de Pp, y — x. La méthode esl la même 
pour le cas de P£ quelconque, les deux cas se déduisanl d'ailleurs l'un de I aulrc 
par un changement de variable évident opère sur x ou stn l 



— 2.>2 - 
c étant ainsi défini, on aura 



U<>) 



• • 1 



les intégrales doubles étant étendues au rectangle Mm { m ! m\\ 
puis 

(il) Z = Z -+-Zi-h. ..-+--SA--4-. . •• 

L'intégrale double 

1= f ffdxtly. 

étendue au rcetangle M di { m! m\ , considérée comme fonction des 
coordonnées x, y du point M, a Jes dérivées suivantes : 

dl f'"'fs7 

T" = — / J dx i 



£ = !.. Id ^ p i ■''''■"■ 



en désignant par p le coefficient angulaire —- de la tangente à la 

ligne Pp au point m t . 

Nous supposerons que ce coefficient p est inférieur en valeur 
absolue à un nombre fixe K ('). Cette condition est vérifiée pour 
pour nos deux lignes AB et AC si, ayant une courbure déterminée, 
elles ne sont tangentes en A à aucune des caractéristiques issues 
de ce point. Nous ferons donc, dans ce qui suit, cette hypothèse 
restrictive. 

Soient, dans ces conditions, M le maximum du module de ^ \ 
M, celui de la dérivée V: \L celui de la dérivée Y'; H celui des 
coefficients de l'équation ; ç, = Mm' et r, = M /h, les deux dimen- 

(') Le calcul actuel subsiste donc pour le cas où la li^ne PJ3 esl normale à 
PP n niais non pour celui où elJe lui est tangente. 



lions (lu rectangle <l intégration, dans les formules | 10). ( >u aura 

dz i 



ày 

àz\ 

'>./■ 



JHl M ; M, M 
<(/>$-+-*))H| M VI, M,), 



|*i| <(/>^+&vj) H(M-hMj M 

Celle dernière valeur est d'ailleurs, avec la précédente, dans un 
rapport que Ton peul limiter a priori, connaissanl des Limites 
supérieures de ; <i de y,, <'i qui est même aussi petit qu'on le veul 
si ces limites sont suffisamment petites. On peul donc en faire. 

. . . .. . dz\ . dz\ 

abstraction pour maiorer l'expression a-. h b - cz». sous 

' J ' ()./■ <)y 



condition d'augmenter convenablement H. 



àz\ 



dz< 



De la limitation ainsi obtenue pour a'-r- +6-7- — \-CZt. on 

1 ().r ())■ 

déduit par intégration de o à ; par rapport à ç, ou de à i\ par 
rapport à tj, des limites supérieures pour z 2 et ses dérivées pre- 
mières; en poursuivant ce calcul, on voit sans difficulté que z f , et 

ses dérivées sont inférieurs à la quantité 



, m + AI, +M 2 ) 



Ui 



i\V 



k\ 



H, ne dépendant que des coefficients de l'équation et de la quan- 
tité désignée précédemment par K (autrement dil, de la forme de 
la ligne Pp). 

^ — ^ et ses dérivées premières sont donc inférieurs à 

(M. + M, -f- M 2 )[e"' , ' H_r «' — 1], ou (du moment qu'on a limité z 

et r^) à 



(12) 



H^M-hMi + MOCÎrf-ii), 



H 2 ne dépendant que des coefficients de l'équation, de la quan- 
tité K et des limites supérieures de ç, /,. 

9. ISous ne nous servirons toutefois de celle première évalua- 
tion que pour Rappliquera la fonction U qui figure dans l'article 
cité : Sur un problème mixte aux dérivées partielles • autre- 
ment dit à celle que nous appelons U\ ou c, dans notre nota- 



— 254 — 

lion actuelle). Celle fonction élanl définie par ses valeurs sur 
Tare de courbe cl celles qu'elle prend sur un segment de caracté- 
ristique (valeurs dont les premières sont nulles et les secondes 
immédiatement liées à la fonction de Riemann), nous voyons, par 
ce qui précède, que l'on connaît des limites supérieures de U et 
de ses dérivées premières par rapport aux coordonnées du point M, 
si l'on a limité les coordonnées des deux poinls et le coefficient 
angulaire de la tangente à la ligne Pj3. Des calculs tout semblables 
étendraient cette conclusion aux dérivées d'ordre supérieur. 

D'autre part, nous verrons plus loin qu'elle subsiste également 
lorsqu'on diflerentie, non seulement par rapport aux coordonnées 
du point M, mais aussi par rapport à celles du point O. 

Ces résultats relatifs à la fonction U nous permettent d'assigner, 
à la fonction z que nous avons considérée au numéro précédent, 
une limite supérieure plus avantageuse que la première. Il suffit 
pour cela partir de la formule (*) 



I zm = {uz) mi -*-{uz) m > — u mi é '». z /n [ 

(*3) ' 

qui peut s'écrire 



03') 



•M = (w>3)'"i + U> m >{z m z m\) 






r'"\ 

I h dx .1 ti 

Les quantités u Mi — 1 5 u m — u mi e '"* , t— — a\J, -r- ont 

toutes des limites supérieures de la forme H 3 7j(où H ;( est limité de la 
même façon que H, et H 2 ). Cela résulte, pour les deux premières, 
de la forme de la fonction de Riemann; pour les deux dernières 
(moyennant les limitations obtenues au numéro précédent) de ce 
«pic les valeurs ( 2 ) de U sont nulles sur P '/??, et proportionnelles à r. 



(') Sur un problème mixte aux dérivées partielles, u° i. 
(*) JOUI., 11° '1. 



- 3N.N 



Mu'///, /// ( . Si I on remarque que z,„ z,„ esl !<■ produit de t { paj 



dz 



une valeur <!<■ sur Pl\, on nnii (''crue 
dy ' 



M I » 



•M — 5 Wj 



H.rJ I 5i 



M) 



on 



04') 



| SU ! < (14-H^î) )| z /llx l-f-H^T) M 



Il -, élant une quantité analogue à H t , H 2 , M ;{ ; M , une limite supé- 
rieure «les modules de s cl de sa dérivée sur PI', ; ///_,, ///.,, des 
points de l'arc V ni i . 

La formule (i'3) fournit également des limites supérieures des 
dérivées de s, savoir : 

Pour -j une combinaison linéaire à coefficients finis de M et du 

maximum de \z\ sur P//i ( ; 

Pour --j une combinaison ôc> mêmes quantités et de la dérivée 

ox ■ 

-~ prise en ///, suivanl la courbe V m K . On a 

(i5) y- =^2ie^M 4-H i s JW ,+ H i M 1 



où la dérivée ---— est prise le long de la ligne P/W|, m 5 élant un 
point de cette ligne; H ; , JH C des nombres finis. 

10. Cela posé, revenons aux fonctions b 4 - cl •}/. Nous pou sons 
en indiquer immédiatement les valeurs sur les lignes de disconti- 
nuité correspondantes. On a, évidemment, sur une ligne P/P^i, 



(16) 



CD; — — C 



r v C W f, 

I lui v-\- j ii ih-\ I li il > 
1 l I» l P, 



Il esl clair que la série des intégrales est absolument conver- 
gente si les coefficients restent finis. Donc les valeurs considérées 
des ©j tendent vers une limile A différente de zéro, et même la 

h'ie V[cp, + , < P, + , ) — ?/(P»0] converge absolument. 
Ceci nous permet, loul d'abord, de voir ce (pie <lc\ ienl lorsque t 



se 



— 256 — 
augmente indéfiniment, la somme 






qui figure dans la formule (9) el peut s'écrire sous Tune ou l'autre 
des deux formes équivalentes 

(*7) >?(_ , ,/m-i (?/i - )P/( = y](- i)'" -1 ( o h M s)p a . 



Pour i=zcc, on a une série, laquelle est divergente, puisque le 
terme général ne tend pas vers zéro. Mais, en groupant les ternies 
deux à deux, on obtient au contraire les deux séries 

(18) — [(*<?o)p — (-*?i)Pi] — L(-?2>i», — (-?3)r> ; J — • 

(18') — .(-scpo)p-^[(2 0i)p, — (<s?2)p,] ■+■ [(-?;i)r, - (-'fi)i', I 

qui sont toutes deux convergentes. Du moins, il en est ainsi si les 
valeurs de z sur chacun des deux arcs donnés tendent, lorsqu'on 
s'approche du sommet de l'angle, vers une même limite ; A , et cela 

de manière que la série ^(^p, ;i — ^i>,) soit absolument conver- 

gen te . 

Dans ces conditions, en un mot, la série (17) a deux sommes, 
suivant qu'on s'arrête à un terme de rang pair ou à un terme de 
rang impair. 

La différence de ces deux sommes étant Xs Aj la quantité 

(19.) S( <y **) p »" t " ^(— 0' ('f/+i-)i 



qui figure dans la formule (9), tend vers une limite parfaitemenl 
déterminée, à savoir la moyenne des deux sommes en question ('). 
Cette limite [somme généralisée de la série (1 7) au sens de Leibniz- 
Borel] sera désignée par S. 



(') ISous admettons ici, comme nous serons conduits à le faire plus loin, que les 
valeurs de z tendent vers sa lorsqu'on s'approche de A d'une manière quelconque 
à l'intérieur de l'angle BAC. 



— ±:>i — 

I )«• môme les quantités <|j/(Q/) icndronl vers une Limite (*) ut, 

ci ht quantité 

/. 

o 

vers une limite S'. 

II. Les valeurs (i*>) dune fonction quelconque ©^ jouent, 
dans sa détermination, le rôle de La fonction que nous appelions 
toul à L'heure \ : il est donc certain que cette fond ion et sa dé- 
rivée ont une limite supérieure indépendante de i. 

Nous allons montrer que les valeurs des |©/| (niais non, cette 
fois, de leurs dérivées) sur les arcs AP, A.Q, et, par conséquent, 
aussi dans tonte la région qui nous intéresse, sont aussi infé- 
rieures à un nombre fixe. 

Appelons, pour abréger, conséquent d'un point de Taie \l>, le 
point de l'arc AC qui a même abscisse, et conséquent dam poinl 
de l'are AC, le point de AB qui a même ordonnée, le premier 
point étant, dans l'un et l'antre cas, appelé l'antécédent dit se- 
cond. L 'antécédent et le conséquent occupent, l'un par rapport à 
l'autre, la situation des points /?*, et M, considérés au n M J ; c'est, 
en particulier, l'antécédent de M qui jonc le rôle du point /y/, 
lorsqu'on calcule une fonction o,< en M à l'aide des fonctions pré- 
cédentes par la formule (i3). Le segment désigné, an n° 9, par Tj 
est parallèle tantôt a l'axe des x (si le point M est sur AB), tantôt 
à l'axe des jy (si M est sur AC). 

Cela posé, la valeur d'une fonction o. 2 i (par exemple) en un 
point IVI de l'arc AP est liée, par l'inégalité (i {'), à la valeur de 
cette même fonction, ou, ce qui revient au même, de © 2 *_ i ( '" llM 
point m^ de AQ plus éloigné de A que l'antécédent de M. Celte 
dernière valeur est liée d'une manière analogue à la valeur de ©2*-s 
en un point de AP plus éloigné de A que L'anlécédenl de »tj, le 



(') Cette limite est égale à la précédente lorsque l'équation es! .1 invariants 
égaux. Mors, en effet, b dx ■+• a dy est une différentielle exacte, et l'on a 



>. , 



/ h il c . a il\ 



— 258 — 



nouveau segment yj étant, celle lois, celui qui joinl /// :1 à son anté- 
cédent, et ainsi de suite. 

Il est clair que les différents segments 7} forment une série con- 
vergente, dont la somme est toujours inférieure à la somme n des 
deux coordonnées du point O, rapportées aux axes SB', ■/•/. Il 
en résulte sans difficulté (') que les ©/ sont finis, comme nous 



l'avions annoncé. 



12. On peut même aller plus loin. Considérons les conséquents 
successifs d'un point quelconque M de AB ou de AG et la valeur 
(pie prend, au i leme de ces conséquents, la fonction ©/, On a ainsi, 
en faisant varier j, une série de quantités qui tendent vers une 
limite L C'est ce qu'on voit immédiatement en partant non plus 
de l'inégalité (i4')j mais de l'inégalité ( 1 4 ) ? I e second membre de 
cette inégalité étant le terme général d'une série convergente. La 
différence entre / et le terme initial o (M ) est au plus de l'ordre 
de la somme de cette série, c'est-à-dire de 2H/,;)ïla- , Oïl étant le 
maximum des | ©,- | et <7 la somme des deux coordonnées de M . 

Mais, quoique les conséquents successifs tendent toujours vers 
le point A, la limite l est variable avec le point M . En effet, 
lorsque M coïncide avec P, / est donné par la formule (iO); et, 
d'autre part, lorsque M tend vers A, / tend vers — u A [puisqu'il 
en est ainsi pour <p (M ) el que c tend vers zéro]. Or ces deux 
valeurs de / sont évidemment différentes en général. 

13. Passons aux dérivées premières des o/. Ces dérivées sont 
de deux sortes. Nous appellerons dérivées parallèles les dérivées 
des z> 2 i par rapport à x, ou des © 2 i + i par rapporta y, qui jouent le 
rôle de ce qui était, au n° 9, une dérivée par rapport à r ; dérivées 
perpendiculaires, les dérivées des z> 2 i par rapport à y, ou des 
'^•ii+\ par rapport à x. 

Les dérivées parallèles restent finies, en vertu de l'évaluation 

obtenue au n° î) pour — • 

1 Ov 



(') En ell'et, soit II- le produit des i premières valeurs de i -+- 1 1 4 r, . Ce produit 
est toujours inférieur à c li S. Il en résulte [en divisant l'inégalité (ij) par II,] 
</uc s ( - est intérieur à 

;Yc<e"W < - ll.M V r ' ) ;eH<*(i-f.II 4 M»). 

\ ^ ^ u, / 






— :>;«> — 

H ne saurait évidemmenl en ôtre de môme pour les dérivées per 
pendiculaires, d'après ce < j u<- nous venons <!<• trouver au n n 1*2. 

()n peul, d'ailleurs, vérifier directement que ces dérivées 
augmentent indéfiniment. Partons, par exemple, «le l'équation 

3, en supposant une \l> el ^.C soienl deu** droites. de 

(/./■in ' ' • 

coefficients angulaires ai el a' = -■ Les ©,- successifs sonl imh 

égaux à i sur les segments correspondants de la ligne brisée 
OPP| Pj...,. et leurs dérivées parallèles sont nulles dans les mêmes 



d«p 



Oo, 



conditions. Soienl />„, 7, les dérivées perpendiculaires — el rl au 

point, r : />, , <y > les dérivées -f- > — — au point r, ; etc. « )n a 

/'o - Ôï\ 

/>, = <xp PP,, 



/>î= a/>,- ; - l'ii'j, 



en général : 



d'où 



avec 



PI 



/'mi — */■/ = H/P<+i = — - 

a' 



a' 



; , = a. lM', 



A = Â'+OP 



a- — i 



/>; croît donc indéfiniment comme a 1 . 

Nous pouvons, par contre, limiter Ja croissance de ces dérivées 
perpendiculaires à l'aide de l'inégalité (i5) (n°9). Supposons que 
Jes deux lignes données AB et AC ne soient pas tangentes entre 
elles, de sorte que leurs coefficients angulaires soient a et a' <^a. 
L'inégalité en question montre ( 4 ) que le maximum de la dérivée 



perpendiculaire de <p; croit au plus comme ( i 



(') Le nombre par lequel il faut multiplier la dérivée perpendiculaire de s en 
un point pour obtenir [abstraction faite d'un terme additif provenant des termes 
Hj2/n s +H 6 M qui figurent dans la formule (i5)] celle* de ? au deuxième 



— 2(il> — 

Des évaluations ainsi faites sur les ^, résulter] I celles qui con- 
cernent U, savoir : 

i° U croît au plus comme l'indice /; 

Puis, en supposant toujours que nos deux lignes ont des tangentes 
distinctes : 

2° Les dérivées premières de U croissent au plus comme 



v 



( 20) / U z ( b dx — a dy) dz - ( U dz — z d\] ), 

Jfi 2 



Considérons un segment de caractéristique tracé entre \Bet AC 
S'il est compris dans la région d'existence de o/ 3 sa longueur est 

i 

au plus de l'ordre de ( — ) • Donc la variation totale (Jordan, 
Couis (V Analyse) de U le long de ce segment est finie. 

\\. Dans ces conditions, nous sommes en mesure de passer à la 

limite dans la formule (9). Nous prendrons à cet etTet, pour [ày, un 

segment de caractéristique, de sorte (pie l'intégrale suivant py peut 

s'écrire ( ' ) 

Y 

P 

le signe -+- devant être pris si fiy est parallèle à l'axe .r, le signe — 
dans le cas contraire. Le terme ±- Vdz sera intégré par parties, 
ce qui donnera un terme tout intégré 

( 2 r ) ± ~ I d{ U ~ > = 7 ( ' ~~ ' )l ( ?'' +1 * )* "^ ^ "~ r )7 ' ' î*- 1 " 1 s ,K 



01 

séquent de ce point peut être un peu plus grand que — en raison : 1" du facteur 

exponentiel eS a 'h '; 2 de la courbure des lignes données. Mais il esl aisé de 
voir que les facteurs supplémentaires qu'il serait nécessaire d'introduire pour 
tenir compte de cette circonstance donnent un produit convergent, si VB et V.C 
ont une courbure finie, et même si ces lignes ont en V une singularité algébrique. 
11 suffit même (on s'en convainc aisément), pour que le produit du maximum de 
la dérivée perpendiculaire de ?, par le segment P- 1\ +1 reste fini, que la cour- 
bure de chacune des lignes \B, VG garde un sens invariable au voisinage de A; 
plus généralement, encore, que le coefficient angulaire de la tangente soit à 
variation bornée. 
(') La conormale v est définie, rappelons-le, par les relations 

<Ix dx dy <l Y 

(h (ts d\> ds 



- 201 

(puisque U esl nul au* extrémités), terme qui viendrait doubler 
le terme semblable de la formule (9), h un terme intégral 

•1 - / Vzdxl.r — adj d\ . 

Nous imposerons à la fonction inconnuez la condition oVèlre 
parfaitement continue au voisinage de \. <!<• sorte que 
z = 3 A + s? ou s esl infiniment petit. Alors dans l'intégrale (21 . 
I.i partie provenant de £ tend vers zéro, puisque la variation totale 

de U esl finie. Le reste de l'intégrale se réduit à qp z k f du. Il 

change donc le signe des termes (21). (Tout se passe, en somme, 
comme si nous avions intégré par parties, non le tenue LJ <lz, niais 
le terme zdU, sauf que le détour employé nous dispense de faire 
des hypothèses sur l'ordre de grandeur des dérivées de s.) 

On voit donc que, si l'équation (1) admet une solution z satis- 
faisant aux conditions aux limites données et continue en A, cette 
solution est forcément donnée par la formule 



«o = . 1 . 1 ™ < ir^Mcp/^n»,, 



(22) ^ 



2(-l)* +1 (<PA*)P 



A=0 

A- 



+ ll(-')* +l (*^)w+ ï / '-37*-/ "37* ' 

les termes ( — 1 )' (o/ +1 5^-f- ( — 1 )*(^rt+i 5 ) K ayant disparu comme 
nous venons de le voir. 

15. H y a lieu de se demander si la restriction que nous venons 
d'imposer à z n'est pas purement artificielle. Il n'en est rien : cette 
restriction (ou, du moins, une restriction de cette espèce) est im- 
posée par la nature des choses. On pourrait rechercher des 
fonctions z satisfaisant à notre équation et tendant (quoique non 
uniformément au voisinage de A) vers les valeurs données lorsqu'on 
s'approcherait d'un point quelconque de AB ou de AC; mais le 
problème ainsi posé est tout à fait indéterminé. 

Il suffit en effet, pour obtenir une telle solution -, de la déter- 
miner par les valeurs données sur AI), AC et par des données de 
Cauchv arbitraires sur une ligne B( 1 relianl les arcs donnés : c'est 

XXXII. I" 



— 202 — 

le problème posé au n"2 et résolu aux n" s 2-(), l'are BC jouant, 
celle fois, le rôle de [âv. 

On peut, d'ailleurs, imposer à z la condition d'être continu 
(ailleurs qu'en A) ainsi que ses dérivées jusqu'à un ordre déter- 
miné quelconque, pourvu que des conditions de continuité cor- 
respondantes (supposées vérifiées sur AB et sur AG) soient aussi 
imposées en B, en G et le long de l'arc BC. 

16. Si le second membre de la formule (22) ne tend pas vers une 
limite déterminée, le problème est impossible. 

Nous allons voir que la limite existera si les maxima de \z — z A \ 
sur les arcs P/Q/ + i, Q; P/ + | forment deux séries convergentes. C'est 
ce qui arrivera, en particulier (puisque, dans nos hypothèses, les 
segments AP/, AQ; décroissent en progression géométrique) si les 
valeurs données vérifient la condition de Lipschitz ou même la con- 
dition moins restrictive 



(a3) |* M -*A|<AM r (p>o). 

Pour établir la conclusion que nous venons d'énoncer, nous 
aurons à étudier les intégrales 



r v d\] . r Q dV . 
/ z —r- as, I z —z- as. 
t/ft d* J v d» 



P 

U étant donné par la relation (7), nous pouvons, par exemple, 
nous borner à l'étude de 



x 



Posons 



d<\> , 

— — as. 



$ = <!>' — <p% 



<î>' désignant [dans le second membre de la première formule (8)] 
la somme des termes pris avec le signe -f- (c'est-à-dire d'indice 
impair) et <ï>", la somme des termes pris avec le signe — . On peut 

écrire 

rhV . d<i>' , &&' , , , <W . 

—7- as = — dx a y = <7«1> — 2 — ay, 

di dx Oy ' ôy ' 

d<V (Jfy' 

—r— ds = — </<K h- 2 — — dx, 
d> OX 1 

la transformation étant, chaque fois, dirigée de manière à faire 



— -203 — 

apparaître, au second terme, une dérivée parallèle. Les dérivé» 
de cette espèce croissant, pour <!>' el pour •!>". au plus comme /. 
les Intégrales correspondantes sont évidemment finies. Dans l'inU 
g raie 

••' i ■ i 
/ / ' l> ''• 
/ Z (l , 

• h, 

nous remplacerons z par (z — *a)H- z \-> rl ' ;| partie correspondanl 

à z — c A sera finie (puisque la variation totale de — SUrchactlD 

des arcs P/Qi+i, Q^P^i est finie) moyennant l'hypothèse faite il \ ;i 

un instant. Si l'on tient compte des termes analogues en ,- el d< 

ceux qui sont relatifs à Tare AC, — en remarquant que, la 

fonction > par exemple, s augmente de 9/ chaque lois qu on 

traverse (en se dirigeant vers A) un point P/, — la formule (22) 
s'écrira 




+ f * \ L £ d * 

-4- / (z — z k )d 



d(&—W") , ô(<\>" - V) , 
ax— - dy 



ff)'_l_ <I>" \\?' __ \\ 



Of 



formule dont tous les termes ont un sens. 

17. Nous avons ainsi établi l'unicité de la solution el la conver- 
gence de l'expression (22), moyennant les hypothèses suivantes : 
i° aucune des lignes AB, AC n'est tangente à une caractéris- 
tique; 2 ces lignes ont, en A, des tangentes distinctes; 3° la va- 
riation totale du coefficient angulaire de la tangente sur chacune 
d'elles est finie (n° 13, note); 4° la valeur de r sur chacune 
d'elles satisfait à l'inégalité (23). 

Il y aurait, sans doute, lieu d'examiner ce qui se passerai! -1 I on 
renonçait à quelques-unes de ces conditions, qui ne sont probable- 
ment pas toutes nécessaires, surtout la première. Je laisserai toute- 
fois cette question de côté et m'occuperai seulement d'établir que 
la fonction formée comme nous venons de I indiquer remplit bien 
les conditions de l'énoncé, 
x x \ 1 1 . 



— 204 — 

En premier lieu, si le point O est sur AB ou AC, il est aisé de 
voir que tous les termes de (22) se détruisent, à l'exeeplion d'un 
seul, égal à la valeur donnée en ce point. 

Ceci, il est vrai, ne serait pas suffisant pour affirmer que z prend 
cette valeur, ceci impliquant la continuité. Nous établirons cette 
dernière en calculant les dérivées de z. 

18. Reprenons pour cela, comme nous l'avons fait au n° 8, une 
fonction ;, solution d'une équation de la forme (1), déterminée 
par ses valeurs suivant les deux lignes PI',, Pp. Supposons que 
ces valeurs dépendent continûment (ainsi que les dérivées pre- 
mières V, Y') d'un paramètre t. Si les quantités M, M,,M 2 du 
n° 8 sont toujours finies, z sera une fonction continue de t. Gela 
est, en efFet, vrai, pour chaque terme de la série (1 1), laquelle est 
uniformément convergente. 

Cette conclusion reste vraie si [la courbe Pp restant fixe (')] 
l'abscisse de la verticale PP, dépend (continûment) de t. 

On déduit aisément de là que, si les données sont dérivables par 
rapport à /, il en est de même de z (pourvu que les M, M, , M 2 relatifs 

à -r- soient finis). Si l'abscisse de PP< est indépendante de £, celte 
dérivée sera la solution de (1) qui prend, sur PP, et Pp, les va- 
leurs — • Si, au contraire, l'abscisse de PP, a, par rapport à /, une 
dérivée égale à x, la dérivée de z sera la fonction qui prend, sur Pp, 
les valeurs -r- cl, sur PP,, les valeurs 



(•24) 



\dt J dx 



dans laquelle la dérivée (y-) s 'obtient en prenant pour variables 

indépendantes t et z (# étant constamment égal à l'abscisse 
de PP,). 

19. Dans le cas qui nous intéresse actuellement, / désigne Tune 
ou l'autre des coordonnées du point O. 



(') Rien n'empêcherait, l»ien entendu, d'établir un théorème analogue en fai- 
sant varier ta courbe, M;iis ce théorème ne non-- sera p;is utile. 



- *68 - 

La dérivation «le la valeur de ~ n introduira évidemment les dé- 
rivées de 2 par rapport à I arc s du contour donne <i il <->i mani 
festemenl nécessaire que ces dérivées existent. Nous supposerons 
de plus que (le poinl M tendant vers \ ; elle ne croissenl pas pin-, 

vile que t . ; ce qui entraîne l'inégalité (a3). 
A.M 

Dans ecs conditions, la série 

.— V Ot J p h Jmmd \ t/.S Ot ) |.,, 



sera convergente (et cela uniformément pour toute position <lu 

point O non infiniment voisine de A) parce (pic — tendra vers zéro 

h 

/ a'\ 2 ,. dz , , , ,. . 

comme ( - I > tandis que -7- n augmentera indéfiniment que 

comme ( — ) 

Les autres termes de -r(^o) ne contiennent que les -f- 1 '• ( )i 

at x ^ ' l ot ot 

ces dernières quantités sont finies ainsi que leurs dérivées paral- 



lèles. 



e)cp/ 



Sur la ligne P,_, P,-, en effet, — - a l'expression (24), où le second 



dz 



dz 
terme peut être nul. — - est une dérivée perpendiculaire, cpii croit 

i 

comme ( — ] ; mais x (s'il n'est pas nul) tend vers zéro d'une ma- 
nière précisément inverse. D'ailleurs, les dérivées de cette expres- 
sion (^4) par rapport à y (dérivées partielles) sont également 

finies, grâce à ce fait que — P- s'exprime linéairement en fonction 
70 *■ àx oy r 

1 à^i dot 
(to dy • 
D'autre part, sur BAC, les relations ©/== cp t _, donnent 

rj£ "" Ot 



do,- 
lauc, sur les 

les ^ (n" s 11-13). 



Donc on peut faire, sur les -p, les mêmes évaluations cpie sur 



— 203 — 

En un mot, les séries obtenues en diiFéren liant la formule (22) 
convergent uniformément et représentent, par conséquent, les 

dérivées premières de z au point (). 

20. D'autre part, en ce qui concerne le problème 11, ou le pro- 
blème posé au n° 2 du présent travail, on sait que la fonction s 
obtenue [formule (9) du travail actuel, ou Sur un problème 
mixte aux dérivées partielles, formule (4)] vérifie l'équation aux 
dérivées partielles. Cela résulte de ce que la possibilité des deux 
problèmes en question est acquise, et cela se voit d'ailleurs sans 
aucune difficulté en se servant de la remarque du n" o bis. 

Comme on est ramené à notre problème du n° 2 en limitant AB, 
\C par le segment pv, il résulte de là : i° qu'en différentiant la 
formule (22) par rapport à x et à y simultanément, on obtient 
encore une série uniformément convergente, puisqu'elle est une 
combinaison linéaire de l'expression (22) et de ses dérivées par 
rapport à x et à y; 2° que, par conséquent, cette série représente 
la dérivée, par rapport à & et à y, de la fonction 3, laquelle est 
bien solution de l'équation (1). 

21. Je terminerai par une remarque relaliw aux résultats 
exposés aux n os 3-6. 

Ces résultats concernent un problème déjà résolu, comme nous 
l'avons expliqué, au n° 2. Mais il ne faudrait pas en conclure qu'ils 
ne nous apprennent rien de nouveau. 

Si, en eflet, les opérations indiquées au n° 2 permettent de 
calculer la valeur de l'inconnue dans ebacune de nos régions suc- 
cessives I, j, i', II, 2, 2', ..., ce but n'est atteint que par une 
série d'applications de la méthode générale, c'est-à-dire par une 
série de quadratures superposées. 

Au contraire, si nous avons pu calculer, une fois pour toutes, 
les fonctions M/, c/, «»/, la formule (9) donnera z par des quadra- 
tures différentes, comme cela est dans la nature de la question, 
pour les différents arcs que nous avons été conduits à distinguer, 
mais portant directement sur les données. 

Or il est des cas intéressants au point de vue des applications 
et pour lesquels on connaît la forme des fonctions en question. 
Tel est, en particulier, le problème dont nous avions parlé au 



— -2(i7 — 

n° 2, celui de la propagation de l'électricité dans un câble limité 
dans les deux scii i. 

L'équation du problème esl alors 



(>./■ Oy 



<•! donne pour // une fonction de Bessel bien connue. 

Les lignes ^B, vC sont alors deux droites parallèles à x - \ <>: 
l'are (3y, un segmenl de droite parallèle à x -\-y = : o. 

Nous avons établi précédemment (') que, dans ces conditions, 
la fonction u x s'obtenait en retranclianl de et (M, O) la quantité 
tout analogue e/(M,co,), où o, esl l'image du point O par rapport 
à ( 3B. De même, on aura 

p, = K (M, O)— u(M, tù\ ) 

en désignant par («)', L'image de O par rapport à y G. 

Il est aisé maintenant de voir que le calcul des fonctions sui- 
vantes n'offre pas plus de difficulté. Soient w 2 l'image de (•>, par 
rapport à yC, w 3 l'image de w 2 par rapport à [jI>, ...; soient, de 
même, to.', l'image de co' ( par rapport à [jl>; co. p l'image de w!, par 
rapport à y G, .... Les fonctions 

o/ t = — a(M, o/, », ty h . = — u ( M, w/j ) 

satisfont à toutes les conditions que nous avons imposées aux 
quantités désignées par ces notations, dans les raisonnements qui 
précèdent. En particulier, ces quantités cp^, i|^ sont égales à i sur 
les lignes de discontinuité correspondantes. Ce sont elles qu'il 
faudra substituer dans les formules (6), (9), pour obtenir l<i 
solution cherchée. 

Soit, par exemple, 2 /la longueur du câble, adoptons les mêmes 
notations que dans l'article Sur un problème mixte aux dé- 
rivées partielles (n" s 6 et suivants), à ceci près que nous dési- 
gnerons par — /et -h / les abscisses des extrémités de ce câble, 
l'abscisse ç d'un de ses points devant ainsi être comprise entre 



(') Sur un problème mi. rie aux dérivées partielles, n s 



— 268 - 

— / et + /. Si Ton veut calculer la valeur de c pour- l'abscisse ;' 
cl à l'instant /', on devra prendre les images successives du 
point (ç', l') par rapport aux lignes Ç = db /. Toutes ces images 
correspondront à la même valeur t 1 de /; mais leurs abscisses 
seront 

pour les points (Ojj+i, S = Ui+i = (4* + *)/ — £' î 

pour les points to*/, É = £2/ — — 4*^~*~Çî 

pour les points to' 2/+1 , £ = ;' 2 / +1 = — (4* H- 2)/ — ;'; 

pour les points io' 2i -, ç = jj' 2 / = 4 1 "^ "*" S'ï 

après quoi, on aura [en désignant, comme dans l'article cité, 
pary(X) la fonction J (2 y/ — Xj, où J est la fonction de Bessel, 
et par £, ç les coordonnées courantes] 

?A = -/|i[(*-O f -(È-k)»]j, *A' =—y{M(*—0'— (6 — &•)•!}- 

Les lignes [3B, yG seront ? ==± / et l'on aura, sur elles, 

_ — ds = r " ^ • 

La ligne [îiy sera £ = o ; on aura, sur elle, 

ch ùt s 

Enfin, les points Pa correspondront à 

E =(—!)*/, * = f + ?— (a A ■+■ 1) /, 

les points Q/j-, à 

£=-(-l)'<7, /=/'-^(2A'+l)/, 

les entiers /*, h' devant prendre toutes les valeurs positives qui 
donnent /^o. a et b élant nuls, on a ainsi tous les éléments 
nécessaires pour calculer les formules (5), (6), (9). 



— *2(i!) — 

SUR UNE CERTAINE CLASSE DE CUBIQUES GAUCHES 
ET SUR DES SYSTÈMES ARTICULÉS QUI S'Y RATTACHENT; 

Par M. 11. Biucard. 

1. J'ai signalé, dans un travail antérieur (' ), certaines relations 
entre les cubiques focales (cubiques planes circulaires qui con- 
tiennent leur foyer singulier) et le quadrilatère articulé. Ces 
résultats s'appliquent en particulier à la strophoïde, qui es( une 
cubique foeale à point double. 

Je me propose d'étudier ici une classe de cubiques gauches, 
anxcj uelles je donne le nom de cubiques strophoïdales , parce que 
leurs propriétés généralisent celles de la strophoïde, qu'elles com 
prennent d'ailleurs comme eas particulier. Le principal intérêt de- 
ces courbes me paraît résider dans le fait qu'on peut y rattacher 
divers systèmes articulés gauches : en premier lieu, l'octaèdre 
aplati s sable auquel j'ai été conduit autrefois par des considéra- 
tions toutes différentes (-) et c'est l'obtention de ces systèmes 
articulés qui constituera l'objet essentiel de cette Note. J'attirerai 
cependant l'attention sur un résultat d'un caractère analogue au 
théorème de Poncelet, qui se trouve énoncé au n° 7. 

2. Voici la définition des cubiques gauches strophoïdales (ou, 
plus simplement, des strophoïdales). J'appelle ainsi une cubique 
gauche jouissant des propriétés suivantes : 

i° Elle rencontre V ombilicale en deux points i et i' ; 

•2° Sa projection orthogonale sur un plan (II) ayant pour 
droite de V infini ii! a son point double à tangentes rectangu- 
laires : cette projection, qui contient les points cycliques du 
plan (II), est donc une strophoïde ( 3 ). 



(') Ce Bulletin, t. XXVIII, 1900, p. 3g. 

(-) Mémoire sur la théorie de V octaèdre articulé (Journal de Math, pures 
et appl., 1897 )• 

( 3 ) Il ex i -t < une corde unique de la slrophoïdale, perpendiculaire au plan Ml); 
si les deux extrémités de cette corde viennent à se confondre, l-i slrophoïdah m 
réduit à une cubique plane circulaire, avant un point double à tangentes 1 
[.angulaires, c'est-à-dire à une strophoïde. 



- 270 — 

l ne cubique gauche, pour être strophoïdale, est assujettie, on 
le voit, à trois conditions. La strophoïdale la plus générale dépend 

donc de ia — 3 = 9 paramètres, dont trois seulement sont des 
paramètres de grandeur, les six autres étant des paramètres de 
position. 

3. Soient T une strophoïdale, et, conservant les désignations 
précédentes, i et i' les points où elle rencontre l'ombilicale, (II) un 
plan dont la droite à l'infini est II'. Il existe une corde unique de T 
perpendiculaire au plan (fï). Soient a et [3 les extrémités de cette 
corde. 

Les points a, (ii, /, i' forment une division harmonique sur la 
strophoïdale X (les deux premiers points étant conjugués). 

Soient, en effet, at et [i> u les tangentes à F, en a et (3. Les 
plans (oipl) et (ol$u) sont rectangulaires, d'après la définition 
même des strophoïdales. Autrement dit, les quatre plans (a^/), 
(apu), (a t 3/), (oifli') forment un faisceau harmonique (les deux 
premiers plans étant conjugués); mais le rapport anharmonique de 
ces quatre plans est égal à celui des points a, [3, i, i' ; donc, etc. 

La plupart des propriétés ultérieures se rattachent à l'involution 
définie sur F par cette condition que a et [ii sont ses points doubles. 
Je dirai que deux points de F qui se correspondent dans cette 
involution sont associés. 

Le théorème précédent apprend que les points i et i' sont 
associés. 

j. Considérons deux points associés variables, m et m'. La 
corde mm' engendre une quadrique (P) qui, ayant une généra- 
trice i'i' rejetée tout entière à l'infini, est an paraboloïde. Je dirai 
que les cordes mm' sont, dans ce paraboloïde, les génératrices ( i ). 
Les autres génératrices seront dites : génératrices (2); chacune 
de ces dernières ne rencontre F qu'en un seul point. 

Soient alors s un point quelconque de F, SX la génératrice (a) 
de (T) qui passe en ce point. Cette génératrice sx est un axe 
principal du cô ne (S) qui a son sommet en s et qui a pour 
directrice F. 



— n\ - 

Considérons en effel <//.-• i) la irace I «lu cône (S sui le 
|)l«iii i II i. T, (|ui contienl les points cycliques i el /' de ce plan. 
est un cercle. Menons sa. el sfi el soienl -/„ el (3 Les trace; de i 
droites sur le plan (H); i el /' doivent être conjugm le 

cercle T, dans une mvolution 3 qui a pour points doubles a el 3 ; 
'■'■/'/ exige que les points ot e/ (3 -oient diamétralement 

Opposés sur T. 

Ti;;. I. 




Cela posé, soient m et m' deux points associés de T; .s/?/ et sm 1 
ont pour traces sur le plan (II) les points m et m' , qui appar- 
tiennent au cercle T et sont conjugués dans l'involution 3 ; la 
corde m m' o est donc perpendiculaire au diamètre a ^„. On voit 
ainsi que tous les plans tels que {sm^m'^) contiennent la droite 
menée par le point s perpendiculairement au plan (sy/l) : toutes 
les cordes mm' rencontrent cette droite sx, qui est par consé- 
quent la génératrice (2) de (P), issue de s. 

Mais le plan (safi) est un plan principal de (S); sx est donc 
bien un axe principal de ce cône \ c. q. f. n. 

Les considérations précédentes mettent encore en évidence les 
faits suivants, dont il suffit dénoncer les deux premiers : 

Si m et m' sont deux points associés de V. les droites sm 
et sm' qui joignent ces deux points à un point qu *.lconque s 

de T sont également inclinées sur le plan 1 II 1 et font, par 

conséquent, des angles égaux avec y.'j. 

Tout point de x{3 est équidistant des droites sm et sm'. 

t - 
Knfin. si (ni, m 1, '//, n' \ sont deux couples quelconques de 



^> 



points associés, s un point quelconque de F, les angles rnsn, 
m! sn sont égaux ou supplémentaires, et, de même, les angles 

m'sn, m s n 1 . 

Cela résulte immédiatement de ec (jue la droile sx est bissec- 
trice, intérieure ou extérieure, de chacun des angles rnsm\ nsn' . 
Ce dernier énoncé peut, d'ailleurs être précisé. 

Remarquons, à cet efïét, que la cubique Y ayant deux asymptotes 
imaginaires, n'a qu'une seule branche réelle, et que (/«, m'), 
(n, n'), formant sur F deux couples de points conjugués harmo- 
niques par rapport aux points réels a, (3, se succèdent nécessaire- 
ment dans un ordre tel que les arcs mm', nn' n'aient aucune 
partie commune, ou bien que l'un de ces deux arcs soit entière- 
ment contenu dans l'autre. On peut évidemment supposer les 
notations tellement choisies que l'ordre dans lequel les quatre 
points en question se succèdent sur Y soit l'un des deux suivants : 



m, n, n , ni 



ou 



m, ni , /ï, n 



Considérons, par exemple, la première hypothèse; si Je points 

est très éloigné sur T, les angles msn, m'sn' sont tous deux très 
voisins de zéro et sont, par suite, égaux; il en est ainsi, par raison 
de continuité, jusqu'au moment où le point s franchit le point m 

pour entrer dans Tare mn. Alors l'angle msn passe brusquement 

d'une valeur à la valeur supplémentaire tandis que l'angle m' sn' 
varie toujours d'une façon continue. On a donc, à partir de ce 
moment, et tant que le points reste dans l'arc nui, 



/nsn = r. — m s n 



et ainsi de suite. On raisonnera de même sur la seconde hypothèse, 
et l'on se rend aisément compte que l'énoncé suivant s'applique à 

tous les cas possibles : les angles msn, m' sn' sont égaux si le 
point s appartient à la fois aux arcs mm!, nn' ou s'il nest sur 
aucun de ces arcs ; les mêmes an gles sont supplémentaires si le 
point s est sur un seul des arcs mm', nn'. 



- 273 - 

,*>. Outre le> points / el /', la strophoïdale l possède un poinl .1 

I infim ?' . Soii t le pomi i\c Y associé a 7'. Je \ ;* i ^ montrer que ; 

Lr cône (S), qui a pour sommet 1 et pour directrice l t est de 
révolution; son axe est parallèle à a3, 

Joignons, en effet (/ig. '■>>)-, chacun des points k el (3 bu point 
el au poinl t'. 

D'après un résultai précédent, aT ci a?' son! égalemenl incli- 



Fig. 2, 



a.f 



jto' 



nées sur a [3, de même (3 a* et (3a-'; mais a?' et [jo - ' sont parallèles : le 
triangle Taj3 est donc isoscèle (o"a= 3"j3). 

Par conséquent, si l'on construit à nouveau la figure 1, en rem- 
plaçant le points par le point <r, on voit que le triangle a-a 0j 3 est 
aussi isoscèle (<xa = <t[ÏJ ), et que le point o- se projette, sur le 
plan (II), au centre du cercle T. Le cône (S) est donc de révolu- 
tion, et son axe est parallèle à ajii. c. Q. f. d. 

Tous les cônes du second ordre qui contiennent Y ont, comme 
on l'a vu, une série de plans cycliques perpendiculaires à a ( j. On 
est donc conduit à la nouvelle définition que voici des cubiques 
strophoïdales : 

Une telle cubique est l'intersection incomplète d'un cône de 
révolution et d'un cône du second ordre ayant une série de 
plans cycliques parallèles à V axe du premier cône, les delta 
cônes ayant, d'ailleurs, une génératrice commune. 

Un cas particulier remarquable est celui où le sommet du cône 
de révolution est rejeté à l'infini : la strophoïdale est alors l<- 
cercle cubique dont M. Schœnflies a signalé l'intérêl pour I étude 
du déplacement infiniment petit d'une figure de grandeur inva- 



— 874 - 

riablc (•). M. Schœnflies avait reconnu l'existence des couples de 
points associés sur le cercle cubique, et démontré, relativement à 
ces couples, le théorème obtenu plus haut, à la fin du n° 4. 

6. Soient (m, m'), (n\ n r ) deux couples de points associés 
del\ 

Le quadrilatère mnm'n' est circonscrit à une infinité de 
sphères dont chacune a son centre sur ajïi. 

En effet, comme on l'a vu au n° 4, tout point co de ap est équi- 
distant de mn et de mn ! . Il existe donc une sphère de centre tu 
qui touche les quatre côtés du quadrilatère mnm'n . 

On peut dire aussi que le quadrilatère mnm'n' est tracé sur 
un hyperboloïde de révolution ayant pour axe ajâ. 

En rapprochant ce résultat du théorème obtenu à la fin du n° 4, 
on voit que : 

Etant donné un quadrilatère mnm'n' tracé sur un hyper- 
boloïde de révolution (ou, ce qui revient au même, circons- 
criptible à une infinité de sphères), le lieu des points s tels que 

les angles msn, m' s n' soient égaux ou supplémentaires, et, de 

même, les angles msn' , ni'sn, comprend une strophoïdale Y 
qui passe par les points m, m', /?, n' (-). 

Ce théorème ne peut encore être considéré comme démontré 
en toute rigueur : on pourrait craindre, en effet, que le quadrila- 
tère mnm'n', ayant polir sommets deux couples de points asso- 
ciés d'une strophoïdale, ne possède quelque propriété autre que 
celle d'être circonscriptible à une infinité de sphères. Il faut 
montrer qu'il n'en est pas ainsi et, à cet effet, établir directement 
le théorème énoncé. 

Soient donc (H) l'hyperboloïde dont il est question dans 
l'énoncé, X son axe. Effectuons une projection orthogonale sur le 



(' ) Voir la Géométrie du mouvement, de M. Schœnflies, pp. 119-122 de la tra- 
duction française. 

(-) Le lieu complet comprend, outre la strophoïdale P, une courbe dont il y 
aurait peut-être lieu de faire l'étude. 



- 2":> — 
plan équatorial i II) de (H), supposé horizontal, pour simpliuei 

le laii-M-f (.//>. :»)■ 

Le quadrilatère mnm'n' esl circonscrit, en projection, au cercle 
de gorge <l<' IM13 perboloïde. 

I IR. .>. 



/> 




Menons, dans l'espace, les tangentes en ///, ////, //, /i', aux paral- 
lèles de (H) qui passent par ces points respectifs. Les quatre droites 
ainsi obtenues sont celles des bissectrices des angles m, n, ///', //', 
qui ne rencontrent pas X. 

Elles appartiennent à un même paraboloïde (P) : en effet, 
toutes sont parallèles à (IT) et rencontrent les deux droites de 
l'espace //////' , un' . 

Menons les perpendiculaires communes à X et aux diverses gé- 
nératrices horizontales du paraboloïde (P). Le lieu des pieds de 
ces perpendiculaires sur les génératrices de (P) est, comme Ton 
sait, une cubique gauche P, qui contient évidemment les points///, 
///, /?, n'. Je dis que c'est une slrophoïdale. 

En effet, et tout d'abord, Y contient les points cycliques du 
plan (II) : ce sont les points qui correspondent aux générai in s 
horizontales isotropes de (P). En outre, X est une corde de F, 
parce qu'il existe deux génératrices horizontales D cl I)'. rencon- 
trant X, en des points a el (3 qui appartiennent visiblemenl à I\ 
Les plans tangents menés à Y par X sont respectivemenl perpen- 
diculaires à D et à D'. Je dis que ces plans tangents ou, ce qui 
revient au même, que les génératrices D et D' sont rectangu- 
laires. 

En effet, les droites //////', //«'sont conjuguées parrapporl à (H), 
puisque Tune de ces droites est l'intersection des plans tangents à 



— 270 — 

l'hyperboloïde aux points où l'autre droite le rencontre. M en 

résulte que D et D' sont aussi conjuguées par rapport à II. En 
effet, D rencontre mm', nn', X et la droite à l'infini du plan (H). 
Sa conjuguée doit rencontrer les conjuguées de ces droites, qui 
sont respectivement nn', mm', la droite à l'infini du plan II, et X : 
ce ne peut être que D'. 

D' doit doue contenir en particulier le pôle du plan (I), \). 
Or, ce pôle est rejeté à l'infini dans la direction horizontale per- 
pendiculaire à celle de D. D et D' sont donc bien rectangulaires. 

11 résulte de là que Y a bien les caractères d'une strophoïdale; 
(m, m') et (n, n') sont, sur cette courbe, deux couples de points 
associés, puisque mm' et nn' sont deux génératrices non horizon- 
tales de (P), et tout point 5 de Y est tel que msn = m'sn ou 

7z — ■ ?n' sn , m' su = msn' ou iz — msn' . La proposition que nous 
avions en vue est ainsi complètement établie. 

7. Considérons maintenant sur Y trois couples de points asso- 
ciés (/w, m!), (n, n'), (p, p')> Joignons ces six points deux à deux, 
en évitant de joindre les points d'un même couple. On forme ainsi 
un octaèdre à faces triangulaires : je l'appellerai Yoclaèdre 
(m n pm' n' //). 



■8. 4' 



<uu 




Cet octaèdre est circonsci-it à deux sphères dont les centres u 
et h)' appartiennent èi Y. 

Soient, en effet (fig. 4)> <>> et 10' les deux points où les plans bis- 
secteurs du dièdre m n de l'octaèdre rencontrent la droite aâ. Gonsi- 



— ->7 



Il i 



«Ici dus, par exemple, le point to : il est équidisiant des plana (ftinp I, 
(/;////>'). D'autre part, le plan (/nap) <|ui, on I ;i vu, est un plan 

bissecteur de chacun des angles // /// //', pmp , esl un plan de 83 mé- 
trie pour l'angle tétraèdre tn.npnp . Le point <•>, <|ui appartient à 
ce plan, est donc équidisiant des faces (mnp) et (mn'p 1 ), ainsi 
que des faces (mnp f ) el(mn' p). En résumé, le | > j» i 1 1 1 <o est équi- 
disiani des quatre faces de l'octaèdre qui se rencontrent au som- 
me! /n, et il existe une sphère (Q), de centre <•>, et tangente à 1 es 
quatre laces. En appliquant le même raisonnement aux autres 
angles tétraèdres, ou voit que (12) est tangente aux quatre autres 
faces de l'octaèdre. On reconnaîtra de même qu'il existe une 
sphère (iî'), de centre w', tangente aux huit faces de l'octaèdre 
{m npm'n'p'). 

Remarque I. — Toute face de l'octaèdre, étant tangente aux 
deux sphères (Q) et (0'), doit contenir un de leurs centres de 
similitude. Or, deux faces qui ont en commun une arête de 
l'octaèdre, nui par exemple, ne peuvent, en général, contenir un 
même centre de similitude : il faudrait en cflet que nui rencontrât 
a[ii, ce qui n'a pas lieu, si m et n sont arbitraires sur Y. On en 
conclut l'énoncé suivant : 

Les faces de l'octaèdre peuvent être réparties en deux 
groupes de quatre faces, deux faces quelconques d' un même 
groupe avant en commun un sommet et un seul de l'octaèdre; 
les quatre faces cV un même groupe contiennent un même 
centre de similitude des deux sphères (Q) et (Û'), et les quatre 
autres faces contiennent l autre centre de similitude. 

Remarque II. — Il existe cc J octaèdres ayant pour sommets 
opposés des couples de points associés de F. Les sphères qui leur 
sont inscrites, en vertu du théorème démontré plus haut, ont 
toutes leurs centres sur a[j, elles ne sont par conséquent qu'en 
nombre oo 2 . On en conclut le théorème suivant : 

Soit (û) une sphère ayant son centre sur x{3 : il existe 

x' octaèdres inscrits à Y et circonscrits à (û). 

On peut rapprocher ce résultai, dont le caractère c.->t analogue à 

XXXII. l s 



— -278 — 

celui du théorème de l'oneelet, de ceux que MM. Humbcrt et 
Fohlené ont obtenus dans des travaux récents. 

8. J'arrive maintenant aux propriétés métriques et aux relations 
avec certains systèmes articulés qui, ainsi que je l'ai dit, me pa- 
raissent donner aux slrophoïdales leur principal intérêt. 

Soient encore (m, ni'), (/l, n'), (p, p') trois couples de points 
associés sur V, et {mnprd n 1 p 1 ) l'octaèdre considéré au n° 7. 

Imaginons que les arêtes nui, mp, nui', mp' ', np, pu', n'p', p' n 
(marquées en traits plus forts sur la figure4) soient réalisées par des 
tiges rigides, articulées en leur point de rencontre. Les quatre 
triangles mnp, nïpn! ', nui' p ', mp'n sont invariables, mais leur 
ensemble constitue un angle tétraèdre m . np/i'p', évidemment dé- 
formable (la déformation dépendant d'un paramètre). 

Le quadrilatère npn'p' étant, comme on l'a vu, circonscriptible 
à une infinité de sphères, on sait qu'il existe entre les longueurs 
de ses quatre côtés une relation de la forme 



(i) 



/i/> ± pn ± n p ± p n 



o. 



Imaginons que l'on déforme d'une façon continue l'angle 
tétraèdre m. npn'p'. La relation (i) étant constamment satisfaite, 
le quadrilatère npn'p' sera, à un moment quelconque, circonscrit 
à une infinité de sphères. D'autre part, on aura toujours 



et 



/un/> = n m /> ou 



nmp = n m j> ou 



7i — n m /> 



ii mp ; 



par conséquent, le point ni appartient toujours à la strophoïdale, 
lieu partiel des points d'où l'on voit les côtés opposés du quadri- 
latère npn'p', sous des angles égaux ou supplémentaires (le point 
m ne peut appartenir à une branche de ce lieu autre que la stro- 
phoïdale, parce qu'il était sur cette dernière courbe, dans les con- 
ditions initiales, et que l'on suppose continue la déformation). 

Cela posé, construisons, à un moment quelconque, le point ///'. 
associé à ni sur la strophoïdale dont il s'agit. On a 



// // nt = jinin 



ou 



/>/!//! 



279 -- 

ci. toujours à cause de la continuité de la déformation, là relatiota à 
choisir esl celle <|ui se trouve satisfaite dans les conditions initiales* 

autrement dit, V angle ///un' conserve une grandeur Con- 
stante. 

On reconnaît, qu'il en est de même pour tous les angles des 
quatre triangles, laces de l'angle tétraèdre m! .npn'p 1 : ces quatre 
triangles sont donc invariables, et il est démontré que Voctaèdre 
(mnpm* n'p f ) peut être déformé avec conservation de ses faces; 

9. Cet octaèdre prend un aspect particulièrement remarquable, 

quand l'un de ses dièdres, mn par exemple, devient égal à o OU 
à t.. On se rend immédiatement compte que tous ses autres 
dièdres devront prendre en même temps l'une ou l'autre de ces 
valeurs; autrement dit, l'octaèdre est complètement aplati. Cette 
circonstance pouvant se présenter de deux manières, suivant que 
l'on a 

mu = d ou mn = -, 

on voit que l'octaèdre (in np m' n' p') peut être aplati de deux 
manières. 

Considérons-le dans une de ces positions d'aplatissement. La 
cubique Y est alors une strophoïde, et les quadrilatères m n m' n\ 
npn'p', mpm'p' sont chacun circonscrits à un cercle ayant pour 
centre le point double de la strophoïde. 

Réciproquement, donnons-nous deux cercles concentriques et 
deux points quelconques m, m'. Construisons les quadrilatères 
m n m' n , mpm'p', circonscrits respectivement à ces deux cercles. 
Il est facile de voir que les (m, m'), (n , n') , (p , p') constituent trois 
couples de points associés sur une strophoïde avant pour point 
double le centre commun des deux cercles; le quadrilatère ///'// /' 
est donc circonscrit à un cercle concentrique aux deux premiers. 
On a ainsi construit simplement un octaèdre articulé, dans 
l'une de ses formes aplaties, et il est évident que la construc- 
tion est aussi générale que possible. 

10. On peut établir la déformabililé de l'octaèdre (mnp m! n! p \ 

par une autre méthode, qui présente l'avantage de conduire a la 
connaissance de nouveaux systèmes articulés. 



— 280 — 

La courbe F élant unicursalc, <m peut faire correspondre, d'une 
façon univoque, un paramètre à un point variable de celte 
courbe, et cette correspondance peut être établie de manière qu'à 
trois points donnés de F soient attachées trois valeurs quelcon- 
ques, données a priori, du paramètre. Supposons la correspon- 
dance telle qu'aux points a, [i et au point réel à l'infini de Y soient 
attachées respectivement les valeurs o, oo et i du paramètre. Deux 
points associés m et m! étant conjugués harmoniques sur I" par 
rapport à a et (3, leurs paramètres u et u/ satisfont à la relation 

(i) fX-h{X=0. 

Gela posé, on a les théorèmes suivants : 

i° Soient m, n, n\ trois points de T, les deux derniers étant 
associés. On a, entre les longueurs nin et mn' f la relation 



(2) 



mn ( [x — v ) ( i — v') ( [j, — v)(i + v) 
mn' "~ ( ja — v ) ( I — v ) ( p -h- v ; (i — v) 



u. et v étant les paramètres des points m et n. 

En elï'el, mn et mn! sont, comme on l'a vu, également inclinées 
sur la droite a[3. Si donc l'on désigne par ni\ , n.\ , n\ les projec- 
tions orthogonales ries points m, /?, /i', sur a t 3, on a 

//m m x ri\ 
mn' m x n\ 

Or, il est clair que, lorsqu'un point parcourt T, sa projection 
orthogonale sur mn lui correspond homographiquement. Soit 
donc <y\ le point à l'infini de a[3 (projection du point à l'infini o* 
de F). On a l'égalité entre rapports an harmoniques 

, t ,\ t t f\ m i"i ([A — v)(l — V) 

(Mi /ii /z . i.) = (mnn i ) ou r = : > 

111 ; Wl», ({X — v')(i~vj 

d'où résulte bien l'égalité (2). 

Cette relation, on le voit, conduit à attribuer un signe au 

rapport — ;• Ce rapport est positif quand le point m est extérieur 

à l'arc nn' y et négatif dans le cas contraire. 

2° Soient m, n,p trois points quelconques de F; ;jl. v, m leurs 
paramètres respectifs. On a } entre les longueurs np, pm. mn. 



- -isl - 



la relation 



(3) 



1 (■ — K-X 



m) 1 ( I -|- •/ ) I M -;. ) — 2 

np ■+• - ///// 

») ( 1 — V ) (W — |i) ' 

( I -H m ) i •;. vi 

///// 0. 



( I — W ) ( [X — V ) 

Soient, en effet, n' et/?' les points de T, associés respectivement 

à n cl à/>. Les angles nmp, n mp étant égaux ou bien supplémen- 
taires, écrivons que leurs cosinus sont égaux ou bien égaux en 
valeur ab 
relations 



valeur absolue cl de signes contraires ; on a ainsi l'une des deux 



nui 



— — 2 

mp 



n/> 



mn 



mp 



n f> 



mit 



mp 



mn 



mp 



ou 



m n -+- mp — np 



m n | [ mp | 



mn 



mp 



U'»*' 2 



mp 



2N 

np J; 



les longueurs des segments m/i, /np, etc., sont écrites entre traits 
verticaux pour montrer que, dans la relation précédente, elles ne 
figurent que par leurs valeurs absolues. Mais, d'après la discus- 
sion qui termine le n° 4, les angles nmp, n' mp' sont égaux si le 
point m appartient à la fois aux arcs np, n //, ou bien s'il est 
extérieur à tous les deux; les mêmes angles sont supplémentaires 
si le point m est sur un seul de ces arcs; d'autre part, le rapport 

mn. mp 



m n . mp 



est positif dans le premier cas, négatif dans le second. On a donc, 
dans tous les cas, en grandeur et en signe : 



( 4 ) mn -T- mp 

Cela posé, on a 



— 2 mn mp ( ; 

np =3 : — ~ \ mn 

mn mp x 



mp 



n p 



mn 



mj> 



(jx-f-v)(i 



V ) 



l fA — V)(l-t-Y) 

(jjt-f-m)(i — w) 

( JJL W ) | l -+- CT ) 



mn. 



mp 



n p = 



( 



m) (i — m) 

GT)<1 -+■ W) 



n p 



n p — 



( m +- v l ( \ - - v i 
( ra — v H i -f- v ) 



n r . 



— 282 — 
d'où 

, , (i / ) i i — m) 

// /> — , . un. 

( i-h v ) ( i-t- w) 

En remplaçant, dans la relation (/{), ////*', mp\ nfp' par les 
valeurs précédentes, on trouve, toutes réductions faites, la rela- 
tion (3). 

11. Cela posé, considérons, sur une slrophoïdale 1', variable, 
trois points />?, n, />, de paramètres fixes pi, v, to. Comme on l'a 
remarqué au début, Y dépend de trois paramètres de grandeur; 
on peut donc déformer celte cubique en l'assujettissant à deux 
conditions ; je choisirai les suivantes : mn et mp restent de lon- 
gueurs constantes. 

Il résulte alors de la relation (3) que np reste aussi de longueur 

constante, et de la relation (2), que toutes les autres arêtes de 

l'octaèdre (mnp m' n r p f ) sont aussi de longueurs constantes; par 

exemple, il en est ainsi pour les arêtes mn', n' m' ', m' /?, à cause 

de 

mn' n' m' m n 

= const., — ; — = const., — ; — , = const. 

mn n m m n 

On a donc bien retrouvé que l'octaèdre (m np m' n'p') esldéfor- 
inable avec conservation de ses arêtes. 

Mais ce n'est pas tout. Soit / un nouveau point de I\ de para- 
mètre fixe A. On a 

\|//// B[/// ~-C\/?in = 
pu 

\ { /tn -f-Bi/rc = const., 

A, et B, étant des constantes. 11 en résulte (théorème de Stcwart) 
(pie le point / reste à dislance constante d'un certain point de mn ; 
je dirai, plus brièvement, que le point / est lié à un certain point 
de mn. 

Le même raisonnement peut se répéter, en considérant, au lieu 
de m/i, les diverses arêtes de l'octaèdre (mnp m' n' p'). 

En résumé : 

On peut, sans gêner la déformai ion de l* octaèdre (ni n p n> '//'//). 



583 

lier un point I (i douze /><>in/s convenable nient choisis sur les 
arêtes de I octaèdre) et cela </ une infinité </<■ manières. 

Les points des arêtes de l'octaèdre, <|ni sonl liés au poînl /. 
forment une configuration qu'il faut signaler : les trois points qui 
appartiennent aux trois arêtes limitanl une même face, par 
exemple aux arêtes ///>, /un, mn< sont nécessairement <-n li^m- 
droite, sans quoi la figure formée par l< i triangle mnp et l«- point / 
seraient évidemment rigides. En partant de cette remarque, <>n 
reconnaît aisémenl que les douze points en question sont répartis 
trois par trois sur huit droites formant deux quadrilatères, tels 
(jiic chaque côté <le l'un rencontre un col»'' de l'autre, ainsi que 
l'indique Le schéma suivant {fi§. •>): 



Fil 




Ces douze droites forment doue un système articulé gauche, 
analogue à celui que MM. Hart et Kempe ont étudié dans le 
plan («). 

12. On peut, pour l'obtention de nouveaux systèmes articulés, 
tirer un autre parti des relations (2) et (3), et i\u fait que Y dépend 
de trois paramètres de grandeur. Par exemple, considérons sur V 
quatre couples de points associés (m, m'), (/i, /i'), (ffij.m,), 
(/ti,/ii), et supposons que, les paramètres pi, v, u. ( , v, des points 
/», n, m it /? ( avant des valeurs fixes, on déforme Y de telle ma- 
nière (pie les longueurs nui, m K n K soient constantes. On voit, par 



(') M. Fontené {Nouvelles Annales de Mathématiques, 1904, p. "»"> ' a déjà 
déterminé les cas où le système articulé représenté par le schéma de la figure 5 
est déformable, avec deux paramétres. 



- 284 — 

le raisonnement du n° H, que les deux quadrilatères mnm'n', 
irai fti J7i| /ti conservent tous deux des cotés de longueurs con- 
stantes; en outre, chaque sommet de l'un reste lié à un point de 
chaque côté de L'autre quadrilatère. 

Considérons, par exemple, le côté mn du premier quadrilatère 
et le côté m^n { du second; le point m et le point n sont liés 
chacun à un certain point de m { n u le point m t et le point h, sont 
liés chacun à un certain point de mn ; en définitive, quatre points 
de mn se trouvent liés à autant de points de m K n K ; mais on sait 
que si deux droites sont en déplacement relatif tel que trois points 
de l'une soient liés à trois points de l'autre, tout point de l'une 
est lié à un point de l'autre; les deux droites sont des généra- 
trices d'un même système d'un hyperboloïde articulé. Les consi- 
dérations qui précèdent conduisent donc à une combinaison de 
seize hyperboloïdes articulés, sur laquelle je ne m'étendrai pas 
davantage. 



SUR 

L'EXTENSION DU THÉORÈME DES POLYGONES DE PONCELET A L'ESPACE, 

PAR DES POLYÈDRES DE GENRE un ; 

Par M. G. Fojjîtené. 

L'extension du théorème des polygones de Poncelct à l'espacé 
peut être tentée avec des polygones gauches ou avec des polyèdres. 
M. Darhoux a donné pour le premier point de vue le théorème 
des roules de lumière; je donne ici pour le second point de vue 
une prévision générale, dont je démontre l'exactitude dans un cas 
particulier, suffisant pour inspirer confiance. 

Je tiens à dire que la première idée de l'emploi de polyèdres de 
genre un pour l'objet indiqué ici s'est présentée au cours d'une 
conversation avec M; R. Bricard. 



1. 

Ce premier paragraphe est, à peu de chose près, la reproduction 
d'une JNote qui a paru dans les Nouvelles innales en 1904* 

1. Appelons polyèdre homogène un polyèdre dont toutes les 



— 285 — 

faces <>nt le même nombre x <l<- côtés, donl ions l< ^ angles solides 
oui le même nombre^ d'arêtes. Un polyèdre homogène de genre 
un donne lieu aux trois relations 

F -+■ S _ A, 
F x = S y = 2 A , 

homogènes par rapport à F, S, A. L'élimination de ces trois 
quantités donne 



! =1 

x y 



ou 



(X — 'l)(y — 2) == (. 



On peut Jonc avoir 



x = 4, 


7 = 4 


;ivec 


F==S, 


./• = 3, 


r = fi 


avec 


F =2S, 


r = 3, 


.r = G 


avec 


S = 2 F, 



c'est-à-dire trois classes de polyèdres, que Ion peut appeler respec- 
tivement tétragonaux, trigonaux, hexagonaux. 

Parmi les polvèdres Létragonaux sont des polyèdres à un trou 
ou polvèdres toriques (fig. i), dont les faces sont des quadrilatères 




ol^-q 



assemblés \ par \ autour de chaque sommet. Si p csl le nombre 
des sommets sur un contour tel que ABCD... et si q se rapporte 
au contour A V A" A'"..., le nombre des sommets ou des faces es! 



— C J8G — 

p r/, /?>3, a >). | i\l. Bricard a envisagé {Nouvelles t finales , 1904) 
11 11 polyèdre télragonal à 8 sommets. | 

iYTobius, qui paraît s'être occupé le premier de polyèdres de 
genre un, a indiqué une construction du polyèdre Irigonal à 7 som- 
mets ('). M. Bricard en a indiqué une autre, qui a été étendue 
par M. Deltour (Nouvelles Annales, 1904) au cas de S quel- 
conque. 

2. De combien de paramètres dépendent les polyèdres consi- 
dérés? Les sommets donneraient lieu à 3S paramètres, si les faces 
étaient nécessairement des triangles; mais il faut défalquer x — 3 
paramètres pour chaque face lorsque les faces ont x côtés; le 
nombre des paramètres restant est 

3S— V(.r — 3), 
ou 

ou 

F + S. 

Si donc le polyèdre doit être circonscrit à une quadrique 
et inscrit à une autre, ce qui forme F + S conditions, il est 
déterminé, au moins en apparence. Il y a lieu de se demander 
si la recherche d'un tel polyèdre n'est pas un problème généra- 
lement impossible, qui ne devient possible qu'en devenant indé- 
terminé. 

Les choses pourront d'ailleurs se passer un peu différemment, et 
l'on en aura un exemple dans le cas traité plus loin. LesF(.r — 3) 
conditions indiquées ci-dessus peuvent n'être pas distinctes; si k 
d'entre elles sont les conséquences des autres, le polyèdre dépend 
de paramètres en nombre F -f- S -f- k •; quand on l'astreint à être 
circonscrit à une quadrique et inscrit à une autre, il paraîtdépendre 
encore de k paramètres. Il est possible que les deux quadriques 
doivent satisfaire à une condition invariante, et que le polyèdre 
dépende alors de k -h 1 paramètres. 



(') Voir l'Ouvrage de M. Max Bruckner (Vielecke und l'ieljlache. Leipzig. 

lf)00, p. 2JI ). 



— 2ST 
II. 

',\. Considérons le polyèdre lé Ira go n al torique qui correspond 
;m\ valeurs p = 3, c/~3 {fip- 2). 

Fi g. 1. 




Il a q faces quad rang ul aires 

B'C'C B". C'A'A"C", A'B'irA", 
B"i;"i; B, C'A'AC , V'B'B A , 

B C G'B', C A AT/, AB B'A', 

assemblées 4 par { autour de 9 sommets 



ou 
ou 
ou 



a , b . r . 
a', 6', c' , 

<(,/>, c . 



A . B , < : , 

A', B', C, 

A", B", C"; 

à chaque face correspond un sommet. 

Nous appellerons D le point commun aux trois plans a, b, r, ou 
encore le point de concours des trois droites A' A", IV B", CGj et 
Ton aura de même les points D' et D" ; les plans ABC, A/B'C, 
A"B"C" seront désignés par d, cl', d". 

L'arête (a', a") ou BC correspond à l'arête V V , etc. Nous 
appellerons <,l» le point commun aux trois plans a, a , d , ou encore 
le point de concours des trois droites BC, B'C . B C . el I <»n aura 
de même ili> et G; les trois points ,1,, iii>, C sont sur une même 
droite, intersection des plans d, d' , d% ou VBC, ... On peul de 
même désigner par a le plan \ VA", etc.: les trois plan- a. fi, y 
passent par la droite DD'D". 



— i>88 — 

Le polyèdre en question semble dépendre de paramètres en 

nombre ,'lxi) — (), on 18, chaque face quadrangtilaire donnant 
lieu à une condilion; il dépend en réalilé de 19 paramètres, l'une 
des g conditions ( ; lant une conséquence des 8 autres. En effet, si 
l'on se donne une droite, 3 points «JU, iit>, 3 sur cette droite, 3 plans 
d y d ! , d" passant par celte droite, et si l'on trace dans le plan d un 
triangle ABC dont les cotés passent respectivement en A*, ife, 
G, etc., on a les g sommets d'un polyèdre de l'espèce indiquée; 
or la figure ainsi construite dépend de 19 paramétres. 

Je montrerai que la quadrique S inscrite à ee polyèdre et la qua- 
drique S' qui lui est circonscrite sont liées par une relation inva- 
riante. Dès lors, si l'on se donne deuxquadriques, la recherche d'un 
polyèdre de l'espèce indiquée, circonscrit à l'une et inscrit à l'autre, 
est un problème indéterminé en apparence, impossible en réalité 
si les quadriques sont quelconques, et qui ne devient possible qu'en 
devenant doublement indéterminé. 

4. Pour ne pas interrompre dans la suite le développement du 
calcul, je dirai immédiatement ceci : 

La quadrique inscrite S se présentera par son équation tangen- 
tielle, et la quadrique circonscrite S' par son équation ponctuelle : 

( - ) au 2 -+-... -+- i.fv w +.,.+ 2 lur -h . . . = o, 

(S') a'x % -h. . . -h if'yz -H. . .+ 2 l'at -+- . . . = o. 

Soit pour un instant 

(S) ax-^~.. -1- )fyz -+- . . . -h -ilxt -+- . . . = o 

l'équation ponctuelle de S; l'équation en X pour la combinaison 

À S -+- S' = o 
est 

A se rapporte à a, />, . . ., et l'on a avec les notations habituelles 

6 = a'À +...-+- 2/F+...+ 2/'L+..., 
*=(6c— /*)(a'cf- *'*) + ... 

sans qu'il soit utile pour le moment d'écrire tous les termes de *I>. 



o - 



— 289 — 

Pour introduire les èoefficienta de l'équation (S), rappelons 
que a, b\ ... sont les premiers mineurs \. B, ... «lu détermi* 

a h g I 

h b f m 

g f C n 

l m n d 

mineurs affectés de signes convenables. On a doue d'abord 

A = S». 

Ensuite, les premiers mineurs affectés de signes A, H, ... sont 
simplement les produits de a, b, . . . par o -, et Ion a 

9 = $*{aa' + . . .-f- xff h- . . .4- 2 //'-+-...) = o*8, 

en désignant par la quantité placée dans la parenthèse. Enfin, 
l'on a 

(b~c — f 2 ) = ù(ad—r>), ... 
et, par suite, 

4» = o\(ad—l i )(a'd'—l' i )-i-...]= 8o, 
en posant (Salaion, Géométrie à trois dimensions, p. s>.54), 

<p = (ad — l* )(a'd'—l' i 

+ (*c -/« )( 

-+-i{gm — hn )(..( 

H-2(/c — /i^)( 

-+-2(»nA — M )( 

H-2(£-A —a/ )( 

-+- 2 ( /<r/ — »m ) ( ) ■+■ . 

o. Par analogie avec ce qui a lieu dans le plan pour les triangles 
de Poncelet, on peut s'attendre (et cette précision se confirme) à 
ce que la relation invariante annoncée au n" 3 soit 

\/\± /V± s/V±i y//? 7 = o r 

ou, S, désignant la somme des A, . . ., 

(Sf — /,S 2 )2— (i,fAA'À"À "=0, 

OU 

8*— ;A't» = ± SAy/ÂT'. 



— 290 — 

En introduisant o, 0, cp, et en mettant alors o' au lieu de A', 
on a enfin 

I G 2 — cp =rt=?yoo'. 



fi. Nous prendrons comme tétraèdre de référence le tétraèdre 
D'ABC, D" étant, comme on l'a dit, le point de concours des 
droites AA/, BB', CC; les plans des faces sont d. a\ h", r" ; on 
passe donc du point de vue ponctuel au point de vue tangentiel 
en remplaçant, par exemple, A, V, V par a" ', <t\ a. 

Les neuf sommets du polyèdre sont : 

i" A, B, C, sommets de référence; 

2° A', B', C, sur les arêtes de référence DA, DB, DC ; 

3" A", B", C". 

Les neuf plans des faces du polyèdre sont : 

i" a", b" ', c\ plans de référence; 

2° a\ b' y c', passant par les arêtes de référence (cf, a >, ... ; 

3° a, b, c. 

7. On a les équations suivantes : 

(d') ou (A'B'C), ax - b y -\- cz ^- dt = o, 

(tffj OU (A"B"<1"), rtï + ij'-fCÔ-rO/ = o, 

(DUB'C), «^-i-^y — c--^ l^. r = 0; 
(D"Di)G'A"i, ax->ï-by-\-cz+ ~ y = o, 
(D'ÔA'B"), «3*^6^4-^ + C -4- z =o; 

outre les douze paramètres du tétraèdre de référence, on a les 
sept paramètres a, b, c, o, a\ //, c'. 
On a, pour le point A", 

ax y z t 

— 66'— ce'— d'I = 9 = c' = J' 9 

comme on le vérifie aisément: nous définirons une constante o 



— 291 

ixir l<( relation 

(R) (ta bb' h ce' — dd' (rf'S di') 

el nous aurons 



■ ' 



(A*) ^ - i : 1 

aa'-hd{l'—d') V c' d! 

ou encore, l'équation tan genti elle de <•<• point est 
i \ i ^/' « + b'v 4- c'w -+- rf'r -i — (8'— rf') m — o. 

8. Après avoir considéré les sommels du polyèdre, considérons 
les plans de ses faces. 

Les trois plans BCB^C", ... ont pour équations 



x t 


y 


t 


z t 


-', — -ji ' 
a a 


V r 


d'* 


c 7 " ~d" 



ces trois plans se coupent au point D' dont les coordonnées sonl 
a\ //, c', d\ et l'équation tangentielle de ce point est 

( \)' ) a' u -h b' v — c' w ■+- d' r == o. 

Les trois plans B'C'B'C', . . . ont pour équations 

< a) ou < IV'C'B'C') fla? + éy + c5 + rf/H } .(B — d)x = o, 

(6) ou (C'A* G' A') aj' h- 6^k + a + rff+ t, (o — rfij - = o, 
{c) ou (A"B"A'B') ; 



le second plan, par exemple, passe au point A' pour lequel on 
a y = o, z — o, «.r 4- dt = o, et il passe de même au point ( 
il passe au point A", car on a 

( aa! -+- dB' — dd' ) -+■ bb' -+- ce' -+- ^/<:/' -H ûT 3 — cW = <> 

en vertu de la relatiou qui définit la constante o . 
Ces trois plans se coupent au point 

(D) £,=£ = * = £. 

comme on le vérifie par cette même relation; l'équation Langent 



— 202 — 
tielle de ce point est 

(D) du H- b'v -+- c'w» -4- fi'r = o. 

O/i î'OfV <y«e /'o/i passe des sommets aux faces du polyèdre 
en échangeant x el u, . • . , a et a', ..., octo'. 

ï). Considérons la quadrique S' circonscrite au polyèdre consi- 
déré. Comme elle passe aux points A, 13, C, A/, IV, C, son équation 
est de la (orme 

{ax -+- by -4- ez-\- dt)t'-±- Ayz -+- Bz.r -+- Gary = o. 

La section de cette conique par le plan A r/ \$"C" est sur le cône 

a (ax-^by + C3) 2 
(a — o) ^ h Ayz -- lizx -f- Lxy = o. 

0" 

En écrivant que ce cône contient le point A", on a 

(rf_ 8) d'^-^kb' c'-t-Bc'l a! -+- - (8'--d")l 4- C6' [a'-t- -(ô— rf')l =o 
ou 

(c? — 8)rf'2+ A//c'+Bc'«'+C«'i'+ i / (rr_ r /')(|] c ' + c//)=o; 

les points B" et C" donnent deux relations analogues, que Ion peut 
remplacer par celles-ci : 

Bc'+Cb' Cfl'+Ac' A b'-hMd 

a ~ l _ c. ; 

on conclut de là, en tenant compte de (II), 



d(bo-\-cc' — ad) b\cc - J r ad — Ob') c' (ad -+- bb' — ce' ) a'b'c' 

X'= d'*(d—ï) 



(dd'-±-d'ô — do ) 
Si l'on pose 

p = bb' ■+- ce' — ad y q = . . . , /•=..., 

l'équation de la quadrique S' est donc, en doublant, 

(S') ia b c 1 (ax -f- by ■+• c s -4- dt) t -+■ iV (d p y z -h b' q zx -+- c' rxy) = o, 
//avant la valeur ci-dessus. 



- 293 - 

Lit quadrique S inscrite au polyèdre .1 «le même pour équa 
lion tangentielle 

(Xi > abc\ "' a +■ b'v -+- c'w h- </' /•;/• 2À(a/n>(i : bqwu cru\ =0, 
avec 

(1(1' -+- <7o' — /•/' 

10. Comme les constantes et 0', liées aux autres par la rela- 
tion (R), n'entrent que dans X et X', cette relation (R) équivaut à 
une relation entre X, X' et les anlres constantes «, . . ., <7, a! . . . ., rf'. 
Les expressions de X' et de X donnent 

(X'-i-rf').d'o — V.d8' = dd'(d'-V), 

— \.d'0-]-(\-^d).d0'=:dd'(d -X), 



d'où l'on tire 



,, s , „ — 2 XX' -h d'\ -+- dd' 
cl o— ad =-. jpr —. — , 

, - 9JX -j- dl' -+- dd' 



do'=dd 



dX'+d'X + dd' 



la relation (R) devient 

( R') 4 dd'Xh'— ( d\' -h d'\)Zaà'= dd\ dd' +2afl'), 

le signe S s'étendant à a, &, c, ou encore 

(R") (4rfV— 2aa')iid'\— Zaa') = (idd'-h ï.aa')*. 



tv. 

11. 11 s'agit de vérifier la relation 

i 02—0 =dza v / 88 7 - 



On a d'abord 



a 



o Vc'r X'b'q a'b'c'a 

V c' r o \'a'p a'b'c'b 

X'b'q X'a'p o a'b'c'c 

' b' c a a'b'c'b a'b'c'c la'b'c'd 



Divisons les trois premières lignes par X'6'c\ Vc'a', X' a' b\ la 
xxxii. 19 



294 



dernière par a'b'c\ cl multiplions les trois premières colonnes 
par a', b', c', la dernière par 2/'; il vient 



a' 2 6' 2 c' 2 X' 2 2 



o r q 2 aa 

r O /; 266', 

<y /? icc' 

««' 66' ce' 4dV 



A. cause de q -f- r= •iaa', retranchons de la dernière colonne 
la somme des trois premières; nous avons 



X (^dX'—ïaa'), 



a' 2 6' 2 c' 2 X' 2 " 2 






r 


9 


r 





P 


9 


P 






le signe S s'étendant à a, 6, c. Finalement : 

8' = a' 2 6' 2 c' 2 À' 2 x pqr X ( /, dV — X «a' ), 

On a pour une expression analogue. Par suite, en tenant 
compte de la relation (R"), le produit 00' est un carré, comme 
cela est nécessaire : 

y/60' = abc .a b' c' .W .pqr x {idd ' -+- £ aa'). 

12. On a ensuite 

- 6 = abc .a b' c iidd' -±- Zaa') 

•1 

4- Wiaa'p^^-bb'q^-^cc'r 1 ). 

13. Reste le polynôme o. L'équation (S') manquant de terme 
en x 2 ^ y' 1 , z 2 , l'équation (£) manquant de termes en u-, i> 2 , iv 2 , 
on a (fin du n° 4) 

©= /«/'«-h... 

+/*/'* + -.. 

-+- 2 ( #m — /m ) ( #' m' — h' n') -h . . . 

+ 2 //'(£•/+ A/*') +••• 

-1- 2gh.g' h'-i-. . . 

-4- 2(/c/ — mn)(f d' — m' n') -+-. .. ; 

la quatrième ligne contient les termes qui proviennent delà qua- 
trième et de la cinquième ligne dans l'expression générale de o. 



— 295 — 

( )n i ioti\ <•, en développant , 

(//'-i- mm! a a ii /,/,.■ . K 

,i\ ec 

K --J"l'\, gm hn—fl) — ... — ... 

+-dd\ff gg' hh!) 

— mnf'd — . . . — ... 

— ni 11 fd — ... — . . . , 

<l représentant ici le coefficient de r' 1 dans l'équation (2), 

c'est-à-dire 2 abcd 1 ', elc; on en déduit 



on 



<p = [abc.a'b' c'Zad -+- XX'(aa'/> 2 -i-. . .) | 2 -t- > K. 

<p = (1 — laBc.a! V c' .dd'X + 2K. 

14. La relation à vérifier devient, en prenant le signe + devant 
le radical, 

labc.a'b ' c .dd .0 — 4 a i b z c i .a' i b' i c' i .d i d i ^2K 

= 1 abc . a' // c' . X X' ./><//' X ( ?. #W H- £ aa' ), 
ou 

— ttj-i = dd' (^ — 1 abc .ci b 1 ' c .dd') — XX' nqriidd' -+- Lad) 

a oc. a b c * * N 

= 2ûW' [ a6c . a' b' c' ( aY/' +Saa')+ Xà' ( «a> 2 -4- . . . ) j 
— XX' pq r (2 dd' -+- Zaa'). 

Or on a, d'après l'expression de K donnée au n° 13, 

K = — XX' . abc . a' b' c' [aa' p ( bb' a -t- ce' r — ad p) -h. . . -f-. . .] 
-+- 0^'abc.a'b'c'.dd'[aa'p*- + . ..-h. . .] 
— <2a>-b°-c'*.a'ïb'*c'ï(dh'^-d'\)(p-±-g -h r), 

ou, en remplaçant p -f- q -\- r par Haa', et en tenant compte 

de (R'), 

K 



abcd 1/ c 



tjt^, — — XX' [ ad p ( bb' q -+- ce r — ad p ) -+-. . . ■+-. . .] 
-h 4 XX'. dd'(aa'p* -+-...+-...) 
— 2 «oc . a' 6' c' [ 4 aVT . XX' — <W ( dd' -t- S aa' ) ] ; 



il faut donc vérifier que le second membre de cette égalité ne 
diffère pas de l'expression 

>.dd'\abc.a'b'c'(dd'-^ Saa')-4- X/'i aa'p*+. . .)]— XX>?/*< ■»'/" '— - «a 



- 296 — 

Les termes indépendants du produit W sont d'abord identiques. 
Il reste à vérifier : 

— ad p ( bb' q -h ce r — ad p ) — ... — ... 

-+- }.dd'(adp ï -\-. . . + . . .— \abc.d b' c) = — pcjr(idd' -h Zad). 

Pour les termes indépendants du produit dd\ si l'on pose 

ad — a., bb'—$, ce = 7, 

d'où 

p = p -+- q — a, . . . , . . . , 

on a. par exemple, 

bb'cj + cc' r — adp = £(Y+ « — p) + Y (a -h p — 7) — a(p -h 7 — a ) 

= a 2_ ( £ _ V )2 = (a _u p _ -,)( a _ O + y)j 

et l'on doit vérifier 

-a(p + v-a)(a+ £ - Y )(a - p 4- 7 )-... — .. . = -pgrïx, 

ce qui est une identité. 

Pour les termes en dd\ on doit vérifier 

«(P + Y - *) 2 + P(Tf "+- a - ?)*-*- 7(a -h p — 7)2- 4«Pï = -Wi 

or, le premier membre admet le facteur/?, comme on le voit en y 
faisant a = [3 -+- y, etc. ; il est donc divisible par pqr, et les deux 
membres de l'égalité ne peuvent différer que par une constante; 
ils ne diffèrent pas, puisque les termes en a :} par exemple sont 
les mêmes. 



SUR QUELQUES GROUPES D ORDRE p* ; 
Par M. M. Potron. 

Cette Note a pour but de rectifier et de compléter les résultais 
obtenus dans ma Thèse de Doctorat touchant les g p o (groupes 
d'ordre /?°), et de réparer en particulier une omission de 
quelque importance, commise dans la détermination des types 
de figure (1 1) (1 1 1 1) dans le cas dey; > 2 (Thèse, p. 94, 90). 

Il s'agit des types de g//G ayant pour commutant le central et 
ne contenant pas de gy> de figure (111) (n). Peurs équations 



— Î97 — 
peuvent toujours (Thèse, p. 92 | être mises sous ta forme 

ap=bi>=i, c/»= ôPa«, dP &P', ePssbP, fi> //>"', 

(a = o, 1), 

d ' (•</ — c, c-> ce = c<7, /"-' cf = cl>, e~ l de = dh % . 

/ idf = d«, f-ief=e. 

Nous n'avons à nous occuper ici que du cas (Thèse, p. cj.'S) a = 1, 
jâ'ou p"ou $"?âo. 

Le changement de générateurs le plus général conservant la 
forme des équations de G est de la forme (Thèse, p. 76) 

a x = //1a£, b x = b'ï a%, 

Ci = f"e z dyc x b k a h , d t = f u ' e z ' d? c x ' b k ' a h ', 

Cl _ fn" e -~"dy"cx"bk"aV, /, = f"> w e* m d? m c* m b*" aF\ 

avec les conditions (Thèse, p. 89, 90, 91 , N désigne un non carré 
arbitraire) : 

£'=to7), t}'=u>N£, wN=±i, 

;t'=u)N 2 jk, j/=coN;r, 3'=wNk, m'=o)N-^, 

x"'=LoNy", y'"=Lox", z'"=uu, u m =uNz", 

£ = ^''_2 J -" + /w "_ K y } r- = xu >>— ux "-^ N(yz" — zy"), 

(ga_ Nr,*) [(#* — N^*) ' (N ^" 2 - z/-" 2 ) 

-f-O" 2 — N>**)(N**— w 2 ) + 2\(ay ff — yx")(zu"— uz" )\ =zi o, 

et il opère sur les exposants des équations de G une transformation 
définie (Thèse, p. 94) par 

Pi i = N 2 r , pr, ? s (3n 7 + p'* + pr« + p w n*, 

Pî cor, = *", g'i co N $ = §x" + P'y -4- P'z" -h P w ii*, 

P«1 -N/', PÏNÇ ^pN/'+p^H-P'u'H-p"'.^". 

Si l'on fait fi" { = [J" = o, il vient 

x" = y" = P" 2" -f- p w w* = P" «" + P'" N s" = o, 

donc fi" = [3 W eee o ; ainsi on peut faire [J'J = jâ'^ = o toujours et 
seulement si [j" = [3 W = o. 

Supposons d'abord fi" ou [î w ^o; en prenant 

r, == y = 57" = j^" = ^^" = o, | = a? = <**= I , 

3+ p'*4- p'"w = P'-f-Np^-f- 3"w = o, 



— 298 — 

on peut faire pj = p' ( = o, et le calcul s'achève comme dans la 
Thèse (p. 94, g5). 

Supposons maintenant p" ( = fi^= p // = p w = o donc p' [j\ ^ o et 

37^=7*= o, l — xz"-+-yu\ r\~xu"+Nyz\ 

(É2— Nr^)(N/2- w"2) (a;*-— Njk 2 ) N o, 

L'élimination de Ç, 7) puis de .£, JK entre les quatre dernières équa- 
tions donne 

C'est la condition nécessaire et suffisante pour que ([3,, p,) four- 
nisse le même type de G que (p, p'). 

Considérée comme une équation en p', , l'équation (b) a des 
solutions rationnelles toujours et seulement si 

(P'2— JVp»-f-N*)*-h4Np f2 (Pî — N) 

est carré ou ~ o. On pourra donc faire p, = o toujours et seule- 
ment si (P' 1 — NP 2 -+-N 2 ) 2 — 4N 2 p' 2 que l'on peut écrire 

[(P'4-N)2 — NP 2 ][(P'—N)*— Np«] 

est carré ou = o. 

Supposons d'abord cette condition remplie et soit p, = p = o, 
la condition (b) qui devient (PJ — {)') (P'p, — N 2 ) -*= o montre 

qu'il y a pour G — — tvpes qui, en prenant pour N une racine 

primitive i de /?, correspondent à (Cf. Thèse, p. Q/j) 

p = o, p'=i, *, ..., rr-, p'=p w =o. 

Supposons maintenant (p' 2 — Np 2 -hN 2 ) 2 — 4 N 2 P' 2 non carré, 
donc (3(3, ^ o, les types distincts de G correspondent aux sys- 
tèmes (p, P') vérifiant cette condition et tels que 

N(f*' A PÎ - Mft) + ( N2 ~ PiftHPi- K) ^ ». * * *• 
Pour trouver le nombre des types de G, cherchons d'abord le 






- 299 — 
nombre des systèmes (ôf, û',) solutions de (b). En posanl 



■r-a, p-'-U ft'-t-V 

^ — Pi ro7 » .7- Pi> 



(6) devient 



ayi _ n y* ~ ~ - [( p'â _ N p* -4- N2 ) 2 — 4 N* f>'« j 

4 h 



et l'on sait (') que cette équation admet p -\- î systèmes de so- 
lutions. Cherchons ensuite le nombre des systèmes ((j, 3') tels 
que (P' 2 — Np 2 +N 2 ) 2 — 4N 2 (3' 2 soit non carré, c'est-à-dire tels 

/ R'2 N S 2 -+- N 2 \ 2 . 

que (- -T&oî ) soit précédé d'un non carré. L'équation 

P'«— Nf>«— 2CNP'-+- N 2 =0, 

où c 2 — i désigne un non carré et qui, en posant 

» = f'-cN, 7 = P. 
devient 

a comme précédemment p -f- i systèmes de solutions pour une 

valeur donnée de c. Comme c 2 — i parcourt ( 2 ) 7 (/?-f-e — 2) 

(s désignant le caractère quadratique de — 1) valeurs distinctes 
auxquelles il faut ajouter la valeur — 1 si e = — 1, il m résulte 

P — T 1 1 • • r P 2 — " 
que c parcourt toujours valeurs distinctes. Les ■ sys- 
tèmes ((3, P') que nous avons à considérer se répartissant en caté- 
gories de p -h 1 qui fournissent pour G le même typt, il y a 

exactement pour G - tvpes distincts. 

1 , 2 . j 

Dans la liste des g^s (Thèse, p. 164) il faut donc supprimer dans 

les types (27) celui qui correspond à 3'= o et ajouter les 

types pour lesquels les seconds membres des équations sont 

1, 1, b$i>a, b$'i>, 1, 1, c, ca, cb, db y , da, e : 



(') De Séguier, Éléments de la théorie des groupes abstraits. n° 44. 
( 2 ) Il y a j (p H- 6 — 2) non carres ^0 suivis d'un carré -£ o (De SÉGUIER, 
loc. cit. ). 



— 300 — 

[i/ t et [i' h parcourant pour h = i, 2, . . . , V ~ ' les - (/>> — i) sys- 
tèmes de valeurs telles que l'on ait 

(P/f N H ■+- N 2 ) 2 - 4 N f P/J non carré, 
N(P*M- PJPi) + <N«- PiPi)(Pi- Pi) ^ o pour A ^ * 

( A, A = I, 2, ..., — ^-j' 



LES G^ (/? PREMIER) DONT TOUS LES G p m-°. SONT ABÉLIENS; 

Par M. Potron. 

1. Ayant rencontré dans ma Thèse de doctorat quelques types 
de g p m (p premier) caractérisés par cette propriété, j'ai élé 
amené (') à chercher tous les gy»(/? premier) qui la possèdent; je 
me suis toutefois restreint aux groupes métabéliens. De nouvelles 
recherches m'ont permis de m'afïranchir de cette restriction et 
d'arriver à la détermination complète des g p ™ (p premier) carac- 
térisés par la propriété énoncée. Je les expose dans le présent 
travail, me bornant à rappeler (4) (5) les résultats partiels obtenus 
dans ma Thèse, afin de les relier (12) au résultat général. 

2. Outre les théorèmes de la théorie des groupes employés et 
cités dans ma Thèse ( 2 ), je me servirai principalement des sui- 
vants ; 

I ( s ). Si C désigne le commutant et P le p. p. c. m. des /> iùmCs 
puissances des éléments de G, le groupe CP est p. g. c. cl. des 
gpm-i de G, G | GP est d'ailleurs abélien principal. 

II (''). Soit a-jj. (i = 1 , — v; j = 1 , ..., /?/) une base d'un gy» 
abélien G ; pour qu'un système d'éléments b ktk =«c U in a' J " i ' Uk for/nc 



(') Thèse, n os 17-24, p. 3o-6o,, i5g, ifk>, 162, (Paris, Gauthier-Villars, 1904.) 
Pour la terminologie cl les notations, voir ma Thèse et de SÉOUIER, Éléments 
de la Théorie des groupes abstraits, 

( 2 ) Thèse, n" 2. 

(») Bagnera, /?. J. L. /t., 1898, A, D. M. (III e série), t. Il, p. 264, 

(M Thèse, q" 14, p, 1$, a5, 



- 301 - 

//// système de générateurs de ( «, il faut et suffit que la matrice 
des ./• soit modp de ran g 1//,. 

III (*). Pour (/ne tout diviseur d'un g p * non abélien G soit 
abélien, il faut et suffit que G | A soit principal d'ordre />- et 
que, en désignant par \ Ad, A<? j une base de G|A, c'est-à- 
dire par <7, e deux éléments non permutables de G, on ait 
\ = ; di', eP, d~ { e~ K de |. En appliquant le théorème II, la 
deuxième condition s'exprime ainsi : d et e désignant deux élé- 
ments non permutables de G, la matrice des exposants des 
générateurs d'une base de A dans les expressions dP, eP, 
d~ K e~ K de est mod p de rang égal au nombre des générateurs 
d' une base de A. On a d'ailleurs évidemment G = \d, e \. 

3. Parmi les gy» dont tous les g P m ~- sont abéliens figurent évi- 
demment les gp* et les g p ™ dont tous les diviseurs sont abéliens. 
Ces groupes ayant été déterminés ( 2 ), je les laisserai ici de côté et 
Je désignerai toujours par G un g p m (p premier, m > 4) dont 
tout g p m ->- est abélien et dont un g P m ~ i au moins n 'est pas abé- 
lien. Soit alors Azj (j = i , . . ., jjl) un système de générateurs in- 
dépendants de G | A, je distinguerai les deux cas: jjl *> a, p,= 2. 

4. Soit d'abord y. >> 2. Quel que soity, les 

G/*= ; x,zj,z lc \ (k = 1, ...,/— t,y -f-i, ..., n) 

sont tous < G et ne peuvent être tous abéliens sans quoi Zj serait 
dans A. Soit G' un Gjk non abélien ; G' est d'indice p dans G et a 
tous ses diviseurs abéliens, G' peut donc (n° 2, théorème III ) être 
engendré par deux générateurs d, e\ son central A' est 

j dP, eP, d~ x e~^de j 

(on a d'ailleurs A'^A), et G s'obtient en adjoignant à G' un élé- 
ment /"tel que fP soit dans G 7 . On a donc 

G'= j \d, e j = j A, o?, e J, G = j d, e,f[ = j A, d, e,/j. 

En considérant les trois groupes | A, d, e |, ! \, ^,/j, j A, e,/î 



( ' ) Thèse, n° 13, p. >.\. 

(-') Thèse, n 01 13-16, p. a3-3o. 



- 302 — 

dont tous les diviseurs sont abéliens, on voit que c/p, ei\ fP sont 
permutables à d, c, /, donc dans A; yiPqui appartient à G' appar- 
tient donc à A'; or A' d'indice p 2 dans G' est d'ordre p m ~* ; /étant 
hors de G' et par suite de A', | A', f\ est d'ordre p m ~ 2 donc abélien, 
donc A'^A. On a donc A f =A.et \ G, A | =p 9 . 

Les groupes | A, d, e j et | A, d,f\ sont abéliens ou métabéliens : 
dans ce dernier cas leurs centraux respectifs contenant A et étant 
d'ordre p m ~* sont égaux à A. Les trois groupes | A, r/, e\, 
j A, d,f\, | A, e,f\ étant ou abéliens ou métabéliens de central A, 
G est métabélien. V hypothèse jjl >> i ne fournit donc que des 
types déterminés dans ma Thèse (*). 

5. Sait désormais k u = 2, G = | A, e^f j ; le groupe non 
abélien \e,f\ est dans G d'indice £/?. Laissant de côté le cas 
I e if\ < ^ traité dans ma Tbèse (-), je supposerai \ e 7 f \ = G, 
d'où CP= j G,eP,fP |, donc (G, CP)^//-; comme d'autre part il 
faut (G, CP) >> p sans quoi G serait cyclique ( 3 ), on a (G, CP) =/> 2 
e£ CP ca7 abélien. Soit alors e~ K f~ K ef = c\ si A contient c, le 
commutant est j c \ et G est métabélien; ce cas étant traité dans 
ma Thèse (''), je supposerai que A ne contient pas c et je distin- 
guerai deux cas suivant que le commutant C est cyclique ou non. 

6. Supposons G cyclique = \ d \ ; soit 

/- 1 ef = ed* ( d* hors de A), e- 1 de = û?*, /- 1 d/ = û# ; 

on en tire 

piar— iup»— i) 
6-^ ^ er = tf-ra*, /- s rfrys — ^ fl« , / a e yfz — e y d ° "^T-i.ip-i, . 

Comme CP est abélien, il faut que r/ soit permutable à eP, fP\ donc 

(') Ces types sonL défigure (si) (m) ou (.su) (m). Leurs équations seront 
données au n° 12. 

('-) Thèse, n° 17, p. 3o-3i. Cette hypothèse conduit à des produits directs et à 
un type de figure (rsi) (n) dont les équations seront données au n° 12. 

( 3 ) Burnside, Theory of groups, n os G'2, 63; De Séguier, Éléments de la 
théorie des groupes abstraits, n° 137, p. n5. Le théorème complet est : un g mG 
ayant un seul g * est cyclique, sauf si l'on a à la fois p r= 2, s = i, ni = 3, auqtu I 
cas G est cyclique ou dicy clique. L'exception ne peut se présenter ici où 
s — m — i > 3 . 

('') Thèse, n° 17, p. oî. Ces types sont de figure (/ , s)(jj). Leurs équations 
seront données au n" 12. 



— 303 — 

que d* 1 ': idF d. Comme les groupes | CP, e j \d,e,f/>\ el 
j CP,/! = ; </, c l \f\ oui ions leurs diviseurs abéliens, il faul <pi<; 
di' (el non rf^), e p *%/ p * soient permutables à e,f\ donc, que 

? flCP 1 — 1 

en sorte que l'on peut supposera = i. En désignant par/?? l'ordre; 
de d il faut donc 

a p i mod/ïY- 1 , a/' = pp i mod/;T, — s omod/>Y. 

Il faut donc d'abord y > i , car, en supposant y == i, les condi- 
tions v.P~ fiP~ i exigeraient *= [J = i et d serait normal con- 
trairement à l'hypothèse. Posons alors 

a = 1-4- hp"i~ x , (i = i -f- £/>Y _l , h ou A ^ o ; 

on en lire (* ) (sauf si yoï - ' = 2, auquel cas y = 2) 

a/ 1 "- = 1 -+- /*'//r+i, P/> s = 1 -+■ k'pl+i, h' ou A-' ^ o ; 

. ,. . af 2 — 1 8p 5 — 1 , v . <r rï 

les conditions = ~ = o mod/?ï exigent donc y ^2. Un 

a — 1. p — 1 ' ' 

a donc toujours y == 2 et d est d 1 ordre p 2 . 

Un élément quelconque de G étant de la forme f z e?d x est dans A 

toujours et seulement si 

( a _,)^__ ËlZJ = ( p_,) J+ ^£Zi ==omod>*, 

d'où 

a .v_ , {3- — 1 



K - 



o, 



et par suite y = z = o; lout élément de A est donc de la forme 
fp- ePyd r , donc A divise CP. D'ailleurs le p. p. c. m. des coiniiiii- 

(') Si gV = 1 -i- hpï {p premier ne divisant pas /i, p~ 1), on aura 

gï*/»* = 1 -+- />«+ç+i| ( /i.r + Ây> ) 

( x premier à /;, t, = o sauf si l'on a à la fois p — 2, p = ï, * = i auquel cas t, est 
l'exposant de la plus haute puissance de 2 divisant A-r-i). [Dk Skguiek, £7ef- 
ments, n° '25. p. 28, note ( ! ).) 



— 304 — 

lalcurs de eP, fP, d avec e, f divise ) dP \ et par suite A ; CP | A di- 
vise donc le central de G | A ; comme Cl* | A est d'indice p- dans 
le groupe non abélien GIA, Cl* | A est exactement le central 
de G | A et CP est le deuxième central de G. 

7. Cherchons à déterminer G| A. Soit d'abord p^> 2. On a 

( a /; l) ( S/' l) 

toujours —, —t, é ^omodtf 2 , donc eP et fP ne sont pas 

•' ( a — 1 ) ( p — l 

normaux; ils sont d'ailleurs indépendants mod A, car, si 

fp~ ei> mod A, 

fP permutable à e et/* serait normal; ainsi A est d'indice p 2 dans 
j A, eP,fP | ; je dis que A est aussi d'indice// 2 dans 

CP= [A, «*,/>,<*), 

c'est-à-dire que d est dans j A, eP,fP j. Dans l'hypothèse contraire 
en effet A est d'indice /> 5 dans G, on a mod A 

cÇ = cf = rfP=i, «'S--1, /p=c 2 , 

d~ 1 c i d = e~ i c l e ~f~ i c 1 f~ Ci, d- 1 c 2 d~ e~ 1 c 2 e = f- l c 2 f = c 2 , 

e-i <fe s/-* rf/ a rf, /-* ef = e./; 

et l'on a dans G, en tenant compte de toutes les conditions et hy- 
pothèses, 

aP=i, di>=a, e' , = c l , fp = c 2 , 

d- 1 ci d = e- 1 C\e = Ci, f- { c { f=Cia^ 

d~ l c 2 d=c 2 , e~ l c 2 e = c 2 a _1 , f- 1 c 2 f=c 2 , 

e~ l de = da)>, f- 1 df = efa^', /— * e/ = e<^, (ÀouÀ'^o). 

Tout élément de G est donc mod A de la forme f v e u d z c y .,c\ ; A étant 
d'indice/> 5 dans G il faut que l'égalité f v e u d z c{c x K = 1 mod A en- 
traîne # = ^' = .s=w = t> = o. Or celte condition n'est pas rem- 
plie, car dc\c~ K ' est normal. Ainsi G| A est de figure (ii)(ii); 
comme eP elfP sont indépendants mod A, un seul des types d'ail- 
leurs connus (') des g p * convient, et les équations de G|A 
peuvent s'écrire 

cp = dP = 1 , eP= c, fP= d J 

; 1110(1 A. 

r/-icrf^e- , ce=/-»c/=c, e~i de =/-' df=d, f~^ef=ed\ 
(') De Séguier. Éléments, n° 148, p. i3o. 



— 303 — 
Soit maintenant /> = ?.. On a 

/-ie«/= c*d*> », /-■«/»« m0+>, (a, fi =1,3). 

( )iï ne peut avoir a = (3 = i , car d serait normal. Si Ton a a = i, 
[U = 3, / 2 est normal cl GP = | A, e-, d j. Le ga"»-* 

|CP,/j = je»,/,rfJ 

avant Ions ses diviseurs abéliens, on a | e 2 ,/, d\ = \f y ri [, donc 
e 2 est de la forme /^Z''